2019-2020学年江西省赣州市高二下学期期末数学试卷（理科） （Word解析版）

2019-2020学年江西省赣州市高二第二学期期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．设复数z满足（1+i）z＝3+i，则复数z的共轭复数对应的点在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
2．设曲线y＝a（x﹣1）﹣lnx在点（1，0）处的切线方程为y＝x﹣1，则实数a＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若X～N（﹣1，σ2），且P（﹣4＜X＜﹣1）＝0.45，则P（X＞2）等于（　　）
A．0.45 B．0.3 C．0.1 D．0.05
4．如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，则下列结论错误的是（　　）
x 3 4 5 6
y 2.5 t 4 4.5
A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）
B．产品的生产能耗与产量呈正相关
C．t的取值必定是3.15
D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨
5．若函数f（x）的导数f′（x）满足f（x）＝2f′（1）lnx+，则f′（）＝（　　）
A．e B．2 C．1 D．0
6．观察下列各式：71＝7，72＝49，73＝343，…，则72020的末位数字为（　　）
A．7 B．9 C．3 D．1
7．用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式左边（　　）
A．增加了
B．增加了
C．增加了
D．增加了
8．江西省旅游产业发展大会于2020年6月11日～13日在赣州举行，某旅游公司为推出新的旅游项目，特派出五名工作人员前往赣州三个景点进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点且每个景点至少有一名工作人员前往，则不同的人员分配方案种数为（　　）
A．60 B．90 C．150 D．240
9．已知函数f（x）＝x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，其导函数f′（x），且满足xf′（x）+2f（x）＞0，则不等式的解集为（　　）
A．{x|x＜﹣2018} B．{x|﹣2020＜x＜﹣2018}
C．{x|x＞﹣2018} D．{x|﹣2020＜x＜0}
11．随机变量ξ的分布列如下，且满足E（ξ）＝2，则E（aξ+b）的值（　　）
ξ 1 2 3
P a b c
A．0 B．1
C．2 D．无法确定，与a，b有关
12．函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）+4a﹣a2＝0有四个不等的实数根，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，4） B．（﹣∞，4）∪（4，+∞）
C．（﹣4，0）∪{4} D．（﹣∞，﹣4）∪{4}
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.）
13．定积分 dx＝　 　．
14．设随机变量Y满足Y～B（μ，σ2），方程x2﹣2x+Y＝0有实数根的概率是，则μ＝　 　．
15．若函数f（x）＝kx﹣lnx（k＞0）有且只有一个零点，则k＝　 　．
16．已知（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，x∈R．
①a2＝180
②|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|＝1
③a1+2a2+3a3+…+10a10＝20
④+…+＝﹣1
其中正确的序号是　 　．
三、解答题（共6小题，共70分）
17．已知函数f（x）＝|x+1|，g（x）＝|x+3|﹣a，a∈R．
（1）解不等式f（x）﹣g（x）＞a；
（2）对任意x∈R，f（x）+g（x）＞a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．
18．在（）n（n∈N*）的展开式中所有二项式系数之和为256．
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项．
19．黑人乔治?弗洛伊德被残杀死亡事件，引发了全世界的抗议．近期某校高二年级A班班主任对该班进行了一次调查，发现全班50名同学中，对此事关注的占，他们在本学期期末考试中的政治成绩（满分100分）如下面的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，求对此事关注的学生政治成绩的中位数的估计值（精确到0.1 ）；
（2）若政治成绩不低于80分的为优秀，请以是否优秀为分类变量，
①补充下面的2×2列联表：
政治成绩优秀 政治成绩不优秀 合计
对此事关注


对此事不关注


合计


②是否有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系？
参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．新冠疫情期间，某市欲派甲、乙、丙三位医生去湖北省的A、B、C、D、E五个市支援，三位医生可去相同的市，也可去不同的市．
（1）求甲不去A市、乙不去B市的派遣方法数；
（2）设派到各市的医生人数最多为X，求X的分布列及期望．
21．设函数f（x）＝lnx+x2﹣3x．
（1）求函数f（x）的极大值点；
（2）若关于x的方程f（x）＝x2+（m﹣3）x在区间[1，e2]上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
22．已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax，其中a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；并求当x∈[0，+∞）时，f（x）≤0恒成立时，实数a的取值范围；
（2）求证：对任意正整数n，都有（1+）（1+）…（1+）＜e（其中e为自然对数的底数）．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．设复数z满足（1+i）z＝3+i，则复数z的共轭复数对应的点在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再求出的坐标得答案．
解：由（1+i）z＝3+i，得z＝，
∴．
故选：A．
2．设曲线y＝a（x﹣1）﹣lnx在点（1，0）处的切线方程为y＝x﹣1，则实数a＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，列出方程求解即可．
解：y＝a（x﹣1）﹣lnx，可得y′＝a﹣，
因为在点（1，0）处的切线方程为y＝x﹣3，
故选：B．
3．若X～N（﹣1，σ2），且P（﹣4＜X＜﹣1）＝0.45，则P（X＞2）等于（　　）
A．0.45 B．0.3 C．0.1 D．0.05
【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，再由正态分布曲线的对称性求解P（X＞2）．
解：∵X～N（﹣1，σ2），∴正态分布曲线的对称轴为x＝﹣1，
又P（﹣4＜X＜﹣1）＝0.45，∴P（X＜﹣4）＝0.5﹣P（﹣4＜X＜﹣1）＝0.5﹣0.45＝3.05，
故选：D．
4．如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，则下列结论错误的是（　　）
x 3 4 5 6
y 2.5 t 4 4.5
A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）
B．产品的生产能耗与产量呈正相关
C．t的取值必定是3.15
D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨
【分析】根据回归直线的性质分别进行判断即可．
解：＝（3+4+5+3）＝＝4.5，
则＝2.7×4.5+0.35＝4.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故A正确，
∵＝（2.5+t+4+4.5）＝8.5，得t＝3，故C错误，
故选：C．
5．若函数f（x）的导数f′（x）满足f（x）＝2f′（1）lnx+，则f′（）＝（　　）
A．e B．2 C．1 D．0
【分析】求导得f'（x）＝2f′（1）﹣，令x＝1，可求出f′（1）的值，从而得f'（x）的解析式，再代入x＝，即可得解．
解：∵f（x）＝2f′（1）lnx+，
∴f'（x）＝2f′（1）﹣，
因此f'（x）＝﹣，
故选：D．
6．观察下列各式：71＝7，72＝49，73＝343，…，则72020的末位数字为（　　）
A．7 B．9 C．3 D．1
【分析】首先利用数字的关系求出函数的周期，进一步求出末尾数字．
解：观察下列各式：71＝7，72＝49，73＝343，64＝2401，75＝16807…，
所以末尾数循环的周期为4，
所以末尾数字为1．
故选：D．
7．用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式左边（　　）
A．增加了
B．增加了
C．增加了
D．增加了
【分析】直接利用数学归纳法和关系式的变换的应用求出结果．
解：用数学归纳法证明不等式的过程中
由n＝k时，，①
②﹣①得：左边＝．
故选：D．
8．江西省旅游产业发展大会于2020年6月11日～13日在赣州举行，某旅游公司为推出新的旅游项目，特派出五名工作人员前往赣州三个景点进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点且每个景点至少有一名工作人员前往，则不同的人员分配方案种数为（　　）
A．60 B．90 C．150 D．240
【分析】根据题意，先将五名工作人员分成3组，再将分好的三组全排列，对应三个景点，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，分2步进行分析：
①将五名工作人员分成3组，
若分为2、2、1的三组，＝15种分法，
②将分好的三组全排列，对应三个景点，有A32＝6种情况，
故选：C．
9．已知函数f（x）＝x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由于f（x）＝x2+cosx，得f′（x）＝x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x＝代入f′（）＝﹣sin＝﹣1＜0，排除C，只有A适合．
解：由于f（x）＝x2+cosx，
∴f′（x）＝x﹣sinx，
又当x＝时，f′（）＝﹣sin＝﹣1＜0，排除C，只有A适合，
故选：A．
10．函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，其导函数f′（x），且满足xf′（x）+2f（x）＞0，则不等式的解集为（　　）
A．{x|x＜﹣2018} B．{x|﹣2020＜x＜﹣2018}
C．{x|x＞﹣2018} D．{x|﹣2020＜x＜0}
【分析】构造新函数g（x）＝x2f（x），求导后可证明g（x）在（0，+∞）上单调递增，而不等式可等价于g（x+2020）＜g（2），故，解之即可．
解：令g（x）＝x2f（x），则g'（x）＝2xf（x）+x3f'（x）＝x[2f（x）+xf'（x）]，
∵定义域为（0，+∞），且xf′（x）+2f（x）＞5，
不等式等价于g（x+2020）＜g（2），
故选：B．
11．随机变量ξ的分布列如下，且满足E（ξ）＝2，则E（aξ+b）的值（　　）
ξ 1 2 3
P a b c
A．0 B．1
C．2 D．无法确定，与a，b有关
【分析】由随机变量ξ的分布列及数学期限望得到：a+2b+3c＝2，且a+b+c＝1，从而2a+b＝1，由此能求出E（aξ+b）．
解：∵E（ξ）＝2，
∴由随机变量ξ的分布列得到：a+2b+3c＝2，
解得a＝c，∴2a+b＝1，
故选：B．
12．函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）+4a﹣a2＝0有四个不等的实数根，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，4） B．（﹣∞，4）∪（4，+∞）
C．（﹣4，0）∪{4} D．（﹣∞，﹣4）∪{4}
【分析】当x≥0时，利用导数可求函数f（x）的单调区间和最值，再结合对数函数的图象变换可作出函数f（x）的大致图象；令t＝f（x），则原问题可转化为关于t的方程t2﹣at+4a﹣a2＝0有2个不等实根t1和t2，结合f（x）的图象可确定t1和t2符合两种情形：t1＝0，t2＝4或t1∈（0，4），t2∈（﹣∞，0）∪（4，+∞），最后分两类讨论即可求得a的取值范围．
解：当x≥0时，f（x）＝x2e2﹣x，∴f'（x）＝（2x﹣x2）e2﹣x，
∴当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞2时，f'（x）＜6，f（x）单调递减，
∴函数f（x）的大致图象如图所示：
令t＝f（x），则关于x的方程f2（x）﹣af（x）+4a﹣a3＝0有四个不等的实数根可等价于关于t的方程t2﹣at+8a﹣a2＝0有2个不等实根t1和t2．
当t＝0或4时，方程t＝f（x）有2个实根；
当t∈（﹣∞，0）∪（4，+∞），方程t＝f（x）有1个实根．
若t3＝0，t2＝2，则a＝t1+t2＝4；
∴（4a﹣a2）?（16﹣4a+4a﹣a2）＜0，解得﹣6＜a＜0．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．定积分 dx＝　　．
【分析】定积分dx的几何意义是圆x2+y2＝1上半个圆的面积，计算可得．
解：定积分dx的几何意义是圆x5+y2＝1上半个圆的面积，
∴dx＝×π×12＝，
故答案为：
14．设随机变量Y满足Y～B（μ，σ2），方程x2﹣2x+Y＝0有实数根的概率是，则μ＝　1　．
【分析】由题意可得P（Y≤1）＝，再由正态分布曲线的对称性可得μ值．
解：由方程x2﹣2x+Y＝0有实数根，得△＝（﹣4）2﹣4Y≥0，
即P（Y≤1）＝．
故答案为：1．
15．若函数f（x）＝kx﹣lnx（k＞0）有且只有一个零点，则k＝　　．
【分析】由题意可得kx﹣lnx＝0只有一个根即k＝只有一个根，结合函数的图象即可求解．
解：由题意可得kx﹣lnx＝0只有一个根即k＝只有一个根，
令g（x）＝，则，
其图象如图所示，结合图象可知，k＝g（e）＝时符合题意．
故答案为：
16．已知（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，x∈R．
①a2＝180
②|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|＝1
③a1+2a2+3a3+…+10a10＝20
④+…+＝﹣1
其中正确的序号是　①③④　．
【分析】由二项展开式的通项求解判断①；分析各项系数的符号，取x＝﹣1判断②；把等式两边求导数，取x＝1判断③；求得a0，再取x＝求值判断④．
解：①由，
取10﹣r＝2，得r＝8，则，故①正确；
②令x＝1，可得a0+a1+a6+…+a10＝1，
令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣…+a10＝310，
则|a8|+|a1|+|a2|+…+|a10|＝a0﹣a1+a6﹣…+a10＝310，故②错误；
③由（2x﹣1）10＝a0+a1x+a7x2+…+a10x10，
两边求导数，可得20（2x﹣1）9＝a1+2a2x+…+10a10x8，
④由①可知，a0＝1，
取x＝，可得，
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、验算过程及步骤.）
17．已知函数f（x）＝|x+1|，g（x）＝|x+3|﹣a，a∈R．
（1）解不等式f（x）﹣g（x）＞a；
（2）对任意x∈R，f（x）+g（x）＞a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）原不等式化为|x+1|＞|x+3|，两边平方，即可得到所求解集；
（2）由题意可得a2﹣a＜（|x+1|+|x+3|）min，运用绝对值不等式的性质可得最小值，再由二次不等式的解法可得所求范围．
解：（1）不等式f（x）﹣g（x）＞a即为|x+1|＞|x+3|，
两边平方可得x2+7x+1＞x2+6x+9，即为x＜﹣2，
（2）对任意x∈R，f（x）+g（x）＞a2﹣2a恒成立，
等价为a2﹣a＜（|x+5|+|x+3|）min，
则a2﹣a＜2，解得﹣1＜a＜8．
可得实数a的取值范围为（﹣1，2）．
18．在（）n（n∈N*）的展开式中所有二项式系数之和为256．
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项．
【分析】（1）由题意利用二项式系数的性质，求得n的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．
（2）由题意利用二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求得二项式系数最大的项．
解：（1）∵（）n（n∈N*）的展开式中所有二项式系数之和为2n＝256，∴n＝8，
故展开式的通项公式为 Tr+6＝??．
（2）由于n＝8，故当r＝4时，二项式系数最大，
故二项式系数最大的项为T5＝??＝?．
19．黑人乔治?弗洛伊德被残杀死亡事件，引发了全世界的抗议．近期某校高二年级A班班主任对该班进行了一次调查，发现全班50名同学中，对此事关注的占，他们在本学期期末考试中的政治成绩（满分100分）如下面的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，求对此事关注的学生政治成绩的中位数的估计值（精确到0.1 ）；
（2）若政治成绩不低于80分的为优秀，请以是否优秀为分类变量，
①补充下面的2×2列联表：
政治成绩优秀 政治成绩不优秀 合计
对此事关注


对此事不关注


合计


②是否有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系？
参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【分析】（1）根据频率分布直方图判断中位数在第4组，求出即可；
（2）①由题意补充列联表即可；
②由表中数据计算K2，对照附表得出结论．
解：（1）根据频率分布直方图知，0.005×10+0.005×10+0.020×10＝0.5，0.3+0.030×10＝0.6，
所以中位数在第4组，设中位数为70+x，
所以数据的中位数为70+x＝76.5；
（2）①由50×＝20，且20×（3.3+0.1）＝8，
政治成绩优秀 政治成绩不优秀 合计
对此事关注 2 12 20
对此事不关注 6 24 30
合计 14 36 50
②由表中数据，计算K2＝＝≈2.381＜4.706，
所以没有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系．
20．新冠疫情期间，某市欲派甲、乙、丙三位医生去湖北省的A、B、C、D、E五个市支援，三位医生可去相同的市，也可去不同的市．
（1）求甲不去A市、乙不去B市的派遣方法数；
（2）设派到各市的医生人数最多为X，求X的分布列及期望．
【分析】（1）基本事件总数n＝53＝125．其中，甲去B市的方法有：4×4＝16，乙去A市的方法有：4×4＝16，甲去B市且乙去A市的方法有4种，由此能求出甲不去A市、乙不去B市的派遣方法数．
（2）设派到各市的医生人数最多为X，则X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
解：（1）派甲、乙、丙三位医生去湖北省的A、B、C、D、E五个市支援，
三位医生可去相同的市，也可去不同的市．
其中，甲去B市的方法有：4×4＝16，
甲去B市且乙去A市的方法有4种，
（2）设派到各市的医生人数最多为X，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
X 1 2 3
P
E（X）＝＝．
21．设函数f（x）＝lnx+x2﹣3x．
（1）求函数f（x）的极大值点；
（2）若关于x的方程f（x）＝x2+（m﹣3）x在区间[1，e2]上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与极值的关系即可求解，
（2）由f（x）＝x2+（m﹣3）x可得，lnx＝mx在区间[1，e2]上有两个不同的实数解可得m＝，构造函数，转化为函数图象的交点问题，结合导数及函数性质可求．
解：（1）＝＝，
易得，当x＞1或0＜x＜时，f′（x）＞8，函数单调递增，当时，f′（x）＜0，函数单调递减，
（2）由f（x）＝x2+（m﹣3）x可得，lnx＝mx在区间[1，e2]上有两个不同的实数解，
令g（x）＝，则，
其图象如图所示，
结合函数图象可知，．
22．已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax，其中a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；并求当x∈[0，+∞）时，f（x）≤0恒成立时，实数a的取值范围；
（2）求证：对任意正整数n，都有（1+）（1+）…（1+）＜e（其中e为自然对数的底数）．
【分析】（1）①求导得f'（x）＝﹣a（x＞﹣1），然后分a≤0和a＞0讨论f'（x）与0的大小关系，即可得f（x）的单调性；
②由上可知，当a≤0时，f（x）在[0，+∞）上单调递增，求得其最小值后可说明不能满足f（x）≤0恒成立，舍去；
当a＞0时，再分两类≤0和＞0讨论f（x）的单调性，求其最大值后，要求满足f（x）max≤0．
（2）由（1）可知，当x＞0，a＝1时，lnx≤x﹣1（当且仅当x＝1时，等号成立），令x＝1+，结合放缩法和等比数列的前n项和公式可推出ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+…+（1+）＜1＝lne，再利用对数的运算法则即可得证．
解：（1）①∵f（x）＝ln（x+1）﹣ax，∴f'（x）＝﹣a，定义域为（﹣1，+∞），
当a≤0时，f'（x）＞8恒成立，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；
令f'（x）＜0，得x＞，即f（x）在（﹣1，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．
当a≤0时，f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增；
②由上可知，当a≤0时，f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）＝0，不能满足f（x）≤3恒成立，舍去；
若≤0即a≥1，则f（x）在[0，+∞）上单调递减，∴f（x）max＝f（8）＝0，符合题意；
∴f（x）max＝f（）＝ln（+1）﹣a×＝﹣lna+a﹣1，
∴g（a）在（0，7）上单调递减，
综上所述，实数a的取值范围为[1，+∞）．
令x＝1+，则ln（1+）＜，
＜+++…+＝＝1﹣＜1＝lne，
∴（1+）（1+）（1+）…（1+）＜e．