2020-2021学年北盘江镇牛场中学数学教研组公开示范课
《二次函数的图象与性质》第3课时
教学设计
一、教学内容及内容分析：
1.内容：1、y=a(x-h)2+k的二次函数的图象与性质。
2、二次函数y=a(x-h)2+k在实际生活中的简单应用。
2.内容分析：本节课的内容包含y=a(x-h)2+k（a≠0，下同）的图像与性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）和性质在生活中的简单应用两部分。对二次函数y=a(x-h)2+k的研究是以形如y=ax2，y=ax2+k,y=a(x+h)2的二次函数研究为基础，也为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）做准备。
二次函数是一种重要的数学思想，是描述现实世界变量之间的重要数学模型。二次函数图像的教学，是整个初中数学教学的重点和难点，在教材中有着举足轻重的地位，本节课是函数图像与性质的第3课时，在此之前，学生已学习了二次函数y=ax2的图像与性质，并初步掌握了研究二次函数图像与性质的基本方法和思路。本节课是学生第一次接触用二次函数知识解决实际问题，同时又是后面学习“22.3实际问题与二次函数”的基础做准备。
基于以上分析，确定本节课的教学重难点如下：
3.教学重点
1、能够作出和+的图像，并能理解它与的图像的关系。理解,,对二次函数图像的影响。
2、能正确说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，准确把握二次函数的性质特点。
二、教学目标及目标分析：
（一）教学目标
1.让学生通过函数图像理解形如y=a(x-h)2+k的性质，并能理解它与y=ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响，体会数形结合的思想；
2.让学生初步掌握利用函数知识解决生活中的简单问题；
3.让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程，努力提高学生学习函数的热情，培养学生主动探究的习惯。
（二）目标分析
达成目标（1）的标志是：能确定二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值等性质，体会数形结合的的思想；
达成目标（2）的标志是：会用待定系数法结合本节课的所学性质解决例题3中的喷泉问题；
达成目标（3）的标志是：经过自学导学和合作探究环节，能使学生自己推出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值等性质。
教学问题诊断分析：
学情分析：
学生已有的认知基础：已经掌握形如y=ax2+k和y=a(x+h)2(a≠0）的二次函数图像与性质，这为本节课知识点的化归过程奠定了基础；八年级下学期已掌握了利用待定系数法确定一次函数解析式，这为本节课利用待定系数法确定二次函数y=a(x-h)2+k
(a≠0）奠定了基础。
教学问题诊断：
在本节课之前，学生已探究过二次函数y=ax2+k和y=a(x+h)2(a≠0）的图象和性质，要想将其化归为形如y=a(x-h)2+k的二次函数形式，这种化归思想仍是学生学习经验中所欠缺的。另外理解和确定抛物线y=a(x-h)2+k的增减性和最值需要分类讨论，部分意识薄弱和抽象思维欠缺的学生不易接受。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：
教学难点：1.理解抛物线y=ax2+k和y=a(x+h)2(a≠0）的性质化归到抛物线y=a(x-h)2+k（a≠0）的性质的过程；
2.确定抛物线y=a(x-h)2+k（a≠0）的增减性和最值。
四、教学准备：多媒体课件、导学案
五、教学过程设计
一、知识回顾，导入新课
问题1：根据你所学知识回答下列各问题，
1.函数y=x2+3的图象的顶点坐标是___________；开口方向是______；最_
_值是________.
2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值。
向上平移3个单位
y=-2x2+3
3.把y=-2x2的图象
向左平移2个单位
y=-2(x+2)2
问题2：请猜测一下，二次函数y=-（x+1）2-1的图象可以否由y=-x2图象平移得到？你认为该如何平移呢？
二、探究交流，获取新知
探究（一）二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
接下来，我们开始研究二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，首先我们从实例出发。请同学们在导学案的坐标纸上画出的图象，回答下列问题：
指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及最值。
由此特例，你能归纳出二次函数y=a(x-h)2+k的图象特点吗？
请同学们合作探究，完成下列表格：
y=a（x-h）2+k
a>0
a<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
探究（二）二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
接下来，请同学们思考一下，怎样移动抛物线y=-x2得到y=-（x+1）2-1?
学生合作交流探究，思考，并得出结论，学生代表说出结论。
归纳总结：二次函数y=a(x-h)2+k与二次函数y=ax2的图象有什么关系？
二次函数y=a(x-h)2+k的图象是由二次函数y=ax2的图象先向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度得到的。
h＜0时，图象向左平移；h＞0时，图象向右平移。
k＜0时，图象向下平移；k＞0时，图象向上平移。
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象。因此，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，平移规律如下图所示：
我们把y=a(x-h)2+k（a≠0）叫做二次函数的顶点式。
三、例题解析
例2.
已知二次函数y＝a(x-h)2+k的顶点坐标是（1，-4），且图象经过点(3，0)．
求a的值，并写出开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值。
例3.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?[时间充足的情况下完成例题3，若时间不允许则跳过]
四、随堂练习
1、完成下列表格：
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5
y=－3(x－1)2－2
y
=
4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
2、把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是
。
3、抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为
。
五、反思小结，总结提炼
1.经过本节课的学习，你有哪些收获收获？还有哪些疑惑？
2.你认为怎样的学习模式有利于自己的学习？
六、作业布置
1、必做题：教材41页，第5、7题；
2、选做题：（预习）你能用配方的办法将下列二次函数转化成y=a(x-h)2+k的形式吗？然后说出对称轴、顶点坐标。
（1）y=x2+2x+3;
(2)y=-x2+6x+1。
六、板书设计
二次函数y＝a(x-h)2+k（a≠0）的图象与性质。
第3课时
1、顶点式：y＝a(x-h)2+k（a≠0）。
2、开口方向：与a的符号有关
3、对称轴：直线x=h
4、顶点坐标：（h,k）
5、最值：
6、增减性：
七、教学反思
《二次函数的图象与性质》第3课时
说
课
稿
各位老师大家下午好，我今天的授课内容是：人教版九年级数学上册第22章《二次函数》第二小节部分，二次函数的图象与性质第3课时，下面我将从以下几个方面进行说课：
一、教学内容及内容分析：
1.内容：1、y=a(x-h)2+k的二次函数的图象与性质。
2、二次函数y=a(x-h)2+k在实际生活中的简单应用。【该内容具体体现在教学过程设计中的例题3】
2.内容分析：本节课的内容包含y=a(x-h)2+k（a≠0，下同）的图像与性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）和性质在生活中的简单应用两部分。对二次函数y=a(x-h)2+k的研究是以形如y=ax2，y=ax2+k,y=a(x+h)2的二次函数研究为基础，也为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）做准备。
二次函数是一种重要的数学思想，是描述现实世界变量之间的重要数学模型。二次函数图像的教学，是整个初中数学教学的重点和难点，在教材中有着举足轻重的地位，本节课是函数图像与性质的第3课时，在此之前，学生已学习了二次函数y=ax2的图像与性质，并初步掌握了研究二次函数图像与性质的基本方法和思路。本节课是学生第一次接触用二次函数知识解决实际问题，同时又是后面学习“22.3实际问题与二次函数”的基础做准备。
基于以上分析，确定本节课的教学重难点如下：
3.教学重点
1、能够作出和+的图像，并能理解它与的图像的关系。理解,,对二次函数图像的影响。
2、能正确说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，准确把握二次函数的性质特点。
二、教学目标及目标分析：
（一）教学目标
1.让学生通过函数图像理解形如y=a(x-h)2+k的性质，并能理解它与y=ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响，体会数形结合的思想；
2.让学生初步掌握利用函数知识解决生活中的简单问题；
3.让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程，努力提高学生学习函数的热情，培养学生主动探究的习惯。
（二）目标分析
达成目标（1）的标志是：能确定二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值等性质，体会数形结合的的思想；
达成目标（2）的标志是：会用待定系数法结合本节课的所学性质解决例题3中的喷泉问题；
达成目标（3）的标志是：经过自学导学和合作探究环节，能使学生自己推出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值等性质。
教学问题诊断分析：
学情分析：
学生已有的认知基础：已经掌握形如y=ax2+k和y=a(x+h)2(a≠0）的二次函数图像与性质，这为本节课知识点的化归过程奠定了基础；八年级下学期已掌握了利用待定系数法确定一次函数解析式，这为本节课利用待定系数法确定二次函数y=a(x-h)2+k
(a≠0）奠定了基础。【体现在教学环节设计中的例题2】
教学问题诊断：
在本节课之前，学生已探究过二次函数y=ax2+k和y=a(x+h)2(a≠0）的图象和性质，要想将其化归为形如y=a(x-h)2+k的二次函数形式，这种化归思想仍是学生学习经验中所欠缺的。另外理解和确定抛物线y=a(x-h)2+k的增减性和最值需要分类讨论，部分意识薄弱和抽象思维欠缺的学生不易接受。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：
教学难点：1.理解抛物线y=ax2+k和y=a(x+h)2(a≠0）的性质化归到抛物线y=a(x-h)2+k（a≠0）的性质的过程；
2.确定抛物线y=a(x-h)2+k（a≠0）的增减性和最值。
四、教学准备：多媒体课件、导学案【为能更好的突破本节课的教学难点，我准备了二次函数的图象动画，形象的向学生展示y=ax2+k和y=a(x+h)2(a≠0）的图象到y=a(x-h)2+k（a≠0）的变化过程，同时为能帮助学生更好的完成本课时的学习目标，体现本节课的教学重点，我为学生设计了导学案，通过让学生自主合作交流探究的形式，完成我设计的表格】
五、教学过程设计
一、知识回顾，导入新课
问题1：根据你所学知识回答下列各问题，
1.函数y=x2+3的图象的顶点坐标是___________；开口方向是______；最_
_值是________.
2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值。
向上平移3个单位
y=-2x2+3
3.把y=-2x2的图象
向左平移2个单位
y=-2(x+2)2
问题2：请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2平移得到？你认为该如何平移呢？
【问题1主动思考和回忆，然后齐声回答老师的问题，设计该环节主要是让老师了解学生已学知识的掌握情况，即了解本节课的真实“学情”，问题2起到承上启下的作用，同时引发学生对本节课的思考】
二、探究交流，获取新知
探究（一）二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
接下来，我们开始研究二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，首先我们从实例出发。请同学们在导学案的坐标纸上画出的图象，回答下列问题：
【该环节让学生在自学导航的指引下，可以独立画图，思考，总结，得出结论也可以与周围的同学交流完成；在完成表格步骤，让学生与小组成员一起合作交流完成，培养学生的合作交流能力；待学生完成表格后，由学生代表归纳总结，培养学生的表达能力】
例题2：已知抛物线顶点坐标，求抛物线解析式问题。该问题是教学目标2的体现，是在学生已学习用待定系数法求一次函数解析式的基础上设计的，主要是培养学生应用新知的能力和团队合作意识。基于本班学情，该问题由学生独立完成会有困难，所以该例题由老师协助学生完成。
例题3：喷泉问题，是抛物线在实际生活中的实际应用，通过解决喷泉问题，让学生感受学习数学主要是去解决生活中的实际问题，从而增强学生学习数学的动力，教师再次以板书形式写出解题格式，起到示范作用。【该问题由生活共同完成】
课堂练习、小结环节以及作用布置环节：通过课堂练习和小结巩固和重温本节课的重点内容，查缺补漏，达到知识升华的作用，同时让教师了解学生对本节课知识掌握程度如何，有助于后续教学的调整；作业分层布置，起到因人而异，按需发展的效果。
完毕！
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10(共19张PPT)
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的
图象和性质
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
授课教师：王静
知识回顾，导入新课
1.
函数
的图象的顶点坐标是
；开口方向是
；最
值是
.
(0，3)
小
向上
3
2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值？
3.把y=-2x2的图象
向上平移3个单位
y=-2x2+3
向左平移2个单位
y=-2(x+2)2
4.请猜测一下，二次函数y=-
（
x+1）2-1的图象是否可以由
y=
-
x2平移得到？你认为该如何平移呢？
y=-2x2+3
y=-2(x+2)2
y=-2x2+3
y=-2(x+2)2
一、二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
例1
画出函数
的图像，指出它的开口方向、对称轴、顶点、增减性以及最值。
探索交流，获取新知
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
解:
先列表
再描点、连线
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-1)；
最大值y=-1。
二次函数
y=a(x-h)2+k（a
≠
0）的性质
y=a(x-h)2+k
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
直线x=h
直线x=h
顶点坐标
（h,k）
（h,k）
最值
当x=h时，y最小值=k
当x=h时，y最大值=k
增减性
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
知识要点
向左平移
1个单位
二、二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
怎样移动抛物线
就可以得到抛物线
？
平移方法1
向下平移
1个单位
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
怎样移动抛物线
就可以得到抛物线
？
平移方法2
向左平移
1个单位
向下平移
1个单位
二次函数y=ax2
与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的.
y
=
ax2
y
=
ax2
+
k
y
=
a(x
-
h
)2
y
=
a(
x
-
h
)2
+
k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
平移规律
简记为：
上下平移，
括号外上加下减；
左右平移，
括号内左加右减.
二次项系数a不变.
要点归纳
顶点式
例2.
已知二次函数y＝a(x-h)2+k的顶点坐标是（1，-4），且图象经过点(3，0)．
求a的值，并写出开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值。
例3.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
C(3,0)
B(1，3)
A
x
O
y
1
2
3
1
2
3
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)，
∴
0=a(3－1)2＋3.
解得:
因此抛物线的解析式为:
y=a(x－1)2＋3
(0≤x≤3).
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
3
4
a=－
y=
(x－1)2＋3
(0≤x≤3)
3
4
－
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
(
1,
－2
)
向下
向下
(
3
,
7)
(
2
,
－6
)
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3,
5
)
y=－3(x－1)2－2
y
=
4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下列表格:
课堂练习，巩固新知
2.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1
个单位，那么所得抛物线是___________________.
3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为______________
1.经过本节课的学习，你有哪些收获收获？还有哪些疑惑？
2.你认为怎样的学习模式有利于自己的学习？
反思小结，观点提炼
一般地，抛物线
y
=
a(x-h)2+k与y
=
ax2形状相同，位置不同.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
图象特点
当a>0,开口向上；当a<0,开口向下.
对称轴是x=h,
顶点坐标是（h,k).
平移规律
左右平移：括号内左加右减；
上下平移：括号外上加下减.
课堂小结
布置作业
1、必做题：教材41页，第5、7题；
2、选做题：（预习）你能用配方的办法将下列二次函数转化成y=a(x-h)2+k的形式吗？然后说出对称轴、顶点坐标。
（1）y=x2+2x+3;
(2)y=-x2+6x+1
感谢同学们积极参与课堂！
感谢各位老师前来听课！
再见！二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质
自主预习清单
学习目标：
1、会画二次函数y=a(x-h)2+k的图象；
掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质；
会应用二次函数y=a(x-h)2+k的性质解决实际问题。
预习导入：
问题1：根据你所学知识回答下列各问题，
1.函数y=x2+3的图象的顶点坐标是___________；开口方向是______；最_
_值是________.
2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值。
向上平移3个单位
得到：
3.把y=-2x2的图象
向左平移2个单位
得到：
问题2：请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2平移得到？你认为该如何平移呢？
二、探究交流，获取新知
探究（一）二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
接下来，我们开始研究二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，首先我们从实例出发。请同学们在导学案的坐标纸上画出的图象，回答下列问题：
1、开口方向：
对称轴：
顶点坐标：
最值：
增减性：
2、由此特例，你能归纳出二次函数y=a(x-h)2+k的图象特点吗？
请同学们合作探究，完成下列表格：
y=a（x-h）2+k
a>0
a<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
探究（二）二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
接下来，请同学们思考一下，怎样移动抛物线y=-x2得到y=-（x+1）2-1?
学生合作交流探究，思考，并得出结论。
方法一：
方法二：
归纳总结：二次函数y=a(x-h)2+k与二次函数y=ax2的图象有什么关系？
我们把y=a(x-h)2+k（a≠0）叫做二次函数的顶点式。
三、例题解析
例2.
已知二次函数y＝a(x-h)2+k的顶点坐标是（1，-4），且图象经过点(3，0)．
求a的值，并写出开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值。
例3.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
四、随堂练习
1、完成下列表格：
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5
y=－3(x－1)2－2
y
=
4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
2、把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是
。
3、抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为
。
五、本节课学习效果反思，总结提炼
1.经过本节课的学习，你有哪些收获收获？还有哪些疑惑？
你认为怎样的学习模式有利于自己的学习？
六、作业布置
1、必做题：教材41页，第5、7题；
2、选做题：（预习）你能用配方的办法将下列二次函数转化成y=a(x-h)2+k的形式吗？然后说出对称轴、顶点坐标。
（1）y=x2+2x+3;
(2)y=-x2+6x+1。
