(共33张PPT)
1.2.5 空间中的距离
华
翰害业
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C
B
D
D
B课时作业(八) 空间中的距离
一、选择题
1．已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为( )
A.
B.
C.
D.
2．在△ABC中，AB＝15，∠BCA＝120°，若△ABC所在平面α外一点P到A，B，C的距离都是14，则P到α的距离是( )
A．13
B．11
C．9
D．7
3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )
A.a
B.a
C.a
D.a
4．已知棱长为1的正方体ABCD－EFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到AB的距离为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
5．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是________．
6．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为________．
6题图
7题图
7．如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
三、解答题
8.
已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，求直线B1C1和平面A1BCD1的距离．
9．四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．
(1)求证：DE∥平面PFB；
(2)求点E到平面PFB的距离．
[尖子生题库]
10.
如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F分别是线段PA，PD的中点．问：线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为？若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由．
课时作业(八) 空间中的距离
1．解析：＝(－2,0，－1)，||＝，＝，则点P到直线l的距离d＝
＝
＝.
答案：A
2．解析：作PO⊥α于点O，连接OA、OB、OC(图略)，∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．∴OA＝＝＝5，
∴PO＝＝11为所求．
答案：B
3．解析：
由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，＝(a，－a，a)，＝(0，－a,0)，连接A1C，由A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)，则两平面间的距离d＝＝＝a.
答案：D
4．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则＝(1,0,0)＋(0,1,0)＋(0,0,1)＝.
又＝(1,0,0)，∴在上的投影为＝，∴点P到AB的距离为
＝.
答案：A
5．解析：设＝a，＝b，＝c，易得＝a＋b＋c，则||2＝·＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以||＝2.
答案：2
6．解析：
建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则＝，＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)．
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y,1)，
则有
解得n＝，则所求距离为＝＝.
答案：
7．解析：
由已知，得AB，AD，AP两两垂直．∴以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，＝(2,0，－2)，＝(0,2,0)，设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则，
即，∴可取n＝(1,0,1)．又＝(2,0,0)，AD∥平面PBC，∴所求距离为＝.
答案：
8．解析：∵B1C1∥BC，且B1C1?平面A1BCD1，BC?平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1BCD1.
从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求．
过点B1作B1E⊥A1B于E点．
∵BC⊥平面A1ABB1，且B1E?平面A1ABB1，
∴BC⊥B1E.又BC∩A1B＝B.
∴B1E⊥平面A1BCD1，
∴线段B1E的长即为所求．
在Rt△A1B1B中，
B1E＝＝＝.
因此直线B1C1和平面A1BCD1的距离是.
9．解析：
(1)证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0,0,2)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，E(0,1,1)．
＝(－1,0,2)，＝(1,2,0)，＝(0,1,1)，
所以＝＋，
又因为DE?平面PFB，
所以DE∥平面PFB.
(2)因为DE∥平面PFB，
所以点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离．
设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，
则?
令x＝2，得y＝－1，z＝1，
所以n＝(2，－1,1)．
又因为＝(－1,0,0)，
所以点D到平面PFB的距离d＝＝＝.
所以点E到平面PFB的距离为.
10．解析：由题意知PA，AD，AB两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，D(0,2,0)，E(0,0,1)，F(0,1,1)．
假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件．
令CQ＝m(0≤m≤2)，则DQ＝2－m.
∴点Q的坐标为(2－m,2,0)，∴＝(2－m,2，－1)．
而＝(0,1,0)，设平面EFQ的法向量为n＝(x，y，z)，
则，∴，
令x＝1，则n＝(1,0,2－m)是平面EFQ的一个法向量．
又＝(0,0,1)，∴点A到平面EFQ的距离d＝＝＝，即(2－m)2＝，
∴m＝或，＞2，不合题意，舍去．
故存在点Q，且CQ＝时，点A到平面EFQ的距离为.
