课时作业(五) 空间中的平面与空间向量
一、选择题
1．设平面α的法向量为(1，－2,2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于( )
A．2
B．4
C．－2
D．－4
2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为( )
A．10
B．－10
C.
D．－
3．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量可表示为( )
A．a＝(－1,2，－2)
B．a＝
C．a＝
D．a＝
4．已知＝(－3,1,2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2,4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为 ( )
A．AB⊥α
B．AB?α
C．AB与α相交但不垂直
D．AB∥α
二、填空题
5．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，点G是P在平面ABC内的射影，则G是△ABC的________．
6．已知l∥α，且l的方向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y,2)，则y＝________.
7．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．
对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.
其中正确的是________(填序号)．
三、解答题
8.
如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.
9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
[尖子生题库]
10.
如图所示，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明平面AMC⊥平面BMC.
课时作业(五) 空间中的平面与空间向量
1．解析：∵α∥β，∴(1，－2,2)＝m(2，λ，4)，∴λ＝－4.
答案：D
2．解析：因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，即－x－2－8＝0，解得x＝－10.
答案：B
3．解析：设平面ABC的法向量为a＝(x，y，z)，
则有
∴，
令z＝1，得y＝－1，x＝，∴a＝
故平面ABC的一个单位法向量为a＝.
答案：C
4．解析：因为n·＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n⊥.又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D.
答案：D
5．解析：连接AG，BG(图略)，则AG，BG分别为AP，BP在平面ABC内的射影．因为PA⊥BC，所以由三垂线定理的逆定理知AG⊥BC，同理，BG⊥AC，所以G是△ABC的垂心．
答案：垂心
6．解析：∵l∥α，∴(2，－8,1)·(1，y,2)＝0，而2×1－8y＋2＝0，
∴y＝.
答案：
7．解析：·＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4)
＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，
∴AP⊥AB，即①正确．
·＝(－1,2，－1)·(4,2,0)
＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0.
∴AP⊥AD，即②正确．
又∵AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，
即是平面ABCD的一个法向量，③正确．④不正确．
答案：①②③
8．证明：
如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO.
因为PB＝PC，所以PO⊥BC.
又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，
所以PO⊥平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO.
在直角梯形ABCD中，由于AB＝BC＝2CD，
易知Rt△ABO≌Rt△BCD，
所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，
即AO⊥BD.
由三垂线定理，得PA⊥BD.
9．解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设E(0，a，e)(0≤e≤a)．
(1)＝(－a，a，e－a)，
＝(－a，－a,0)，
·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，∴⊥，
即A1E⊥BD.
(2)设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．
∵＝(a，a,0)，＝(a,0，a)，＝(0，a，e)．
∴
即
取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)，n2＝.
由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2.
∴n1·n2＝2－＝0，即e＝.
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.
10．证明：
建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)，
(1)＝(0,3,4)，＝(－8,0,0)，
所以·＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，
所以⊥，即AP⊥BC.
(2)由(1)知|AP|＝5，
又|AM|＝3，且点M在线段AP上，
所以＝＝.
又因为＝(－4，－5,0)，
所以＝＋＝，
则·＝(0,3,4)·＝0，
所以⊥，即AP⊥BM.
又根据(1)的结论知AP⊥BC，BM∩BC＝B，
所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.
又因为AM?平面AMC，
故平面AMC⊥平面BMC.(共37张PPT)
1.2.2 空间中的平面与空间向量
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