课时作业(七) 二面角
一、选择题
1．已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则( )
A．∠ADE是二面角A－PC－B的平面角
B．∠AED是二面角A－PB－C的平面角
C．∠DAE是二面角B－PA－C的平面角
D．∠ACB是二面角A－PC－B的平面角
2．已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝a，则二面角A－BC－D的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
3.
如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为?8，则侧面与底面所成的二面角为( )
A.
B.
C.
D.
4．已知二面角α－l－β中，平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝，则二面角α－l－β的大小为( )
A．120°
B．150°
C．30°或150°
D．60°或120°
二、填空题
5．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是________．
6．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角P－BC－A的大小为________．
7．在空间四面体O－ABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．
三、解答题
8．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝1，求平面PCD与平面PAB夹角的大小．
9．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝2，点E是C1D1的中点．
(1)求证：DE⊥平面BCE；
(2)求二面角A－EB－C的大小．
[尖子生题库]
10.
如图所示，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M－AB－D的余弦值．
课时作业(七) 二面角
1．解析：由二面角的定义及三垂线定理，知选B.
答案：B
2．解析：
如图取BC的中点为E，连接AE，DE，
由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，
且AE＝DE＝a，又AD＝a，
∴∠AED＝60°，即二面角A－BC－D的大小为60°.
答案：C
3．解析：设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′，则＝，∴＝，∴sin
θ＝，即θ＝.
答案：D
4．解析：设所求二面角的大小为θ，则|cos
θ|＝＝，所以θ＝30°或150°.
答案：C
5．解析：设二面角大小为θ，由题意可知
|cos
θ|＝＝＝，
所以θ＝60°或120°.
答案：60°或120°
6．解析：取BC的中点O，连接PO，AO(图略)，则∠POA就是二面角P－BC－A的平面角．又PO＝AO＝，PA＝，所以∠POA＝90°.
答案：90°
7．解析：·＝·(－)
＝·－·
＝||·||cos－||·||·cos
＝||(||－||)＝0.
∴cos〈·〉＝＝0.
答案：0
8．解析：
如图建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．
故平面PAB的法向量＝(0,1,0)，＝(1,0,0)，
＝(0,1，－1)．
设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，由得
令z＝1，所以n＝(0,1,1)，所以cos〈n，〉＝＝，
所以〈n，〉＝45°.
即平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
9．解析：
(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，E(0,1,1)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，
＝(0,1,1)，＝(－1，－1,1)，＝(－1,0,0)．
因为·＝0，·＝0，
所以⊥，⊥.
则DE⊥BE，DE⊥BC.
因为BE?平面BCE，BC?平面BCE，
BE∩BC＝B，
所以DE⊥平面BCE.
(2)＝(0,2,0)，设平面AEB的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
含x＝1，所以平面AEB的法向量为n＝(1,0,1)．
因为DE⊥平面BCE，
所以＝(0,1,1)就是平面BCE的一个法向量．
因为cos〈n，〉＝＝，
由图形可知二面角A－EB－C为钝角，所以二面角A－EB－C的大小为120°.
10．解析：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.
因为E是PD的中点，
所以EF∥AD，EF＝AD.
由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD.
又BC＝AD，所以EF綊BC，
所以四边形BCEF是平行四边形，所以CE∥BF.
又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故CE∥平面PAB.
(2)由已知，得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，＝(1,0，－)，＝(1,0,0)．
设M(x，y，z)(0＝(x－1，y，z)，＝(x，y－1，z－)．
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，
而n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量，
所以|cos〈，n〉|＝sin
45°，
即＝，
即(x－1)2＋y2－z2＝0.①
又M在棱PC上，设＝λ，则
x＝λ，y＝1，z＝－λ.②
由①②解得(舍去)，或
所以M，
从而＝.
设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则
即
所以可取m＝(0，－，2)．
于是cos〈m，n〉＝＝.
因此二面角M－AB－D的余弦值为.(共45张PPT)
1.2.4 二面角
华
翰害业
www.huahanbook.com
感谢您的关注
THANKYOU
D
E
C
D
B
C
D
B
B.
D
A
B
