2.2一元二次方程的解法（根的判别式）

(共14张PPT)
杨岗寄宿学校
初中数学八年级下册
（苏科版）
4.2一元二次方程的解法 根的判别式
知识回顾
1.一元二次方程的求根公是什么？
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是
2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式，
进而确定a、b、c的值，再求出b2-4ac的值，
当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解；
当b2-4ac＜0时，方程无实数 解(根)
知识回顾
3.用公式法解下列方程：
⑴ x2＋x－1 = 0
⑵ x2－2
⑶ 2x2－2x＋1 = 0
x＋3 = 0
观察上面解一元二次方程的过程，一元二次
方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、
一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关
系不解方程得出方程的解的情况呢？
尝试：
不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0
⑵ x2 = 4x－4
⑶ x2－3x = －3
（3）没有实数根
答案：（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
你能得出什么结论？
可以发现b2－4ac的符号决定着方程的解。
概括总结
，x2=2
由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0
（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定
当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根
当b2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根
当b2－4ac ＜ 0时，方程没有实数根
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0
（a≠0）的根的判别式。
若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到
判别式的值的符号呢？
当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0
当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2－4ac = 0
当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac ＜ 0
概念巩固
1.方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，
所以方程的根的情况是 .
2.下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A.x2=9 B.4x2=3(4x-1)
C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0
-8
方程无实数根
D
3.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式
子是（ ）
A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac＜0
C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0
D
典型例题
例1不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）-x2+ x-6=0
（2）x2+4x=2
（3）4x2+1=-3x
（4）x2-2mx+4（m-1）=0
解（1）∵b2-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0
∴该方程有两个相等的实数根
（2） 移项，得x2+4x-2=0
∵b2-4ac=16-4×1×（-2）=16-（-8）
=16+8=24＞0
∴该方程有两个不相等的实数根
典型例题
例1不解方程，判断下列方程根的情况：
（3）4x2+1=-3x
（4）x2-2mx+4（m-1）=0
解（3）移项，得4x2+3x+1=0
∵b2-4ac=9-4×4×1=9-16=-7＜0
∴该方程没有实数根
（4）∵b2-4ac=（2m）2-4×1×4（m-1）
=4m2-16（m-1）
=4m2-16m+16
=（2m-4）2≥0
∴该方程有两个实数根
典型例题
例2 ：m为任意实数，试说明关于x的方程
x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等
的实数根。
解：
∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0
∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0
∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根
典型例题
例3：m为何值时，关于x的一元二次方程
2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1
∴b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0 ∴m＞
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0 ∴m=
（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0 ∴m＜
∴当m＞ 时，方程有两个不相等的实数根；当m= 时，
方程有两个相等的实数根；当m＜ 时，方程没有实数根
练一练
例4：已知关于x的方程
kx2－（2k＋1）x＋k＋3 = 0有两个不相等的实数
根，求k的取值范围。
解：∵方程有两个不相等的实数根
即k＜
∴（2k+1）2-4k（k+3）＞0
4k2+4k+1-4k2-12k＞0
-8k+1＞0
练一练
1.不解方程，判断方程根的情况：
(1)x2+3x-1=0;
(2)x2-6x+9=0;
(3)2y2-3y+4=0
(4)x2+5= x
练一练
2.k取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的
实数根？求这时方程的根。
3.已知a、b、c分别是三角形的三边，则关于x的一
元二次方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况
是（ ）
A、没有实数根
B、可能有且仅有一个实数根
C、有两个相等的实数根
D、有两个不相等的实数根。
归纳总结
一元二次方程的根的情况与系数的关系？
b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。利用根的
判别式可以在不解方程的情况下判断一元二次方程
的根的情况；反过来由方程的根的情况也可以得知
b2-4ac的符号，进而得出方程中未知字母的取值
情况。