人教版八年级上册 12.3 角的平分线的性质 同步练习（Word版 含答案）

角的平分线的性质
同步练习
一．选择题（共12小题）
1．有一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（　　）
A．△ABC三条角平分线的交点
B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条中线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
2．在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果DE=3cm，那么CE等于（　　）
A．4cm
B．2cm
C．3cm
D．1cm
3．如图，平面上到两两相交的三条直线a、b、c的距离都相等的点一共有（　　）
A．1个
B．4个
C．2个
D．3个
4．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=14cm，BC=16cm，则DE的长度为（　　）
A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，E，F分别是垂足，若BD=2CD，AB=6，则AC的长为（　　）
A．3
B．6
C．9
D．12
6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P，PE⊥AC于点E，若S△BPC=6，PE=4，S△ABC=8，则△ABC的周长为（　　）
A．9
B．10
C．11
D．12
7．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=6，DE=2，则△BCE的面积等于（　　）
A．12
B．8
C．6
D．5
8．已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD=∠ABD，DE平分∠ADB，下列说法：①AB∥CD；②ED⊥CD；③S△EDF=S△BCF④∠CDF=∠CFD．其中正确的说法有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D．若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（　　）
A．5cm
B．4cm
C．3cm
D．2cm
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（　　）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
11．如图，△ABC的三边AB、AC、BC的长分别为4、6、8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB：S△OAC：S△OBC=（　　）
A．2：3：4
B．1：1：1
C．1：2：3
D．4：3：2
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，则点O到边AB的距离为（　　）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
二．填空题（共5小题）
13．如图，点O在△ABC内部，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若△ABC的周长为32，且OD=3，则△ABC的面积为
．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若CD=3，点M是线段AB上的一个动点，则DM的最小值
．
15．如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，PB=2cm，则点P到OA的距离是
cm．
16．如图，已知AD∥BC，DE、CE分别平分∠ADC、∠DCB，AB过点E，且AB⊥AD，若AB=8，则点E到CD的距离为
．
17．在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC=115°，过点B作BF∥AD交CE于点F，CE=2BF，∠CBF=1.25∠BCE，连接BE，S△BCE=4，则CE=
．
三．解答题（共5小题）
18．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC=PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
19．已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：PE=PF；（2）若∠BAC=60°，连接AP，求∠EAP的度数．
20．如图，在△ABD中，∠BAD=80°，C为BD延长线上一点，∠BAC=130°，∠ABD的角平分线与AC交于点E，连接DE．
（1）求证：点E到DA、DC的距离相等；
（2）求∠BED的度数．
21．在四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，点F在线段CE上运动．
（1）如图1，已知∠A=∠D=90°
①若BF平分∠ABC，则∠BFC=
°
②若∠BFC=90°，试说明∠DEC=0.5∠ABC；
（2）如图2，已知∠A=∠D=∠BFC，试说明BF平分∠ABC．
22．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图①，若∠BPC=α，则∠A=
；（用α的代数式表示，请直接写出结论）
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
参考答案
1-5：ACBBA
6-10:BCCCB
11-12:AA
13、48
14、3
15、2
16、4
17、4
如图，点P为所作．
19、：（1）过点P作PD⊥BC于D，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PD=PE，PD=PF，
∴PE=PF；
（2）∵PE=PF，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴AP平分∠BAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠EAP=∠BAC＝×60°=30°．
20、：（1）过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵BE平分∠ABD，
∴EH=EF，
∵∠BAC=130°，
∴∠FAE=∠CAD=50°，
∴EF=EG，
∴EG=EH，
∴ED平分∠CDG，
∴点E到DA、DC的距离相等；
（2）∵ED平分∠CDG，
∴∠HED=∠DEG，
设∠DEG=y，∠GEB=x，
∵∠EFA=∠EGA=90°，
∴∠GEA=∠FEA=40°，
∵∠EFB=∠EHB=90°，∠EBF=∠EBH，
∴∠FEB=∠HEB，
∴2y+x=80-x，
2y+2x=80，
y+x=40，
即∠DEB=40°．
21、：（1）①∵∠A=∠D=90°，
∴∠A+∠D=180°，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵CE平分∠BCD，BF平分∠ABC，
∴∠CBF=∠ABC，∠BCF=∠BCD，
∴∠CBF+∠BCF=×180°=90°，
∴∠BFC=90°；
故答案为：90
②∵∠BFC=90°，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∵∠D=90°，
∴∠DCE+∠DEC=90°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCF，
∴∠CBF=∠DEC，
由①知：AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠CBF=∠ABC，
∴∠DEC=∠ABC；
（2）延长BF交于点M，
∵∠BFC=∠D，
∠BFC+∠CFM=180°，
∴∠CFM+∠D=180°，
∴∠FMD+∠DCF=180°，
∵∠FMD+∠EMF=180°，
∴∠DCF=∠EMF，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠BCF=∠EMF，
∵∠EFM=∠BFC，
∴∠FEM=∠CBF，
∵∠CFB=∠A，
同理得∠FEM=∠ABF，
∴∠ABF=∠CBF
∴BF平分∠ABC．
22、：（1）∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A），
=90°+∠A，
∵∠BPC=α，
∴∠A=2α-180°．
故答案为2α-180°．
（2）结论：∠BPC+∠BQC=180°．
理由，∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB=（∠MBC+∠NCB）
=（360°-∠ABC-∠ACB）
=（180°+∠A）
=90°+∠A，
∴∠Q=180°-（90°+∠A）=90°-∠A，
∵∠BPC=90°+∠A，
∴∠BPC+∠BQC=180°．
（3）延长CB至F，
∵BQ平分∠CBM，
∴∠MBQ=∠CBQ，
∵∠ABE=∠MBQ，∠EBF=∠CBQ，
∴∠ABF=2∠EBF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ECB，
∵∠EBF=∠ECB+∠E，
∴2∠EBF=2∠ECB+2∠E，
即∠ABF=∠ACB+2∠E，
又∵∠ABF=∠ACB+∠A，
∴∠A=2∠E，
∵∠ECQ=∠ECB+∠BCQ
=∠ACB+∠NCB
=90°，
如果△ECQ中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分2种情况：
①∠Q=2∠E，则∠Q=60°，∠E=30°，∴∠A=2∠E=60°
②∠E=2∠Q，则∠E=60°，∠A=2∠E=120°；
综上所述，∠A的度数是60°或120°