§1.2 应用举例
学习目标
加深对正、余弦定理的理解，提高熟练程度
掌握正、余弦定理在实际中的应用——（1）测量距离（2）测量高度21世纪教育网
新课预习：
如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧，在所在的
河岸边选定一点C，测出AC的距离是100m，，求A、B两点间
的距离
2、某人向正东方向走x千米后，他向右转，然后朝新方向走3千米，结果他离出发点恰[来源:21世纪教育网]
好千米，那么x的值为 （ ）[来源:21世纪教育网]
3、有一长为100m的斜坡，它的倾斜角是，现在要把倾斜角改成，则坡底要伸长
m（精确到1米）
新课导学：
（一）、测量距离的问题
例1、为了测量河对岸两个建筑物C、D之间的距离，在河岸边取点A、B，
千米，A、B、C、D
在同一个平面内，试求C、D之间的距离。
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练习：已知海岛A四周8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北偏东，
航行海里后，见此岛在北偏东，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁的危险？
(提示：)
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（二）测量高度21世纪教育网
思考：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度
AB的方法。
[来源:21世纪教育网]
如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角，在塔底C处测得A处的
俯角。已知铁塔BC部分的高为30m，求出山高CD
[来源:21世纪教育网]
练习：如图，某人要测量顶部不能到达的电视塔AB的高度，他在C点测得塔顶A的仰角是21世纪教育网
，在D点测得塔顶A的仰角是，并测得水平面上的角，
求电视塔AB的高度。
www.
A
B
C
自我评价：
我对本节课内容
掌握情况：（ ）
A. 很好 B. 较好
C. 一般 D. 较差
A
C
D
B
D
A
C
B
D
C
B
A(共32张PPT)
的应用
解三角形问题是三角学的基本问题之一。什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形”和“测量”。最初的理解是解三角形的计算，后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角形两部分内容的一门数学分学科。
解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法。
我国古代很早就有测量方面的知识，公元一世纪的《周髀算经》里，已有关于平面测量的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就已经取得了某些特殊角的正弦……
鹿邑三高 史琳
正弦定理
余弦定理
（R为三角形的外接圆半径）
A
B
C
a
c
b
例1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是 。
A
C
B
10海里
60°
75°
答：
海里
解：应用正弦定理，C=45 °
BC/sin60°=10/sin45°
BC=10sin60 °/sin45°
知道它有多远吗？
请回答下列问题：
（1）什么是解三角形，我们学了哪些相关的定理？
（2）关于解斜三角形，你掌握了
哪几种类型？
例2.为了开凿隧道,要测量隧道口D,E间的距离,为此在山的一侧选取适当的点C(如图),测得CA=482m,CB=631.5m,∠ACB=56018’,又测得A,B两点到隧道口的距离AD=80.12m, BE=40.24m (A,D,E,B在一直线上).计算隧道DE的长
A
B
C
D
E
由余弦定理可解AB长。进而求DE。
析：
思1：能否直接解三角形ABC？
2：能否保证A、D、E、B在一直线上？
知道它有多宽吗？
解斜三角形理论 在实地测量中的应用
解三角形的应用----
实地测量举例
例3、 为了测定河对岸两点A、B间的距离，在岸边选定1公里长的基线CD，并测得∠ACD=90o，∠BCD=60o，∠BDC=75o，∠ADC=30o，求A、B两点的距离.
A
B
C
D
知道它有多长吗？
练习1、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
最大角度
最大角度
最大角度
最大角度
已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，
夹角∠CAB＝66°20′，求BC．
解：由余弦定理，得
答：顶杆BC约长1.89m。
C
A
B
解斜三角形应用举例
小结
实际问题
抽象概括
示意图
构造三角形
演算
解三角形
实际问题的解
还原说明
注意合理性！
教室
A
B
围墙
试试看！
。
，试求云的高度
的仰角为
湖中的象）
，而湖中云之影（云在
角为
处，测得云的仰
米的
在离湖面高为
H
A
h
b
a
知道它有多高吗！
例6
，试求云的高度。
的仰角为
湖中的象）
，而湖中云之影（云在
角为
处，测得云的仰
米的
在离湖面高为
10
A
知道它有多高吗！
例6
如何在平地上测量位于山上的灯塔顶部离地面的高度？
知道它有多高吗？
例7：
例8 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。
解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在⊿ACD中，根据正弦定理可得
例8 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
例9 在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′。已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD(精确到1m)
分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长
解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦定理，
CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)
答：山的高度约为150米。
例10 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.
分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。
例10 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.
解：在⊿ABC中，∠A=15°,
∠C=25°-15°=10°.
根据正弦定理，
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)
答：山的高度约为1047米。
例11 一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1°,距离精确到0.01n mile）
解：在⊿ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，
所以，∠CAB=19.0°,
75°－∠CAB=56.0°.
答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15n mile.
例12 在⊿ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到0.1cm )
(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;
(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.
例13 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m，这个区域的面积是多少（精确到0.1cm ）
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
练习3 任一 中，求证：
练习4在⊿ABC中，若B=60°,2b=a+c,试判断⊿ABC的形状。课题: §2.2解三角形应用举例
第二课时
授课类型：新授课
●三维目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题
过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间
情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
●教学重点
结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题
●教学难点
能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件
●教学过程
Ⅰ.课题导入
提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解][来源:21世纪教育网]
例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得
AC =
AB = AE + h
= AC+ h
= + h
例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？
生：需求出BD边。
师：那如何求BD边呢？
生：可首先求出AB边，再根据BAD=求得。[来源:21世纪教育网]
解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根据正弦定理,21世纪教育网
=
所以 AB ==
解RtABD中,得 BD =ABsinBAD=
将测量数据代入上式,得
BD =
=[来源:21世纪教育网]
≈177 (m)
CD =BD -BC≈177-27.3=150(m)[来源:21世纪教育网][21世纪教育网]
答:山的高度约为150米.
师：有没有别的解法呢？
生：若在ACD中求CD，可先求出AC。
师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？
生：同理，在ABC中，根据正弦定理求得。（解题过程略）21世纪教育网
例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.
[来源:21世纪教育网]
师：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？
生：在BCD中
师：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？[来源:21世纪教育网]
生：BC边
解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根据正弦定理,
= ,[来源:21世纪教育网]
BC ==
≈ 7.4524(km)
CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)
答:山的高度约为1047米
Ⅲ.课堂练习
课本第17页练习第1、2、3题
Ⅳ.课时小结
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。
Ⅴ.课后作业
为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？
答案：20+(m)
●板书设计
●授后记正弦定理、余弦定理的应用（一）作业
1.在高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为和，则塔高为（ ）
[来源:21世纪教育网]
2. 在△ABC中，21世纪教育网
3.海上有两个小岛相距，从岛望所成的视角为，从岛望所成的视角为，试求间的距离。
4.甲船在A处观察到乙船在它的东偏北方向的B处，两船相距a海里，乙船向正北方向行驶，若甲船的速度是乙船的倍，问甲船应取什么方向前进才能尽快追上乙船？相遇时乙船已行驶多少海里？
21世纪教育网
5.如图，已知圆内接四边形中，，如何求四边形的面积？
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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