(共14张PPT)
（1）函数零点的意义：函数的零点并不是“点”,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与轴交点的横坐标．
（2）函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与轴有交点．
1、函数零点的定义：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做y=f(x)的零点。
知识回顾
2、零点（根）的存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续的不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，
即存在c∈(a,b)，使f(c)=0 ，
这个c也就是方程f(x)=0的根.
CCTV2“幸运52”片段 ：
主持人李咏说道:猜一猜这架家用型数码相机的价格.观众甲:2000!李咏:高了! 观众乙:1000! 李咏:低了! 观众丙:1500! 李咏:还是低了!········
问题１:你知道这件商品的价格在什么范围内吗
问题２:若接下来让你猜的话,你会猜多少价格比较合理呢
答案:1500至2000之间
问题情境
-
3
2
2.5
+
-
2.75
+
-
3
2
2.5
+
-
+
-
2
3
已知f(2)<0,f(3)>0，求方程f(x)=lnx+2x-6=0的
-
2.5
2.75
+
+
如此下去，我们是否会得到方程lnx+2x-6=0的根？
近似解
根
假如此问题中，要求精确度为0.01，我们该将此过程进行到哪里？如何确认已经达到要求呢？
区间（a，b) 中点x1的值 f(a) f(b) f(x1 )近似值
(2 , 3) 2.5 负 正 -0.084
(2.5 , 3) 2.75 负 正 0.512
(2.5 , 2. 625) 2.5625 负 正 0.066
(2.5 , 2.75) 2.625 负 正 0.215
（2.5，2.5625） 2.53125 负 正 -0.009
（2.53125，2.5625） 2.546875 负 正 0.029
（2.53125，2.546875） 2.5390625 负 正 0.010
（2.53125，2.5390625） 2.53515625 负 正 0.001
二分法的定义
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数y=f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。
通过刚才求f(x)=lnx+2x-6的零点的近似值，你能归纳一下用二分法求函数零点近似值的一般步骤吗？
给定精确度 ，用二分法求函数y=f(x)零点近似值的步骤：
1、确定区间[a,b]（使f(a)·f(b)<0）
2、求区间（a,b）的中点c
3、计算f(c)
(1)若f(c)=0，则c就是函数的零点, 计算终止。
(2)若f(a)·f(c)<0,
则零点x0∈ (a,c) ，
否则零点x0∈ (c,b)
4、重复步骤2-3，直至达到精确度 ：即若|a-b|< ，则得到零点近似值a（或b）。
例、借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）
解：令f(x)=2x+3x-7，用计算器可作出此函数的对应值表与图象
x -1 0 1 2 3 4 5
y -9.5 -6 -2 3 10 21 40
由f(1)·f(2)<0可知，这个函数在（1,2）有零点x0.
计算f(1.5) ≈0.33,可知x0∈(1,1.5)…
同理可得x0∈(1. 375,1.5)， x0∈(1.375,1.4375)
∵|1.375-1.4375|=0.0625<0.1
∴原方程的近似解可取为1.4375。
x
y
x
y
x
y
x
y
理解概念
下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二
分法求图中交点横坐标的是( )
A
D
C
B
B
练习2: 某方程有一无理根在 区间D=(0,3)内，若用二分法求此根的近似值，将区间D至少等分 ___ 次后，所得近似值可精确到0.1。
5
例1、某方程有一无理根在区间(0,1)之内，若用二分法求此根的近似值，要求精确度为0.01，则至多将要等分的次数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
C
小结
1、在确定零点存在于某区间的基础上，探究了如何求零点的近似值。
2、用二分法求方程的近似解的基本步骤。
作业
P92 习题3.1 3 ,4
解：设函数f (x)=2x+x-4
则f (x)在R上是增函数∵f (0)= -3<0, f (2)=2>0
∴ f (x)在(0,2)内有惟一零点，
∴方程2x+x-4 =0在(0,2)内有惟一解x0。
由f (1)= -1<0, f (2)=2>0得：x0∈(1,2)
由f (1.5)= 0.33>0, f (1)=-1<0得：x0∈(1,1.5)
由f (1.25)= -0.37<0, f (1.5)>0得：x0∈(1.25,1.5)
由f (1.375)= -0.031<0, f (1.5)>0得：x0∈(1.375,1.5)
由f (1.4375)= 0.146>0, f (1.375)<0得：x0∈(1.375,1.4375)
∵ 1.375与1.4375的近似值都是1.4, ∴x0≈1.4
四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论(共20张PPT)
方程的根和函数的零点
思考：
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根
与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y= x2－2x－3
y= x2－2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
函数的图象
与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
.
.
.
.
.
y
x
0
－1
2
1
1
2
y= x2－2x+3
方程ax2 +bx+c=0
(a≠0)的根
函数y= ax2 +bx
+c(a≠0)的图象
判别式△ =
b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数的图象
与 x 轴的交点
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
两个不相等
的实数根x1 、x2
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点。
函数零点的定义：
注意：
零点指的是一个实数；
零点是一个点吗
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y= x2－2x－3
y= x2－2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
函数的图象
与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
.
.
.
.
.
y
x
0
－1
2
1
1
2
y= x2－2x+3
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
等价关系
(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5,
作出函数f(x)的图象，如下：
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
4
8
6
2
－2
4
它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。
(1) －x2＋3x＋5＝0
课堂练习
课堂练习：P88
(2)解：2x(x－2)＝－3可化为
2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x
＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下：
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
.
.
.
.
.
它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。
(2) 2x(x－2)＝－3
课堂练习
(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x
＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出
函数f(x)的图象，如下：
.
.
.
.
.
它与x轴只有一个交点，所以方程x2 ＝4x－4有两个相等的实数根。
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
6
4
(3) x2 ＝4x－4
课堂练习
(4)解：5x2 +2x＝3x2 +5可化为
2x2 ＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋
2x－5 , 作出函数f(x)的图象，
如下：
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－3
－3
－4
3
－6
－5
4
－4
－2
－2
.
.
.
.
.
它与x轴有两个交点，所以
方程5x2 +2x＝3x2 +5有两个不
相等的实数根。
(4) 5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5
课堂练习
y=－x2-x+20； (2)y=2x-1;
拓展：求下列函数的零点。
评注：求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点。
（2） 对于不能用求根公式的方程，
可以将它与函数的图象 联系
起来，并利用函数的性质找出零点．
（1） 求方程 的实数根；
（代数法）
（几何法）
归纳：函数 零点的求法：
0
1
2
3
4
5
-1
-2
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
x
y
探究
结论
例
例
1
2
4
5
1
2
3
4
-1
-3
-4
5
x
y
3
-1
-2
0
思考：
如何回避计算，利用初等函数图像和性质求解？
练习：
课堂小结：
课后作业：
1、求下列函数的零点：(1)y=-x2+6x+7；
(2)y=x3-4x。
2、若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，
求loga25 + b2。
１、函数零点的定义；
2、函数的零点与方程的根的关系；
3、确定函数的零点的方法。(共13张PPT)
3.1.2
用二分法求方程的近似解
从上海到杭州的海底电缆有17个节点，现在两接点之间某一段发生故障，需及时处理，为了尽快断定故障发生地段，一般至少需要检查几次？
例: 不用求根公式，如何求方程
x2-2x-1=0在[2，3]上一个近似解（精确度0.1）
解决问题的一般思想方法是如何的？
上面的方法就体现了我们的二分思想
这样的好处是可以较快地找到故障发生地段
区间（a，b) 中点x1的值 f(a) f(b) f(x1 )近似值
(2 , 3) 2.5 负 正 0.25
(2 , 2.5)
(2.375 , 2. 5)
(2.25 , 2. 5)
（2.375，2.4375）
2.25
负 正
-0.4375
2.375
2.4375
负 正
负 正
0.06640625
-0.109375
2.40625
负 正
-0.022460937
1.能否简述解上述方程近似解的过程？
2.二分法的概念
对于区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的
函数y=f(x),通过不断的把函数f(x)的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点
逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的
方法
我们已经知道，函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点，那么如何找出这个零点的近似值呢？（精确度0.01）
区间（a，b) 中点x1的值 f(a) f(b) f(x1 )近似值
(2 , 3) 2.5 负 正 -0.084
(2.5 , 3) 2.75 负 正 0.512
(2.5 , 2. 625) 2.5625 负 正 0.066
(2.5 , 2.75) 2.625 负 正 0.215
（2.5，2.5625） 2.53125 负 正 -0.009
（2.53125，2.5625） 2.546875 负 正 0.029
（2.53125，2.546875） 2.5390625 负 正 0.010
（2.53125，2.5390625） 2.53515625 负 正 0.001
给定精确度
，用二分法求函数f(x)零点近似解的步骤如下：
那么我们一起来总结一下二分法的解题步骤
,给定精确度 ；
⑴确定区间[a,b],验证
⑵求区间(a,b)的中点 ；
⑶计算f( ）；
若f(
)=0，则
就是函数的零点；
②若
，则令b=
(
)；
此时零点
③若
，则令a=
(此时零点
)；
⑷判断是否达到精确度
：即若|a-b|<
,则得到零点近似值
为a(或b);否则重复⑵~⑷
y
1
2
4
5
1
2
3
4
-1
-3
-4
5
x
3
-1
-2
0
观察可得，f(1)f(2)<0,说明这个函数在区间（1，2）内有零点，下面用二分法解
练习巩固：
借助计算器用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）
设f(x)= 2x+3x-7
区间（a，b) 中点x1的值 f(a) f(b) f(x1 )的符号
(1 , 2) 1.5 负 正 正
(1 , 1.5) 1.25 负 正 负
(1.375 , 1. 5) 1.4375 负 正 正
(1.25 , 1.5) 1.375 负 正 负
（1.375，1.4375） 1.40625 负 正 负
x
y
x
y
x
y
x
y
理解概念
下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二
分法求图中交点横坐标的是( )
A
D
C
B
B
练习2: 某方程有一无理根在 区间D=(0,3)内，若用二分法求此根的近似值，将区间D至少等分 ___ 次后，所得近似值可精确到0.1。
5
例1、某方程有一无理根在区间(0,1)之内，若用二分法求此根的近似值，要求精确度为0.01，则至多将要等分的次数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
C(共24张PPT)
函数模型及其应用
例题：
例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案呢？
投资方案选择原则：
投入资金相同，回报量多者为优
比较三种方案每天回报量
(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量
哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。
40
40
40
40
40
10
10+10
=10×2
10+10+10
=10×3
10+10+10+10
=10×4
10+10+10+10+10
=10×5
0.4
0.4×2
0.4×2×2
=0.4×22
0.4×2×2×2
=0.4×23
0.4×2×2×2×2
=0.4×24
方案一
方案二
方案三
1
2
3
4
5
则方案一可以用函数________________进行描述；
方案二可以用函数__________________描述；
方案三可以用______________________描述。
设第x天的回报是y元，
y=40 (x∈N*)
y=10x (x∈N*)
y=0.4×2x-1 (x∈N*)
三种方案每天回报表
x/天 方案1 方案2 方案3
y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元
1 40 10 0.4
2 40 0 20 10 0.8 0.4
3 40 0 30 10 1.6 0.8
4 40 0 40 10 3.2 1.6
5 40 0 50 10 6.4 3.2
6 40 0 60 10 12.8 6.4
7 40 0 70 10 25.6 12.8
8 40 0 80 10 51.2 25.6
9 40 0 90 10 102.4 51.2
10 40 0 100 10 204.8 102.4
… … … … … … …
30 40 0 300 10 214748365 107374182.4
x
y
20
40
60
80
100
120
140
4
2
6
8
10
12
从每天的回报量来看： 第1~4天，方案一最多： 每5~8天，方案二最多： 第9天以后，方案三最多；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … 30
方案一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 … 1200
方案二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 … 4650
方案三 0.4 1.2 2.8 6 12 25 50.8 102 204 409 819 … 429496729.2
累计回报表
投资1~6天，应选择方案一；
投资7天，应选择方案一或方案二；
投资8~10天，应选择方案二；
投资11天（含11天）以上，应选择方案三。
实际应用问题
分析、联想、抽象、转化
构建数学模型
解答数学问题
审 题
数学化
寻找解题思路
还原
（设）
（列）
（解）
（答）
★ 解答例1的过程实际上就是建立函数模型的过程，
建立函数模型的程序一般如下：
一次函数，
对数型函数，
指数函数。
①例2涉及了哪几类函数模型？
认真阅读P97例2，边阅读边思考下面的问题：
例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定
一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万
元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)
随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金
总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。
现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,
其中哪个模型能符合公司的要求？
①销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且
部门销售利润一般不会超过公司总的利润1000万元，
所以销售利润x可用不等式表示为____________.
③依据这个模型进行奖励时，奖金不超过利润的25%，
所以奖金y可用不等式表示为______________.
②依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，
所以奖金y可用不等式表示为__________.
10≤x≤1000
0≤y≤5
0≤y≤25%x
②你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗
▲ 通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？
200
400
600
800
1000
2
3
4
5
6
7
8
1
0
①对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,
当x>20时,y>5,因此该模型不符合要求;
②对于模型y=1.002x,它在区间[10,1000]上递增,
观察图象并结合计算可知,当x>806时,y>5,因此
该模型不符合要求;
③对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,
观察图象并结合计算可知,当x=1000时,
y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过
5万元的要求；
★按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？
解：当x∈[10,1000]时,要使y≤0.25x成立,
令f(x)= log7x+1－0.25x,当x∈[10,1000]时,
是否有f(x) ≤0恒成立
即当x∈[10,1000]时,f(x)= log7x+1－0.25x的
图象是否在x轴下方
作f(x)= log7x+1－0.25x的图象如下：
只需log7x+1≤0.25x成立，
即log7x+1－0.25x ≤0。
y
x
1
2
3
4
5
6
7
8
0
f(x)=log7x+1－0.25x
1
-1
根据图象观察,f(x)=log7x+1－0.25x的图象在区间[10,1000]内的确在x轴的下方.
f(x)=log7x+1－0.25x
这说明,按模型y=log7x+1奖励,奖金不会超过利润的25%.
f(x)= log7x+1－0.25x在区间[10,1000]内的图象如下：
几类函数的增长趋势
在区间(0,+∞)上都是增函数
x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …
…
…
...
2.639
3.482
4.595
6.063
8
10.556
1.96
3.24
4.84
6.76
9
11.56
1.149
0.04
-2.322
1.516
0.36
-0.737
2
1
0
0.485
0.848
1.138
1.379
1.585
1.766
谁增长得更快呢？
以下面三个函数为例探究三类函数的增长差异：
函数图象
y
x
2
4
6
8
10
o
-2
- 4
2
1
3
从更大的范围观察
的增长情况
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
1
2
8
4
16
32
64
128
256
…
0
1
4
9
16
25
36
49
64
…
函数图象
10
8
6
4
2
12
4
10
8
6
2
1
16
14
20
24
22
26
28
30
1
9
5
7
3
y
x
o
(2,4)
(4,16)
.
.
x 0 10 20 30 40 50 60 70 80
1
1024
1.05
E+06
1.07
E+09
1.10
E+12
1.13
E+15
1.15
E+18
1.18
E+21
1.21
E+24
0
100
400
900
1600
2500
3600
4900
6400
…
…
…
什么是“指数爆炸”式增长？
你体会到了吗？
函数图象
y
x
2
4
6
8
10
o
-2
- 4
2
1
3
一般地，对于指数函数 （a >1)和幂函数 (n >0)，可以发现，在区间（0，+ ）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内， 会小于 ，但由于 的增长快于 的增长，因此总存在一个 ，当X> 时，就会有 > 。
一般地，对于对数函数 （a >1)和幂函数 (n >0)，可以发现，在区间（0，+ ）上，在x的一定范围内， 会大于 ，但由于 的增长慢于 的增长，因此总存在一个 ，当X> 时，就会有 < 。
结论：
在区间
尽管函数
都是增函数，但它们的增长速度不同,不在一个“档次”上
因此总存在一个 ，当X> 时，就会有
< < .(共23张PPT)
函数模型的应用实例
某学生早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。
如果用纵轴表示离教室的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是（ ）
问题:
0
0
0
0
(A)
(B)
(C)
(D)
例1：一辆汽车在某段路程中的行驶速
度与时间的关系如图：
t
1
3
4
5
2
y
10
20
30
40
70
60
50
80
90
(一)求图中阴影部分的面积，
并说明所求面积的实际含义。
50
80
65
75
90
(Km/h)
(h)
0
（2）假设这辆汽车的里程表在行驶这段
路程前的读数为2004km，试建立汽车行
驶这段路程时汽车里程表读数 s km与时
间 t h的函数解析式，并作出相应的图像。
t
1
3
4
5
2
y
10
20
30
40
70
60
50
80
90
x
1
3
4
5
2
y
2000
2100
2200
2300
2400
例4：人口问题是当今世界各国普遍关注
的问题。认识人口数量的变化规律，可以
为有效控制人口增长提供依据。早在1798
年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然
状态下的人口增长模型：
其中t表示经过的时间， 表示t=0时的人
口数，r表示人口的年平均增长率。
下面是1950~1959年我国的人口数据资料：
55196
56300
57482
58796
60266
61456
62828
64563
65994
67207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这
一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨
斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口
增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否
相符；
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
(2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年
我国的人口达到13亿？
因为
，所以可以得出
年份
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
0.0200
0.0210
0.0229
0.0250
0.0197
0.0223
0.0276
0.0222
0.0184
于是，1951~1959年期间，我国人口的年
平均增长率为：
根据马尔萨斯人口增长模型 ，
，则我国在1951~1959年期间的人
口增长模型为
从该图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合。
4
6
8
50000
55000
60000
65000
70000
2
0
t
y
人口增长模型
（2）将y=130 000代入
由计算器可得 t≈38.76
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(1989)我国的人口就已达到13亿。由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力。
注 意
用已知的函数模型刻画实际的问题
时，由于实际问题的条件与得出已知
模型的条件会有所不同，因此往往需
要对模型进行修正。
注 意
1、注意培养制表，读表，读图，画图的能力。
2、分段函数是刻画现实问题的重要模型。
3、用已知的函数模型刻画实际的问题的
重要模型。
小结：
函数应用的基本过程
1、收集数据；
2、作出散点图；
3、通过观察图象判断问题所适用的函数
模型；
4、用计算器或计算机的数据拟合功能得
出具体的函数解析式；
5、用得到的函数模型解决相应的问题。
实际问题
数学模型
实际问题 的解
抽象概括
数学模型 的解
还原说明
推理
演算
作 业
第120页 第3题
例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的
进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元
日均销售量/桶
6
7
8
9
10
11
12
480
440
400
360
320
280
240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日均销售量就减少40
桶②销售利润怎样计算较好？
解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元，则有日均销售量为
（桶）
而
有最大值
只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。
`
1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
每间每天房价
住房率
20元
18元
16元
14元
65％
75％
85％
95％
要使每天收入达到最高，每间定价应为（ ）
A.20元 B.18元 C.16元 D.14元
2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为( )
A.95元 B.100元 C.105元 D.110元
C
A
y=(90+x-80）（400-20x)
例6：未成年男性身高与体重关系问题
函数拟合
函数应用的基本过程
1、收集数据；
2、作出散点图；
3、通过观察图象判断问题所适用的函数
模型；
4、用计算器或计算机的数据拟合功能得
出具体的函数解析式；
5、用得到的函数模型解决相应的问题。
实际问题
数学模型
实际问题 的解
抽象概括
数学模型 的解
还原说明
推理
演算(共23张PPT)
函数模型的应用实例
某学生早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。
如果用纵轴表示离教室的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是（ ）
问题:
0
0
0
0
(A)
(B)
(C)
(D)
例1：一辆汽车在某段路程中的行驶速
度与时间的关系如图：
t
1
3
4
5
2
y
10
20
30
40
70
60
50
80
90
(一)求图中阴影部分的面积，
并说明所求面积的实际含义。
50
80
65
75
90
(Km/h)
(h)
0
（2）假设这辆汽车的里程表在行驶这段
路程前的读数为2004km，试建立汽车行
驶这段路程时汽车里程表读数 s km与时
间 t h的函数解析式，并作出相应的图像。
t
1
3
4
5
2
y
10
20
30
40
70
60
50
80
90
x
1
3
4
5
2
y
2000
2100
2200
2300
2400
例4：人口问题是当今世界各国普遍关注
的问题。认识人口数量的变化规律，可以
为有效控制人口增长提供依据。早在1798
年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然
状态下的人口增长模型：
其中t表示经过的时间， 表示t=0时的人
口数，r表示人口的年平均增长率。
下面是1950~1959年我国的人口数据资料：
55196
56300
57482
58796
60266
61456
62828
64563
65994
67207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这
一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨
斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口
增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否
相符；
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
(2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年
我国的人口达到13亿？
因为
，所以可以得出
年份
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
0.0200
0.0210
0.0229
0.0250
0.0197
0.0223
0.0276
0.0222
0.0184
于是，1951~1959年期间，我国人口的年
平均增长率为：
根据马尔萨斯人口增长模型 ，
，则我国在1951~1959年期间的人
口增长模型为
从该图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合。
4
6
8
50000
55000
60000
65000
70000
2
0
t
y
人口增长模型
（2）将y=130 000代入
由计算器可得 t≈38.76
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(1989)我国的人口就已达到13亿。由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力。
注 意
用已知的函数模型刻画实际的问题
时，由于实际问题的条件与得出已知
模型的条件会有所不同，因此往往需
要对模型进行修正。
注 意
1、注意培养制表，读表，读图，画图的能力。
2、分段函数是刻画现实问题的重要模型。
3、用已知的函数模型刻画实际的问题的
重要模型。
小结：
函数应用的基本过程
1、收集数据；
2、作出散点图；
3、通过观察图象判断问题所适用的函数
模型；
4、用计算器或计算机的数据拟合功能得
出具体的函数解析式；
5、用得到的函数模型解决相应的问题。
实际问题
数学模型
实际问题 的解
抽象概括
数学模型 的解
还原说明
推理
演算
作 业
第120页 第3题
例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的
进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元
日均销售量/桶
6
7
8
9
10
11
12
480
440
400
360
320
280
240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日均销售量就减少40
桶②销售利润怎样计算较好？
解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元，则有日均销售量为
（桶）
而
有最大值
只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。
`
1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
每间每天房价
住房率
20元
18元
16元
14元
65％
75％
85％
95％
要使每天收入达到最高，每间定价应为（ ）
A.20元 B.18元 C.16元 D.14元
2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为( )
A.95元 B.100元 C.105元 D.110元
C
A
y=(90+x-80）（400-20x)
例6：未成年男性身高与体重关系问题
函数拟合
函数应用的基本过程
1、收集数据；
2、作出散点图；
3、通过观察图象判断问题所适用的函数
模型；
4、用计算器或计算机的数据拟合功能得
出具体的函数解析式；
5、用得到的函数模型解决相应的问题。
实际问题
数学模型
实际问题 的解
抽象概括
数学模型 的解
还原说明
推理
演算表3-10
身高cm 体重kg 函数 y
60 6.13 6.562061577
70 7.9 7.999116446
80 9.99 9.750878312
90 12.15 11.88626625
100 15.02 14.48929224
110 17.5 17.66236639
120 20.92 21.53032607
130 26.86 26.24534734
140 31.11 31.99293196
150 38.85 38.99920553
160 47.25 47.53981393
170 55.05 57.95076791
x y
60 6.13
70 7.9
80 9.99
90 12.15
100 15.02
110 17.5
120 20.92
130 26.86
140 31.11
150 38.85
160 47.25
170 55.05表3-10
身高cm 体重kg 函数 y
60 6.13 6.562061577
70 7.9 7.999116446
80 9.99 9.750878312
90 12.15 11.88626625
100 15.02 14.48929224
110 17.5 17.66236639
120 20.92 21.53032607
130 26.86 26.24534734
140 31.11 31.99293196
150 38.85 38.99920553
160 47.25 47.53981393
170 55.05 57.95076791
x y
60 6.13
70 7.9
80 9.99
90 12.15
100 15.02
110 17.5
120 20.92
130 26.86
140 31.11
150 38.85
160 47.25
170 55.05x y
0 55196
1 56300
2 57482
3 58796
4 60266
5 61456
6 62828
7 64563
8 65994
9 67207
x y
60 6.13
70 7.9
80 9.99
90 12.15
100 15.02
110 17.5
120 20.92
130 26.86
140 31.11
150 38.85
160 47.25
170 55.05x y1指数函数 y2幂函数 y3对数函数
0.2 1.148698355 0.04 -2.321928095
0.4 1.319507911 0.16 -1.321928095
0.6 1.515716567 0.36 -0.7369655942
0.8 1.741101127 0.64 -0.3219280949
1 2 1 0
1.2 2.29739671 1.44 0.2630344058
1.4 2.639015822 1.96 0.4854268272
1.6 3.031433133 2.56 0.6780719051
1.8 3.482202253 3.24 0.8479969066
2 4 4 1
2.2 4.59479342 4.84 1.137503524
2.4 5.278031643 5.76 1.263034406
2.6 6.062866266 6.76 1.378511623
2.8 6.964404506 7.84 1.485426827
3 8 9 1.584962501
3.2 9.18958684 10.24 1.678071905
3.4 10.55606329 11.56 1.765534746
3.6 12.12573253 12.96 1.847996907
3.8 13.92880901 14.44 1.925999419
4 16 16 2
4.2 18.37917368 17.64 2.070389328
4.4 21.11212657 19.36 2.137503524
4.6 24.25146506 21.16 2.201633861
4.8 27.85761803 23.04 2.263034406
5 32 25 2.321928095
5.2 36.75834736 27.04 2.378511623
5.4 42.22425314 29.16 2.432959407
0 1 0
1 2 1 0
2 4 4 1
3 8 9 1.584962501
4 16 16 2
5 32 25 2.321928095
6 64 36 2.584962501
7 128 49 2.807354922
8 256 64 3(共14张PPT)
3.2.1几类不同增长
的函数模型（2）
我们知道，指数函数y=ax (a>1) ，对数函数y=loga x(a>1)与幂函数y=xn (n>0)在区间(0,+∞)上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.
以下面三个函数为例探究三类函数的增长差异：
1、由表格数据观察三者的增长速度。
x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …
…
…
...
1.149
1.516
2
2.639
3.482
4.595
6.063
8
10.556
0.04
0.36
1
1.96
3.24
4.84
6.76
9
11.56
-2.322
-0.737
0
0.485
0.848
1.138
1.379
1.585
1.766
函数图象
y
x
2
4
6
8
10
o
-2
- 4
2
1
3
在更大范围内观察
的增长情况。
列表：
…
64
49
36
25
16
9
4
1
0
…
256
128
64
32
16
8
4
2
1
…
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x
函数图象
10
8
6
4
2
12
4
10
8
6
2
1
16
14
20
24
22
26
28
30
1
9
5
7
3
y
x
o
(2,4)
(4,16)
.
.
x 0 10 20 30 40 50 60 70 80
1
1024
1.05
E+06
1.07
E+09
1.10
E+12
1.13
E+15
1.15
E+18
1.18
E+21
1.21
E+24
0
100
400
900
1600
2500
3600
4900
6400
…
…
…
什么是“指数爆炸”式增长？
你体会到了吗？
函数图象
y
x
2
4
6
8
10
o
-2
- 4
2
1
3
借助图像，比较增长情况
探究
一般地，对于指数函数 （a >1)和幂函数 (n >0)，可以发现，在区间（0，+ ）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内， 会小于 ，但由于 的增长快于 的增长，因此总存在一个 ，当X> 时，就会有 > 。
一般地，对于对数函数 （a >1)和幂函数 (n >0)，可以发现，在区间（0，+ ）上，在x的一定范围内， 会大于 ，但由于 的增长慢于 的增长，因此总存在一个 ，当X> 时，就会有 < 。
结论：
在区间
尽管函数
都是增函数，但它们的增长速度不同,不在一个“档次”上
因此总存在一个 ，当X> 时，就会有
< < .
练习：在同一个直角坐标系内作出下列函数的图象，
并比较它们的增长情况：
观看三个函数函数增长差异.gsp的图象
由图象可以看到，
函数（1）以爆炸式的速度增长；
函数（2）增长缓慢，并渐渐趋于稳定；
函数（3）以稳定的速率增加。
1、本课学习的主要内容：
幂函数、指数函数、对数函数的增长差异性
2、数学思想与方法：
①注意信息技术的使用
②培养类比联想能力
作业：
P107 习题3.2A组 2,3x y
0 55196
1 56300
2 57482
3 58796
4 60266
5 61456
6 62828
7 64563
8 65994
9 67207
x y
60 6.13
70 7.9
80 9.99
90 12.15
100 15.02
110 17.5
120 20.92
130 26.86
140 31.11
150 38.85
160 47.25
170 55.05
