沪科版九年级上册 21.2 二次函数图像与性质 同步练习（Word版 含解析）

21.2二次函数y=ax2的图象和性质
1.如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则＝（ ）
A.2 B. C. D.3
2.如图，已知直线l过A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内相交于点P.若△AOP的面积为4.5，求a的值.
3.如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）.
（1）求直线AB的解析式及抛物线y＝ax2的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）求△COB的面积.
21.2 二次函数y=ax2+k的图象和性质

第1题图 第2题图
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝x2于点B、C，则BC的长为_____________.
2.如图，二次函数y＝ax2+c（a＜0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是___________.
3.如图，抛物线y1＝－x2－1与直线y2＝－x－3交于A、B两点.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）根据图象填空：
①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？
②当x取何值时，y2的值随x的增大而减小？
（3）设抛物线y1＝－x2－1的顶点为C，试求△ABC的面积.


4.如图，坐标系中有抛物线c：y＝x2+m和直线l：y＝－2x－2.
（1）求m取何值时，抛物线c与直线l没有公共点；
（2）移动抛物线c，当抛物线c的顶点在直线l上时，求直线l被抛物线c所截得的线段长.
5.如图所示，隧道的截面是由抛物线和矩形构成，矩形的长为8cm，宽为2cm，抛物线可用y＝x2+4表示.
（1）一辆货车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可能通过？
21.2　二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象和性质
　　　
1.如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系式不正确的是(　　)
A．k＝n　　　　 B．h＝m
C．k＜n　　　　 D．h＜0，k＜0
2．当－4≤x≤2时，函数y＝－(x＋3)2＋2的取值范围为(　　)
A．－23≤y≤1 B．－23≤y≤2
C．－7≤y≤1 D．－34≤y≤2
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1＝x2经过平移得到抛物线y2＝(x－2)2－4，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
4．在同一平面直角坐标系中，如果两个二次函数y1＝a1(x＋h1)2＋k1与y2＝a2(x＋h2)2＋k2的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数．如二次函数y＝(x＋1)2－1与y＝(x－1)2－1互为梦函数，写出二次函数y＝2(x＋3)2＋2的其中一个梦函数为____________．
5．如图，抛物线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD.已知点A的坐标为(－1，0)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求梯形COBD的面积．


21.2　　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1．二次函数y＝ax2＋x＋a2－1的图象可能是(　　)
图1
2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)过A(－1，0)，B(2，0)，C(－3，y1)，D(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是(　　)
A．y1＜y2 B．y1＝y2
C．y1＞y2 D．不能确定
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2所示，给出以下结论：
①a＋b＋c＜0；②a－b＋c＜0；③b＋2a＜0；④abc＞0.
其中正确结论的序号是(　　)

图2
A．③④ B．②③
C．①④ D．①②③
4．如图3，在同一直角坐标系中，二次函数y＝x2－2x－3的图象与两坐标轴分别交于点A，点B和点C，一次函数的图象与抛物线交于B，C两点．
(1)将这个二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式为________________．
(2)当自变量x满足________时，两函数的函数值都随x的增大而增大．
(3)当自变量x满足________时，一次函数值大于二次函数值．
(4)当自变量x满足________时，两个函数的函数值的积小于0.

图3 图4
5．如图4，抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线对称轴上任意一点，若D，E，F分别是BC，PB，PC的中点，连接DE，DF，则DE＋DF的最小值为________．
6．如图5，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；
(2)P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．

图5
7.若二次函数y＝ax2＋b的最大值为4，且该函数的图象经过点A(1，3)．
（1）求a，b的值以及顶点D的坐标．
（2）直接写出这个二次函数图象关于x轴对称后所得的新图象的函数表达式．
（3）在二次函数y＝ax2＋b的图象上是否存在点B，使得S△DOB＝2S△AOD？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
21.2二次函数y=ax2的图象和性质
1.如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则＝（ ）
A.2 B. C. D.3
解答：设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则x2＝a，解得：x＝，
∴B（，a），
当＝a时，x＝2，
∴C（2，a），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为2，
∴y1＝(2)2＝4a，
∴点D的坐标为（2，4a），
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为4a，
∴＝4a，解得：x＝4，
∴点E的坐标为（4，4a），
∴DE＝4－2＝2，
∴＝＝2，
故选：A.
2.如图，已知直线l过A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内相交于点P.若△AOP的面积为4.5，求a的值.
解：设点P的坐标为（x，y），直线AB的解析式为y＝kx+b，
将A（4，0），B（0，4）分别代入y＝kx+b，
得k＝－1，b＝4，
故y＝－x+4，
∵△AOP的面积为4.5＝×4×y，
∴y＝，
再把y＝代入y＝－x+4，得x＝，
∴P（，），
把P（，）代入到y＝ax2得：a＝.
3.如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）.
（1）求直线AB的解析式及抛物线y＝ax2的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）求△COB的面积.
解：（1）设直线的函数表达式为y＝kx+b，
∵A（2，0），B（1，1）都在直线y＝kx+b上，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝－x+2；
∵点B（1，1）在y＝ax2的图象上，
∴a＝1，
∴二次函数的解析式为y＝x2；
（3）由得：或，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为（－2，4），
∴S△COB＝S△AOC－S△OAB＝×2×4－×2×1＝3，
即△COB的面积为3.
21.2 二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+4与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝x2于点B、C，则BC的长为_____________.
解答：∵抛物线y＝ax2+4与y轴交于点A，
∴A（0，4），
把y＝4代入y＝x2得：x2＝4，
解得：x＝±4，
又∵过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝x2于点B、C，
∴B、C两点的横坐标分别为－4，4，
∴BC＝＝8，
故答案为：8.
2.如图，二次函数y＝ax2+c（a＜0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是___________.
解答：设正方形的对角线OA长为2m，
则B（－m，m），C（m，m）,A（0，2m），
把A、C的坐标代入解析式可得：
c＝2m①，am2+c＝m②，
把①代入②得：m2a+2m＝m，解得：a＝－，
则ac＝－×2m＝－2，
故答案为：－2.
3.如图，抛物线y1＝－x2－1与直线y2＝－x－3交于A、B两点.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）根据图象填空：
①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？
②当x取何值时，y2的值随x的增大而减小？
（3）设抛物线y1＝－x2－1的顶点为C，试求△ABC的面积.
解答：（1）由得：，，
∵点A在第三象限，点B在第四象限，
∴A（－1，－2），B（2，－5）；
（2）①当x＜0时，y1的值随x的增大而增大？
②当x取任何实数时，y2的值随x的增大而减小？
（3）∵抛物线y1＝－x2－1的顶点坐标为（0，－1），
∴C（0，－1），
设直线AB与y轴交于点D，则点D的坐标为（0，－3），
∴CD＝＝2，
∴S△ACD＝×2×1＝1，S△BCD＝×2×5＝5，
∴S△ABC＝S△ACD+ S△BCD＝1+5＝6，
即△ABC的面积为6.
4.如图，坐标系中有抛物线c：y＝x2+m和直线l：y＝－2x－2.
（1）求m取何值时，抛物线c与直线l没有公共点；
（2）移动抛物线c，当抛物线c的顶点在直线l上时，求直线l被抛物线c所截得的线段长.
解答：（1）根据题意得：x2+m＝－2x－2，
整理得：x2+2x+m+2＝0，
∵抛物线c与直线l没有公共点，
∴△＝22－4(m+2)＜0，
解得：m＞－1，
∴当m＞－1时，抛物线c与直线l没有公共点；
（2）∵抛物线c的顶点在直线l上，
∴抛物线c的顶点为（0，－2），
将（0，－2）代入y＝x2+m得：m＝－2，
∴抛物线c的解析式为y＝x2－2，
由得：或，
∴直线l与抛物线c的交点为（0，－2），（－2，2）
∴直线l被抛物线c所截得的线段长为＝2.
5.如图所示，隧道的截面是由抛物线和矩形构成，矩形的长为8cm，宽为2cm，抛物线可用y＝x2+4表示.
（1）一辆货车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可能通过？
解答：（1）当货车沿着路面中线行驶时，货车边沿的横坐标为1或－1，
当x＝±1时，y＝－×(±1)2+4＝，
此处隧道高为+2＝＞4，
故货车能通过隧道.
（2）若隧道内设双行道，此时货车一边靠近隧道中线，另一边沿横坐标为2或－2，
反x＝2或－2代入y＝x2+4得：y＝3，
此处隧道高为3+2＝5＞4，
故货车能通过隧道.
21.2　二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象和性质
1．[解析]A　根据二次函数表达式确定抛物线的顶点坐标分别为(h，k)，(m，n)．因为点(h，k)在点(m，n)的下方，所以k＝n不正确．故选A.
2．[解析]B　∵a＝－1，∴抛物线的开口向下，故有最大值．又∵对称轴为直线x＝－3，∴当x＝－3时，y有最大值为2；当x＝2时，y有最小值为－23，∴当－4≤x≤2时，函数y＝－(x＋3)2＋2的取值范围为－23≤y≤2.
3．[解析]D　如图，由题意可知四边形ABCO为矩形，且点B的坐标为(2，－4)，
则S阴影＝S矩形ABCO＝AB·BC＝2×4＝8.
4．[答案]y＝2(x－3)2＋2(答案不唯一)
[解析]梦函数要符合两个条件：①二次项系数的绝对值相同；②对称轴关于y轴对称．
5．解：(1)把A(－1，0)代入y＝a(x－1)2＋4，得0＝4a＋4，解得a＝－1，
∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋4.
(2)令x＝0，得y＝3，∴OC＝3.∵抛物线y＝－(x－1)2＋4的对称轴是直线x＝1，
∴CD＝1．又∵A(－1，0)，∴B(3，0)，∴OB＝3，∴S梯形COBD＝＝6.
21.2　　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1． B.
2． A　
3．C　
4．[答案]
5．[答案]
6．解：(1)把点B(3，0)代入y＝－x2＋mx＋3，得0＝－32＋3m＋3，解得m＝2，
∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴顶点坐标为(1，4)．
(2)连接BC交抛物线的对称轴l于点P，则此时PA＋PC的值最小．
由题可知C(0，3)，由(1)可知，抛物线的对称轴l为直线x＝1.
设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b.
则解得
∴直线BC的函数表达式为y＝－x＋3.
当x＝1时，y＝－1＋3＝2，
∴当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1，2)．
7.若二次函数y＝ax2＋b的最大值为4，且该函数的图象经过点A(1，3)．
（1）求a，b的值以及顶点D的坐标．
（2）直接写出这个二次函数图象关于x轴对称后所得的新图象的函数表达式．
（3）在二次函数y＝ax2＋b的图象上是否存在点B，使得S△DOB＝2S△AOD？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：（1）由二次函数y＝ax2＋b的最大值为4可知b＝4.
∵函数的图象经过点A(1，3)，
∴3＝a＋4，解得a＝－1.
故该二次函数的表达式为y＝－x2＋4，顶点D的坐标为(0，4)．
（2）y＝x2－4.
（3）存在．假设存在点B(x，y)，使得S△DOB＝2S△AOD，
∴OD·|x|＝2×OD×1，
解得x＝±2.
①当x＝2时，则y＝－x2＋4＝0；
②当x＝－2时，则y＝－x2＋4＝0.
∴存在满足条件的点B，它的坐标为(2，0)或(－2，0)．