第1章有理数
1.1 具有意义相反的量
湖南省新邵县酿溪中学 王军旗
教学目标：
【知识与技能】
1、通过实例感受引入负数的必要性和合理性，能应用正负数表示生活中具有意义相反的量。
2、理解有理数的意义，体会有理数的广泛应用。
【过程与方法】通过实例引入，认识到负数的产生是来源于生产和生活，会用正、负数表示具有意义相反的量，能按要求对有理数进行分类。
【情感态度与价值观】
通过实例抽象出负数，感受数学概念与现实生活的密切联系，初步体验数学的分类思想。
重点、难点
重点：正数负数的意义，能有理数的意义，能正确的对有理数分类。
难点：对负数的理解以及正确的对有理数分类。
教学过程
一 激情引趣，导入新课
导语一、投影珠穆朗玛峰图：现实世界中有许多具有相反意义的量， 例如， 温度的零上与零下， 在银行存款与取款， 珠穆朗玛峰的海拔高度与吐鲁番盆地艾丁湖湖面的海拔高度……如何用数表示它们？ 对这些数如何进行运算？ 学了本章同学们就会知道： 负数的引进， 为数学开辟了新的天地！
观察：
冬天， 北京白天的最高气温经常为零上几摄氏度， 而夜晚的最低气温为零下几摄氏度， 如何区分零上的度数与零下的度数呢？右边的温度计用使用了什么方法？
零上的度数用黑色数字表示， 而零下的度数用蓝色数字表示．
2、２００２ 年2 月4 日， 中央电视台（ＣＣＴＶ－１） 新闻联播后播出城市天气预报， 播音员
说： “北京， 晴， 零下6 ℃到５ ℃郾” 这时屏幕上显示： “北京， －6 ～５ ℃”。天气预报中零零下温度是怎样表示的呢？
在天气预报中， 零下6℃是用-6℃表示.
3． 下表是李老师使用的“一本通” 储蓄存折中的一页． 把“存入”和“支出” 合写在“存入（＋） 支出（－）” 一栏中，存储表中，怎样表示存入与支出呢？
在储蓄表中， 存入６５３．５６ 元记作＋ ６５３．５６元， 支出１００．００元记作－ １００．００元．
二 合作交流,探究新知
意义相反的量及表示方法
在上面的两个例子中， 温度的零上与零下意义相反； 储蓄中存入与支出也意义相反． 为了便于区分这些意义相反的量， 数学上就规定：在具有相反意义的一对量中， 把其中的一种量用正数（ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒ）表示， 如小学学的不等于０ 的自然数和分数（或小数） 就是正数； 而另一种量用负数（ｎｅｇａｔｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒ） 表示， 它是在正数前面加上“－” （读作负） 号，如－6， －１００．００， － ２３， － ０．１６８， …就是负数．有的时候在正数前面加上“＋” （读作正） 号， 以强调它是正数． 例如， 正数５ 写作＋５， 但通常把“＋” 号省略不写．
温馨提示：（1）意义相反的量，有两点值得注意，一是有两个量，所谓量，就得带上单位，二是意义相反。如：向东走10米，和运进20吨就不是意义相反的量。
（2）区分意义相反的量是用正数和负数来表示。
（3）０ 既不是正数， 也不是负数．
【变式练习】
你能举出实际生活中具有相反意义的量的例子吗？怎样分别表示它们呢？
如：①文具店经销计算器， 买进与卖出意义相反． 买进１００ 个记作１００， 卖出５８ 个记作－５８．
②在东西向的马路上， 向东走与向西走意义相反． 向东走２ km记作２ km， 那么向西走２．６ km 应
记作－２．６ km．
2、在下列横线上填上适当的文字，使其前后构成意义相反的量。
（1） 收入1000元，______200元，（2） 上升20米，______25米；
2、 正数和负数，零和负数大小的比较
想一想：
1 某地2月18日凌晨一点的温度是0°C凌晨4点的温度是-2°C，哪个时刻温度低？
2珠穆朗玛峰海平面高度为8844.43米，吐鲁番盆地海平面高度为-155米，海平面高度为0米，哪个地方低？
你能否从这两个例子受到启发，比较正数和零，负数和零，正数和负数的大小。
正数____0, 负数____0 正数_____负数
3、 有理数的概念
（1）小学你学过哪些数？现在你又学到了什么数？
（2）对我们已经学过的数怎样分类？
①按"整分性"分
正整数、零、负整数统称为____,正分数、负分数统称为____,整数和分数统称为______
②按正负性分
正有理数包括______和______,负有理数包括______和_______.
请填写下表：
温馨提示：（1）正数和零称为_____,(2)负数和零称为______,(3) 如果把整数看作分母是1的分数，这时分数就包含了整数，如果没有特别的说明，分数是指分母不等于1的分数。
（4）所有的整数集合在一起，组成了整数集，所有的有理数集合在一起就组成了有理数集。
三 应用迁移，拓展提高。
1相反意义的量
例1 判断下列各题是否是相反意义的量,(1) 上升和下降（2） 运进货物100吨和下降100米，（3）向东走10米与向西走1米
【解】意义相反的量有两个因素：一是意义相反、二是“量”（有单位）因此(1)、（2）不是，（3）是。
【变式练习】将下列意义相反的量用线连接起来。
向东走10m， 亏损500元
盈利20000元 运出1000吨
运进500吨 向西走40m
2、表示相反意义的量
例2 (1) 收入10万元，记作:+10万元，支出1000元记作______.
(2) 水位升高1.2米，记作+1.2米，那么-3.0米表示_________.
【变式练习】
小华在学校门口练习跑步，他从校门口出发，先向南跑600m记作-600m，又折回来继续跑700m，这里的700m记作_________,此时他在校门口什么方向，离校门口多少米？(答：______、_______m)，他一共跑了__________m.
3有理数的概念
例3 下列说法正确的是（ ）
A 正数、零、负数统称为有理数。 B 分数、整数统称为有理数。
C 正有理数、负有理数统称为有理数。D 以上都不对
例4 已知：1、0、-37、0.2， ，-0.01，-20％， ， ，其中整数有___________________,
负分数有__________________.
【变式训练】
1、（2009.温州）在0,、1、-2、-3.5这四个数中，是负整数的是（ ）
A 0， B 1， C -2， D -3.5
下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？
5、-2、1、、0.01、-4、0、-、-600、+3，
4实践应用
例5 北京与巴黎两地时差是-7（带正号的数表示同一时刻比北京早的时间数），如果现在北京时间是7：00，那么巴黎的时间是_________
【答】0
【变式训练】某种机器零件的标准直径为10mm，规定直径的误差不得超过±0.08mm,只是什么意思？
四 课堂练习，巩固提高
1、（2010广东广州，1，3分）如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（ ）
A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8%
【答案】B
2、约旦死海海拔高度-392m,艾丁湖海拔高度-154m,哪个地方高些？
约旦死海
下表今年4月某一周资江水位情况（上周末水位达到警戒水位记作0）“+”表示水位比前一天上升，“-”表示水位比前一天下降。
星期 一 二 三 四 五 六 七
水位变化（米） +0.20 +0.81 -0.35 +0.08 +0.28 -0.36 -0.01
本周哪一天河流水位最高？哪一天河流水位最低？它们分别位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离是多少？
与上周末相比，本周末水位是上升了还是下降了？
【解】 (1)本周水位最高的是星期二,最低的是星期六,分别在警戒线之上0.81m和警戒线之下0.36m；
（2）与上周末相比，本周水位下降了0.01m.
五 知识小结，巩固升华
1 什么样的量才是意义相反的量？
2 意义相反的量怎样表示？
3 什么叫有理数？有理数怎样分类？
作业：P 6-7 A、B 全部做
选作：
观察下面依次排列的一列数，你能发现它的排列有什么规律？它后面的三个数可能是什么数？试把它写出来。
（1）1，-2,4，-8,16，-32，______,_______,________...
【答】64，-128,256
(2) 3,2,1,0,-1,-2,-3,_____,______,_________，…
-4，-5，-6
2、探索规律：按一定规律排列的一串数：…第98个数是_____
【答】(共30张PPT)
现实世界中有许多具有相反意义的量， 例如， 温度的零上与零下， 在银行存款与取款， 珠穆朗玛峰的海拔高度与吐鲁番盆地艾丁湖湖面的海拔高度……如何用数表示它们？ 对这些数如何进行运算？ 学了本章同学们就会知道： 负数的引进， 为数学开辟了新的天地！
1.1具有相反意义的量
湖南省新邵县酿溪中学王军旗
观察：
1、冬天， 北京白天的最高气温经常为零上几摄氏度， 而夜晚的最低气温为零下几摄氏度， 如何区分零上的度数与零下的度数呢？右边的温度计使用了什么方法？
零上的度数用黑色数
字表示， 而零下的度
数用蓝色数字表示。
新课引言
2、２００２ 年2 月4 日， 中央电视台（ＣＣＴＶ－１） 新闻联播后播出城市天气预报， 播音员
说： “北京， 晴，
零下6 ℃到５ ℃”
这时屏幕上显示：
“北京， －6 ～５ ℃”
。天气预报中零下
温度是怎样表示的呢？
在天气预报
中， 零下6℃是
用-6℃表示.
3． 下表是李老师使用的“一本通” 储蓄存折中的一页． 把“存入”和“支出” 合写在“存入（＋） 支出（－）” 一栏中，存储表中，怎样表示存入与支出呢？
存入６５３．５６ 元记作：＋ ６５３．５６元， 支出１００．００元记作：－ １００．００元．
用“+”表示存入，
用“-”表示支出
在上面的两个例子中， 温度的零上与零下意义相反
； 储蓄中存入与支出也意义相反． 为了便于区分这些
意义相反的量， 数学上就规定：在具有相反意义的一
对量中， 把其中的一种量用正数（ｐｏｓｉｔ
ｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒ）表示， 如小学学的不等于０
的自然数和分数（或小数） 就是正数； 而另一种量
用负数（ｎｅｇａｔｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒ） 表示，
它是在正数前面加上“－” （读作负） 号，如－6
， －１００．００， － ２３， － ０．１６８， …
就是负数．有的时候在正数前面加上“＋” （读作
正） 号， 以强调它是正数． 例如， 正数５ 写作＋
５， 但通常把“＋” 号省略不写．
主题讲解
主题一、意义相反的量及表示方法
注意！
（1）意义相反的量，有两点值得注意，一是有两个量，所谓量，就得带上单位，二是意义相反。如：向东走10米，和运进20吨就不是意义相反的量。
（2）区分意义相反的量是用正数和负数来表示。
（3）０ 既不是正数， 也不是负数．
【变式练习】
①你能举出实际生活中具有相反意义的量的例子吗？怎样分别表示它们呢？
②在东西向的马路上， 向东走与向西走意义相反． 向东走２ km记作：____， 那么向西走２．６ km 应记作:_____________km．
如：①文具店经销计算器， 买进与卖出意义相反． 买进１００ 个记作１００个， 卖出５８ 个记作－５８．
２ km
－２．６
2、在下列横线上填上适当的文字，使其前后构成意义相反的量。
（1）收入1000元，______200元，
（2） 上升20米，______25米；
支出
下降
主题二、正数和负数，零和负数大小的比较
想一想：
1 、某地2月18日凌晨一点的温度是0°C，凌晨4点的温度是-2°C，哪个时刻温度低？
2、珠穆朗玛峰海平面高度为8844.43米，吐鲁番盆地海平面高度为-155米，海平面高度为0米，哪个地方低？
你能否从这两个例子受到启发吗？怎样比较正数和零，负数和零，正数和负数的大小。
正数____0, 负数____0 正数_____负数
>
<
>
主题三、 有理数的概念
回顾：小学你学过哪些数？现在你又学到了什么数？
动脑筋：对我们已经学过的数怎样分类？
①按"整分性"分
正整数、零、负整数统称为_______,正分数、负分数统称为_______,整数和分数统称为______
②按正负性分
正有理数包括_________和_________,负有理数包括
_________和___________.
整数
分数
有理数
正整数
正分数
负整数
负分数
请你填写：
0
负整数
分
负分数
0
负有理数
正分数
负分数
温馨提示：
（1）正数和零称为_____,
(2)负数和零称为______,
(3) 如果把整数看作分母是1的分数，这时分数就包含了整数，如果没有特别的说明，分数是指分母不等于1的分数。
（4）所有的整数集合在一起，组成了整数集，所有的有理数集合在一起就组成了有理数集。
非负数
非正数
应用迁移
例1 判断下列各题是否是相反意义的量
(1) 上升和下降
（2） 运进货物100吨和下降100米，
（3）向东走10米与向西走1米
【解】意义相反的量有两个因素：
一是意义相反、二是“量”（有单位）
因此(1)、（2）不是，（3）是。
1、相反意义的量
【变式练习】将下列意义相反的量用线连接起来。
向东走10m， 亏损500元
盈利20000元 运出1000吨
运进500吨 向西走40m
2、表示相反意义的量
例2 (1) 收入10万元，记作:+10万元，支出1000元记作______.
(2) 水位升高1.2米，记作+1.2米，那么-3.0米表示_________.
-1000元
下降3.0米
【变式练习】
小华在学校门口练习跑步，他从校门口出发，先向南跑600m记作-600m，又折回来继续跑700m，这里的700m记作_________,此时他在校门口什么方向，离校门口多少米？(答：______、_______m)，他一共跑了__________m.
1300
北
100
700m
3、有理数的概念
例3 下列说法正确的是（ ）
A 正数、零、负数统称为有理数。
B 分数、整数统称为有理数。
C 正有理数、负有理数统称为有理数。
D 以上都不对
B
例4 、已知：1 、0，-37、0.2、-0.01、
-20％
其中整数有___________________,
负分数有__________________.
1、0、-37
-0.01、-20％
【变式训练】
1、（2009.温州）在0,、1、-2、-3.5这四个数中，是负整数的是（ ）
A 0， B 1， C -2， D -3.5
C
2、下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ 5、-2、1、 、0.01、-4、0、 、-600、+3，
【解】正数有：5、1、0.01、+3、
负数有：-2、-4、-600
4实践应用
例5 北京与巴黎两地时差是-7（带正号的数表示同一时刻比北京早的时间数），如果现在北京时间是7：00，那么巴黎的时间是_________
【变式训练】某种机器零件的标准直径为10mm，规定直径的误差不得超过±0.08mm,这是什么意思？
0
【答】 ± 0.008mm表示生产出的零件直径可以在9.92mm和10.08mm之间。
课堂测试
1、（2010广东广州，1，3分）如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作
（ ）
A．－18%，B．－8%，C．＋2%，D．＋8%
B
2、约旦死海海拔高度-392m,艾丁湖海拔高度-154m,哪个地方高些？
约旦死海
艾丁湖高
3、下表今年4月某一周资江水位情况（上周末水位达到警戒水位记作0）“+”表示水位比前一天上升，“-”表示水位比前一天下降。
星期
一
二
三
四
五
六
七
水位
变化
（米）
+0.20
+0.81
-0.35
+0.08
+0.28
-0.36
-0.01
（1）本周哪一天河流水位最高？哪一天河流水位最低？它们分别位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离是多少？
（2）与上周末相比，本周末水位是上升了还是下降了？
【解】 (1)
本周水位最高的是星期五,最低的是星期一,分别在警戒线之上1.02m和警戒线之上0.2m；
（2）与上周末相比，本周水位上升了0.01m.
1 2 3 4 5 6 7
实际水位 0.2 1.01 0.66 0.74 1.02 0.66 0.65
小结
1、一对意义相反的量，可以分别用正数和负数来表示，0既不是正数也不是负数;
2、正数>0>负数;
3、正整数、0、负整数统称为有理数。
作业：P 6-7 A、B 全部做
选作：
1、观察下面依次排列的一列数，你能发现它的排列有什么规律？它后面的三个数可能是什么数？试把它写出来。
（1）1，-2,4，-8,16，-32，______,_______,________...
(2) 3,2,1,0,-1,-2,-3,_____,______,_________，…
64， -128, 256
-4， -5， -6
2、探索规律：按一定规律排列的一串数：
…第98个数是_____
