湘教版数学九年级下册1.2.2 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质教学课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
二次函数的图像与性质
教学课件
湘教版九年级下册
01
新课导入
新课导入
炮弹飞出炮筒后是怎么飞行的?
火炮发明之后，便被用于战争，当时人们都认为炮弹飞行的路线是一条折线。意大利著名的科学家伽利略更正了人们的这种错误认识，他指出炮弹并不是沿着折线飞行的，而是沿着一条曲线飞行的，他把这条曲线叫“抛物线”。
在炮弹飞出炮筒后，炮弹沿着一条曲线运动，其运动轨迹与的图像相像吗？当炮筒移动时，炮弹也会跟着移动，那么二次函数移动后的图像又会是什么样子的呢？又具有哪些性质呢？
x
y
02
新知探究
新知探究
一.二次函数
y=a(x+h)?
的图象与性质
把二次函数的图象E向右平移1个单位，得到图形F，图形F
有什么特点？
由于平移不改变图形的形状和大小，所以它仍是一条开口向上的抛物线
顶点为O'(1,0)
对称轴为直线l'
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
O'
E
F
l'
l
新知探究
把点P的横坐标a加上1，纵坐标
不变，即点Q的坐标为
抛物线
F
又是哪个函数的图象呢？
在抛物线上任取一点，它在向右移1个单位后，P的像点Q的坐标是什么？
一.二次函数
y=a(x+h)?
的图象与性质
新知探究
记b=a+1，则a=b-1.
从而点Q的坐标为，
这表明：点Q在函数的图象上.
由此得出，抛物线F是函数的图象.
一.二次函数
y=a(x+h)?
的图象与性质
新知探究
4.对称轴是过点O'(1,0)且与y轴平行的直线l'.
(直线l'由横坐标为1的所有点组成，我们把直线l'记作直线
x=1)
1.函数图象是一条开口向上的抛物线；
2.顶点是O'（1，0）
函数有哪些性质呢？
5.在对称轴左边，y随x的增大而减小，左降；
在对称轴右边，y随x的增大而增大，右升.
3.在x=1处，y有最小值，为0.
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
O'
F
l'
一.二次函数
y=a(x+h)?
的图象与性质
新知探究
二.二次函数y=a(x-h)2的图象与y=ax2的图象的关系
向右平移
1个单位
抛物线，与抛物线有什么关系？
向左平移
1个单位
x
y
-4
-2
-1
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
新知探究
规律总结
可以看作互相平移得到(h>0).
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
y=a(x-h)2
当向左平移
︱h︱
时
y=a(x+h)2
当向右平移
︱h︱
时
y=ax2
新知探究
练一练
下列二次函数的图象是由二次函数y=x2的图象怎样平移得到的？
（1）
（2）
【思路导引】
根据平移规律“左加右减”，
抛物线y=x2向右平移
个单位长度得到抛物线
抛物线y=x2向左平移
个单位长度得到抛物线。
3
1
向右平移3个单位长度
向左平移1个单位长度
新知探究
小归纳
y=a(x-h)2
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
直线x=h
直线x=h
顶点坐标
（h,0）
（h,0）
最值
当x=h时，y最小值=0
当x=h时，y最大值=0
增减性
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
二次函数
y=a(x-h)2的性质
新知探究
三.二次函数
y=a（x+h）2+k
的图象和性质
的图象可由的图象向上平移3个单位得到.
二次函数与的关系.
横坐标
a
a
二次函数
图象上的点
纵坐标
对于每一个给定的x值，下面的函数值都比上面的大3.
新知探究
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
观察
的图象，说说它有哪些特征.
顶点为(1,3)
对称轴为直线x=1
开口向上的抛物线
三.二次函数
y=a（x+h）2+k
的图象和性质
新知探究
小归纳
二次函数
y=a(x-h)2+k的性质
y=a(x-h)2+k
a＞0
a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,k）
（h,k）
当x=h时，y最小值=k
当x=h时，y最大值=k
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
新知探究
练一练
抛物线+5的顶点坐标是（
）。
C
新知探究
四.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系
怎样移动抛物线
才能得到抛物线
？
平移方法1
向右平移
1个单位
向上平移
3个单位
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
+3
+3
新知探究
四.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系
向右平移
1个单位
平移方法2
向上平移
3个单位
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
+3
+3
新知探究
归纳总结
二次函数y=ax2
与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的.
y
=
ax2
y
=
ax2
+
k
y
=
a(x
-
h
)2
y
=
a(
x
-
h
)2
+
k
上下
平移
左右
平移
上下
平移
左右
平移
平移规律
简记为：
上下平移，
括号外上加下减；
左右平移，
括号内左加右减.
二次项系数a不变.
新知探究
练一练
将抛物线向上平移3个单位长度，在向左平移2个单位长度，那么得到的抛物线的解析式为（
）。
A.
+3
B.
+3
C.
D.
A
03
典型例题
典型例题
1.顶点为(-5,0),开口方向、形状与函数
的图象相同的抛物线的表达式为
（
）
C
典型例题
2.已知二次函数y=-(x-h)2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其相对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为（
）
A.3或6
B.1或6
C.1或3
D.4或6
B
典型例题
3.对于二次函数
，下列说法正确的是（
）
A.对称轴是直线x=1，最小值是2
B.对称轴是直线x=1，最大值是2
C.对称轴是直线x=-1，最小值是2
D.对称轴是直线x=-1，最大值是2
B
+2
典型例题
4.已知二次函数
（1）写出该抛物线的开口方向、对称轴。
（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值。
（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式。
开口向上，对称轴为直线x=1.
函数y有最小值，最小值为-3.
直线PQ的解析式为y=-
-
y=
-
.
典型例题
解：
（1）抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1.
（2）
∵a=
∴函数y有最小值，最小值为-3.
典型例题
（3）
令x=0，则y=2-3=-，
∴点P的坐标为（0，-）.
令y=0，则2-3=0,
解得x1=-1，x2=3
∴点Q的坐标为（-1,0）或（3,0）.
典型例题
当P（0，-）,Q(-1,0)时，
设直线PQ的解析式为y=k
x+b,
则
b=-,
k=-
-k+b=0,
b=-
∴直线PQ的解析式为y=--.
当P（0，-
）,Q(3,0)时，
同理可得k=,b=-
∴直线PQ的解析式为y=-.
综上，直线PQ的解析式为y=--或y=-.
04
拓展提高
拓展提高
已知二次函数
（1）指出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
（2）把这个图象上下平移，使其顶点恰好落在正比例函数y=-x的图象上，求此时二次函数的解析式。
开口向下，对称轴是直线x=-2,顶点坐标为（-2，-1）
y=
拓展提高
解：（1）抛物线开口向下，对称轴是直线x=-2,顶点坐标为（-2，-1）。
（2）把这个函数图象上下平移，顶点恰好落在正比例函数y=-x的图象上，即
顶点的横纵坐标互为相反数。
∵上下平移时，顶点的横坐标不变，
∴平移后顶点坐标为（-2,2），
∴此时的函数解析式是y=
05
课堂小结
课堂小结
06
作业布置
完成课本
P15
练习
作业布置
谢
谢
观
看