(共40张PPT)
1.2.3 直线与平面的夹角
华
翰害业
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S
P
B
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P
B
E
B
3
C
B课时作业(六) 直线与平面的夹角
一、选择题
1．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是( )
A．∠C1BB1
B．∠C1BD
C．∠C1BD1
D．∠C1BO
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
4．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
5．若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l与α所成角的正弦值为________．
6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B和平面A1B1CD所成的角是________．
7．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角为________．
三、解答题
8.
如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值．
9.
如图所示，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小；
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．
[尖子生题库]
10.
如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：AC⊥平面PDB；
(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
课时作业(六) 直线与平面的夹角
1．解析：由线面垂直的判定定理，得C1O⊥平面BB1D1D，所以OB为BC1在平面BB1D1D上的射影，所以∠C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角，故选D.
答案：D
2．解析：取BC中点M，连接AM，OM，易知∠OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sin∠OAM＝.
答案：C
3．解析：
建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，
则A1(1,0,1)，E，
F，B1(1,1,1)．
＝，＝，＝(0,1,0)，设平面A1EF的法向量n＝(x，y，z)，
则
即
令y＝2，则
∴n＝(1,2,1)，cos〈n，〉＝＝，
即A1B1与平面A1EF所成角的正弦值为.
答案：B
4．解析：
如图，设A在平面BPC内的射影为O，
∵∠APB＝∠APC.
∴点O在∠BPC的角平分线上，
∴∠OPC＝30°，∠APO为PA与平面PBC所成的角．
∴cos∠APC＝cos∠APO·cos∠OPC，
即cos
60°＝cos∠APO·cos
30°，
∴cos∠APO＝.
答案：D
5．解析：cos〈a，n〉＝＝＝＝，所以l与平面α所成角的正弦值为.
答案：
6．解析：连接BC1交B1C于O点，连接A1O.
设正方体棱长为a.
易证BC1⊥平面A1B1CD，
∴A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影．
∴∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．
在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a，
∴sin∠BA1O＝＝，
∴∠BA1O＝30°.
即A1B与平面A1B1CD所成角为30°.
答案：30°
7．解析：
以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P，
从而＝(2a,0,0)，
＝，＝(a，a,0)．
设平面PAC的一个法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，
则cos〈，n〉＝＝＝.
所以〈，n〉＝60°.
所以直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.
答案：30°
8．解析：取BC中点O，B1C1中点O1，连接AO，OO1，则AO⊥OC，OO1⊥平面ABC，以O为坐标原点，OC，OA，OO1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A，C1，
∴＝.
取AB中点M，连接CM，则CM⊥AB.
∵平面ABB1A1⊥平面ABC，∴CM⊥平面ABB1A1，
∴为平面ABB1A1的一个法向量．
∵B，∴M.
又∵C，∴＝.
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∴AC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为.
9．解析：
如图，以D为坐标原点，DA为单位长建立空间直角坐标Dxyz.则＝(1,0,0)，＝(0,0,1)．连接BD，B′D′.
在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.
设＝(m，m,1)(m>0)，
由已知〈，〉＝60°，
由·＝||||cos〈，〉，
可得m＝.解得m＝，
所以＝.
(1)因为cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝45°，
即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是＝(0,1,0)．
因为cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝60°.
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
10．解析：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.
∵PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝1，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，
E，
＝.
由(1)知＝(－1,1,0)为平面PDB的一个法向量．
设AE与平面PDB所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos〈，〉|＝＝＝.
∴AE与平面PDB所成的角为45°.
