课时作业(十八) 曲线与方程
一、选择题
1．在点A(4,4)，B(3,4)，C(－3,3)，D(2,2)中，有几个点在方程x2－2x＋y2＝24的曲线上( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．方程x2＋2y2＋2x－2y＋＝0表示的曲线是( )
A．一个点
B．一条直线
C．一个圆
D．两条线段
3．已知0≤α＜2π，点P(cos
α，sin
α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为( )
A.
B.
C.或
D.或
4．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )
A．恒过定点(－2,3)
B．恒过定点(2,3)
C．恒过点(－2,3)和点(2,3)
D．都是平行直线
二、填空题
5．已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍，则动点M的轨迹方程是________．
6．已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P的轨迹C的方程为________．
7．观察下列表格中的三组方程与曲线，说出它们之间的关系：
序号
(1)
(2)
(3)
方程
y＝x
x＝
x2＋y2＝1
曲线
(1)________________________________________________________________________；
(2)________________________________________________________________________；
(3)________________________________________________________________________．
三、解答题
8．已知曲线C的方程为x＝，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．
9．证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
[尖子生题库]
10．已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．
课时作业(十八) 曲线与方程
1．解析：点A，C，D都在方程的曲线上．
答案：C
2．解析：方程可化为(x＋1)2＋22＝0，所以即它表示点.故选A.
答案：A
3．解析：由(cos
α－2)2＋sin2α＝3，得cos
α＝.又0≤α＜2π，∴α＝或α＝.
答案：C
4．解析：把点(－2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0.验证知(－2,3)适合方程，而(2,3)不一定适合方程，故选A.
答案：A
5．解析：设M(x，y)，则|MA|＝，|MB|＝.由|MA|＝3|MB|，
得＝3，化简得x2＋y2＝9.
答案：x2＋y2＝9
6．解析：由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，
所以kPM·kPN＝·＝λ，
整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．
即动点P的轨迹C的方程为x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．
答案：x2－＝1(λ≠0，x≠±1)
7．答案：(1)曲线是方程所表示的曲线的一部分
(2)方程所表示的曲线是图中曲线的一部分
(3)方程是曲线的方程
8．解析：由x＝，得x2＋y2＝4.
又x≥0，
∴方程x＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆．
从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，
其面积S＝π·4＝2π.
所以，所求图形的面积为2π.
9．证明：①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．
因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，
即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．
②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．
10．解析：方法一：(直接法)
如图，因为Q是OP的中点，
所以∠OQC＝90°.
设Q(x，y)，由题意，
得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，
即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，
所以点Q的轨迹方程是x2＋2＝(去掉原点)．
方法二：(定义法)
如图所示，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．
方法三：(代入法)
设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，
得即
又因为x＋(y1－3)2＝9，
所以4x2＋42＝9，
即点Q的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．(共36张PPT)
2.4 曲线与方程
华
翰害业
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