(共17张PPT)
§2.3幂函数
问题引入
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p= 元
(2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速度
我们先看几个具体问题:
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式将是:
w
定义
几点说明:
1、对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3， ，-1时的情形。
2、幂函数不象指数函数和对数函数，其定义域
随 的不同而不同。
式子 名称
a x y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= x a
底数
指数
指数
底数
幂值
幂值
幂函数与指数函数的对比
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看看未知数x是指数还是底数
幂函数
指数函数
例1:
判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4
(3) y= -x2
(5) y=2x2
(6) y=x3+2
1、幂函数的解析式必须是y = ｘa 的形式， 其特征可归纳为“两个系数为１，只有１项．
2、定义域与a的值有关系.
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-2
2
4
6
作出下列函数的图象：
(1,1)
(2,4)
(-2,4)
(-1,1)
(-1,-1)
从图象能得出他们的性质吗
完成86页表格
几个幂函数的性质:
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
R
R
R
R
R
奇函数
奇函数
奇函数
非奇非偶
偶函数
增函数
增函数
增函数
(0,0),(1,1)
(0,0),(1,1)
(0,0),(1,1)
(0,0),(1,1)
(1,1)
幂函数的性质:
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1);
幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中a的不同而各异.
３.如果a<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数;
a<0
２.如果a>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数;
a>1
0
练习: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象限内的图象，已知 k分别取 四个值，则相应图象依次为:________
一般地，幂函数的图象
在直线x=1的右侧，大指
数在上，小指数在下。
C4
C2
C3
C1
1
1、求下列幂函数的定义域：
（1）y=x （2）y=x
（3）y=x （4）y=x-2
练习
方法技巧:分子有理化
例3. 利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3 与 0.30.3
(3)
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8
(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习
1）
2）
3）
4）
＜
＜
＞
≤
小结
1、幂函数的定义及图象特征
2、幂函数的性质
3、思想与方法
k>0,在(0,+∞)上为增函数;
k<0,在(0,+∞)上为减函数
图象过定点(1,1)
作业
课本P82
习题第1、3题(共16张PPT)
复习提问： 平方根、立方根的概念，它们是如何定义的？有何性质？
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
正数的平方根有两个，这两个数互为相反数，负数没有平方根，零的平方根是零；正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零．
定义：若 ，
则x叫a的n次方根。
问题：n次方根有何性质？如何用a表示x？
新课讲解
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号 表示。
当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数的正的次方根用符号 表示，负数次方根用符号 表示，合并写成 ．
负数没有偶次方根，零的任何次方根都是零．
性质：
根式的性质：若xn=a
其中 叫根式，n叫根指数，a叫做被开方数。
根式是n次方根的一种表示形式。
探究2： 成立吗？
探究1： 成立吗？
想想 = 是否成立 ？
成立
结论：
当n为奇数时，
当n为偶数时，
例1：求下列各式的值
（1） （2）
（3） （4） （
注意：
１.作题时要注意n的奇偶性和a的正负。
当n为偶数时，应先写成 = ，
然后再去掉绝对值符号。
２.根式里有含参数的一定要讨论。
（1）
（2）
例２：求下列式子的值
课堂练习
１．在“① , ② ,
③ , ④ ”这四个式
子中有意义的有哪些？
2．若 ，
求a的取值范围。
3 、求下列各式的值
4.若x<2,求
1)
2)
3)
4)
总结提炼
① 的性质：
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数;负数的n次方根是一个负数。
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，且他们互为相反数；正数的正的n次方根用符号
“ ”表示，负的n次方根用“- ”表示；即正数的n次方根是“ ”（a>０）;
负数没有偶次方根，零的任何方根是零。
当 时，
作业:
1. 课本 习题2.1 1
补充:２. 求 的值。
（提示：将双重二次根式 中的m拆开后构成一个完全平方形）
３. 若 ，
化简(共16张PPT)
观察本章章头图，是海底游戏的鱼，配图是一块鱼化石．假如你是考古专家，需要你去推测鱼死亡的时间．作为考古专家，应具备以下常识：在活的生物体内，碳14的含量保持不变；当生物体死亡后，体内碳14的含量随时间的变化按一定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，即生物体内碳14含量与死亡年数t之间的关系：
问题2：推测死亡时间需要经历哪些步骤？
问题1：若死亡了5730×2年，则体内碳14的含量是多少？ 死亡了6000年呢？
问题3：假设一块鱼化石中碳14的残留量约为原始含量的64.5％，怎么计算出其死亡时间？
复习提问： 平方根、立方根的概念，它们是如何定义的？有何性质？
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
正数的平方根有两个，这两个数互为相反数，负数没有平方根，零的平方根是零；正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零．
定义：若 ，
则x叫a的n次方根。
问题：n次方根有何性质？如何用a表示x？
新课讲解
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号 表示。
当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数的正的次方根用符号 表示，负数次方根用符号 表示，合并写成 ．
负数没有偶次方根，零的任何次方根都是零．
性质：
根式的性质：若xn=a
其中 叫根式，n叫根指数，a叫做被开方数。
根式是n次方根的一种表示形式。
探究2： 成立吗？
探究1： 成立吗？
想想 = 是否成立 ？
成立
结论：
当n为奇数时，
当n为偶数时，
例1：求下列各式的值
（1） （2）
（3） （4） （
注意：
１.作题时要注意n的奇偶性和a的正负。
当n为偶数时，应先写成 = ，
然后再去掉绝对值符号。
２.根式里有含参数的一定要讨论。
（1）
（2）
例２：求下列式子的值
课堂练习
１．在“① , ② ,
③ , ④ ”这四个式
子中有意义的有哪些？
2．若 ，
求a的取值范围。
3 、求下列各式的值
(4)若x<2,求
1)
2)
3)
4)
总结提炼
① 的性质：
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数;负数的n次方根是一个负数。
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，且他们互为相反数；正数的正的n次方根用符号
“ ”表示，负的n次方根用“- ”表示；即正数的n次方根是“ ”（a>０）;
负数没有偶次方根，零的任何方根是零。
当 时，
作业:
1. 课本 习题2.1 1
补充:２. 求 的值。
（提示：将双重二次根式 中的m拆开后构成一个完全平方形）
３. 若 ，
化简(共13张PPT)
奇偶性
定点
值域
定义域
大 致 图 形
非奇非偶
(1,0)
R
对数函数的性质
y
x
0
1
y
（00
1
（a>1）
x
若00
若01则y<0
若a>1, x>1则y>0
若a>1, 0数值
变化
y=logax在（0，+ ）上单调递减。
y=logax在（0，+ ）上单调递增。
单调性
0a>1
大
致
图
形
x
0
1
y
x
0
1
y
底数a>1时,底数越大,其图象越接近x轴。
底数0补充性质二
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。
补充性质一
图
形
1
0.5
y=log x
0.1
y=log x
10
y=log x
2
y=log x
0
x
y
练习：
例1：求下列函数的值域：
练习：求下列函数的值域:
例2：求函数
的单调区间。
练习：
例3：解不等式：
解：原不等式可化为：
变：解不等式：
解：原不等式等价于：
例4：判断函数 的奇偶性。
练习：
掌握利用对数函数图象和性质求对数形式
的复合函数的值域、解不等式、判断奇偶
性、单调性、求单调区间。
小结：
作业：
习题2.2 A组 9，12
B组 3，4，5
（题目不用抄）(共25张PPT)
2.1.2
引例1：把一张厚度为1毫米的纸对折42次后，这张纸的厚度将达到多少？
答案：约439.8万公里。(地球到月球的距离为38.4万公里)
那么，假设厚度为1，对折x次后呢？
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为
在
,
中指数x是自变量，
底数是一个大于0且不等于1的常量.
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
指数函数的定义：
函数
其中x是自变量，函数定义域是R。
叫做指数函数，
探究：为什么要规定a>0,且a
1呢？
①若a=0，则当x>0时，
=0；
无意义.
0时，
当x
②若a<0，则对于x的某些数值，可使
无意义.
如
，这时对于x=
，x=
……等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a=1，则对于任何x
R，
=1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a 1。
在规定以后，对于任何x
R，
都有意义，且
>0.因此指数函数的定义域是R,值域是(0,+∞).
练习1：
1.下列函数是指数函数的是 （ ）
A. Y=(-3)x B. Y=3x+1 C. Y=-3x+1 D. Y=3-x
2.函数 y = ( a2 - 3a + 3) ax 是指数函数，求 a的值.
解：由指数函数 的定义有
a2 - 3a + 3=1
a＞0
a ≠ 1
∴ a = 2
a =1或a = 2
a＞0
a≠1
解得
D
指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
列表如下：
x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …
… 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 …
… 8 4 2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …
8
7
6
5
4
3
2
1
-6
-4
-2
2
4
6
f
x
(
)
=
2
x
8
7
6
5
4
3
2
1
-6
-4
-2
2
4
6
g
x
(
)
=
0.5
x
8
7
6
5
4
3
2
1
-6
-4
-2
2
4
6
x … -2.5 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 2.5 …
… 0.06 0.1 0.3 0.6 1 1.7 3 9 15.6 …
… 15.6 9 3 1.7 1 0.6 0.3 0.1 0.06 …
16
14
12
10
8
6
4
2
-10
-5
5
10
16
14
12
10
8
6
4
2
-10
-5
5
10
y=
3x
y=
6
5
4
3
2
1
-4
-2
2
4
y=
3
x
y=
y=
2
x
y=
的图象和性质：
6
5
4
3
2
1
-
1
-
4
-
2
2
4
6
0
1
6
5
4
3
2
1
-
1
-
4
-
2
2
4
6
0
1
a>1 0性
质
图
象
1.定义域：
2.值域：
3.恒过点
4.单调性
即x= 时，y=
在 R上是 函数
在R上是 函数
1
1
例题：
例1
例2 比较下列各题中两个值的大小：
（1）
（2）
（3）
例2 比较下列各题中两个值的大小：
（1）
，
解(1)：利用函数单调性
与
的底数是1.7，它们可以看成是函数 y=
因为1.7>1，所以函数y=
在R上是增函数，而2.5<3，
所以，
<
在x=2.5和3时的函数值；
（2）
，
解(2) ：利用函数单调性
与
的底数是0.8，它们可以看成函数 y=
在x=-0.1和-0.2时的函数值；
因为0<0.8<1，所以函数y=
在R是减函数，
而-0.1>-0.2，所以，
<
（3） ，
解（3） ：根据指数函数的性质，得
且
>
从而有
对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不是同底数幂的大小的比较可以与中间值进行比较或直接利用图象进行判断.
如何比较两个幂的大小
0
1
x
y
x1
y=2x
y=3x
试分析上述图像中，哪一条是 的图象，
哪一条是 的图象？
练习1：
0
1
x
y
试分析上述图象中，哪一条是 的图象，
哪一条是 的图象。
y= 2-x
y=3-x
练习2：
比较：
1
x
y
0
练习3：⑴比较大小：
,
解：因为
利用函数单调性
练习4：
⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：
⑶比较下列各数的大小：
小结：
函数
叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。
1.指数函数的定义：
a>1 0图
象
性
质 1.定义域：R
2.值域：（0，+∞）
3.过点（0，1），即x=0时，y=1
4.在 R上是增函数 在R上是减函数
2.指数函数的的图象和性质：
作业：
课本P59 习题2.1 5、7、8
3.对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不是同底数幂的大小的比较可以与中间值进行比较或直接利用图象进行判断.
练习：
比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断；
(2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用作商法来判断或利用图象；
(3) 对于底数不同指数也不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断,常用1.(共15张PPT)
－－分数指数幂
2.1.1指数与指数幂的运算2
1.整数指数幂的概念
复习回顾
2.整数指数幂的运算性质
a>0
分数指数幂的意义
0的正分数指数幂等于0。
0的负分数指数幂没有意义。
新课讲解
练习1： 用根式的形式表示下列各式
的值(a>0):
解：
练习2： 用分数指数幂表示下列各式的值：
解：
整数指数幂运算性质
有理数指数幂的运算性质
例1. 求下列各式的值：
练习3: 求下列各式的值
解:
343
216
)
7
6
(
)
7
6
(
)
7
6
(
3
2
3
2
2
3
2
=
=
=
ú
ù
ê
é
例2. 用分数指数幂表示下列各式（a>0):
练习4: 用分数指数幂表示下列各式
解：
例3.计算下列各式（式中字母都是正数）
小结
一 、理解分数指数幂的意义
二、熟练运用有理指数幂的运算性质
0的正分数指数指数幂等于0
，0的负分数指数幂没意义。
作业
课本P59 习题2.1 2， 4(共11张PPT)
2.1.2
例1.截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后将人口年平均增长率控制在1％，那么经过20年，我国人口数最多为多少？
变式：33年后呢？如果保持在2％，计算每隔5年的人口数？
解：设今后人口年平均增长率为 ，
经过x年后，我国人口数为y亿。
所以经过20年后，我国人口数最多为16亿．
在实际问题中，经常会遇到类似例1的指数增长
模型：设原有量为N，平均增长率为p，则对于
经过时间x后的总量y可以用
表示．我们把形如
的函数称为指数型函数.
例2：
图象的平移
首先看函数 y=2x 与 y=2x+1的关系
y=2-2 与 y=2 -3+1相等
y=2-1 与 y=2 -2+1相等
y=23 与 y=2 2+1相等
y=2a 与 y=2 a-1+1相等
发现函数 y=2x 的图象向左平移一个单位长度，
就得到函数 y=2x+1的图象
y=2 x+1的图象是将y=2x向左平移了1个单位
y=2 x-2的图象是将y=2x向右平移了2个单位
归纳为：
函 数 y=f(x)
y=f(x+a) a>0 向左平移a个单位
a<0 向右平移|a|个单位
y=f(x)+a a >0 向上平移a个单位
a<0 向下平移|a|个单位
常用基本函数图象+变换方法作出：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象。
以下两个函数可以怎样变化得到？
复合函数的图象的绘制
（2）
例4：画出函数y=2|x|的图象，并根据
图象指出它的单调区间。
练习：画出函数y=2|x+1|的图象，并根据
图象指出它的单调区间。
1、若函数
的图象恒过定点（1，2），则b= 。
2、已知0必定不经过第 象限。
3、函数y=2x+1+b的图象不经过第二象限，
则b的范围是 。
例5：
-2
一
b≤-2
(3，4)
小结:
1.进一步熟悉指数函数的性质应用，并掌握函数单调性，奇偶性证明的通法；
2.会解决指数增长模型这一类实际问题。
作业：
试卷一张(共11张PPT)
ab=N
底数
幂
指数
知二求一：
1.已知a,b，求N
2.已知b,N，求a
3.已知a,N，求b
——指数运算
——开方运算
——求以a为底N对应的对数运算
那么数x叫做以a为底 N的对数，
a叫做对数的底数，N叫做真数。
一般地，如果
一、对数定义：
记作
例如：
2.指数式与对数式的互化
练习一：
1.化指数式为对数式
2.化对数式为指数式
两个特殊底的对数
1.以10为底
2.以e为底
记作：lgN
记作：lnN
──叫常用对数
──叫自然对数
e=2.71828……
──无理数
1.指数式与对数式的互化
ab=N
logaN=b
真数——幂
底数——底数
对数——指数
2.零和负数没有对数
底的条件：(a>0,a≠1)
真数条件：N＞0
注意：
3.两个特殊底的对数
1.以10为底
2.以e为底
记作：lgN
记作：lnN
──叫常用对数
──叫自然对数
e=2.71828……
──无理数
1.求下列各式中x的值
2.求使式子log(x＋2)(3-x)有意义的x的取值范围。
例1.计算：
（1）
（2）
解：
设
则
设
解：
则
二、对数公式
公式1： loga1=0 logaa=1 logaan=n
二、对数公式
公式1： loga1=0 logaa=1 logaan=n
公式2：
（对数恒等式）
三、综合练习
如果㏒(x+1)(x2-3x+2)有意义，
求x的取值范围。
2. 已知㏒a2=m， ㏒a3=n，求a2m+n的值。
四、小结
ab=N
logaN=b
真数——幂
底数——底数
对数——指数
1.对数式与指数式
2.对数式有意义的条件
3.对数公式
底：(a>0,a≠1)
真数：N＞0
零和负数没有对数
公式1： loga1=0 logaa=1 logaan=n
公式2：
（对数恒等式）
五、作业
1.习题2.2 A组 1，2
2.求下列各式中的x
3. 求使下列各式有意义的x取值范围：
（1）log2-x(2x) (2)㏒(x+1)(x2-3x-4)(共12张PPT)
2.1.1指数与指数幂的运算3
(1) 的性质：
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数;
负数的n次方根是一个负数。
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，且他们互为相反数；正数的正的n次方根用符号
“ ”表示，负的n次方根用“ - ”表示；即正数的n次方根是“ ”（a>０）;
负数没有偶次方根，零的任何次方根是零。
复习回顾
(2) 的性质：
(4)分数指数幂的意义
0的正分数指数幂等于0。
0的负分数指数幂没有意义。
(5)有理数指数幂的运算性质
问题：我们已将指数的范围由整数推广到了有理数，那么当指数是无理数时，如 ，我们又应当如何解释它呢？
阅读课本P54
一般地，无理指数幂 是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。
例1.计算下列各式
类似形式要先转化为完全平方
直接或间接地寻求同底幂来进行运算是常用的方法
小结：常见的化简方法
把该题中的小数先化为分数，再寻求同底幂进行运算
该题着重运用了根式与分数指数幂的互化
化简下式
例4. 设
求证：
例3.已知 ，
练习2:(共12张PPT)
练1：
若函数 的定义域是 ，
求函数 的定义域。
练2：求函数
的单调区间。
求函数
的最值。
练3：
1. 反函数
（1）函数x=log2y (y∈(0,+∞))是函数y=2x(x∈R)的反函数。
(2)习惯上， x是自变量，y是因变量（函数），对调函数x=log2y 中的x,y得，
函数y=log2x (x∈(0,+∞))是函数y=2x(x∈R)的反函数。它们互为反函数。
(3)函数y=logax (x∈(0,+∞))与函数y=ax(x∈R)互为反函数。
思考1：指数函数与对数函数的图象有何关系？
( a>1)
( 01
1
( a>1)
( 01
1
互为反函数的函数图象关于直线y=x对称。
思考2：互为反函数的函数的性质有何联系？结合上面的具体函数说明？
函数
性质 y=ax y=logax
定义域
值域
单调性
R
(0,+∞)
(0,+∞)
R
定义域上是单调函数
定义域上是单调函数
点P(a,b)关于直线y＝x的对称点P’(b,a)。
2. 反函数图象特点
问题1：你能说明函数y=2x+1是否有反函数？
问题2：通过求y=2x+1的反函数过程，你能否总结出求反函数步骤。
步骤1.求出原函数的定义域，值域；
2.反解出x；
3.交换x与y；
4.得出反函数（写出定义域）。
有，求出反函数
例1.解方程：log2x=－x+1
变式：log2x＞－x+1
y=log2x
y=－x+1
(1,0)
0
x
y
1.同底的对数函数与指数函数互为反函数。
一般地，对数函数 和指数函数 互为反函数。
2.互为反函数的两个图象关于直线y=x对称。
点P(a,b)关于直线y＝x的对称点P’(b,a)。
总结：
的单调性；
（2） 讨论
（1）求
的定义域
；
（3） 解方程(共14张PPT)
1. 你做到了吗？
63分以下的同学每天中午抽出20-30分左右
做同步(并订正）及复习整理笔记。
2.不懂多问！问可以解惑!!!!
谨记： 人之所以能，是因为相信能！
勤能补拙！！！
图
象
性
质 (1)定义域： (1)定义域：
(2)值域： (2)值域：
(3)过定点 (3)过定点
(4)单调性 (4)单调性
(5)奇偶性： (5)奇偶性：
y=log a x (a>0, a≠1)
y=ax (a>0,a≠1)
a>1时, 在R上是增函数；
0a>1时,在(0,+∞)是增函数；
0(0,1)
(1,0)
(0,+∞)
R
(0,+∞)
R
y=ax
(a>1)
y=ax
(0x
y
o
1
y=logax
(a>1)
y=logax (0x
y
o
1
非奇非偶
非奇非偶
互为反函数
一.默写：指数函数、对数函数的图象和性质
例1 解下列关于x的不等式:
(1) log0.5 x > log0.5 (1-x)
(2) log2 (x+3) - 2 <0
依据：
(3)
二.新课讲授
变式：
(1)已知函数y=logax(a>0,a≠1), 当x∈[3,9]时，
函数的最大值比最小值大1,则a=_____
(2)求函数 y=log3（-x2+2x+3）的值域
二.新课讲授
例2.求函数 y=log3x (1≤x≤3)的值域.
1.单调性法（端点代入）
2.换元法(注明新元取值)
3.二次函数法(配方,画图,求值）
二.新课讲授- 与对数有关的二次函数
3.二次函数法(配方,画图,求值）
2.换元法(注明新元取值)
函数y=logaf(x)的单调性：
结论：当a>1时，y=logaf(x)与t=f(x)>0单调性相同
当00单调性相反
二.新课讲授
例5. 溶液酸碱度的测量
溶液酸碱度是通过pH刻画的。pH的计算公式为pH=-lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。
（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH。
例1 说明函数 和
的图象的关系.
向左平移2个单位
向上平移2个单位
例2画出下列函数的图象:
（2）
（1）
(1)
(2)
变式：
(1)求函数 y=log3（x2-4x+7）的值域.
例3：求函数 y=log3x(1≤x≤3)的值域.
(2)已知函数y=logax(a>0,a≠1),
当x∈[3,9]时，函数的最大值比最小值大1,
则a=________
依据：复合函数的单调性的判定方法.
注意：要考虑函数的定义域
例4.函数ｙ＝log2(x2- 3x+2) 的单调减区间
是________
(－∞, 1)
对数函数y = logax (a > 0，且 a 1 )与指数函数y=ax (a > 0，且 a 1)
一.探究
在指数函数y=ax中，x为自变量，y为因变量。
如果把y当成自变量，x当成因变量，则x是y的函数吗？
若是，对应关系是什么？
此时,对数函数y = logax (x∈(0，+∞))是指数函数y=ax(x∈R)的反函数（inverse function）。
互为反函数。
互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称(共17张PPT)
2.3幂 函 数
问题引入：
1、如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，所需的钱数为y元，那么y与x的函数关系式为
2、如果正方形的边长为x，面积为y，那么y与x的函数关系式为
y = x
y = x2
3、如果正方体的边长为x，体积为y，那么y与x的函数关系式为
y = x3
4、如果一个正方形场地的面积为x，边长为y，那么y与x的函数关系式为
5、如果某人x 秒内骑车行进了1公里，骑车的速度为y公里/秒，那么y与x的函数关系式为
以上问题中的函数具有什么共同特征？
y = x3
y = x
y = x2
共同特征：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量。
注 意
一、幂函数的概念
一般地，函数y = xα叫做幂函数，其中x是自变量，α 是常数。
幂函数的解析式必须是y = xα 的形式，不能有一点差异。其特征可归纳为“两个1”，即：系数为1，只有1项。
式子 名称
a x y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= x a
底数
指数
指数
底数
幂值
幂值
幂函数与指数函数的对比
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看看未知数x是指数还是底数
幂函数
指数函数
1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？
（1）y = （2）y=2x2
（3）y=x2 + x （4）y=1
（5）y = 2x
答案（1）
尝 试 练 习：
2、已知幂函数y = f (x)的图象经过点（3 ， ），求这个函数的解析式。
3、如果函数
f (x) = (m2－m－1) 是幂函数，
求实数m的值。
m= -1 或 m= 2
对于幂函数，我们只讨论α=1，2，3， ，–1 时的情形。
二、幂函数性质的探究：
问题4：结合前面指数函数与对数函数的方法，我们应如何研究幂函数呢？
作具体幂函数的图象→观察图象特征→总结函数性质
问题5：在同一坐标系中作出幂函数
的图象。
问题6： （探究性质）请同学们结合幂函数图象（课本第77页图2.3.1），将你发现的结论填在下面（课本第77页） 的表格内：
y = x3
定义域
值 域
单调性
定 点
y = x
R
R
R
[0，+∞）
{x| x ≠ 0}
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
{y| y≠ 0}
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
在
(-∞,+∞)上是增函数
在（－∞,0]上是减函数，在(0, +∞）上是增函数
在
(-∞,+∞)上都是增函数
在(0，+∞)上是增函数
在( －∞,0)和(0, +∞）上都是减函数
（1，1）
奇偶性
y = x2
幂函数的性质:
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1);
幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中a的不同而各异.
３.如果a<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数;
a<0
２.如果a>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数;
a>1
0练习: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象限内的图象，已知 k分别取 四个值，则相应图象依次为:________
一般地，幂函数的图象
在直线x=1的右侧，大指
数在上，小指数在下。
C4
C2
C3
C1
1
1、求下列幂函数的定义域：
（1）y=x （2）y=x
（3）y=x （4）y=x-2
练习
方法技巧:分子有理化
例3：在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率V（单位：cm3/s）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比．
(1) 写出气流速率V关于管道半径r的函数解析式；
(2) 若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400 cm3/s ，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率V的表达式；
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率．
作 业:
1、作业本：《幂函数》(共9张PPT)
2.1.2
a>1 0图
象
性
质 (1)定义域:
(2)值域:
(3)过定点:
(4)单调性： (4)单调性：
(5)奇偶性： (5)奇偶性：
R
(0,+∞)
(0,1)
指数函数的图象和性质
增函数
减函数
非奇非偶
非奇非偶
(6)当x>0时，
当x<0时，
(6)当x>0时，
当x<0时，
x
y
o
1
x
y
o
1
复习：
y>1;
00y>1.
练习1：
比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断；
(2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用作商法来判断或利用图象；
(3) 对于底数不同指数也不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断,常用1.
2.已知下列不等式，试比较m、n的大小：
3.比较下列各数的大小：
4、比较 （ ） ，2－1.5 ，（ ） 的大小是＿＿＿＿＿
2－1.5 < （ ） <（ ）
5、比较 0.60.6 ，0.60.7 ，0.70.6 的大小是＿＿＿
0.70.6＞0.60.6＞0.60.7
例1：根据条件，确定实数 的取值范围
(1)
(2)
练习2：
例2：求函数y=2 的增区间。
x2－2x＋3
1.函数y=2 的减区间是＿＿＿＿＿＿
-x2+2x-1
2.函数y= 的增区间是＿＿＿＿＿＿
练习3：
小结:
1.指数函数的单调性与底数a的关系;
2.指数函数的单调性的应用。
1.P60 B组 1，2
作业：
2.求函数
的单调递减区间
例3：求下列函数的值域
(1)
(2)(共12张PPT)
2.2.1
对数与对数运算1
引入：
1.庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
（1）取4次，还有多长？
（2）取多少次，还有0.125尺？
2.假设2002年我国国民生产总值为a亿元，
如果每年平均增长8%，那么经过多少年国
民生产总值是2002年的2倍？
抽象出：1.
这是已知底数和幂的值，求指数!
那么数x叫做以a为底 N的对数，
a叫做对数的底数，N叫做真数。
一般地，如果
定义：
记作
例如：
探究：
⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）
⑵
且
对任意
都有
⑶对数恒等式
如果把
中的 b写成
则有
⑷常用对数：
通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便,N的常用对数
简记作lgN。
例如：
简记作lg5；
简记作lg3.5.
⑸自然对数：
在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……
为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。
为了简便，N的自然对数
简记作lnN。
例如：
简记作ln3 ;
简记作ln10
（6）底数a的取值范围：
真数N的取值范围 :
例1 将下列指数式写成对数式：
（1）
（4）
（3）
（2）
（1）
（4）
（3）
（2）
例2 将下列对数式写成指数式：
例3.计算：
（1）
（2）
解：
设
则
设
解：
则
例4.求下列各式中x的值
练习1：书本P64 1，2，3，4
3.求使式子log(x＋2)(3-x)有意义的x的取值范围。
小结 :
那么数x叫做以a为底 N的对数，
a叫做对数的底数，N叫做真数。
一般地，如果
1.定义：
记作
2.掌握指数式与对数式的互化。
作业：P74
习题2.2 1，2(共14张PPT)
形如 的函数叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，+ ）。
一.对数函数的定义
二.对数函数的图象
思考：函数y=log2x与函数
的图象有何关系
用描点法画对数函数
二.对数函数的图象
x
0
1
y
（0x
0
1
y
（0x
0
1
y
（0x
0
1
y
（0x
0
1
y
（0x
0
1
y
（0x
0
1
y
（0x
0
1
y
（0x
0
1
y
（00
1
y
（a>1）
x
非奇非偶
奇偶性
(1,0)
定点
R
值域
定义域
大 致 图 形
三.对数函数的性质
y
x
0
1
y
（00
1
（a>1）
x
若00
若01则y<0
若a>1, x>1则y>0
若a>1, 0数值
变化
y=logax在（0，+ ）上单调递减。
y=logax在（0，+ ）上单调递增。
单调性
0a>1
大
致
图
形
x
0
1
y
x
0
1
y
在第一象限,底数越大,其图象越接近x轴。
在第四象限,底数越小,其图象
越接近x轴。
补充性质二
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。
补充性质一
图
形
1
0.5
y=log x
0.1
y=log x
y=lgx
2
y=log x
0
x
y
练习1：
x
y
0
1
y=log a x
y=log b x
y=log c x
y=log d x
比较a、b、c、d、1的大小
答：b>a>1>d>c
例1： 求下列函数的定义域：
例2:
比较下列各组数中两个值的大小：
方法：
利用对数函数的单调性比较两个对数的大小.
例3：比较下列各组中两个值的大小:
注: 当不能直接进行比较时, 可利用中间值
( 如1或0等 ) , 间接比较上述两个对数的大小。
练习：
将0.32，log20.5，log0.51.5由小到大排列，
顺序是：
log20.5< log0.51.5<0.32
2.求下列函数的值域：
练习2：
2.对数函数的图象和性质；
3.比较两个对数值的大小。
1.对数函数的定义；
小结：
作业：
习题2.2 A组 7，8
B组 2(共10张PPT)
2.2.1
对数与对数运算2
复习回顾：
⑶对数恒等式
⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）
⑵
练习：求下列各式的x：
指数运算性质:
新课讲解：
积、商、幂的对数运算法则：
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
(4)
例1:
解:（2）
例2：求下列各式的值:：
例3：
练习：计算各式的值
对数公式
1.loga1=0 logaa=1 logaan=n
小结:
3.
作业： 习题2.2 3，4(1)(4)，5
练习：
计算下列各式：(共10张PPT)
2.2.1
对数与对数运算3
1.loga1=0 logaa=1 logaan=n
复习回顾：对数公式
3.
其他重要公式1:
证明：设
由对数的定义可以得：
∴
即证得
练习：
探究：
如何将 化成以c为底的对数？
证明：
换底公式
换底公式变形1：
例1:计算
思考:
已知log23=a,3b=7,试用a,b表示log1256.
例2:已知a,b,c>0,
且ax=by=cz, 求证：c=ab.
证明：
换底公式
换底公式变形1：
换底公式变形2：
小结:
作业:
1.习题2.2 A组 6 , 11
B组 1(共9张PPT)
2.1.2
a>1 0图
象
性
质 (1)定义域:
(2)值域:
(3)过定点:
(4)单调性： (4)单调性：
(5)奇偶性： (5)奇偶性：
R
(0,+∞)
(0,1)
指数函数的图象和性质
增函数
减函数
非奇非偶
非奇非偶
(6)当x>0时，
当x<0时，
(6)当x>0时，
当x<0时，
x
y
o
1
x
y
o
1
复习：
y>1;
00y>1.
练习1：
比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断；
(2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用作商法来判断或利用图象；
(3) 对于底数不同指数也不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断,常用1.
2.已知下列不等式，试比较m、n的大小：
3.比较下列各数的大小：
4、比较 （ ） ，2－1.5 ，（ ） 的大小是＿＿＿＿＿
2－1.5 < （ ） <（ ）
5、比较 0.60.6 ，0.60.7 ，0.70.6 的大小是＿＿＿
0.70.6＞0.60.6＞0.60.7
例1：根据条件，确定实数 的取值范围
(1)
(2)
练习2：
例2：求函数y=2 的增区间。
x2－2x＋3
1.函数y=2 的减区间是＿＿＿＿＿＿
-x2+2x-1
2.函数y= 的增区间是＿＿＿＿＿＿
练习3：
小结:
1.指数函数的单调性与底数a的关系;
2.指数函数的单调性的应用。
1.P60 B组 1，2
作业：
2.求函数
的单调递减区间
例3：求下列函数的值域
(1)
(2)