1.1.1正弦定理作业
在中，若，则等于 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
2、在中，已知，则等于 （ ）
A. B. C. D.
3、不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ）[21世纪教育网]
A. ，有两解 B. ,有一解
C. ，有两解 D. ，无解
4、在中，已知，，则的形状是（ ）21世纪教育网
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
5、在中，,，则（ ）
A. B. C. D. [来源:21世纪教育网]
6、在中，已知,，解此三角形。
21世纪教育网
7、在中，已知,解此三角形。
参考答案：
解析：由可得，由正弦定理可知，故可得，故或。21世纪教育网
解析：由正弦定理可得，带入可得，由于，所以，，又由正弦定理带入可得
3、解析：利用三角形中大角对大边，大边对大角定理判定解的个数可知选Ｂ。
4、解析：由可得，所以，即或，又由及可知，所以为等腰三角形。[21世纪教育网][来源:21世纪教育网]
5、解析：由比例性质和正弦定理可知。[来源:21世纪教育网]
6、解析：由正弦定理，即，解得，
由,，及可得，
又由正弦定理，即，解得
7、解析：由正弦定理，即，解得，
因为，所以或，
当时，，为直角三角形，此时；
当时，，，所以。
www.(共29张PPT)
1.1.2余弦定理
鹿邑三高 史琳
复习回顾
正弦定理：
可以解决两类有关三角形的问题
（1）已知两角和任一边。
（2）已知两边和一边的对角。
变型：
若A为锐角时:
若A为直角或钝角时:
问题：
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。
已知：AB、 AC、角Ａ
(两条边、一个夹角)
研究：在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，BC=a，CA=b,
∵
即：
由此可得：余弦定理
三角形任一边的平方等于其他两边平方的和
减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
应用：已知两边和一个夹角，求第三边．
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝ 千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他
两边的平方的和减去这两边与它们的夹
角的余弦的积的两倍.
即：
由余弦定理变型得：
应用：已知三条边求角度．
余弦定理及其推论的基本作用是什么？
思考3：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就
可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
勾股定理指出了直角三角形中三边
平方之间的关系，余弦定理则指出了一
般三角形中三边平方之间的关系，如何
看这两个定理之间的关系？
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边
平方之间的关系，余弦定理则指出了一
般三角形中三边平方之间的关系，如何
看这两个定理之间的关系？
思考4：
余弦定理是勾股定理的推广，
勾股定理是余弦定理的特例.
利用余弦定理，可以解决：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边及夹角，求第三边和
其他两个角.
A
B
C
a
b
c
c2=a2＋b2－2abcosC.
a2＋b2－c2
2ab
cosC＝
例 1：在 ABC中，已知a＝7，b＝10，
c＝6，求A、B和C.
解：
b2＋c2－a2
2bc
∵ cosA＝ ＝0.725，
∴ A≈44°
a2＋b2－c2
2ab
∵ cosC＝ ＝0.8071，
∴ C≈36°,
∴ B＝180°－(A＋C)≈100°.
∵sinC＝ ≈0.5954,
∴ C ≈ 36°或144°(舍).
c sinA
a
(
)
例 2：在 ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，
C＝82°28′，解这个三角形.
解：
由 c2=a2＋b2－2abcosC,
得 c≈4.297.
b2＋c2－a2
2bc
∵ cosA＝ ≈0.7767，
∴ A≈39°2′,
∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′.
a sinC
c
∵sinA＝ ≈0.6299，
∴ A=39°或141°(舍).
(
)
A
B
C
O
x
y
例 3： ABC三个顶点坐标为(6，5)、
(－2，8)、(4，1)，求A.
解法一：
∵ AB ＝√[6-(-2)]2+(5-8)2 =√73 ,
BC ＝√(-2-4)2+(8-1)2 =√85 ,
AC ＝√(6-4)2+(5-1)2=2√5 ,
cosA＝ ＝ ,
2 AB AC
AB 2＋ AC 2－ BC 2
2
√365
∴
∴ A≈84°.
A
B
C
O
x
y
例 3： ABC三个顶点坐标为(6，5)、
(–2，8)、(4，1)，求A.
解法二：
∴ A≈84°.
∴ cosA＝
＝
＝ .
AB·AC
AB AC
(– 8)×(– 2)＋3×(– 4)
√73·2√5
2
√365
∵ AB＝(–8，3)，AC＝(–2，–4).
A
B
C
O
x
y
例 3： ABC三个顶点坐标为(6，5)、
(–2，8)、(4，1)，求A.
α
β
分析三： A = α+ β,
tanα =
tanβ =
tan(α+ β) =
解：
在 AOB中，
∵ |a – b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos120°
＝61,
∴ |a – b|＝√61.
例 4：已知向量a、b夹角为120°，
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、
|a＋b| 及a＋b与a的夹角.
a－b
a＋b
B
b
A
C
a
120°
O
∴ a＋b ＝√21.
∴ ∠COA即a＋b与a的夹角约为49°.
∵ cos∠COA＝ ≈0.6546,
a 2＋ a＋b 2 – b 2
2 a a＋b
例 4：已知向量a、b夹角为120°，
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、
|a＋b| 及a＋b与a的夹角.
a－b
a＋b
B
b
A
C
a
120°
O
在 OAC中，
∵ |a + b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos60°
＝21,
例5 已知四边形ABCD的四边长为AB = 2.4, BC = CD = DA = 1, A= 30°, 求C.
解: BD2 = AB2 + AD2 – 2AB·ADcosA
≈ 2.60,
cosC = = – 0.30,
DC2 + BC2 – BD2
2DC·BC
A
30°
D
C
B
C ≈ 107.5°.
练习
ABC中,
（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝_____；
√13
14.6°
（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = ______.
104.5°
（3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝______.
例6、在△ABC中， ，那么Ａ是（ ）
Ａ、钝角 Ｂ、直角
Ｃ、锐角 Ｄ、不能确定
那 呢
提炼：设a是最长的边，则
△ABC是钝角三角形
△ABC是锐角三角形
△ABC是直角角三角形
练习、 △ABC中， 求B，并判断
△ABC的形状。
小结：
余弦定理
应用：
１、已知两条边和一个夹角，求第三条边。
２、已知三条边，求三个角。判断三角形的形状。
在△ABC中，已知下列条件，解三角形：
(1）b=12.9cm,c=15.4cm,A=42.3°;
(2)a=7cm,b=10cm,c=6cm.
作业：正弦定理 学案
【预习达标】
在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，
1.在RtΔABC中，∠C=900, csinA= ,csinB= ，即 = 。
2. 在锐角ΔABC中，过C做CD⊥AB于D，则|CD|= = ，即 ，同理得 ，故有 。[来源:21世纪教育网]
3. 在钝角ΔABC中，∠B为钝角，过C做CD⊥AB交AB的延长线D，则|CD|= = ，即 ，故有 。
【典例解析】
已知ΔABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小：
（1）A=600，B=450，a=10；（2）a=3,b=4,A=300；（3）a=5,b=2,B=1200；（4）b=,c=6,B=1200.[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
例2 如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证： 21世纪教育网
[来源:21世纪教育网]
【达标练习】
已知ΔABC，根据下列条件，解三角形:
(1)A=600，B=300，a=3；（2）A=450，B=750，b=8；（3）a=3，b=，A=600；
2.求证：在ΔABC中，
21世纪教育网
3.应用正弦定理证明：在ΔABC中,大角对大边，大边对大角.
21世纪教育网
4．在ΔABC中，sin2A+sin2B=sin2C,求证：ΔABC是直角三角形。
参考答案21世纪教育网
【预习达标】
1．a,b,. 2.bsinA asinB ,, ,=.
3. .bsinA asinB ,, =.[来源:21世纪教育网][来源:21世纪教育网]
【典例解析】
例1(1)C=750，b=,c=(2)B≈41.80,C≈108.80,c≈5.7或B≈138.20，C≈11.80，c≈1.2(3)无解（4）C=450，A=150，a≈2.2
例2证明：如图在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理，
得，，
两式相除得
【双基达标】
1．（1）C=900，b=,c=2(2)C=1200,a=88 ,c=
(3)B=600,C=900,c=2
2．证明：设，则
3．(1)设A>B，若A≤900,由正弦函数的单调性得sinA≥sinB,又由正弦定理得a≥b；若A>900，有A+B<1800,即900>1800-A>B, 由正弦函数的单调性得sin(1800-A)>sinB,即sinA>sinB, 又由正弦定理得a>b.(2)设a>b, 由正弦定理得sinA>sinB,若B≥900,则在ΔABC中A<900,
有sinA>sin（1800-B）由正弦函数的单调性得A>1800-B,即A+B>1800,与三角形的内角和为1800相矛盾；若A≥900,则A>B；若A<900,B<900, 由正弦函数的单调性得A>B.综上得，在ΔABC中,大角对大边，大边对大角.
4．略
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.
A
B
C
D
A
B
C
D
β
β
α
1800 α第一章 解三角形 教学案
（一）课标要求
本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：21世纪教育网
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色
1．数学思想方法的重要性
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢 ”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系
加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢 ”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。
在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”
3．重视加强意识和数学实践能力
学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。
（三）教学内容及课时安排建议
1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）
1.2应用举例（约4课时）
1.3实习作业（约1课时）
（四）评价建议
1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。
2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。
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课题: §1．1．1正弦定理
授课类型：新授课
●教学目标
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点21世纪教育网
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B
Ⅱ.讲授新课
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又, A
则 b c
从而在直角三角形ABC中， C a B
(图1．1-2)[来源:21世纪教育网]
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C
同理可得， b a
从而 A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作， C
由向量的加法可得
则 A B
∴
∴，即
同理，过点C作，可得
从而
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；21世纪教育网
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
例1．在中，已知，，cm，解三角形。21世纪教育网
解：根据三角形内角和定理，
；[来源:21世纪教育网]
根据正弦定理，
；
根据正弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
因为＜＜，所以，或
⑴ 当时，
，
⑵ 当时，
，[来源:21世纪教育网]
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
Ⅲ.课堂练习
第5页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]已知ABC中，，求
（答案：1：2：3）[来源:21世纪教育网]
Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：；
或，，
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
Ⅴ.课后作业
第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题。
●板书设计
●授后记
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21世纪教育网
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