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北师大版必修一第四章《函数应用》第一节函数与方程
1.2利用二分法求方程的近似解
看商品,猜价格
游戏规则:
给出一件商品,请你猜出它的准确价格,我们给的提示只有“高了”和“低了”。给出的商品价格在100
~
200之间的整数,如果你能在规定的次数之内猜中
价格,这件商品就是你的了。
游戏:
“看商品猜价格”,请同学们猜一下下面这部科学计算器(120~200元间)的价格。要求:误差小于1元
探究:你猜这件商品的价格,是如何想的?在误差范围内如何做才能以最快的速度猜中?
(对半猜)
1、函数的零点的定义:
结论:
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
上节回忆
上节回忆
2、如何判断函数y=f(x)在区间[a,b]上是否
有零点?
(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线
(2)
f(a)·f(b)<0
思考:区间[a,b]上零点是否是唯一的?
思考二:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,那么当
f(a)·f(b)>0时,函数y=f(x)在区间(a,b)内一定没有零点吗?
函数
在下列哪个区间内有零点?
(
)
上节回忆
C
练习:
问题:你会解下列方程吗?
2x-6=0;
2x2-3x+1=0;
lnx+2x-6=0
求方程根的问题
相应函数的零点问题
你会求方程lnx+2x-6=0的近似解吗?
思路
如何找到零点近似值
??
问
可以转化为函数
在区间(2,3)内零点的近似值。
求方程
的近似解的问题
在已知存在零点的区间确定函数的零点的近似值,实际上就是如何缩小零点所在的范围,或是如何得到一个更小的区间,使得零点还在里面,从而得到零点的近似值。
思考:如何缩小零点所在的区间?
对于一个已知零点所在区间[a,b],取其中点
c
,计算f(c),如果f(c)=0,那么
c
就是函数的零点;如果不为0,通过比较中点与两个端点函数值的正负情况,即可判断零点是在(a,c)内,还是在(c,b)内,从而将范围缩小了一半,以此方法重复进行……
问题
在区间(2,3)内零点的近似值.
中点
的值
中点函数
近似值
(2,3)
(2.5,2.75)
(2.5,2.5625)
2.5
2.75
2.625
2.5625
(2.5,2.625)
-0.084
0.512
0.215
0.066
1
0.5
0.25
0.125
0.0625
(2.5,3)
区间长度
区间
2.53125
-0.009
(?,?)
…
思考:
通过这种方法,是否可以得到任意精确度的近似值?
(如精确度为0.01)
精确度为0.01,即零点值与近似值的差的绝对值要小于或等于0.01
结论
1.通过这样的方法,我们可以得到任意精确度的零点近似值.
2.给定一个精确度,即要求误差不超过某个数如0.01时,可以通过有限次不断地重复上述缩小零点所在区间的方法步骤,而使最终所得的零点所在的小区间内的任意一点,与零点的误差都不超过给定的精确度,即都可以作为零点的近似值.
3.本题中,如在精确度为0.01的要求下,我们可以将区间(2.53125,2.5390625)内的任意点及端点作为此函数在区间(2,3)内的零点近似值.
4.若再将近似值保留两为小数,那么2.53,2.54都可以作为在精确度为0.01的要求下的函数在(2,3)内的零点的近似值.一般地,为便于计算机操作,常取区间端点作为零点的近似值,即2.53125
区间
中点的值
中点函数
近似值
区间长度
(2,3)
(2.5,3)
(2.5,2.75)
(2.5,2.5625)
(2.53125,2.5625)
(2.53125,2.546875)
(2.53125,2.5390625)
2.5
2.75
2.625
2.5625
2.53125
2.546875
(2.5,2.625)
2.5390625
2.53515625
-0.084
0.512
0.215
0.066
-0.009
0.029
0.010
0.001
1
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
0.015625
0.0078125
(精确度为0.01)
所以我们可将此区间内的任意一点作为函数零点的近似值,特别地,可以将区间端点作为零点的近似值.
由于
如图
设函数的零点为
,
则
=2.53125,
=2.5390625,
.
.
.
所以
所以方程的近似解为
对于在区间
上连续不断且
的函
数
,通过不断地把函数
的零点所在的区
间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到
零点近似值的方法叫做二分法.
二分法概念
x
y
0
a
b
问题5:
你能归纳出“给定精确度ε,用二分法求函数零点近似值的步骤”吗?
二分法的实质:就是将函数零点所在的区间不断地一分为二,使新得到的区间不断变小,两个端点逐步逼近零点.
3.计算
;
(1)若
,则
就是函数的零点;
1.确定区间
,验证
,给定精确度
;
2.求区间
的中点
;
(2)若
,则令
(此时零点
).
(3)若
,则令
(此时零点
).
4.判断是否达到精确度
:即若
,则得到零点
近似值
(或
);否则重复2~4.
给定精确度
,用二分法求函数
零点近似值的步骤如下:
0
1
2
3
4
6
5
7
8
-6
-2
3
10
21
40
75
142
273
列表
尝试:借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度0.1).
先确定零点的范围;再用二分法去求方程的近似解
绘制函数图像
取(1,1.5)的中点x2=1.25
,f(1.25)=
-0.87,因为f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5)
同理可得,
x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.4375),由于
|1.375-1.4375|=0.0625<
0.1
所以,原方程的近似解可取为1.4375
函数
方程
转化思想
逼近思想
小结
二分法
数形结合
1.寻找解所在的区间
2.不断二分解所在的区间
3.根据精确度得出近似解
用二分法求
方程的近似解
基本知识:1.
二分法的定义;
2.用
二分法求解方程的近似解的步骤.
通过本节课的学习,你学会了
哪些知识?
小结
定区间,找中点,
中值计算两边看;
同号去,异号算,
零点落在异号间;
周而复始怎么办?
精确度上来判断.
二分法求方程近似解的口诀:
练习
借助计算器用二分法求
的近似解(精确度0.1).
方程的近似解为
作业
1.课外作业:
课本P92
习题3.1
A
组3,4,5
2.课外搜索:请通过网络、杂志等途径寻找“方程求解”的数学历史.
再见