课时作业(二十) 椭圆的几何性质
一、选择题
1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
2．椭圆＋＝1的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
3．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为
( )
A．9
B．1
C．1或9
D．以上都不对
4．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的( )
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．焦距相等
D．离心率相等
二、填空题
5．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m等于________．
6．若椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P(0，)，且椭圆的长轴长是焦距的2倍，则a＝________.
7．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
三、解答题
8.
如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．
9．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，又知椭圆上一点M，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的标准方程．
[尖子生题库]
10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
课时作业(二十) 椭圆的几何性质
1．解析：c＝1，由e＝＝得a＝2，由b2＝a2－c2得b2＝3.所以椭圆方程为＋＝1.
答案：D
2．解析：a2＝16，b2＝8，c2＝8.从而e＝＝.
答案：D
3．解析：解得
∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c＝1.
答案：C
4．解析：曲线＋＝1的焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8.曲线＋＝1(k<9)的焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8.则C正确．
答案：C
5．解析：由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.
答案：3
6．解析：由椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P(0，)，即b＝.又椭圆的长轴长是焦距的两倍，即2a＝2·2c.∵a＝2c，又a2＝b2＋c2，∴a2＝4，∴a＝2.
答案：2
7．解析：由·＝0得，以F1F2为直径的圆在椭圆内，于是b>c，则a2－c2>c2，所以0答案：
8．解析：设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则有F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，直线PF1的方程为x＝－c，代入方程＋＝1，得y＝±，所以P.
又PF2∥AB，所以△PF1F2∽△AOB.
所以＝，即＝，所以b＝2c.
则b2＝4c2，即a2－c2＝4c2，所以＝.
所以e＝＝.
9．解析：∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵e＝＝，∴a＝3c.
∵b2＝a2－c2，∴b2＝9c2－c2＝8c2.
又点M(c,4)在椭圆上，∴＋＝1，
解得c2＝，∴a2＝，b2＝18，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
10．解析：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos
60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·2＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．
∴≥，即e≥.
又0(2)证明：由(1)知mn＝b2，
∴S△PF1F2＝mnsin
60°＝b2，
即△PF1F2的面积只与短轴长有关．(共31张PPT)
2.5.2 椭圆的几何性质
华
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