课时作业(二十五) 直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．m>1
B．m>1且m≠3
C．m>3
D．m>0且m≠3
2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离
D．不确定
3．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于( )
A.
B．2
C.
D．15
4．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )
A.
B．(－，)
C.
D．[－，
]
二、填空题
5．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
6．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝________.
7．椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，过AB的中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为________．
三、解答题
8．已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△POQ的面积最大时，求l的方程．
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线通过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值．
[尖子生题库]
10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b>0)，离心率是，原点与C和直线x＝1的交点围成的三角形面积是.若直线l过点，且与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是顶点)，D是椭圆C的右顶点，求证∠ADB是定值．
课时作业(二十五) 直线与圆锥曲线的位置关系
1．答案：B
2．解析：因为y＝kx－k＋1，所以y－1＝k(x－1)，过定点(1,1)，定点在椭圆＋＝1内部，故选A.
答案：A
3．解析：令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得4x2－8x＋1＝0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝，
∴|AB|＝＝＝.
答案：A
4．解析：双曲线－＝1的渐近线方程是y＝±x，右焦点F(4,0)，过右焦点F(4,0)分别作两条渐近线的平行线l1和l2，如图，由图形可知，符合条件的直线的斜率的取值范围是，故选C.
答案：C
5．解析：由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝|x1－x2|＝＝＝.
答案：
6．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4.①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，
且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②
由①②得x2＝1，∴B(1,2)，
代入y＝k(x＋2)，得k＝.
答案：
7．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则mx＋ny＝1，mx＋ny＝1，两式相减得mx－mx＋ny－ny＝0，
即m(x1－x2)(x1＋x2)＝－n(y1－y2)(y1＋y2)，
所以＝－·＝－1，①
又＝，②
由①②得＝.
答案：
8．解析：(1)，解得
∴椭圆E的方程：＋y2＝1.
(2)当直线l垂直于x轴时，△OPQ不存在，则直线存在斜率
设直线l的方程为y＝kx－2与＋y2＝1联立消去y有：(4k2＋1)x2－16kx＋12＝0
∴Δ＝(－16k)2－4×(4k2＋1)×12＝64k2－48>0，
∴k2>，
令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∵
∴|PQ|＝
＝
整理得|PQ|＝，令点O到直线l的距离为d，则d＝
∴△OPQ的面积S(k)＝|PQ|d＝，令＝t(t>0)
则S(k)＝＝＝≤1
所以直线l方程为x－2y－4＝0，x＋2y＋4＝0
9．解析：(1)由已知可得解得a2＝2，b2＝1，
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程
消去y得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
当Δ＝8(2k2－m2＋1)>0，
即2k2>m2－1时，
x1＋x2＝，x1·x2＝.
所以＝，＝.
当k＝0时，线段AB的垂直平分线显然过点
S△AOB＝|AB|·|m|＝·|m|·2·＝·
因为m∈(－1,0)∪(0,1)，所以m2∈(0,1)
S△AOB≤·＝，
当m2＝时，取到等号．
当k≠0时，因为线段AB的垂直平分线过点，
所以＝－，
化简整理得2k2＋1＝2m.
由得0又原点O到直线AB的距离为d＝.
|AB|＝|x1－x2|＝2
所以S△AOB＝|AB|·d＝
而2k2＋1＝2m且0则S△AOB＝，0所以当m＝1，即k2＝时，S△AOB取得最大值.
综上，S△AOB最大值为.
10．证明：由题意可知：e＝＝
＝，所以a2＝b2，由直线x＝1与椭圆相交，交点P(1，y)(y＞0)，由题意可知：×1×2y＝，解得y＝，将P代入椭圆方程：＋＝1，解得b2＝3，a2＝4，所以椭圆方程为＋＝1，即4y2＋3x2－12＝0.所以D点坐标为(2,0)，
当直线l的斜率不存在时，A，B，
∴·＝0，∴∠ADB＝.
当直线l的斜率存在时，设直线l：x＝my＋，
由得(196＋147m2)y2＋84my－576＝0，
∵l与C有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴Δ＞0，且y1y2＝，y1＋y2＝，
∴x1＋x2＝＋，x1x2＝＋，
∵＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，∴·＝x1x2－2(x1＋x2)＋y1y2＋4
＝＋＝＝0，
∴∠ADB＝.综上，∠ADB＝是定值．(共53张PPT)
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
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