3.5 中位线（1）

(共13张PPT)
杨岗中学 章杰兵
初中数学九年级上册
（苏科版）
1.5 中位线（1）
1、如图,点O为ABCD对角线的交点,
过O的直线EF与边AD、BC分别相交于E、F,
图中全等三角形最多有__________对.
2.已知：如图，E、F是ABCD的对角线AC上的点，
且AE=CF.
(1) BE与DF有什么关系
(2) 证明你的结论.
3. 已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：
①AB∥CD；②OA=OC；③AB=CD；④∠BAD=∠DCB；⑤AD∥BC.
（1）从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是
平行四边形的有（用序号表示）：如①与⑤ .
（2）对由以上5个条件中任意选取2个条件，不能推出四边形ABCD是平行四边形的，
请选取一种情形举出反例说明
一、三角形中位线的概念：
(1)在△ABC中,请你画出AB边上的中线CD;
A
B
C
(2)对于△ABC来说, 中线CD是由怎样的两点连接而成的
(3)若E为△ABC周边 (折线BA-AC-CB) 上的一点,连接DE,当E运动到AC边中点时, 线段DE称为△ABC的中位线
(4) 三角形中位线与中线有什么区别
(5) 当E在△ABC周边上运动时,还有哪些位置使线段DE成为三角形ABC的中位线
识图练习：
(1) 如图, △ABC中,D、E、F三等分AB,G、H、K三等分AC ,
则△ABC 的中位线是_______________;
DG是△__________的中位线.
(2)读句画图并填空
△ABC的中线BD、CE相交于点O,F、G分别是OB、OC的中点
则FG是△__________的中位线;
DE是△__________的中位线.
二、三角形中位线定理
已知;如图, △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,
(1)猜想DE与BC在位置和数量上各有什么关系
(2)证明你的猜想.
思路：转化方向——平行四边形．
F
如何将三角形纸片剪拼成平行四边形呢？
F
证明：延长DE到F，使EF=DE，连接CF．
请同学完成下面的证明
还有其他的转化方法吗？请你来尝试
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
例1 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AB，DC的中点．
求证：EF∥BC，EF= 1/2（BC+AD）．
A
B
C
D
E
F
G
思路一：将梯形转化为三角形，利用三角形中位线定理进行证明．
A
B
C
D
E
F
G
证明：连接AF并延长，交BC的延长线于点G．
∵AD∥BC，
∴∠D =∠FCG．
在△ADF和△GCF中，
∠D=∠FCG ，
DF=CF ，
∠AFD=∠GFC，
∴△ADF≌△GCF（ASA）．
∴AF=GF，AD=GC(全等三角形对应边相等)．
又∵AE=EB，
∴EF是△ABG的中位线．
∴EF∥BC，EF =1/2 BG = 1/2(BC+CG )
(三角形中位线定理)．
∵AD=GC，
∴EF= 1/2(AD+BC)．
思路二：将梯形转化为平行四边形，利用平行四边形的性质定理进行证明．
A
B
C
D
E
F
M
N
证明：过点F作MN∥AB，交AD的延长线于点M，交BC于点N．
∵AD∥BC，
∴四边形AMNB是平行
四边形，且∠MDF=∠FCN．
∴AB=MN．
在△DFM和△CFN中，
∠MDF=∠FCN ，
DF=CF ，
∠DFM=∠CFN ，
∴△DFM≌△CFN(ASA)．
∴DM=CN，MF=FN=1/2 MN．
又∵AE=EB=1/2 AB．
∴AE=EB=MF=FN．
∴四边形AEFM，EBNF是平行四边形．
∴AM=EF=BC，
EF∥BC∥AD．
∴ EF=1/2 (AD+BC)．
归纳与概括:
你能仿照三角形中位线定理，用文字语言来概括
梯形中位线的性质吗
A
B
C
D
E
F
已知△ABC，分别连接三边中点D，E，F（如图），
你能得到哪些结论呢
A
B
C
D
E
F
我们可以从线段的数量关系、三角形是否全等、是否有平行四边形等不同的角度来寻找．
连接AF，你有什么发现呢
若请你添加一个条件,你又有什么发现呢
剪拼三角形
三角形中位线定理
梯形中位线性质
1．
2.从实验操作中发现添加辅助线的方法．
3.转化思想的应用——将三角形问题转化为平行四边形问题，
将梯形中位线问题转化为三角形中位线．
小明有一个解不开的迷：他任意画了三个△ABC（不全等），
发现只要向图中的角平分线BG、CF作垂线AG、AF，连接两
垂足F、G，则FG总是与BC平行，但他不会证明，你能解开
这个迷吗？