第22章
二次函数复习课（第1课时）
互动训练
知识点一：二次函数的概念
1.下列函数中，①S=4t+3+2t2,
②
S=6m2,
③y=3-
x,
④
y=2x2－
,
⑤y=ax2
,
⑥
y=x2－
x+3,
是二次函数的有
（填序号即可）
2.在式子y=(k-2)x2+3kx+5中，
（1）当k≠2时，式子y=(k-2)x2+3kx+5是
函数；
（2）当k=2时，式子y=(k-2)x2+3kx+5是
函数.
3.
已知函数y=(m+1)
,
（1）若它是二次函数，其图象开口方向向下，则m＝
，
（2）若它是一次函数，则m＝
.
知识点二：二次函数的图象及其性质
4．已知a>0，填表：
解析式
开口方向
顶点坐标
对称轴
最值
增减性
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a(x－h)2
y＝a(x－h)2＋k
5．若二次函数y=ax2+5的图象过点（1，－2），则a的值是___________．
6.
抛物线y=2x2-1的开口_______，顶点坐标为_________，对称轴是
_______，
7.
抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线_______________．
8.
抛物线y=-2x2先向右平移3个单位,再向上平移4个单位，得到抛物线______________．
9.
抛物线y=2(x+3)2-8的顶点坐标是
，与y轴的交点坐标是_______，与x轴的交点坐标为
．在其顶点处有
值，是
.
10.
二次函数的图象可由的图象（
）
A.
先向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
B.
先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
C.
先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
D.
先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
11．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法错误的是( )
A．y的最小值为1
B．图象的顶点坐标为(2,1)，对称轴为直线x＝2
C．当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
知识点三：二次函数与一元二次方程
12.
二次函数y=x2-4x+6，当x＝________时，y＝3．
13.
已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点，则k的取值范围是________
.
14.
已知抛物线y=x2-2kx+9的顶点在x轴上，则k＝____________．
15.
如图，一元二次方程ax2+bx+c
=0的解为
.
16.
如图，一元二次方程ax2+bx+c
=3的解为
.
15题图
16题图
17.
已知关于x的一元二次方程：x2-(m-1)x+m-2=0,
（1）求证：对于任意实数m，方程都有实数根,
（2）当m为何值时，二次函数y=x2-(m-1)x+m-2的图象与x轴的两个交点横坐标互为相反数？请说明理由.
知识点四：二次函数关系式的确定
18．将二次函数y=x2－2x+3化为y=(x－h)2+k的形式，结果为（
）
A.
y=(x+1)2+4
B.
y=(x－1)2+4
C.
y=(x+1)2+2
D.
y=(x－1)2+2
19.若点(2，0)，(4，0)在抛物线y＝x2＋bx＋c上，则它的对称轴是(
)
A．
B．x＝1
C．x＝2
D．x＝3.
20.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
x
－1
0
2
3
4
y
5
0
－4
－3
0
有下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0
0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x1,2)，B(x2,3)是抛物线上的两点，则x1A．2
B．3
C．4
D．5
21.已知一个二次函数的图象经过点(1,0)，(－1，－6)，(2,6)，求这个二次函数的解析式，并求此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
22.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图象过点（－3，－1），求这个二次函数的解析式．
23.二次函数图象如图所示：
(1)求它的解析
(2)根据图象说明，x为何值时，y=0?
(3)根据图象说明，x为何值时，y<0?
23题图
课时达标
1.二次函数y=－2(x－1)2+8
，它的开口_______，对称轴是直线_____，顶点坐标________，
当x_______时y随x增大而增大；当x
______
时,
y随x增大而减小.
2．把y＝2x2－1的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的解析式是
．
3．点A(2，y1)，B(3，y2)是二次函数y＝x2－2x＋1图象上的两点，则y1与y2的大小关系为y1
y2(填“>”
“<”或“＝”)．
4.
二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是
.
5.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点是A(1,
0)，对称轴为直线x=－1，则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是
.
6．对于抛物线y＝－(x＋1)2＋5，有下列结论：
①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝－1；③顶点坐标为(－1,5)；④当x>1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
7.
抛物线y=ax2+bx+c中，它的图象如图，有以下结论：
①c>0，
②a+b+c>
0，
③a－b+c>
0，
④b2－4ac<0，
⑤abc<
0；其中正确的为（
）
A.
①②
B.
①④
C.
①②③
D.
①③⑤
5题图
7题图
8．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx与一次函数y＝bx－a的图象可能是(
)
9．若A（－3，y1）、B（－5，y2）、C（2，y3）为二次函数y=-x2-4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（
）
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y2＜y1
C．y3＜y1＜y2
D．y2＜y1＜y3
10.已知抛物线y＝ax2－4x－3与x轴有两个公共点，求a的取值范围；
11.
已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－3)，且过点(2，0)，求这个二次函数的解析式.
12.已知二次函数y＝x2－2x－8.
(1)将y＝x2－2x－8用配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出其图象的顶点坐标；
(2)求此函数图象与x轴、y轴的公共点坐标.
高频考点
1.（2020·广东）把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（???
）
A.?y=x2+2?????????????????B.y=(x-1)2+1?????????????????C.?y=(x-2)2+2
?????????????????D.?y=(x-1)2-3
2.（2020·山东泰安）在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2020·山东枣庄）如图已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：
①ac＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＝0．其中，正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3题图
4题图
5题图
4.（2020·山东青岛）已知在同一直角坐标系中二次函数y＝ax2+bx和反比例函数
y=的图象如图所示，则一次函数
y=x-b的图象可能是（???
）
?
??
????
A.
B.
C.
D.
5.（2020·四川甘孜）如图，二次函数y=a(x+1)2+k
的图象与x轴交于A（-3,0），B两点，下列说法错误的是（???
）
A.
a＜0??????????????????????????????????????????????????????????????????B.?图象的对称轴为直线x=-1
C.?点B的坐标为（1,0）????????????????????????????????????D.?当x＜0时，y随x的增大而增大
6.（2020·朝阳）抛物线
y=(k-1)x2-x+1与x轴有交点，则k的取值范围是________.
7.
（2020·上海）如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么新抛物线的表达式是________．
8.（2020·包头）在平面直角坐标系中，已知A（-1，m）和B（5，m）是抛物线y=x2+bx+1上的两点，将抛物线y=x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为________．
9.（2020·黑龙江）将抛物线y=(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是________．
10．（2020·山东威海）已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1的顶点为A．点B的坐标为（3，5）．
（1）求抛物线过点B时顶点A的坐标；
（2）点A的坐标记为（x，y），求y与x的函数表达式；
10题图
11.（2020?山东临沂）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
第22章
二次函数复习课（第1课时）答案
互动训练
1.
①②④⑥
2.
二次；一次.
3.
（1）-2,
（2）
4.略
5.
-7.
6.
向上，（0，-1），x=0或y轴.
7.
y=2(x+3)2-4或者y=2x2+12x+14,
8.
y=-2(x-3)2+4或者y=-2x2+12x-14,
9.
（-3，-8），（0，10），（-1,0）或（-5,0），最小，-8.
10.
C.
11.
C.
12.
1或3
13.
k＜2且k≠0
14.
3或-3
15.
-1或4
16.
0或2
17.
解：（1）在一元二次方程x2-(m-1)x+m-2=0中,
其△=﹝-（m-1）﹞2-4(m-2)=m2-2m+1-4m+8=m2-6m+9=(m-3)2≥0，
所以对于任意实数m，方程都有实数根.
（2）因二次函数y=x2-(m-1)x+m-2的图象与x轴的两个交点横坐标，
是方程x2-(m-1)x+m-2=0的两个根，则两根之和为：m-1,
又两个交点横坐标互为相反数，即m-1=0,
∴m=1.
18.
D.
19.
D.
20.
B.
解析：由表中数据可知，该二次函数与x轴交于点（0,0）、（4,0），所以对称轴为x=2,
由表中数据可知，函数图象的顶点坐标为（2，-4），
设函数解析式为y=a(x-2)2-4,
将点（3，-3）坐标代入解析式，得，a=1,
所以函数解析式为：y=a(x-2)2-4,
由函数解析式可知，其图象的开口向上，对称轴为x=2,与x轴的两个交点间的距离是4，
所以①②④是正确的，
当0点A(x1,2)，B(x2,3)是抛物线上的两点，若两点都在对称轴x=2的左侧，则x1＞x2，若两点都在对称轴x=2的右侧，则x1因此共有3项正确，选B.
21.解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，把点(1,0)，(－1，－6)，(2,6)分别代入上式，得
解得
∴这个二次函数的解析式为y＝x2＋3x－4.
又∵y＝x2＋3x－4＝2－，
∴此抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝－，顶点坐标为.
22.
解：设函数解析式为y=a(x+2)2-3,
由图象过点（－3，－1），
则，-1=a(-3+2)2-3,
a=2,
所以函数解析式为：y=2(x+2)2-3,即：y=2x2+8x+5
23.
解：（1）由图象知，抛物线的顶点为（-2，-1），又经过坐标原点（0,0），
设二次函数的解析式为y=a(x+2)2-1,
将（0,0）代入，得，0=4a-1,
a=,
∴二次函数的解析式为y=(x+2)2-1.
（2）由图象可知，抛物线与x轴交于点（0,0），（-4,0），∴
y=0时，x=0或x=-4.
（3）由图象可知，
y<0时，图象在x轴的下方，即-4＜x＜0.
∴-4＜x＜0时，y<0.
课时达标
1.
向下，x=1,
(1,
8),
＜1,
＞1.
2.
y＝2(x－1)2－3
3.
＜
4.
k＜3且k≠0，
5.
x=1或x=-3.
6.
D.
7.
A.解析：由图象知，抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0,所以①c>0正确，
当x=1时，y=a+b+c＞0,
所以②a+b+c>
0正确，
由图象知，与x轴的一个交点在-1与0之间，当x=-1时，y＜0,
所以③a－b+c>
0不正确，
因抛物线与x轴有两个交点，则
b2－4ac＞0，所以④b2－4ac<0不正确，
由图象知，a＞0,c＞0,对称轴在y轴左侧，则b＞0,
那么abc＞0，所以⑤abc<
0不正确，
因此，只有①②正确，选A.
8.
C.
9.
B.
10．解：(1)由题意，得
解得a＞－且a≠0.
11.
解：设此二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－3.
∵其图象经过点(2，0)，∴a(2－1)2－3＝0，解得a＝3，
∴这个二次函数的解析式为y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x.
12．解：(1)y＝x2－2x－8＝x2－2x＋1－9＝(x－1)2－9，
∴二次函数图象的顶点坐标为(1，－9)．
(2)当x＝0时，y＝x2－2x－8＝－8，
∴此函数图象与y轴的公共点坐标为(0，－8)；
当y＝0时，x2－2x－8＝0，解得x1＝－2，x2＝4，
∴此函数图象与x轴的公共点坐标为(－2，0)和(4，0)．
高频考点
1.
C.
2.
C.解析：A、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故B错误；
C、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故C正确；
∵D、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故D错误；
故选：C．
3.
C.
解析：抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x＝﹣＝1，因此b＞0，与y轴交于正半轴，因此c＞0，于是有：ac＜0，因此①正确；
由x＝﹣＝1，得2a+b＝0，因此③不正确，
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，②正确，
由对称轴x＝1，抛物线与x
轴的一个交点为（3，0），对称性可知另一个交点为
（﹣1，0），因此a﹣b+c＝0，故④正确，综上所述，正确的结论有①②④，故选：C．
4.
B.
解析:由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴x=-﹥0，
∴a＜0，b＞0，
由反比例函数图象知：c＞0，∴＜0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
对照四个选项，只有B选项符合一次函数y=x-b的图象特征．故答案为：B
5.
D.
解析：由图可知二次函数的图象的开向下，所以a＜0,
故A选项不符合题意；
因为二次函数的解析式为y=a(x+1)2+k，所以对称轴为直线x=-1，故B选项不符合题意；
因为二次函数的对称轴为直线x=-1，A,B两点是抛物线与x轴的交点，
所以A,B两点到对称轴的距离相等，设B点坐标为（b,0）,则有b-(-1)=(-1)-(-3),
解得b=1,
所以B点坐标为（-1,0）.
故C选项不符合题意；
由图形可知当x≤-1时,
y随x的增大而增大，当-1故答案为：D.
6.
k≤且k≠1.
解析：∵抛物线y=(k-1)x2-x+1与x轴有交点，
∴△=(-1)2-4(k-1)≥0,
∴k≤，又∵k-1≠0，∴
k≠1，∴k的取值范围是k≤且k≠1.
7.
y=x2+3．解析：抛物线y=x2向上平移3个单位得到y=x2+3．
故答案为：y=x2+3．
8.
4.
解析：∵A、B的纵坐标一样,
∴
A、B是对称的两点,
∴对称轴x=(-1+5)=2,
即-==2，
∴b=﹣4．
y=x2-4x+1=x2-4x+4-3=(x-2)2-3.
∴抛物线顶点(2,﹣3)．
满足题意n得最小值为4,
故答案为4．
9.
(2，－5)
.
解析：抛物线y=(x－1)2－5的顶点为（1，-5），
∴关于y轴对称的坐标
为（-1，-5），再向右平移3个单位长度后的坐标为（2，-5），故答案为：(2，－5)。
10.
解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1过点B（3，5），
∴把B（3，5）代入y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1，整理得，m2﹣4m+3＝0，
解，得m1＝1，m2＝3，
当m＝1时，y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
其顶点A的坐标为（1，1）；
当m＝3时，y＝x2﹣6x+m2+14＝（x﹣3）2+5，
其顶点A的坐标为（3，5）；
综上，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）；
（2）∵y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1＝（x﹣m）2+2m﹣1，
∴顶点A的坐标为（m，2m﹣1），
∵点A的坐标记为（x，y），∴x＝m，∴y＝2x﹣1；
11.
解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a﹣3．
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，∴2a2﹣a﹣3＝0，
解得a＝或a＝﹣1，∴抛物线为y＝x2﹣3x+或y＝﹣x2+2x﹣1；
（3）∵抛物线的对称轴为x＝1，
则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2），
∴当a＞0，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＜0，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．第22章
二次函数复习课（第2课时）
互动训练
知识点一：二次函数的实际应用
1．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是_____m2.
1题图
2题图
3题图
2．如图是一座抛物形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m，当水面下降3m时，水面的宽为_____m．
3．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，则水深超过
米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
4．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（x﹣40）（500﹣10x）
B．y＝（x﹣40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]
D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
5．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y=–4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为（
）
A．60元
B．70元
C．80元
D．90元
6．北中环桥是山西省省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为(
)
A．
B．
C．
D．
7.
如图，在足够大的空地上有一段长为a
m的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN.已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100
m木栏．
(1)
若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450
m2，求所用旧墙AD的长；
(2)
求矩形菜园ABCD面积的最大值．
7题图
8．如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12
m，宽是4
m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3
m，到地面OA的距离为m.
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
8题图
知识点二：二次函数的综合应用
9.已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣4
C．2
D．4
10.（2019?浙江杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（ ）
A．M＝N﹣1或M＝N+1
B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1
D．M＝N或M＝N﹣1
11.（2019?贵州安顺）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝OC．则由抛物线的特征写出如下结论：
①abc＞0；②4ac﹣b2＞0；③a﹣b+c＞0；④ac+b+1＝0．其中正确的个数是（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
11题图
12题图
12.
已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确的是
（填写序号）．
13.
如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式.
13题图
课时达标
1．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，可列出的方程是（ ）
A．(3+x)(4-0.5x)=15
B．(x+3)(4+0.5x)=15
C．(x+4)(3-0.5x)=15
D．(x+1)(4-0.5x)=15
2．有长24m的篱笆，一面利用围墙围成如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为x
m，面积是S
m2，
则S与x的关系式是（
）
A．S=﹣3x2+24x
B．S=﹣2x2﹣24x
C．S=﹣3x2﹣24x
D．S=﹣2x2+24x
2题图
3题图
4题图
3．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为
y=﹣x2，当水位线在
AB位置时，水面宽
12m，这时水面离桥顶的高度为（
）
A．3m
B．m
C．4m
D．9m
4．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h
(单位：m)与小球运动时间t
(单位：s)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h=30m时，t=1.5s．其中正确的是(
)
A．①④
B．①②
C．②③④
D．②③
5．廊桥是我国古老的文化遗产如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=-x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是______米（精确到1米）.
5题图
6.已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点．
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．
7.
如图，用12
m长的木料，做一个有一条横档的矩形的窗子，为了使透进的光线最多，窗子的长、宽应各是多少？
7题图
8.某景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示，单位：m.）现在其中修建一条观花道（图中阴影部分）供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2.
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；
（3）若要求
0.5≤
x
≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值.
8题图
9．鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）①当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3910元的利润？
②若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？
高频考点
1.（2020?湖北襄阳）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；
②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
1题图
2题图
2.（2020?贵州遵义）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2．抛物线与x轴的一个交点在点（-4，0）和点（-3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（ ）
①4a-b=0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3.（2020?湖南株洲）二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），
B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（ ）
A．y1＝﹣y2
B．y1＞y2
C．y1＜y2
D．y1.y2的大小无法确定
4.（2020?江苏连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为
min．
5.
(2020?江苏无锡)有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2.,60元/米2,40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
(1)当x＝5时，求种植总成本y；
(2)求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
5题图
6.
(2020?湖南怀化)如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标．
（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．
6题图
7.
（2020?江苏南京）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为
m．
（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
8.（2020?山东滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
第22章
二次函数复习课（第2课时）答案
互动训练
1.
112.5
解析：设矩形的长为x
m，则宽为m，
菜园的面积S=x?=-x2+15x=-（x-15）2+，（0＜x≤20）.
∵当x＜15时，S随x的增大而增大，∴当x=15时，S最大值=m2，故答案为．
2.
6
.
解析：如图：根据题意建以现有水面为x轴，拱桥顶点为为抛物线顶点建立直角坐标系，
所以顶点C（0，4），B（6，0），设抛物线方程为y=ax2+4,
把B（6，0）代入得：36a+4=0，解得：a=-
，∴抛物线方程为：y=-x2+4，
水面下降3米为-3，代入方程得：-3=x2+4，解得：x=
（负值舍去），
2=6.
故答案为6.
3.
2.76.
解析：设抛物线解析式为y=ax2，把点B（10，﹣4）代入解析式得：﹣4=a×102，
解得：a=﹣，∴y=﹣x2，把x=9代入，得：y=﹣=﹣3.24，
此时水深=4+2﹣3.24=2.76米．故答案是：2.76.
4.
C.
解析：设销售单价为每千克x元，此时的销售数量为500-10（x-50），
每千克赚的钱为x-40，则y=(x-40)[500-10(x-50)].
故选C.
5.
C.
解析：设销售该商品每月所获总利润为w，
则w=（x–50）（–4x+440）=–4x2+640x–22000=–4（x–80）2+3600，
∴当x=80时，w取得最大值，最大值为3600，
即售价为80元/件时，销售该商品所获利润最大，故选C．
6.B.
解析：∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，
∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，∴-78=452a，
解得：a=，∴此抛物线钢拱的函数表达式为，故选B.
7.解：(1)设AD＝x
m，则AB＝
m.
依题意，得·x＝450，
解得x1＝10，x2＝90.
∵a＝20且x≤a，∴x2＝90不合题意，应舍去．
故所用旧墙AD的长为10
m.
(2)设AD＝x
m，矩形ABCD的面积为S
m2，
则0250.
①若a≥50，则当x＝50时，S最大值＝1
250；
②若0综上：当a≥50时，矩形菜园ABCD的最大面积为1
250
m2；当0m2.
8.解：（1）由题知点在抛物线上
所以，解得，所以
所以，当时，
答：，拱顶D到地面OA的距离为10米
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））
当x=2或x=10时，，所以可以通过
（3）令y=8，即，可得x2-12x+24=0，
解得x1=6+2,
x2=6-2
,
x1-x2=4.
答：两排灯的水平距离最小是4.
9.
B.
解析：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，
可知函数的对称轴x＝1，∴＝1，∴b＝2；∴y＝﹣x2+2x+4，
将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；故选：B．
10.
C.
解析：∵y＝（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+1，
∴△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，
∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M＝2，
∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，
∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；
当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；
综上可知，M＝N或M＝N+1．故选：C．
11.
B.
解析：①观察图象可知，开口方上a＞0，对称轴在右侧b＜0，与y轴交于负半轴c＜0，∴abc＞0，故正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故错误；
③当x＝﹣1时y＝a﹣b+c,
由图象知（﹣1，a﹣b+c）在第二象限,∴a﹣b+c＞0，故正确
④设C（0，c），则OC＝|c|，∵OA＝OC＝|c|，∴A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c＝0，又c≠0，∴ac+b+1＝0，故正确；
故正确的结论有①③④三个，故选：B．
12.
①③④．解析：根据图象可得：a＜0，c＞0，对称轴：x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，
∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；
把x＝﹣1代入函数关系式y＝ax2+bx+c中得：y＝a﹣b+c，由抛物线的对称轴是直线x＝1，且过点（3，0），可得当x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，故②错误；
∵b＝﹣2a，∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即：3a+c＝0，故③正确；
由图形可以直接看出④正确．故答案为：①③④．
13.
解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，
故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；
（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；
课时达标
1.
A.
2.
A.
解析：如图所示：
AB为x
m，则BC为（24﹣3x）m，所以S=（24﹣3x）x=﹣3x2+24x．故选：A．
3.
D.
解析：由已知AB=12m知：点B的横坐标为6.
把x=6代入
得y=-9，
即水面离桥顶的高度为9m，故选D.
4.
D.
解析：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：h=a(t-3)2+40，
把O（0,0）代入得0=a(0-3)2+40，解得a=-，
∴函数解析式为h=-(t-3)2+40，
把h=30代入解析式得，30=-(t-3)2+40，解得：t=4.5或t=1.5，
∴小球的高度h=30m时，t=4.5s或t=1.5s，故④错误；故选D．
5.
8.
解析：由于两盏E、F距离水面都是8m，因而两盏景观灯之间的水平距离就
是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．
故有=-x2+10=8，
即x2=80,
x1=4,
x2=-4．
所以两盏警示灯之间的水平距离为：x1-x2=8≈18(m)
6.
解：（1）∵抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点，
∴△＝b2﹣4ac＝16﹣8c＞0，∴c＜2；
（2）抛物线y＝2x2﹣4x+c的对称轴为直线x＝1，
∴A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，
当x≥1时，y随x的增大而增大，∴m＜n.
7.解：
设宽为x米，面积为S米2.
根据题意并结合图形得S＝x（6－x）＝－x2＋6x.
∵－＜0，∴S有最大值，当x＝－＝2时，S最大，
此时6－x＝3，即当窗子的长为3米，宽为2米时，透进的光线最多.
8.解：(1)
y＝（8－x）（6－x）＝x2－14x＋48．
(2)由题意，得
x2－14x＋48＝6×8－13，解得：x1＝1，x2＝13（舍去）．所以x＝1．
(3)
y＝x2－14x＋48＝（x－7）2－1．
因为a＝1＞0，所以函数图像开口向上，当x＜7时，y随x的增大而减小．
所以当x＝0.5时，y最大，最大值为41.25．
答：改造后油菜花地所占面积的最大值为41.25
m2．
9.
解：（1）y=100+10（60-x）=-10x+700．
（2）设每星期利润为W元，W=（x-30）（-10x+700）=-10（x-50）2+4000．
∴x=50时，W最大值=4000．
∴每件售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元．
（3）①由题意：-10（x-50）2+4000=3910，解得：x=53或47，
∴当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润．
②由题意：：-10（x-50）2+4000≥3910，解得：47≤x≤53，
∵y=100+10（60-x）=-10x+700．170≤y≤230，
∴每星期至少要销售该款童装170件．
高频考点
1.
B.
解析：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，结论①正确；
②∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；
③∵抛物线与x轴由两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；
④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；故选：B．
2.
C.
解析：∵抛物线的对称轴为直线，∴4a-b=0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在（-3，0）和（-4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（-1，0）和（0，0）之间，
∴x=-1时y＞0，且b=4a，即a-b+c=a-4a+c=-3a+c＞0，∴c＞3a，所以②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（-2，3），∴抛物线与直线y=2有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（-2，3），∴，∴b2+12a=4ac，
∵4a-b=0，∴b=4a，∴b2+3b=4ac，
∵a＜0，∴b=4a＜0，∴b2+2b＞4ac，所以④正确；
故选：C．
3.
B.
解析：∵a﹣b2＞0，b2≥0，∴a＞0．又∵ab＜0，∴b＜0，
∵x1＜x2，x1+x2＝0，∴x2＝﹣x1，x1＜0．
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，
∴y1＝ax12+bx1+c，
y2＝ax22+bx2+c=
ax12-bx1+c，∴y1﹣y2＝2bx1＞0．
∴y1＞y2．故选：B．
4.
3.75
解析：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，
当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.75min．故答案为：3.75．
5.解：(1)当x＝5时，EF＝20－2x＝10，EH＝30－2x＝20，
y＝2×(EH+AD)×20x+2×(GH+CD)×x×60+EF?EH×40
＝(20+30)×5×20+(10+20)×5×60+20×10×40＝22000；
(2)EF＝20－2x，EH＝30－2x，
参考(1)，由题意得：y＝(30×30－2x)?x?20+(20+20－2x)?x?60+(30－2x)(20－2x)?40
＝－400x+24000(0＜x＜10)；
(3)S甲＝2×(EH+AD)×2x＝(30－2x+30)x＝－2x2+60x，同理S乙＝－2x2+40x，
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，∴－2x2+60x－(－2x2+40x)≤120，
解得：x≤6，故0＜x≤6，
而y＝－400x+24000随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，
即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
6.
解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3，故C点坐标为（0，﹣3），
又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）；
（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或x＝﹣1，∴B（3，0），A（﹣1，0），
设直线BC的解析式为：y＝ax+b，
代入C（0，﹣3），B（3，0）得：，解得，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），故Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3，
则S△BCN=S△NQC+S△NQB=QN(xQ-xC)
+QN(xB-xQ)=QN(xQ-xC+xB-xQ)
=QN(xB
-xC)
（其中xQ，xC，xB分别表示Q，C，B三点的横坐标），
且QN＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，xB﹣xC＝3，
故S△BCN=（-n2+3n）×3=-(n2-3n)=-(n-)2+，其中0＜n＜3，
当n=时，S△BCN有最大值为，
此时点N的坐标为（,-）.
7.
解：（1）∵y1＝﹣180x+2250，y2＝﹣10x2﹣100x+2000，
∴当x＝0时，y1＝2250，y2＝2000，
∴小丽出发时，小明离A地的距离为2250﹣2000＝250（m），
故答案为：250；
（2）设小丽出发第xmin时，两人相距sm，则
s＝（﹣180x+2250）﹣（﹣10x2﹣100x+2000）＝10x2﹣80x+250＝10（x﹣4）2+90，
∴当x＝4时，s取得最小值，此时s＝90，
答：小丽出发第4min时，两人相距最近，最近距离是90m．
8.
解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×（55﹣50）＝450千克；
（2）设每千克水果售价为x元，
由题意可得：8750＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，解得：x1＝65，x2＝75，
答：每千克水果售价为65元或75元；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，
由题意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（m﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000，
∴当m＝70时，y有最大值为9000元，
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．