2019-2020学年江西省赣州市赣县中学西校区高一下学期期中数学试卷 （Word解析版）

2019-2020学年江西省赣州市赣县中学西校区高一第二学期期中数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．数列2，6，12，20，…，的第6项是（　　）
A．42 B．56 C．90 D．72
2．已知向量＝（1，﹣1），＝（﹣1，2），则2+＝（　　）
A．（ 1，2 ） B．（ 1，0 ） C．（﹣1，﹣2 ） D．（﹣1，2 ）
3．若a＜b＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．b2＞a2 B． C．ab＞b2 D．ac2＞bc2
4．化简﹣+﹣得（　　）
A． B． C． D．
5．（3++）﹣（2+﹣）＝（　　）
A．﹣+2 B．5﹣+2 C．++2 D．5+
6．等差数列{an}中，a1+a4+a7＝48，a2+a5+a8＝40，则a3+a6+a9的值是（　　）
A．30 B．32 C．34 D．36
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝3a5，则一定成立的是（　　）
A．S4＝S6 B．S4＝S5 C．S5＝S7 D．S5＝S6
8．已知变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x﹣2y的最大值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（　　）
（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，≈1.732）
A．63 B．69 C．75 D．81
10．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2?a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝（　　）
A．31 B．32 C． D．
11．已知向量＝（3，﹣2），＝（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（　　）
A．24 B．8 C． D．
12．如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题）.
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且，则a5＝　 　．
14．各项均为正数的等比数列{an}中，2a2，a4，3a3成等差数列，则＝　 　
15．设与的夹角为θ，定义与的“向量积”×是一个向量，其长度|×|＝||?||sinθ，若||＝3，||＝2，?＝﹣2，则|×|＝　 　．
16．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为　 　．
三、解答题（共70分）
17．已知向量，．
（1）若，求k的值；
（2）若，求．
18．设数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an，数列{bn}的前n项和．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
19．设两个非零向量不共线，．
（1）求证：A、B、D共线；
（2）试确定实数k，使和共线．
20．已知等差数列{an}的首项为1，公差d≠0，且a8是a5与a13的等比中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记，求数列{bn}的前n项和Tn．
21．（1）已知0＜x＜1，求x（1﹣x）的最大值及取最大值时x的值；
（2）若对一切x＞1，均有x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．
22．已知关于x的不等式．
（1）当a＝1的时候，求出解集；
（2）当a≥0且a≠1的时候，求出解集．
参考答案
一、单选题（共12小题）.
1．数列2，6，12，20，…，的第6项是（　　）
A．42 B．56 C．90 D．72
【分析】将数列各项变形，找到该项与序号之间的关系，从而可得．
解：因为2＝1×2，6＝2×6，12＝3×4，20＝4×5，…，
所以第3项为：6×7＝42．
故选：A．
2．已知向量＝（1，﹣1），＝（﹣1，2），则2+＝（　　）
A．（ 1，2 ） B．（ 1，0 ） C．（﹣1，﹣2 ） D．（﹣1，2 ）
【分析】进行向量坐标的加法和数乘运算即可．
解：．
故选：B．
3．若a＜b＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．b2＞a2 B． C．ab＞b2 D．ac2＞bc2
【分析】由不等式的性质直接得解．
解：∵a＜b＜0，
∴a?b＞b?b，即ab＞b2．
故选：C．
4．化简﹣+﹣得（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用向量的运算法则即可得出．
解：原式＝﹣＝＝．
故选：A．
5．（3++）﹣（2+﹣）＝（　　）
A．﹣+2 B．5﹣+2 C．++2 D．5+
【分析】直接根据向量的线性运算求解即可．
解：（3++）﹣（2+﹣）＝﹣+2，
故选：A．
6．等差数列{an}中，a1+a4+a7＝48，a2+a5+a8＝40，则a3+a6+a9的值是（　　）
A．30 B．32 C．34 D．36
【分析】由已知的第2个等式减去第1个等式，利用等差数列的性质得到差为公差d的3倍，且求出3d的值，然后再由所求式子减去第2个等式，利用等差数列的性质也得到其差等于3d，把3d的值代入即可求出所求式子的值．
解：设等差数列的公差为d，
由a1+a4+a7＝48①，a2+a5+a8＝40②，
②﹣①得：（a5﹣a1）+（a5﹣a4）+（a8﹣a7）＝3d＝40﹣48＝﹣3，
则（a3+a6+a9）﹣（a2+a5+a7）＝（a3﹣a2）+（a6﹣a5）+（a9﹣a2）＝3d＝﹣8，
故选：B．
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝3a5，则一定成立的是（　　）
A．S4＝S6 B．S4＝S5 C．S5＝S7 D．S5＝S6
【分析】由题意利用等差数列前n项和公式，等差数列的通项公式，求得a5＝0，再利用等差数列的性质，得出结论．
解：等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝3a5，
即9a1+d＝3a3，∴a5＝0，故S4＝S5，
故选：B．
8．已知变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x﹣2y的最大值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出目标函数的最大值．
解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；
结合图形知，当目标函数z＝x﹣2y经过点B时能取得最大值，
∴zmax＝2﹣0＝6．
故选：A．
9．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（　　）
（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，≈1.732）
A．63 B．69 C．75 D．81
【分析】由题意知＝＝400，夹角θ＝60°，计算＝﹣（+）的模长，再求出体重即可．
解：由题意知，＝＝400，夹角θ＝60°，
所以++＝，
所以＝＝4005+2×400×400×cos60°+4002＝2×4002；
则该学生的体重（单位：kg）约为40＝40×1.732≈69（kg），
故选：B．
10．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2?a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝（　　）
A．31 B．32 C． D．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，由已知可得q和a1的值，代入等比数列的求和公式可得．
解：设等比数列{an}的公比为q，
则可得a1q?a1q2＝2a1，即a4＝a1q6＝2，
所以a4+2a7＝，即2+6×2q3＝，
故S5＝＝31．
故选：A．
11．已知向量＝（3，﹣2），＝（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（　　）
A．24 B．8 C． D．
【分析】根据向量共线定理列出方程，得出2x+3y＝3，再求的最小值即可．
解：∵∥，
∴﹣2x﹣3（y﹣1）＝0，
∴＝（+）×（2x+3y）
当且仅当2x＝3y＝时，等号成立；
故选：B．
12．如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】以、为基底表示出即可
解：∵＝+＝λ＝ （﹣）
＝λ+（1﹣λ）＝+
故选：B．
二、填空题（共20分）
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且，则a5＝　14　．
【分析】利用a5＝S5﹣S4即可得出．
解：a5＝S5﹣S4＝﹣＝14，
故答案为：14．
14．各项均为正数的等比数列{an}中，2a2，a4，3a3成等差数列，则＝　　
【分析】设等比数列的公比为q，q＞0，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，再结合等比数列的通项公式计算可得所求值．
解：各项均为正数的等比数列{an}的公比设为q，q＞0，
由2a2，a4，3a8成等差数列，可得2a4＝6a2+3a6，
化为2q2﹣3q﹣2＝0，解得q＝2或﹣（舍去），
故答案为：．
15．设与的夹角为θ，定义与的“向量积”×是一个向量，其长度|×|＝||?||sinθ，若||＝3，||＝2，?＝﹣2，则|×|＝　　．
【分析】先根据平面向量数量积的运算法则可求得cosθ＝，从而得sinθ的值，再由“向量积”长度的定义即可得解．
解：?＝||?||cosθ＝3×2cosθ＝﹣2，
∴cosθ＝，
∴|×|＝||?||sinθ＝2×2×＝．
故答案为：．
16．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为　9　．
【分析】由题设知≥16对于任意正实数x，y恒成立，所以1+a+≥16，由此能求出正实数a的最小值．
解：∵不等式对任意正实数x，y恒成立，
∴≥16对于任意正实数x，y恒成立
∴1+a+≥16
从而＝9．
故答案为：9
三、解答题（共70分）
17．已知向量，．
（1）若，求k的值；
（2）若，求．
【分析】（1）根据两向量垂直时，数量积为0，列方程求得k的值；
（2）由平面向量的共线定理，列方程求出k的值，再求向量的模长．
解：（1）因为向量，，，
所以?＝﹣4k+k﹣7＝0，解得：；
因此k＝8时，，
k＝6时，2﹣＝（2k+6，4﹣k）＝（18，3），
所以．
18．设数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an，数列{bn}的前n项和．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
【分析】（1）首先利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式．
（2）利用乘公比错位相减法求出数列的和．
解：（1）数列{an}满足a1＝2，an+1＝2an，
则：（常数）
故：，
当n＝1时，
当n≥2时，bn＝Sn﹣Sn﹣1＝＝n．
故：an＝n．
所以：①，
①﹣②得：，
解得：．
19．设两个非零向量不共线，．
（1）求证：A、B、D共线；
（2）试确定实数k，使和共线．
【分析】（1）利用向量的加法法则求出，得到＝3，利用向量共线充要条件知三点共线．
（2）利用向量共线充要条件设出参数λ，利用平面向量基本定理，在基底上的分解是唯一的列出方程组求出k．
【解答】证明：（1）∵两个非零向量不共线，．
∴＝＝3+6＝3，
（2）要使和共线，只需存在实数λ使得＝λ（）；
∴k＝2或﹣2．
20．已知等差数列{an}的首项为1，公差d≠0，且a8是a5与a13的等比中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d，即可得到所求通项公式；
（2）求得bn＝＝＝（﹣），由裂项相消求和，化简可得所求和．
解：（1）等差数列{an}的首项为1，公差d≠0，且a8是a5与a13的等比中项，
可得a82＝a5a13，即为（1+7d）2＝（1+6d）（1+12d），
可得an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣7；
数列{bn}的前n项和Tn＝（1﹣+﹣+…+﹣）
＝（1﹣）＝．
21．（1）已知0＜x＜1，求x（1﹣x）的最大值及取最大值时x的值；
（2）若对一切x＞1，均有x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由0＜x＜1，可得0＜1﹣x＜1，运用基本不等式可得所求最大值，以及x的取值；
（2）由题意可得m≤对一切x＞1成立，设t＝x﹣1（t＞0），化简整理，运用基本不等式可得右边的最小值，即可得到所求范围．
解：（1）由0＜x＜1，可得0＜1﹣x＜4，则x（1﹣x）≤（）2＝，
当且仅当x＝8﹣x即x＝时，取得等号．
（2）对一切x＞1，均有x2﹣2x﹣4≥（m+2）x﹣m﹣15成立，
设t＝x﹣1（t＞0），可得＝＝t+﹣2≥2﹣2＝6，
则m≤2，则实数m的取值范围是（﹣∞，2]．
22．已知关于x的不等式．
（1）当a＝1的时候，求出解集；
（2）当a≥0且a≠1的时候，求出解集．
【分析】（1）把a＝1代入后结合分式不等式的求法即可求解；
（2）由已知结合a的范围把分式不等式转化为二次不等式进行求解即可．
解：（1）当a＝1时，＜1即＜0，
解可得x＜1，
（2）∵a≥0且a≠1，
①a＝0时，不等式可化为0＜1且x≠3
此时x≠1；
②0＜a＜1时，由可得＜0，
即[（1﹣a）x﹣8]（x﹣1）＞0，
③当a＞1时，
当2＜a＜1时，由可得＜0，即[（a﹣1）x+1]（x﹣1）＜0，
综上，a＝0时，{x|x≠5}；
a＞1时，不等式的解集{x|}