课时作业(四) 空间中的点、直线与空间向量
一、选择题
1．已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．垂直
D．不确定
2．若点A，B在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A.
B.
C.
D.
3．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于( )
A.
B.
C.
D.
4．在如图空间直角坐标系中，直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
5．直线l1的方向向量为v1＝(1,0，－1)，直线l2的方向向量为v2＝(－2,0，－2)，则直线l1与l2的位置关系是________．
6．已知点A(3,3，－5)，B(2，－3,1)，C为线段AB上一点，且＝，则点C的坐标为________．
7．已知A(0，y,3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2,1,3)与直线AB的方向向量平行，则实数y＋z等于________．
三、解答题
8.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．
求证：MN∥DA1.
9.
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1.
求证：PC⊥CD.
[尖子生题库]
10.
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点，证明：
(1)AE⊥CD；
(2)PD⊥平面ABE.
课时作业(四) 空间中的点、直线与空间向量
1．解析：因为v2＝－2v1，所以v1∥v2.
答案：A
2．解析：∵＝(1,2,3)，∴＝(1,2,3)＝，
∴是直线l的一个方向向量．
故选A.
答案：A
3．解析：以D为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，则＝(－1,1,1)，＝(－1,0,2)，
∴||＝，||＝，·＝3，
∴cos〈，〉＝＝＝.
答案：A
4．解析：不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2，可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，
∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)，
∴cos〈，〉＝＝＝＝>0，
∴与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，其余弦值为.
答案：A
5．解析：∵v1·v2＝(1,0，－1)·(－2,0，－2)＝0，
∴v1⊥v2，∴l1⊥l2.
答案：垂直
6．解析：设C(x，y，z)，则(x－3，y－3，z＋5)＝(－1，－6,6)，解得x＝，y＝－1，z＝－1，所以点C的坐标为.
答案：
7．解析：由题意，得＝(－1，－2－y，z－3)，则＝＝，解得y＝－，z＝，所以y＋z＝0.
答案：0
8．证明：
如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，
于是＝，
＝(1,0,1)．
得＝2，∴∥，
又DA1与MN不重合，
∴DA1∥MN.
9．证明：
建立如图所示的空间直角坐标系，
∵PA＝AB＝BC＝AD＝1，
∴P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)．
∴＝(－1,1,0)，＝(1,1，－1)．
∵·＝(1,1，－1)·(－1,1,0)＝0，
∴PC⊥CD.
10．证明：
AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．
(1)因为∠ABC＝60°，AB＝BC，
所以△ABC为正三角形，
所以C，E.
设D(0，y,0)，由AC⊥CD，
得·＝0，
即y＝，则D，
所以＝.
又＝，所以·＝－×＋×＝0，所以⊥，即AE⊥CD.
(2)因为P(0,0,1)，所以＝.
又因为·＝×＋×(－1)＝0，所以⊥，即PD⊥AE.
因为＝(1,0,0)，所以·＝0.所以PD⊥AB，又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.(共36张PPT)
1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
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