2.2基本不等式的应用 同步学案

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基本不等式的应用学案
一．学习目标
通过对基本不等式的概念与应用进行学习，利用基本不等式求解函数的最值，并掌握综合问题的解题思路。
二．前文回顾
1.基本不等式的理论来源
由恒等式，展开得到；若将该式子中的分别用替换，便可得到；将该式子称为基本不等式。
2.基本不等式理解
(1)基本不等式成立的条件：
(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号。
总结：基本不等式的使用条件：
①
一正：，，即：所求最值的各项必须都是非负；
②
二定：或为定值，即：含变量的各项的和或积必须是常数；（在后面接触的“积定和最小，和定积最大”；因此在利用基本不等式求最值的时候需要和或乘积为定值）
③
三相等：当且仅当时取等号；即：等号能否取得。
注意：在应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件，若忽略了某个条件，就会出现错误；
在利用基本不等式求最值时，应注明何时取得等号；
但是由于基本不等式的理论来源是恒等式的变形，因此成立近要求；至于或是否为定值不影响；只不过当或不是定值时，我们不能通过基本不等式的方法求解对应的最值。
3.几个重要的不等式（当且仅当时候等号成立）
（）（基本不等式链）
下面对于基本不等式链做简要说明：
4.算术平均数与几何平均数
设，则的算术平均数为，几何平均数为；
基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
5．利用基本不等式求最值问题
已知，则：
(1)如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值是.(简记：积定和最小)；
(2)如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值是.(简记：和定积最大)。
三．典例分析与性质总结
不等式在各种题型中均有出现，渗透在各类考试试卷中；基本不等式是不等式中高频考点之一，其应用、变形等是考试热点；本节将针对于基本不等式及其常见母题进行解答技巧的讲解与归纳。
题型1：直接应用基本不等式求最值
对于求解最值的问题，如果通过分析确定该代数式的组成部分恰好满足基本不等式额适用条件，可直接利用基本不等式进行求解。
例1：下列结论中正确的是(　　)
A．的最小值为2
B．的最小值为2
C．的最小值为4
D．当时，无最大值
题型2：配凑定值类(恒等变形类)
此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，凑项，凑系数等．不论条件怎么变形，都需要根据条件：凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小。
例2：①【拆项】已知，则函数的最小值为________．
②【凑项】若，则函数的最小值为________．
③【凑系数】若，则函数的最大值为________．
[方法技巧]
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提。
(4)在利用基本不等式解题的过程中注意标注等号成立的标准，即“当且仅当……”
【提升】如何理解“拼凑和或积为定值”？
从下面两个例子，加深理解。
①若，且，求的最大值；
首先直观的看，；。
当且仅当，即、取等号；
②若，且，求的最大值；
显然本题中，并非定值，故而在求解最值的时候不能直接使用均值不等式，需要进行合理转化；
。
当且仅当，即、取等号；
题型3：数值1的代换
例3：已知，，，则的最小值为________．
[方法技巧]
常数代换法求最值的方法步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
题型4：平方后使用基本不等式
一般的，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求解最值。
例4：若，且，求的最大值。
题型5：展开后使用基本不等式
对于一个乘积形式求解最值，可以考虑将其展开为多项式的形式，将乘积的最值转化为和的最小值。
例5：已知为正数，且，求的最小值
题型6：通过求解目标不等式求得最值
在运用该方式解题时，是指将题意中其他代数式用目标量表示出来，同时结合基本不等式的内容将所求目标转换在一个不等式中，通过整体解此不等式，进而得到最值。还要注意“添、拆项”技巧和等号成立的条件等。
例6：①已知满足，则的最小值为________．
②已知，，则的最小值是(　　)
A．3
B．4
C．
D．
③设，且，那么（）
A.有最小值
B.有最大值
C.有最大值
D.有最小值
[方法技巧]
利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即为求解目标的最值；
对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用对勾函数的单调性。
四．变式演练与提高
1.函数的最小值是(　　)
A．
B．
C．
D．2
2．已知定义在上的函数，若，则的最大值为__________．
3．已知，，则的最小值为________．
4．已知，，则的最小值为________．
5．已知，且，则的最小值为________．
6．已知各项为正数的等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为________．
7.若直线过点(1,2)，则的最小值为（）
8.已知满足，，，则代数式的最小值为（）
A.1????
B.2????
C.3?????
D.4
五．反思总结
在应用基本不等式求解函数最值的时候，要注意“一正、二定、三相等”条件的限制，否则容易出现错误；
在解题过程中，要注意常见的变换技巧，如“拆项、凑系数”等等，在平时的练习与复习过程中要注意总结。
六．课后作业
1.已知函数，当时，取得最小值b，则等于(　　)
A．
B．2
C．3
D．8
2.已知，，则的最小值为(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
3.已知，，则的最小值为________．
4.已知，且，则的最大值为________．
5.若直线平分圆，则的最小值是(　　)
A．
B.
C．
D．
6.设，，
(，O为坐标原点)，若三点共线，则的最小值是(　　)
A．4
B.5
C．8
D．9
七．参考答案
例1：解析：
对于A.可能小于0，因此不能直接运用基本不等式求解最值；对于B.要使函数有意义，则，因此；当且仅当，即时取得等号。对于C.当且仅当，即时取得等号，但的自身值域为，故而不成立；对于D.函数的最大值虽然不能由基本不等式求得，但由导数的基本意义知，在上
为增函数，因此有最大值。
【答案】B
例2：解析：
①【拆项】∵，∴；
当且仅当，即时取等号．
②【凑项】∵，∴；
当且仅当，即时取等号．
③【凑系数】∵，∴；
当且仅当，即时取等号．
例3：解析：
∵，，，∴
当且仅当时等号成立。
例4：解析：
当且仅当，即，时取得等号。
故而的最大值为
例5：解析：
要求的最小值，需要分析得到的最大值；
由基本不等式知，；当时取得等号。
所以
例6：解析：
①∵，所以，
转化为
解之得，
当且仅当时取等号。
②依题意，得；当且仅当，即时等号成立．
令，则转变为
解得或(舍去)，∴的最小值是4。
③因为，且；故而
令，则；解之得或（舍去）
因此有最小值。
同理
令，则；解之得或（舍去）
所以，即有最小值
四．变式演练与提高
1.解析：∵，∴．
∴
当且仅当，即时，取等号。
提升：在分式求解值域的过程中，可以利用转化成部分分式的情况，通过化部分分式将原始式子转化成乘积为常数的形式。当分子的次数小于分母的次数时，可采用倒数求解最值。
2.解析：∵，∴，得，∴。
3.解析：；
当且仅当，即时，取等号。
【答案】9
4.解析：由，得，∴；
当且仅当，即时取等号．
【答案】1
5.解析：∵，且，
∴；
当且仅当时，取等号。
【答案】9
6.解析：设公比为，由?(q＞0)?
；
则；
当且仅当时等号成立．
【答案】
7.解析：由题设可知
当且仅当，即时，等号成立；的最小值为8
8.解析：由题意转化知，是方程的两个根，、；
故而均为正值；
由基本不等式，可知最小值为2。
六．课后作业
1.解析：
，因为，所以，；所以由基本不等式，得；
当且仅当，即时取等号，所以，，。
2.解析：
选C　由已知得，即，当且仅当，即
，时取等号，令，则，且，得；即。
3.解析：
当且仅当，时，取等号。
【答案】
4.解析：
因为，当且仅当，即，
时等号成立；所以的最大值为1。
5.解析：
选C　∵圆心为(1,2)在直线上，
∴，∴
当且仅当，即，时等号成立．
6.解析：
选D　∵＝－＝?，＝－＝()，若三点共线，则有，∴，∴；
又，∴；
当且仅当，即时等号成立。
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精品试卷·第
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