湘教版数学九年级下册2.3 垂径定理教学课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
垂径定理
教学课件
湘教版九年级下册
01
新课导入
新课导入
初升的太阳真美呀！你知道太阳从目前所处的位置到恰好跳出海平面需要多长时间吗？学习完今天的知识，这个问题就可以解决了！
02
新知探究
新知探究
一.垂径定理及其推论
如图,AB是⊙O的一条弦,
直径CD⊥AB,
垂足为P.你能发现图中有那些相等的线段和弧?
为什么?
·
O
A
B
D
P
C
线段:
AP=BP
弧:
AC=BC,
AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
新知探究
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
D
P
C
新知探究
归纳总结
垂径定理
·
O
A
B
C
D
P
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
∵
CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴
AP=BP,
⌒
⌒
AC
=BC,
⌒
⌒
AD
=BD.(结论)
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
新知探究
练一练
·
O
A
B
D
C
E
如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC,若AB=10，CD=8，则cos∠COE等于（
）。
A
新知探究
想一想
下列图形是否具备垂径定理的条件？
O
E
D
C
A
B
是
不是
是
不是
新知探究
小归纳
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
新知探究
练一练
如图，在⊙O中，
OCAB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（
）。
D
O
A
B
D
C
·
A.64°
B.58°
C.32°
D.26°
新知探究
归纳总结
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条
弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
新知探究
归纳总结
垂径定理的本质是:
满足其中任两条，必定同时满足另三条
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
新知探究
二.垂径定理的实际应用
问题:“图上”太阳与海平线交于A、B两点，“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为多少？现在运用一下垂径定理来解决一下吧！
A
B
新知探究
解答
A
B
O
C
D
解：如图，用AB表示海平面，设AB所在圆的圆心为O。
作与弦AB垂直的直径，交AB于点C，交圆O于点D，连接OB.?根据垂径定理可知BC=AB=4（厘米）
∴在Rt△OBC中，
OC===3（厘米）
·
海平面
∴DC=OD+OC=8（厘米）
∴“图上”太阳升起的速度为8÷16=0.5（厘米/分）
新知探究
归纳总结
在圆中有关弦长a,半径r,
弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
新知探究
练一练
把球放在长方体纸盒内，球的一部分露在盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为_______cm.
F
D
C
B
A
E
思路导引：
1.竖直平面内，圆心一定在EF的___________线上。
2.先确定圆的_________,在找到_______求出半径。
10
垂直平分
一条直径
圆心
新知探究
归纳总结
把实际问题转化为在圆中解决有关弦、半径的求值问题，常常需要作垂直于弦的直径作为辅助线，这样就把垂直定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径r，圆心到弦的距离d和弦长a之间的关系：r2=d2+()2.已知其中两个，可求出第三个。
03
典型例题
典型例题
1.如图，
在⊙O中，直径CD⊥弦AB
，则下列结论正确的是（
）。
B
O
A
B
D
C
·
A.AC=AB
B.∠C=∠BOD
C.∠C=∠B
D.∠A=∠BOD
典型例题
2.如图，在⊙中，AB是直径，CD是弦，
CD
⊥AB，垂足为E，连接CO,AD,
∠BAD=20°，则下列说法正确的是（
）。
O
A
B
D
C
·
E
A.AD=2OB
B.CE=EO
C.∠OCE=40°
D.∠BOC=2∠BAD
D
典型例题
3.如图，AB是⊙的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠COB=，BD=5，则OH的长为（
）。
A
B
D
C
·
H
O
1
D
典型例题
4.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且点O到直线AB的距离为6，求AC的长。
O
.
A
C
D
B
AC=8-
典型例题
解：
（1）证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴
AE－CE＝BE－DE
即
AC＝BD.
O
.
A
C
D
B
E
典型例题
O
.
A
C
D
B
（2）
由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC,OA,易知OE=6
∴CE=
==
AE=
==8
∴AC=AE-CE=8-
04
拓展提高
拓展提高
1.如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙交射线AQ于点E,F两点，求：
（1）圆心O到AQ的距离；
（2）线段EF的长。
A
B
O
C
·
P
Q
F
E
4cm
6cm
拓展提高
解:
（1）如图，过点O作OHEF，
垂足为点H，则∠AHO=90°
在Rt△AHO中，
∠AHO=90°，∠PAQ=30°
∴OH=AO
BC=10cm，∴BO=5cm
AO=AB+BO，AB=3cm
∴AO=3+5=8(cm)
∴OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm.
O
C
·
P
A
B
Q
F
E
H
拓展提高
（2）连接OE.
在Rt△EOH中，
=
EO=5cm,OH=4cm,
∴EH=
==3(cm)
OH过圆心O，，
∴EF=2EH=6(cm)
A
B
O
C
·
P
Q
F
E
H
05
课堂小结
课堂小结
垂径定理
内容
推论
实际应用
一条直线满足:
①过圆心;
②垂直于弦;
③平分弦（不是直径）;
④平分弦所对的优弧;
⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论
（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分这条弦,
并且平分这条弦所对的两条弧.
06
作业布置
作业布置
谢
谢
观
看