2020-2021学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册：第一章 空间向量与立体几何 质量检测（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册：第一章 空间向量与立体几何 质量检测（含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 470.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-17 09:06:43 | ||
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文档简介
章末质量检测(一) 空间向量与立体几何
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下四组向量：①a＝(1，－2,1)，b＝(－1,2，－1)；②a＝(8,4,0)，b＝(2,1,0)；③a＝(1,0，－1)，b＝(－3,0,3)；④a＝，b＝(4，－3,3)．其中互相平行的是( )
A．②③ B．①④
C．①②④ D．①②③④
2．已知向量a＝(2，－3,5)与b＝(4，x，y)平行，则x，y的值为( )
A．6和－10 B．－6和10
C．－6和－10 D．6和10
3．在四面体O?ABC中，点P为棱BC的中点．设＝a，＝b，＝c，那么向量用基底{a，b，c}可表示为( )
A．－a＋b＋c B．－a＋b＋c
C．a＋b＋c D.a＋b＋c
4．正方体ABCD?A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5．已知长方体ABCD?A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是( )
A．AD1·B1C
B．BD1·
C.·AD1
D．BD1·
6．已知A(－4,6，－1)，B(4,3,2)，则下列各向量中是平面AOB的一个法向量的是( )
A．(0,1,6) B．(－1,2，－1)
C．(－15,4,36) D．(15,4，－36)
7．四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是( )
A．相交 B．垂直 C．不垂直 D．成60°角
8．已知正四棱锥S?ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与平面SBC所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9．如图所示，在四面体PABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B?AP?C的余弦值为( )
A. B.
C. D.
10．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，GC垂直于正方形ABCD所在平面，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为( )
A．3 B. C. D.
11．已知四棱锥O－ABCD中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则＝( )
A.a－b＋c B.a＋b－c
C．－a＋b＋c D.a＋b－c
12．将正方形ABCD沿对角线BD折成一个直二面角，点C到达点C1，则异面直线AB与C1D所成角是( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b|＝__________.
14．在空间直角坐标系中，已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)．若a⊥b，则x＝________.
15．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________.
16．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．
(1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值．
18．(12分)如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F?AB?P的余弦值．
19．(12分)如图，在三棱锥P?ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．
(1)求证：DE∥平面PBC；
(2)求证：AB⊥PE；
(3)求二面角A ? PB ? E的大小．
20．(12分)如图，已知四棱锥P ? ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点，AO交BD于E.
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求二面角P?DC?B的大小；
(3)求证：平面PAD⊥平面PAB.
21．(12分)如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E为PD的中点，点F在PC上，且＝.
(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)求二面角F?AE?P的余弦值；
(3)设点G在PB上，且＝.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
22．(12分)如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，CC1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2.
(1)求证：AC⊥平面BEF；
(2)求二面角B?CD?C1的余弦值；
(3)证明：直线FG与平面BCD相交．
章末质量检测(一) 空间向量与立体几何
1．解析：因为①a＝(1，－2,1)＝－b＝－(－1,2，－1)，
所以a∥b；
②a＝(8,4,0)，b＝(2,1,0)，a＝4b，
所以a∥b；
③a＝(1,0，－1)，b＝(－3,0,3)，a＝－b，
所以a∥b；
④a＝，b＝(4，－3,3)，a＝－b，
所以a∥b，因此选D.
答案：D
2．解析：因为向量a＝(2，－3,5)与b＝(4，x，y)平行，
所以解得x＝－6，y＝10.
答案：B
3．解析：由向量减法的三角形法则可知＝－，因为P为棱BC的中点，由向量加法的平行四边形法则可知＝(＋)，所以＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c.故B正确．
答案：B
4.
解析：不妨设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)．
平面ACD1的法向量为DB1＝(1,1,1)，
又BB1＝(0,0,1)，
则cos〈DB1，BB1〉＝＝＝.故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 ＝.
答案：D
5．解析：当长方体的侧面AA1D1D与BB1C1C为正方形时，AD1⊥B1C，所以AD1·B1C＝0；当长方体的底面为正方形时，BD1⊥，所以BD1·＝0；由长方体的性质知AB⊥平面AA1D1D，所以⊥AD1，所以·AD1＝0；无论长方体具体何种结构，都不可能有BD1⊥，也就不可能有BD1·＝0，故选D.
答案：D
6．解析：设法向量为(x，y，z)，则
解得
令y＝4，则得法向量为(15,4，－36)．
答案：D
7．解析：∵·＝0，·＝0，
∴PA⊥AB，PA⊥AD.
又AB∩AD＝A，∴PA⊥平面ABCD.
答案：B
8．解析：
设AE与平面SBC所成的角为θ，以底面中心O为原点，以射线OA为x轴正半轴，以射线OB为y轴正半轴，以射线OS为z轴正半轴，建立空间直角坐标系，设底面边长为，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，S(0,0,1)，E，所以＝(－1，－1,0)，＝(0,1，－1)，＝，设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即令x＝1，
所以n＝(1，－1，－1)．
因为cos＝＝，
所以cos θ＝.故选B.
答案：B
9．解析：
如图所示，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E.
设AB＝1，
则易得CE＝，EP＝，
PA＝PB＝，可以求得BD＝，
ED＝.
因为＝＋＋，
所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，所以·＝－，
所以cos〈，〉＝－，由图知，二面角B?AP?C的余弦值为.故选C.
答案：C
10．解析：
如图，建立空间直角坐标系，
则B(0,4,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)，＝(2,4，－2)，＝(4,2，－2)，
设n＝(x，y，z)是平面EFG的一个法向量，
则
即
令x＝1，则y＝1，z＝3，
则n＝(1,1,3)，而＝(－2,0,0)，
故d＝＝.
答案：D
11．解析：＝＋＋
＝＋(－)＋(－)
＝－＋＋
＝－a＋b＋c.
答案：C
12.
解析：方法一：如图，则AB∥CD，所以C1D与CD所成的角即为异面直线AB与C1D所成角，设正方形边长为2，则OC＝OC1＝，所以CC1＝2，所以△CC1D为等边三角形，故异面直线AB与C1D所成角是60°.
方法二：设正方形边长为2，则OA＝OB＝OC＝OD＝OC1＝，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－，0)，B(，0,0)，C1(0,0，)，D(－，0,0)．
所以＝(，，0)，DC1＝(，0，)，
所以cos〈，〉＝＝＝，
故异面直线AB与C1D所成角是60°.
答案：B
13．解析：∵a－2b＝(8，－5,13)，
∴|a－2b|＝＝.
答案：
14．解析：因为a⊥b，所以a·b＝2×(－4)＋(－1)×2＋3x＝0，解得x＝.
答案：
15．解析：连接AE，则＝－
＝＋－
＝＋－(＋)
＝＋－－－
＝－－＋.
答案：－－＋
16．解析：如图，建立空间直角坐标系，＝(0,1,0)，AD1＝(－1,0,1)，＝.
设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
由可解得n＝(1,0,1)．
设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则sin θ＝＝.
答案：
17．解析：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.
又AB⊥AD，PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD.
又∵AE⊥PD，AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD.
(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C，D的坐标分别为(a，a,0)，(0,2a,0)．
∵PA⊥平面ABCD，∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA＝30°.
于是，在Rt△AED中，由AD＝2a，得AE＝a.
过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，由AE＝a，∠EAF＝60°，得AF＝，EF＝a，
∴E.
于是，＝，＝(－a，a,0)．
设与的夹角为θ，则由cos θ＝＝＝.
AE与CD所成角的余弦值为.
18．解析：
依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．
由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．
(1)证明：向量＝(0,1,1)，＝(2,0,0)，
故·＝0，
所以BE⊥DC.
(2)向量＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)．
设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，
则
即
不妨令y＝1，可得n＝(2,1,1)为平面PBD的一个法向量．
于是有cos〈n，〉＝＝＝.
所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)向量＝(1,2,0)，＝(－2，－2,2)，＝(2,2,0)，＝(1,0,0)．
由点F在棱PC上，
设＝λ，0≤λ≤1.
故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．
由BF⊥AC，得·＝0，
因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝.
即＝.
设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，
则
即
不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量．
取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0)．
则cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
易知，二面角F?AB?P是锐角，
所以其余弦值为.
19．解析：(1)证明：D，E分别为AB，AC中点，
∴DE∥BC.
又DE?平面PBC，BC?平面PBC，
∴DE∥平面PBC.
(2)证明：连接PD，∵PA＝PB，D为AB中点，
∴PD⊥AB.
∵DE∥BC，BC⊥AB，
∴DE⊥AB.
又PD∩DE＝D，PD?平面PDE，DE?平面PDE，
∴AB⊥平面PDE，又PE?平面PDE，∴AB⊥PE.
(3)∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊥AB，
∴PD⊥平面ABC.
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
∴B(1,0,0)，P(0,0，)，E，
∴＝(1,0，－)，＝.
设平面PBE的法向量n1＝(x，y，z)，
∴
令z＝，得n1＝(3,2，)．
∵DE⊥平面PAB，
∴平面PAB的法向量为n2＝(0,1,0)．
设二面角A?PB?E的大小为θ，
由图知，cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝，θ＝60°，
∴二面角A?PB?E的大小为60°.
20．解析：解法一：(1)证明：∵PB＝PC，∴PO⊥BC.
又∵平面PBC⊥平面ABCD，
平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴PO⊥平面ABCD.
在梯形ABCD中，可得Rt△ABO≌Rt△BCD，
∴∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，即AO⊥BD.
∵PA在平面ABCD内的射影为AO，∴PA⊥BD.
(2)∵DC⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD，
∴DC⊥平面PBC.
∵PC?平面PBC，∴DC⊥PC，
∴∠PCB为二面角P?DC?B的平面角．
∵△PBC是等边三角形，∴∠PCB＝60°，即二面角P?DC?B的大小为60°.
(3)证明：取PB的中点N，连接CN.
∵PC＝BC，∴CN⊥PB，①
∵AB⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD，
∴AB⊥平面PBC.
∵AB?平面PAB，
∴平面PBC⊥平面PAB.②
由①，②知CN⊥平面PAB.
取PA的中点M，连接DM，MN，则由MN∥AB∥CD，
MN＝AB＝CD，得四边形MNCD为平行四边形，
∴CN∥DM，∴DM⊥平面PAB.
∵DM?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.
解法二：取BC的中点O，因为△PBC是等边三角形，由侧面PBC⊥底面ABCD，得PO⊥底面ABCD.
以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz.
(1)证明：∵CD＝1，∴在直角梯形中，AB＝BC＝2，
在等边三角形PBC中，PO＝，
∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，)，
∴＝(－2，－1,0)，＝(1，－2，－)，
∵·＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0，
∴⊥，即PA⊥BD.
(2)取PC中点N，则＝.
∵＝(0,2,0)，＝(1,0，)，
∴·＝×0＋0×2＋×0＝0，
·＝×1＋0×0＋×＝0，
∴⊥平面PDC，显然＝(0,0，)，且⊥平面ABCD，
∴，的夹角等于所求二面角的平面角．
∵·＝×0＋0×0＋×＝，||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝，
∴二面角P?DC?B的大小为60°.
(3)证明：取PA的中点M，连接DM，
则M的坐标为.
又＝，＝(1,0，－)，
∴·＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0，
·＝×1＋0×0＋×(－)＝0，
∴⊥，⊥，
即DM⊥PA，DM⊥PB.
又∵PA∩PB＝P，
∴DM⊥平面PAB，
∴平面PAD⊥平面PAB.
21．解析：(1)由于PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，则PA⊥CD，
由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD＝A，
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(2)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD，AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，
易知：A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，
由＝可得点F的坐标为F，则＝，
由＝可得E(0,1,1)，则＝(0,1,1)，
设平面AEF的法向量为：m＝(x，y，z)，则
据此可得平面AEF的一个法向量为：m＝(1,1，－1)，
很明显平面AEP的一个法向量为n＝(1,0,0)，
cos〈m，n〉＝＝＝，
二面角F?AE?P的平面角为锐角，故二面角F?AE?P的余弦值为.
(3)易知P(0,0,2)，B(2，－1,0)，由＝可得G，
则＝，
由(2)知平面AEF的一个法向量为：m＝(1,1，－1)，
又m·＝0且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内．
22．解析：(1)在三棱柱ABC?A1B1C1中，
∵CC1⊥平面ABC，
∴四边形A1ACC1为矩形．
又E，F分别为AC，A1C1的中点，
∴AC⊥EF.
∵AB＝BC.
∴AC⊥BE，又EF∩BE＝E，EF?平面BEF，BE?平面BEF，
∴AC⊥平面BEF.
(2)由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1.
又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC.
∵BE?平面ABC，∴EF⊥BE.
如图建立空间直角坐标系E?xyz.
由题意得B(0,2,0)，C(－1,0,0)，D(1,0,1)，F(0,0,2)，G(0,2,1)．
∴＝(2,0,1)，＝(1,2,0)，
设平面BCD的法向量为n＝(a，b，c)，
∴，∴，
令a＝2，则b＝－1，c＝－4，
∴平面BCD的法向量n＝(2，－1，－4)，
又∵平面CDC1的法向量为＝(0,2,0)，
∴cos〈n·〉＝＝－.
由图可得二面角B?CD?C1为钝角，所以二面角B?CD?C1的余弦值为－.
(3)由(2)知平面BCD的法向量为n＝(2，－1，－4)，∵G(0,2,1)，F(0,0,2)，
∴＝(0，－2,1)，∴n·＝－2，∴n与不垂直，
∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下四组向量：①a＝(1，－2,1)，b＝(－1,2，－1)；②a＝(8,4,0)，b＝(2,1,0)；③a＝(1,0，－1)，b＝(－3,0,3)；④a＝，b＝(4，－3,3)．其中互相平行的是( )
A．②③ B．①④
C．①②④ D．①②③④
2．已知向量a＝(2，－3,5)与b＝(4，x，y)平行，则x，y的值为( )
A．6和－10 B．－6和10
C．－6和－10 D．6和10
3．在四面体O?ABC中，点P为棱BC的中点．设＝a，＝b，＝c，那么向量用基底{a，b，c}可表示为( )
A．－a＋b＋c B．－a＋b＋c
C．a＋b＋c D.a＋b＋c
4．正方体ABCD?A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5．已知长方体ABCD?A1B1C1D1，下列向量的数量积一定不为0的是( )
A．AD1·B1C
B．BD1·
C.·AD1
D．BD1·
6．已知A(－4,6，－1)，B(4,3,2)，则下列各向量中是平面AOB的一个法向量的是( )
A．(0,1,6) B．(－1,2，－1)
C．(－15,4,36) D．(15,4，－36)
7．四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是( )
A．相交 B．垂直 C．不垂直 D．成60°角
8．已知正四棱锥S?ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与平面SBC所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9．如图所示，在四面体PABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B?AP?C的余弦值为( )
A. B.
C. D.
10．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，GC垂直于正方形ABCD所在平面，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为( )
A．3 B. C. D.
11．已知四棱锥O－ABCD中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则＝( )
A.a－b＋c B.a＋b－c
C．－a＋b＋c D.a＋b－c
12．将正方形ABCD沿对角线BD折成一个直二面角，点C到达点C1，则异面直线AB与C1D所成角是( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b|＝__________.
14．在空间直角坐标系中，已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)．若a⊥b，则x＝________.
15．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________.
16．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．
(1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值．
18．(12分)如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F?AB?P的余弦值．
19．(12分)如图，在三棱锥P?ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．
(1)求证：DE∥平面PBC；
(2)求证：AB⊥PE；
(3)求二面角A ? PB ? E的大小．
20．(12分)如图，已知四棱锥P ? ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点，AO交BD于E.
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求二面角P?DC?B的大小；
(3)求证：平面PAD⊥平面PAB.
21．(12分)如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E为PD的中点，点F在PC上，且＝.
(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)求二面角F?AE?P的余弦值；
(3)设点G在PB上，且＝.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
22．(12分)如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，CC1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2.
(1)求证：AC⊥平面BEF；
(2)求二面角B?CD?C1的余弦值；
(3)证明：直线FG与平面BCD相交．
章末质量检测(一) 空间向量与立体几何
1．解析：因为①a＝(1，－2,1)＝－b＝－(－1,2，－1)，
所以a∥b；
②a＝(8,4,0)，b＝(2,1,0)，a＝4b，
所以a∥b；
③a＝(1,0，－1)，b＝(－3,0,3)，a＝－b，
所以a∥b；
④a＝，b＝(4，－3,3)，a＝－b，
所以a∥b，因此选D.
答案：D
2．解析：因为向量a＝(2，－3,5)与b＝(4，x，y)平行，
所以解得x＝－6，y＝10.
答案：B
3．解析：由向量减法的三角形法则可知＝－，因为P为棱BC的中点，由向量加法的平行四边形法则可知＝(＋)，所以＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c.故B正确．
答案：B
4.
解析：不妨设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)．
平面ACD1的法向量为DB1＝(1,1,1)，
又BB1＝(0,0,1)，
则cos〈DB1，BB1〉＝＝＝.故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 ＝.
答案：D
5．解析：当长方体的侧面AA1D1D与BB1C1C为正方形时，AD1⊥B1C，所以AD1·B1C＝0；当长方体的底面为正方形时，BD1⊥，所以BD1·＝0；由长方体的性质知AB⊥平面AA1D1D，所以⊥AD1，所以·AD1＝0；无论长方体具体何种结构，都不可能有BD1⊥，也就不可能有BD1·＝0，故选D.
答案：D
6．解析：设法向量为(x，y，z)，则
解得
令y＝4，则得法向量为(15,4，－36)．
答案：D
7．解析：∵·＝0，·＝0，
∴PA⊥AB，PA⊥AD.
又AB∩AD＝A，∴PA⊥平面ABCD.
答案：B
8．解析：
设AE与平面SBC所成的角为θ，以底面中心O为原点，以射线OA为x轴正半轴，以射线OB为y轴正半轴，以射线OS为z轴正半轴，建立空间直角坐标系，设底面边长为，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，S(0,0,1)，E，所以＝(－1，－1,0)，＝(0,1，－1)，＝，设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即令x＝1，
所以n＝(1，－1，－1)．
因为cos＝＝，
所以cos θ＝.故选B.
答案：B
9．解析：
如图所示，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E.
设AB＝1，
则易得CE＝，EP＝，
PA＝PB＝，可以求得BD＝，
ED＝.
因为＝＋＋，
所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，所以·＝－，
所以cos〈，〉＝－，由图知，二面角B?AP?C的余弦值为.故选C.
答案：C
10．解析：
如图，建立空间直角坐标系，
则B(0,4,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)，＝(2,4，－2)，＝(4,2，－2)，
设n＝(x，y，z)是平面EFG的一个法向量，
则
即
令x＝1，则y＝1，z＝3，
则n＝(1,1,3)，而＝(－2,0,0)，
故d＝＝.
答案：D
11．解析：＝＋＋
＝＋(－)＋(－)
＝－＋＋
＝－a＋b＋c.
答案：C
12.
解析：方法一：如图，则AB∥CD，所以C1D与CD所成的角即为异面直线AB与C1D所成角，设正方形边长为2，则OC＝OC1＝，所以CC1＝2，所以△CC1D为等边三角形，故异面直线AB与C1D所成角是60°.
方法二：设正方形边长为2，则OA＝OB＝OC＝OD＝OC1＝，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－，0)，B(，0,0)，C1(0,0，)，D(－，0,0)．
所以＝(，，0)，DC1＝(，0，)，
所以cos〈，〉＝＝＝，
故异面直线AB与C1D所成角是60°.
答案：B
13．解析：∵a－2b＝(8，－5,13)，
∴|a－2b|＝＝.
答案：
14．解析：因为a⊥b，所以a·b＝2×(－4)＋(－1)×2＋3x＝0，解得x＝.
答案：
15．解析：连接AE，则＝－
＝＋－
＝＋－(＋)
＝＋－－－
＝－－＋.
答案：－－＋
16．解析：如图，建立空间直角坐标系，＝(0,1,0)，AD1＝(－1,0,1)，＝.
设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
由可解得n＝(1,0,1)．
设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则sin θ＝＝.
答案：
17．解析：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.
又AB⊥AD，PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD.
又∵AE⊥PD，AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD.
(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C，D的坐标分别为(a，a,0)，(0,2a,0)．
∵PA⊥平面ABCD，∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA＝30°.
于是，在Rt△AED中，由AD＝2a，得AE＝a.
过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，由AE＝a，∠EAF＝60°，得AF＝，EF＝a，
∴E.
于是，＝，＝(－a，a,0)．
设与的夹角为θ，则由cos θ＝＝＝.
AE与CD所成角的余弦值为.
18．解析：
依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．
由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．
(1)证明：向量＝(0,1,1)，＝(2,0,0)，
故·＝0，
所以BE⊥DC.
(2)向量＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)．
设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，
则
即
不妨令y＝1，可得n＝(2,1,1)为平面PBD的一个法向量．
于是有cos〈n，〉＝＝＝.
所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)向量＝(1,2,0)，＝(－2，－2,2)，＝(2,2,0)，＝(1,0,0)．
由点F在棱PC上，
设＝λ，0≤λ≤1.
故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．
由BF⊥AC，得·＝0，
因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝.
即＝.
设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，
则
即
不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量．
取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0)．
则cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
易知，二面角F?AB?P是锐角，
所以其余弦值为.
19．解析：(1)证明：D，E分别为AB，AC中点，
∴DE∥BC.
又DE?平面PBC，BC?平面PBC，
∴DE∥平面PBC.
(2)证明：连接PD，∵PA＝PB，D为AB中点，
∴PD⊥AB.
∵DE∥BC，BC⊥AB，
∴DE⊥AB.
又PD∩DE＝D，PD?平面PDE，DE?平面PDE，
∴AB⊥平面PDE，又PE?平面PDE，∴AB⊥PE.
(3)∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊥AB，
∴PD⊥平面ABC.
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
∴B(1,0,0)，P(0,0，)，E，
∴＝(1,0，－)，＝.
设平面PBE的法向量n1＝(x，y，z)，
∴
令z＝，得n1＝(3,2，)．
∵DE⊥平面PAB，
∴平面PAB的法向量为n2＝(0,1,0)．
设二面角A?PB?E的大小为θ，
由图知，cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝，θ＝60°，
∴二面角A?PB?E的大小为60°.
20．解析：解法一：(1)证明：∵PB＝PC，∴PO⊥BC.
又∵平面PBC⊥平面ABCD，
平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴PO⊥平面ABCD.
在梯形ABCD中，可得Rt△ABO≌Rt△BCD，
∴∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，即AO⊥BD.
∵PA在平面ABCD内的射影为AO，∴PA⊥BD.
(2)∵DC⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD，
∴DC⊥平面PBC.
∵PC?平面PBC，∴DC⊥PC，
∴∠PCB为二面角P?DC?B的平面角．
∵△PBC是等边三角形，∴∠PCB＝60°，即二面角P?DC?B的大小为60°.
(3)证明：取PB的中点N，连接CN.
∵PC＝BC，∴CN⊥PB，①
∵AB⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD，
∴AB⊥平面PBC.
∵AB?平面PAB，
∴平面PBC⊥平面PAB.②
由①，②知CN⊥平面PAB.
取PA的中点M，连接DM，MN，则由MN∥AB∥CD，
MN＝AB＝CD，得四边形MNCD为平行四边形，
∴CN∥DM，∴DM⊥平面PAB.
∵DM?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.
解法二：取BC的中点O，因为△PBC是等边三角形，由侧面PBC⊥底面ABCD，得PO⊥底面ABCD.
以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz.
(1)证明：∵CD＝1，∴在直角梯形中，AB＝BC＝2，
在等边三角形PBC中，PO＝，
∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，)，
∴＝(－2，－1,0)，＝(1，－2，－)，
∵·＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0，
∴⊥，即PA⊥BD.
(2)取PC中点N，则＝.
∵＝(0,2,0)，＝(1,0，)，
∴·＝×0＋0×2＋×0＝0，
·＝×1＋0×0＋×＝0，
∴⊥平面PDC，显然＝(0,0，)，且⊥平面ABCD，
∴，的夹角等于所求二面角的平面角．
∵·＝×0＋0×0＋×＝，||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝，
∴二面角P?DC?B的大小为60°.
(3)证明：取PA的中点M，连接DM，
则M的坐标为.
又＝，＝(1,0，－)，
∴·＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0，
·＝×1＋0×0＋×(－)＝0，
∴⊥，⊥，
即DM⊥PA，DM⊥PB.
又∵PA∩PB＝P，
∴DM⊥平面PAB，
∴平面PAD⊥平面PAB.
21．解析：(1)由于PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，则PA⊥CD，
由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD＝A，
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(2)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD，AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，
易知：A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，
由＝可得点F的坐标为F，则＝，
由＝可得E(0,1,1)，则＝(0,1,1)，
设平面AEF的法向量为：m＝(x，y，z)，则
据此可得平面AEF的一个法向量为：m＝(1,1，－1)，
很明显平面AEP的一个法向量为n＝(1,0,0)，
cos〈m，n〉＝＝＝，
二面角F?AE?P的平面角为锐角，故二面角F?AE?P的余弦值为.
(3)易知P(0,0,2)，B(2，－1,0)，由＝可得G，
则＝，
由(2)知平面AEF的一个法向量为：m＝(1,1，－1)，
又m·＝0且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内．
22．解析：(1)在三棱柱ABC?A1B1C1中，
∵CC1⊥平面ABC，
∴四边形A1ACC1为矩形．
又E，F分别为AC，A1C1的中点，
∴AC⊥EF.
∵AB＝BC.
∴AC⊥BE，又EF∩BE＝E，EF?平面BEF，BE?平面BEF，
∴AC⊥平面BEF.
(2)由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1.
又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC.
∵BE?平面ABC，∴EF⊥BE.
如图建立空间直角坐标系E?xyz.
由题意得B(0,2,0)，C(－1,0,0)，D(1,0,1)，F(0,0,2)，G(0,2,1)．
∴＝(2,0,1)，＝(1,2,0)，
设平面BCD的法向量为n＝(a，b，c)，
∴，∴，
令a＝2，则b＝－1，c＝－4，
∴平面BCD的法向量n＝(2，－1，－4)，
又∵平面CDC1的法向量为＝(0,2,0)，
∴cos〈n·〉＝＝－.
由图可得二面角B?CD?C1为钝角，所以二面角B?CD?C1的余弦值为－.
(3)由(2)知平面BCD的法向量为n＝(2，－1，－4)，∵G(0,2,1)，F(0,0,2)，
∴＝(0，－2,1)，∴n·＝－2，∴n与不垂直，
∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．