第2课时 集合的表示
学
习
目
标
核
心
素
养
1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点)2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)
1.通过学习描述法表示集合的方法，培养数学抽象的素养．2．借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算的素养.
(1)不等式2x－1＞3的解集；
(2)不超过30的所有非负偶数的集合；
(3)方程2x2＋1＝9的所有实数根组成的集合；
(4)所有的菱形；
(5)方程组的解集．
问题：以上问题所对应的集合，能否利用数学符号简单的把它们表示出来呢？
提示：能．
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
思考：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？
(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？
提示：(1)元素的共同特征为x∈R，且x<5.
(2){x|x<5，x∈R}．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一个集合可以表示为{s，k，t，k}．
( )
(2)集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合．
( )
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．
( )
(4)集合{x|x＞3，且x∈N}与集合{x∈N|x＞3}表示同一个集合．
( )
(5)集合{x∈N|x3＝x}可用列举法表示为{－1,0,1}．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2．(1)由方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合为________；
(2)不等式4x－5＜3的解集为________．
(1){－3,3}或{x|x2－9＝0} (2){x|x＜2} [(1)由x2－9＝0得x＝±3，所以方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合为{－3,3}．也可用描述法表示为{x|x2－9＝0}．
(2)由4x－5＜3得x＜2.
所以不等式4x－5＜3的解集为{x|x＜2}．]
3．集合{2,4,6,8,10,12}可用描述法表示为________．
{x|x＝2n，n∈N＋，且n≤6} [2,4,6,8,10,12均为偶数，故该集合可用描述法表示为{x|x＝2n，n∈N＋，且n≤6.}]
4．集合A＝{x∈Z|－5＜2x－1＜5}可用列举法表示为________．
{－1,0,1,2} [由－5＜2x－1＜5，得－2＜x＜3，又∵x∈Z，∴x＝－1,0,1,2.]
用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
[解] (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}．
(2)小于8的质数有2,3,5,7，
所以B＝{2,3,5,7}．
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，，
所以C＝.
(4)由得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，
所以D＝{(1,4)}．
用列举法表示集合的3个步骤
?1?求出集合的元素；
?2?把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
?3?用花括号括起来.
提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{?2，3?，?5，－1?}.
1．用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N.
[解] (1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素有－2，－1,0,1,2，故A＝{－2，－1,0,1,2}．
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解为x＝2或x＝3，
∴M＝{2,3}．
(3)解得∴B＝{(3,2)}．
(4)15的正约数有1,3,5,15，故N＝{1,3,5,15}．
用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
(1)比1大又比10小的实数组成的集合；
(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．
[解] (1){x∈R|1(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．
(3){x|x＝3n＋1，n∈N}．
描述法表示集合的2个步骤
2.(1)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；
(2)3和4的所有正的公倍数构成的集合．
[解] (1)题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为.
(2)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N
}．
集合表示方法的综合应用
[探究问题]
下面三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们各自的含义是什么？
(2)它们是不是相同的集合？
提示：(1)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R；
集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；
集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．
(2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．
【例3】 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
[思路点拨]
[解] (1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．
1．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合．
[解] 由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，故即k<1且k≠0.
所以实数k组成的集合为{k|k<1且k≠0}．
2．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值集合．
[解] 由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．
①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；
②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1.
综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k≤1}．
1．若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
2．在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．
1．掌握2种方法——列举法和描述法
表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，若集合元素为有限个，常用列举法，集合元素为无限个，多用描述法．
2．规避1个易错点——点集与数集的区别
处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集；其次要确定元素满足的条件是什么．
1．已知集合A＝{x|－1＜x＜，x∈Z}，则一定有( )
A．－1∈A
B.∈A
C．0∈A
D．1?A
C [因为－1＜0＜，且0∈Z，所以0∈A.]
2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－3D [由题意可知，满足题设条件的只有选项D，故选D.]
3．下列集合中表示同一集合的是( )
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{2,3}，N＝{3,2}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
B [选项A中的集合M是由点(3,2)组成的点集，集合N是由点(2,3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M是由一次函数y＝1－x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y＝1－x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合．对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．]
4．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是( )
A．{1，－2}
B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2,1)}
D．{(1，－2)}
D [由得
∴两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}．]
5．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，试用列举法表示集合A.
[解] ∵4∈A，∴16－12＋a＝0，
∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．
PAGE
-
7
-1.1 集合的概念
第1课时 集合的含义
学
习
目
标
核
心
素
养
1.通过实例了解集合的含义．(难点)2．掌握集合中元素的三个特性．(重点)3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)
1.通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养．2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养.
中国共产党第十九届中央委员会第四次全体会议，于2019年10月28日至31日在北京举行．
问题：中国共产党第十九届中央委员会第四次全体会议的所有参会人员能否构成一个集合？
提示：中国共产党第十九届中央委员会第四次全体会议的所有参会人员能构成一个集合．
1．元素与集合的相关概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
思考1：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？
提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．
(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．
2．元素与集合的关系
关系
概念
记法
读法
属于
如果a是集合A的元素，就说a属于A
a∈A
“a属于A”
不属于
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A
a?A
“a不属于A”
思考2：设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3,4这两个元素与集合A有什么关系？如何用数学语言表示？
提示：3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4?A.
3．常见的数集及表示符号
数集
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
或N＋
Z
Q
R
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有的正三角形组成一个集合．
( )
(2)高中《数学必修第一册》课本上的所有难题组成一个集合．
( )
(3)由1,2,3构成的集合与由3,2,1构成的集合是同一个集合．
( )
(4)一个集合中可以找到两个相同的元素．
( )
(5)集合N中的最小元素为0.
( )
(6)若a∈Q，则一定有a∈R.
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)√
2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C [由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．]
3．用“∈”或“?”填空：
(1)________N；－3________Z；________Q；0________N
；________R.
(2)若A是不等式4x－5＜3的解集，则1________A,2______A．(用∈或?填空)
[答案] (1)? ∈ ? ? ∈ (2)∈ ?
4．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________.
3 [由题意可知a＋1＝4，即a＝3.]
集合的基本概念
【例1】 (教材P5练习T1改编)考察下列每组对象，能构成集合的是________．
①与定点A，B等距离的点；
②高中学生中的游泳能手；
③中国各地最美的乡村；
④直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
⑤不小于3的自然数．
①④⑤ [②中“能手”和③中“最美”标准不明确，不符合确定性，①④⑤中的元素标准明确，均可构成集合．]
判断一组对象能否组成集合的标准
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
1．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合；
(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合；
(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．
[解] (1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．
(2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合．
(3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素．
元素与集合的关系
【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；②?Q；③0∈N
；④|－5|?N
.
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(1)B (2)C [(1)①π是实数，所以π∈R正确；
②是无理数，所以?Q正确；③0不是正整数，所以0∈N
错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|?N
错误．故选B.
(2)因为a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，
若a＝0，则4－a＝4，
此时A满足要求；
若a＝1，则4－a＝3，
此时A满足要求；
若a＝2，则4－a＝2，
此时A含1个元素不满足要求．
故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C.]
判断元素与集合关系的2种方法
?1?直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.
?2?推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.
2．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
0,1,2 [∵∈N，
∴3－x＝1或2或3或6，
即x＝2或1或0或－3.
又x∈N，故x＝0或1或2.
即集合A中的元素为0,1,2.]
3．已知集合A中元素满足2x＋a＞0，a∈R.若1?A,2∈A，则实数a的取值范围为________．
－4＜a≤－2 [因为1?A,2∈A，所以即－4＜a≤－2.]
集合中元素的特性及应用
[探究问题]
已知集合A中含有两个元素a，b.
(1)a，b满足什么关系？
提示：a≠b.
(2)若1∈A，则元素1与集合A中的元素a，b存在怎样的关系？
提示：a＝1或b＝1.
【例3】 已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
[思路点拨]
[解] 由题意可知，a＝1或a2＝a，
(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.
(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．
综上可知，实数a的值为0.
1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
[解] 由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1.
2．(变条件)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．
[解] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，
所以a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.
1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．
2．本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．
提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．
1．记牢3个知识点
(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系．
(2)常用数集的表示．
(3)集合中元素的特性及应用．
2．掌握2种方法
(1)元素与集合关系的判定方法．
(2)解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．
3．规避1个易错点
集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．
1．下列各组对象不能构成一个集合的是( )
A．不超过20的非负实数
B．方程x2－9＝0在实数范围内的解
C.的近似值的全体
D．某校身高超过170厘米的同学的全体
C [A项，不超过20的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．B项，方程x2－9＝0在实数范围内的解，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．C项，的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合．D项，某校身高超过170厘米的同学，同学身高具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．故选C.]
2．下列结论中，不正确的是( )
A．若a∈N，则?N
B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q
D．若a∈R，则∈R
A [A不正确．反例：a＝1∈N，＝1∈N.]
3．已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：
17________A；－5________A.
∈ ? [由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，
令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.
所以17∈A.令3k＋2＝－5得，
k＝－?Z.所以－5?A.]
4．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为________．
3 [方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．]
5．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
[解] ∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，
若－3＝a－3，
则a＝0，
此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，a＝0或a＝－1.
PAGE
-
1
-
