2.1 等式性质与不等式性质
第1课时 不等关系与不等式
学
习
目
标
核
心
素
养
1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)
2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)
1.
借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养．2.
通过大小比较，培养逻辑推理素养.
如图，在日常生活中，我们经常看到下列标志：
其含义分别为：
①最低限速：限制行驶时速v不得低于50
km/h；
②限制质量：装载总质量m不得超过10
t；
③限制高度：装载高度h不得超过3.5
m；
④限制宽度：装载宽度a不得超过3
m.
问题：你能用数学式子表示上述关系吗？
提示：①v≥50；②m≤10；③h≤3.5；④a≤3.
1．不等关系
不等关系常用不等式来表示．
2．实数a，b的大小比较
文字语言
数学语言
等价条件
a－b是正数
a－b＞0
a＞b
a－b等于零
a－b＝0
a＝b
a－b是负数
a－b＜0
a＜b
3.重要不等式
一般地，?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.
( )
(2)若a
( )
(3)若a>b，则ac>bc一定成立．
( )
[提示] (1)正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．
(2)正确．不等式a≤b表示a(3)错误．ac－bc＝(a－b)c，这与c的符号有关．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120
km/h，同一车道上的车间距d不得小于10
m，用不等式表示为( )
A．v≤120
km/h且d≥10
m
B．v≤120
km/h或d≥10
m
C．v≤120
km/h
D．d≥10
m
A [v的最大值为120
km/h，即v≤120
km/h，车间距d不得小于10
m，即d≥10
m，故选A.]
3．a与b的和是非负实数，可用不等式表示为________．
a＋b≥0 [因为a与b的和是非负实数，所以a＋b≥0.]
4．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________．
M＞N [M－N＝a2＋a＋1＝＋＞0，
∴M＞N.]
用不等式(组)表示不等关系
【例1】 京沪线上，复兴号列车跑出了350
km/h的速度，这个速度的2倍再加上100
km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
[解] 设复兴号列车速度为v1，
民航飞机速度为v2，
普通客车速度为v3.
v1，v2的关系：2v1＋100≤v2，
v1，v3的关系：v1＞3v3.
在用不等式?组?表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个?或几个?量之间不可用不等式?组?来表示.另外，在用不等式?组?表示实际问题时，一定要注意单位的统一.
1．用一段长为30
m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18
m，要求菜园的面积不小于216
m2，靠墙的一边长为x
m．试用不等式表示其中的不等关系．
[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x
m，而墙长为18
m，所以0这时菜园的另一条边长为＝(m)．
因此菜园面积S＝x·，
依题意有S≥216，即x≥216，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
比较两数(式)的大小
【例2】 已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0，
∴3x3≤3x2－x＋1.
作差法比较两个实数大小的基本步骤：
2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
[解] (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)
＝x2＋x＋1
＝＋.
∵≥0，∴＋≥＞0.
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，
∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.
不等关系的实际应用
【例3】 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受
7.5
折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
[解] 设该单位职工有n人(n∈N
)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝nx.
所以y1－y2＝x＋xn－nx
＝x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2.
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．
3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？
[解] 设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y甲、y乙，一张全票价为a元，则
y甲＝a＋0.55ax，y乙＝0.75(x＋1)a.
y甲－y乙＝(a＋0.55ax)－0.75(x＋1)a
＝0.2a(1.25－x)，
当x＞1.25(x∈N)时，y甲＜y乙；
当x＜1.25，即x＝1时，y甲＞y乙．
因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠.
1．记牢3个知识点
(1)实际问题，找不等关系，构建不等式(组)．
(2)比较大小．
(3)重要不等式．
2．掌握1种方法——作差法比较大小
(1)比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a(2)作差法比较大小的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度是每秒4米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为( )
A．4×2x≥100
B．4×2x≤100
C．4×2x＞100
D．4×2x＜100
C [当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为(4×2x)米，为了保证安全，有4×2x＞100.]
2．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)．
> [因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.]
3．若x∈R，则与的大小关系为________．
≤ [－＝＝≤0.
∴≤.]
4．一个两位数个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为________．
10y＋x＞70 [该两位数可表示为10y＋x，∴10y＋x＞70.]
5．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20
000元，设木工x人，瓦工y人，试用不等式表示上述关系．
[解] 由题意知，500x＋400y≤20
000，
即5x＋4y≤200.
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-第2课时 等式性质与不等式性质
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1.掌握不等式的性质．(重点)2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．(难点)3．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异.
1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力．2．借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养.
在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象．
问题：你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？
提示：糖水变甜这一现象对应的不等式为＜，其中a＜b，c＞0.
1．等式的性质
(1)
性质1：如果a＝b，那么b＝a；
(2)
性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3)
性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
(4)
性质4：如果a＝b，那么ac＝bc；
(5)
性质5：如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的基本性质
(1)性质1：a＞b?b＜a.
(2)性质2：a＞b，b＞c?a＞c.
(3)性质3：a＞b?a＋c＞b＋c.
(4)性质4：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.
(5)性质5：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.
(6)性质6：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.
(7)性质7：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥2)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a>b，则ac>bc一定成立．
( )
(2)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.
( )
[提示] (1)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立．
(2)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.
[答案] (1)× (2)×
2．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是( )
A．a－b＞d－c
B．a＋d＞b＋c
C．a－c＞b－c
D．a－c＜a－d
B [根据不等式的性质．]
3．与a>b等价的不等式是( )
A．|a|>|b|
B．a2>b2
C.>1
D．a3>b3
D [可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D.]
4．用不等号“＞”或“＜”填空
(1)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac________bd；
(2)如果a＞b＞0，那么________；
(3)如果a＞b＞c＞0，那么________.
(1)＜ (2)＜ (3)＜ [(1)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又a＞b＞0，∴－ac＞－bd，即ac＜bd.
(2)∵a＞b＞0，∴a2＞b2＞0，
∴＜.
(3)∵a＞b＞0，∴0＜＜.
又∵c＞0，∴＜.]
利用不等式性质判断命题真假
【例1】 对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则＞
C．若a＜b＜0，则＞
D．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0
[思路点拨] 本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断．
D [法一：∵c2≥0，∴c＝0时，
有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0?＞?＞，
故B为假命题；
?＞，
故C为假命题；
ab＜0.
∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．
法二：特殊值排除法．
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．
取a＝2，b＝1，则＝，＝1.
有＜，故B错．
取a＝－2，b＝－1，
则＝，＝2，有＜，故C错．
故D为真命题．]
运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.
1．下列命题正确的是( )
A．若a2＞b2，则a＞b
B．若＞，则a＜b
C．若ac＞bc，则a＞b
D．若＜，则a＜b
D [A错，例如(－3)2＞22；B错，例如＞；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.故D正确．]
利用不等式性质证明简单不等式
【例2】 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
[思路点拨] 可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以，
得＜.
又e＜0，∴＞.
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
?1?利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
?2?应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac[证明] ∵a>b，c>0，∴ac>bc.
又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，
∴e－bc>f－ac，∴f－ac不等式性质的应用
[探究问题]
1．小明同学做题时进行如下变形：
∵2∴<<.
又∵－6∴－2<<4.
你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－62．由－6提示：不正确．因为同向不等式具有可加性，但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？
∵2∴－4又∵－2∴0∴－3这怎么与－2提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2【例3】 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与的取值范围．
[思路点拨] 依据不等式的性质，找到－b与的范围，进而求出a－b与的取值范围．
[解] 因为1＜a＜4,2＜b＜8，
所以－8＜－b＜－2.
所以1－8＜a－b＜4－2，
即－7＜a－b＜2.
又因为＜＜，所以＜＜＝2，
即＜＜2.
求含字母的数?或式子?的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.
3．已知－≤α＜β≤，求，的取值范围．
[解] ∵－≤α＜β≤，
∴－≤＜，－＜≤，
两式相加，得－＜＜.
∵－＜≤，
∴－≤－＜.
∴－≤＜.
又知α＜β，∴＜0.
故－≤＜0.
即－＜＜，－≤＜0.
1．记牢2组性质
(1)等式的5个性质；(2)不等式的7个性质．
2．掌握不等式性质的应用条件
(1)性质1和性质2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识．
(2)性质3(即可加性)的依据是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”．
(3)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”
.
(4)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．
(5)性质6和性质7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式．
3．规避1个易错
注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性．
1．设xA．x2B．x2>ax>a2
C．x2D．x2>a2>ax
B [∵xa2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.]
2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是( )
A．a－d＞b－c
B．－＜－
C．a＋d＞b＋c
D．ac＞bd
C [由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，
即a－d＞b－c，所以A正确；
由c＞d＞0，得＞＞0.
又a＞b＞0，所以＞，－＜－，即B正确；
显然D正确，因此不正确的选项是C.]
3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2＜α－β＜0
B．－2＜α－β＜－1
C．－1＜α－β＜0
D．－1＜α－β＜1
A [由－1＜α＜1，－1＜β＜1，
得－1＜－β＜1.
∴－2＜α－β＜2，但α＜β，
故知－2＜α－β＜0.]
4．下列命题中，真命题是________(填序号)．
①若a＞b＞0，则＜；②若a＞b，则c－2a＜c－2b；
③若a＜0，b＞0，则＜；④若a＞b，则2a＞2b.
①②④ [①a＞b＞0?0＜＜?＜；②a＞b?－2a＜－2b?c－2a＜c－2b；对③取a＝－2，b＝1，则＜不成立．④正确．]
5．若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.
[证明] 因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，
因为bd>0，所以≤，
所以＋1≤＋1，
所以≤.
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-2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
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1.了解基本不等式的证明过程．(重点)
2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.
1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养．2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养.
如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车．
问题：依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？
提示：由图可知
①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；
②a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”．
基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数．
(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．( )
(2)若a≠0，则a＋≥2＝2.
( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤.
( )
[提示] (1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2成立．
(2)只有当a>0时，根据基本不等式，才有不等式a＋≥2＝2成立．
(3)因为≤，所以ab≤.
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1
B．a＝1
C．a＝－1
D．a＝0
B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，“＝”成立．]
3．已知0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，下列各式中最大的是( )
A．a2＋b2
B．2
C．2ab
D．a＋b
D [∵0＜a＜1,0＜b＜1，∴a2＜a，b2＜b，
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(∵a≠b)，
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
又∵a＋b＞2(∵a≠b)，∴a＋b最大．]
4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________(填序号)．
①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
③ [根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]
对基本不等式的理解
【例1】 给出下面四个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2＝－2.
其中正确的推导为( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
B [①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．
②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的．
③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．]
1．基本不等式≤
(a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．
2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b?＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝?a＝b.
1．下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x＞1，则x＋≥2＝2.
②若x＜0，则x＋＝－
≤－2＝－4.
③若a，b∈R，则＋≥2＝2.
② [
①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝时，即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]
利用基本不等式比较大小
【例2】 (1)已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2
B.＋≥2
C.≥2
D．≥
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
(1)D (2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac [(1)由≥得a＋b≥2，
∴A成立；
∵＋≥2＝2，∴B成立；
∵≥＝2，∴C成立；
∵≤＝，∴D不一定成立．
(2)∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.]
1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．
2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
2．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是( )
A．P＞Q＞M
B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P
D．M＞Q＞P
B [显然＞，又因为＜(由a＋b＞也就是＜1可得)，所以＞＞.故M＞P＞Q.]
利用基本不等式证明不等式
【例3】 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9.
[思路点拨] 看到＋＋>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．
[证明] ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2
＝3＋2＋2＋2
＝9.
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴＋＋>9.
本例条件不变，求证：>8.
[证明] ∵a，b，c∈R＋，
且a＋b＋c＝1，
∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，∴
＝··≥＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴＞8.
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
3．已知x，y，z都是正数，求证：
(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.
[证明] ∵x，y，z都是正数，
∴x＋y≥2，y＋z≥2，z＋x≥2，
∴(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥2·2·2＝8xyz.
当且仅当x＝y＝z时，等号成立．
4．已知a＞1，b＞0，＋＝1，求证：a＋2b≥2＋7.
[证明] 由＋＝1，得b＝(a＞1)，
则a＋2b＝a＋＝a＋
＝a＋＋6＝(a－1)＋＋7≥2＋7，
当a－1＝时，即a＝1＋时，取等号.
1．记牢2个不等式
(1)a2＋b2≥2ab；(2)≥(a，b都是正数)．
2．掌握2个注意点
利用基本不等式证明不等式时应关注两点：
(1)应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a>0，b>0时，才会有≤.对于“当且仅当……时，‘＝’成立”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，＝；另一方面，当＝时，也有a＝b.
(2)应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构．
1．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a－b<0
B．0<<1
C.<
D．ab>a＋b
C [∵a>b>0，由基本不等式知<一定成立．]
2．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3
B．x＝－3
C．x＝5
D．x＝－5
C [由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．]
3．若0＜a＜b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是( )
A.
B．a2＋b2
C．2ab
D．a
B [a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·＝.
a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.
∵0＜a＜b且a＋b＝1，∴a＜.
∴a2＋b2最大．]
4．若x＞0，则x＋________2(填“＝”“≥”“≤”“＞”“＜”)．
≥ [x＞0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．]
5．设a>0，b>0，证明：＋≥a＋b.
[证明] ∵a>0，b>0，
∴＋a≥2b，＋b≥2a，
∴＋≥a＋b.
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-
7
-第2课时 基本不等式的应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)
2．会用基本不等式求解实际应用题．(难点)
1.通过基本不等式求最值，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.
(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？
(2)某农场主想用篱笆围成一个10
000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？
问题：实例中两个问题的实质是什么？如何求解？
提示：这两个都是求最值问题．第一个问题是矩形周长一定，即长x与宽y的和一定，求xy的最大值，xy≤＝252＝625，即鸡舍为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最大．第二个问题是矩形面积一定，求矩形长x与宽y之和最小问题，x＋y≥2＝2＝200，当且仅当x＝y＝100时，即当农场为正方形，边长为100米时，所用篱笆最省．
已知x，y都是正数，
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．
( )
(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.
( )
(3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2.
( )
[提示] (1)由a＋b≥2可知正确．
(2)由ab≤＝4可知正确．
(3)不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A.
B．4
C.
D．5
C [∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝
＝＋≥＋2＝
.
故y＝＋的最小值为.]
3．若x>0，则x＋的最小值是________．
2 [x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立．]
4.的最大值为________．
5 [≤＝5.]
利用基本不等式求最值
【例1】 (1)已知x＞1，求y＝x＋的最小值；
(2)已知0[思路点拨] (1)看到求y＝x＋的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
[解] (1)∵x＞1，∴x－1＞0，
∴y＝x＋＝(x－1)＋＋1
≥2＋1
＝2＋1＝3.
当且仅当x－1＝，即(x－1)2＝1，
x＝2(x＝0舍去)时“＝”成立．
故当x＝2时，y＝x＋的最小值为3.
(2)∵0∴1－2x>0，
∴y＝×2x(1－2x)≤×＝×＝.
当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，y＝x(1－2x)的最大值为.
利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.
1．(1)已知x>0，求y＝的最小值；
(2)已知0[解] (1)∵x＞0，y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．
故y＝(x>0)的最小值为9.
(2)法一：∵00.
∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)
≤＝.
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，y取得最大值.
法二：∵00.
∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·
＝，当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，y取得最大值.
利用基本不等式求条件最值
【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．
[解] ∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋
≥10＋2＝18，
当且仅当
即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，x＋2y的最小值为18.
若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．
[解] ∵x，y∈R＋，
∴＋＝(x＋2y)
＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当＝时取等号，
结合x＋2y＝1，得x＝，y＝，
∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18.
1．本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．
2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有f(x)＝ax＋型和f(x)＝ax(b－ax)型．
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值．
[解] 法一：＋＝·1
＝·(a＋2b)
＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2
＝3＋2，
当且仅当即时等号成立．
∴＋的最小值为3＋2.
法二：＋＝＋＝1＋＋＋2
＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当即时，等号成立，
∴＋的最小值为3＋2.
利用基本不等式解决实际问题
【例3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36
m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
[解] 设每间虎笼长x
m，宽y
m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
法一：由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，得xy≤，
即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由
解得
故每间虎笼长为4.5
m，宽为3
m时，可使每间虎笼面积最大．
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，∴0∵00.
∴S≤2＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5
m，宽为3
m时，可使每间虎笼面积最大．
在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．
3．某单位用2
160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2
000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
[解] 设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝.
∴每平方米的平均综合费用
y＝560＋48x＋＝560＋48.
当x＋取最小值时，y有最小值．
∵x>0，∴x＋≥2＝30.
当且仅当x＝，即x＝15时，上式等号成立．
∴当x＝15时，y有最小值2
000元．
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少.
1．掌握1种方法——利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：
①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．
2．规避1个易错
在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋(p＞0)的图象求得函数的最值．
1．若实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为( )
A．1
B．2
C．2
D．4
A [由基本不等式得，ab≤＝1.]
2．已知0A.
B.
C.
D．
A [∵00，
则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×＝，
当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．]
3．已知4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
36 [4x＋≥2＝4.
当且仅当4x＝，即4x2＝a时等号成立．
由题意得a＝4×32＝36.]
4．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
x≤ [由题意得(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，
所以1＋x＝≤＝1＋，
所以x≤，当且仅当a＝b时等号成立．]
5．已知x>0，求y＝的最大值．
[解] y＝＝.
∵x>0，∴x＋≥2＝2，
∴y≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．
∴y的最大值为1.
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9
-2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 一元二次不等式及其解法
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养
1.掌握一元二次不等式的解法．(重点)2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)
通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.
(1)已知三个方程：x2－4x＋3＝0；x2－4x＋4＝0；x2－4x＋5＝0.
(2)已知三个函数y1＝x2－4x＋3，y2＝x2－4x＋4，y3＝x2－4x＋5及三个函数对应的图象．
问题：(1)中三个方程的解分别为x1＝1，x2＝3；x1＝x2＝2；无解，(2)中三个函数与x轴交点横坐标分别为1,3；2；无交点．由图象观察可知在(2)中三个函数中，x分别取何值函数值为正、负？
提示：对于y1＝x2－4x＋3，当x＜1或x＞3时，y1＝x2－4x＋3＞0，当1＜x＜3时，y1＝x2－4x＋3＜0；对于y2＝x2－4x＋4，当x≠2时，y2＝x2－4x＋4＞0；对于y3＝x2－4x＋5，当x∈R时，y3＝x2－4x＋5＞0.
1．一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2．一元二次不等式的一般形式
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？
提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义可知不是一元二次不等式．
3．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．
思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？
提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．
4．三个“二次”的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤
求方程y＝0的解
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
的图象
解不等式y＞0或y＜0的步骤
得等的集不式解
y＞0
{x|x＜x1_或x＞x2}
R
y＜0
{x|x1＜x＜x2}
?
?
思考3：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得a∈?，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．
( )
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．
( )
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1( )
(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.
( )
[提示] (1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式．
(2)错误．因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.
(3)错误．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1(4)正确．因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x2－2x＋3>0的解集为R.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为( )
A.
B．
C．?
D．R
D [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]
3．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为( )
A.
B.
C.
D．R
C [3＋5x－2x2≤0?2x2－5x－3≥0?(x－3)(2x＋1)≥0?x≥3或x≤－.]
4．若有意义，则实数x的取值范围为________．
x≥3或x≤－4 [要使有意义，则x2＋x－12≥0，∴(x－3)(x＋4)≥0，∴x≥3或x≤－4.]
一元二次不等式的解法
【例1】 解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0.
[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤,
?1?化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
?2?判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
?3?求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
?4?画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
?5?写解集.根据图象写出不等式的解集.
1．解下列不等式
(1)2x2－3x－2>0；
(2)x2－4x＋4>0；
(3)－x2＋2x－3<0；
(4)－3x2＋5x－2>0.
[解] (1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，
∴不等式2x2－3x－2>0的解集为
.
(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，
∴不等式x2－4x＋4>0的解集为.
(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，
由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，
∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.
(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，
由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1，
∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为.
含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
[思路点拨] ①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？
[解] 当a＝0时，原不等式可化为x>1.
当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.
当a<0时，不等式可化为(x－1)>0，
∵<1，∴x<或x>1.
当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0.
若<1，即a>1，则若＝1，即a＝1，则x∈?；
若>1，即0综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当01时，原不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．
[解] 原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，
化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
∵a<0，∴(x＋1)≤0.
当－2当a＝－2时，x＝－1；
当a<－2时，－1≤x≤.
综上所述，
当－2当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；
当a<－2时，解集为.
三个“二次”的关系
[探究问题]
1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0，y<0，y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？
提示：y＝x2－2x－3的图象如图所示．
函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．
2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？
提示：方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．
不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1【例3】 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[思路点拨]
[解] 法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|21．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
[解] 由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0.
∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0.
解之得.
2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[解] 由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0.又×2＝＜0，则c＞0.
又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－＝，∴＝－.
又＝－，∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式cx2＋bx＋a＜0变为x2＋x＋a＜0，
即2ax2＋5ax－3a＞0.
又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，
所求不等式的解集为.
已知以a，b，c为参数的不等式?如ax2＋bx＋c＞0?的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
?1?根据解集来判断二次项系数的符号；
?2?根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
?3?约去
a，
将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
1．掌握1个知识点——一元二次不等式的解法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
当m若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}．
有口诀如下：大于取两边，小于取中间．
2．突破1个重难点——含参数的一元二次不等式的解法
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
3．规避1个易误点
当二次项系数小于0时，需两边同乘－1，化为正的．
1．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．
{x|x>5或x<－1} [由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，
故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}．]
2．不等式－x2＋6x－10>0的解集为________．
? [原不等式可化为x2－6x＋10<0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
∴原不等式的解集为?.]
3．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为________．
[因为a<－1，所以a(x－a)·<0?(x－a)·>0.又a<－1，所以>a，所以x>或x4．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为________．
[由题意，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a<0，
故
解得a＝c，b＝a.
所以不等式ax2－bx＋c>0，
即为2x2－5x＋2<0，
解得0的解集为.]
5．解下列不等式：
(1)x(7－x)≥12；
(2)x2>2(x－1)．
[解] (1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，
所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．
(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，
因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
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1
-第2课时 一元二次不等式的应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握一元二次不等式的实际应用．(重点)2.理解三个“二次”之间的关系.3.会解一元二次不等式中的恒成立问题．(难点)
1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养.2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养.
汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素．
在一个限速为40
km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12
m，乙车的刹车距离略超过10
m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.
问题：如何判断甲、乙两车是否超速？
提示：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2＞12，即x2＋10x－1
200＞0，
解得x＞30或x＜－40(不符合实际意义，舍去)．
这表明甲车的车速超过30
km/h，但根据题意刹车距离略超过12
m，由此估计甲车车速不会超过限速40
km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，
即x2＋10x－2
000＞0，
解得x＞40或x＜－50(不符合实际意义，舍去)．
这表明乙车的车速超过40
km/h，超过规定限速．
1．分式不等式的解法
主导思想：化分式不等式为整式不等式
类型
同解不等式
＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数)
法一：或法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)
≥0(≤0)
法一：或法二：
＞k(其中k为非零实数)
先移项通分转化为上述两种形式
思考1：>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？
提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．
2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数y＝ax2＋bx＋c
若ax2＋bx＋c≤k恒成立?ymax≤k
若ax2＋bx＋c≥k恒成立?ymin≥k
3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤
(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．
(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．
(3)解不等式(或求函数最值)．
(4)回归实际问题．
思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？
提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不等式>1的解集为x<1.
( )
(2)求解m>ax2＋bx＋c(a＜0)恒成立时，可转化为求解y＝ax2＋bx＋c的最小值，从而求出m的范围．
( )
[提示] (1)>1?－1>0?<0?{x|0(2)m>ax2＋bx＋c(a＜0)恒成立转化为m大于y＝ax2＋bx＋c的最大值，故(2)错．
[答案] (1)× (2)×
2．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B等于( )
A．{x|－1≤x<0}
B．{x|0C．{x|0≤x<2}
D．{x|0≤x≤1}
B [∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|03．不等式≥5的解集是________．
[原不等式?≥?≤0?解得04．若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系h＝v0t－gt2，其中g≈10
m/s2.一名同学以初速度v0＝12
m/s竖直上抛一排球，排球能够在抛出点2
m以上的位置最多停留的时间为________s．(精确到0.01
s)
2.04 [依题意得12t－×10t2＞2，即5t2－12t＋2＜0，
解得＜t＜.
∴－＝≈2.04.]
分式不等式的解法
【例1】 解下列不等式：
(1)<0；
(2)≤1.
[解] (1)<0?(x－3)(x＋2)<0?－2∴原不等式的解集为{x|－2(2)∵≤1，∴－1≤0，
∴≤0，即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，
解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为.
1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
1．解下列不等式：(1)≥0；(2)<3.
[解] (1)根据商的符号法则，不等式≥0可转化成不等式组
解这个不等式组，可得x≤－1或x>3.
即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．
(2)不等式<3可改写为－3<0，
即<0.
可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，
解得－1所以原不等式的解集为{x|－1一元二次不等式的应用
【例2】 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系：y＝－20x2＋2
200x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60
000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
[解] 设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得
－20x2＋2
200x＞60
000.
移项整理，得
x2－110x＋3
000＜0.
对于方程x2－110x＋3
000＝0，Δ＝100＞0，方程有两个实数根x1＝50，x2＝60.
画出二次函数y＝x2－110x＋3
000的图象如图所示，结合图象得不等式x2－110x＋3
000＜0的解集为{x|50＜x＜60}，从而原不等式的解集为{x|50＜x＜60}．
因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆时，这家工厂能够获得60
000元以上的收益．
求解一元二次不等式应用问题的步骤
2．国家原计划以2
400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[解] 设税率调低后“税收总收入”为y元．
y＝2
400m(1＋2x%)·(8－x)%
＝－m(x2＋42x－400)(0依题意，得y≥2
400m×8%×78%，
即－m(x2＋42x－400)≥2
400m×8%×78%，
整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.
根据x的实际意义，知x的范围为0不等式恒成立问题
[探究问题]
1．若函数y＝ax2＋2x＋2对一切x∈R，y>0恒成立，如何求实数a的取值范围？
提示：若a＝0，显然y>0不能对一切x∈R都成立．所以a≠0，此时只有二次函数y＝ax2＋2x＋2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则解得a>.
2．若函数y＝x2－ax－3对－3≤x≤－1上恒有x2－ax－3<0成立，如何求a的范围？
提示：要使x2－ax－3<0在－3≤x≤－1上恒成立，则必使函数y＝x2－ax－3在－3≤x≤－1上的图象在x轴的下方，由y的图象可知，此时a应满足
即解得a<－2.
故当a＜－2时，有y<0在－3≤x≤－1上恒成立．
3．若函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意－3≤a≤1时，y<0恒成立，如何求x的取值范围？
提示：由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数y转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题，则令y＝2x·a＋x2－4x＋4.
要使对任意－3≤a≤1，y<0恒成立，只需满足
即
因为x2－2x＋4<0的解集是空集，
所以不存在实数x，使函数y＝x2＋2(a－2)x＋4对任意－3≤a≤1，y<0恒成立．
【例3】 已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．
[思路点拨] 对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．
[解] 设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，则
(1)当对称轴x＝－<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤，与a>4矛盾，不符合题意．
(2)当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.
(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.
综上，a的取值范围为－7≤a≤2.
1．(变结论)本例条件不变，若y＝x2＋ax＋3－a≥2恒成立，求a的取值范围．
[解] 若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥2恒成立可转化为：
当－2≤x≤2时，y最小值≥2
?
或eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(－2≤－\f(a,2)≤2，,y最小值＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＋a·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＋3－a,＝3－a－\f(a2,4)≥2，))
或
解得a的取值范围为－5≤x≤－2＋2.
2．(变条件)将例题中的条件“y＝x2＋ax＋3－a，－2≤x≤2，y≥0恒成立”变为“不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R”，求a的取值范围．
[解] 法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，
∴函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方，
∴Δ＝4－4(a2－3)<0，
解得a>2或a<－2.
法二：令y＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，则a满足y最小值＝a2－4>0，解得a>2或a<－2.
法三：由x2＋2x＋a2－3>0，得a2>－x2－2x＋3，
即a2>－(x＋1)2＋4，要使该不等式在R上恒成立，必须使a2大于－(x＋1)2＋4的最大值，即a2>4，故a>2或a<－2.
1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；
当a≠0时，
2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；
当a≠0时，
3．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
1．掌握3类问题的解法
(1)简单的分式不等式的解法
(2)恒成立问题
对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．
(3)利用不等式解决实际问题
利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
①选取合适的字母表示题目中的未知数；
②由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
③求解所列出的不等式(组)；
④结合题目的实际意义确定答案．
2．规避3个易错
(1)解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．
(2)在某集合A中恒成立问题
设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
若ax2＋bx＋c＞0在集合A中恒成立，则集合A是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的取值(范围)．
(3)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．
1．不等式≥1的解集是( )
A．{x|x＜－1或－1＜x≤2}
B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x≤2}
D．{x|－1＜x≤2}
D [∵≥1，∴－1≥0，
即＝≥0，
∴≤0，即
解之得－1＜x≤2，故不等式的解集为{x|－1＜x≤2}．]
2．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
a＞4或a＜－4 [∵x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4＜0有解，∴Δ＝a2－4×1×4＞0，解得，a＞4或a＜－4.]
3．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是________．
－2＜a≤2 [当a－2＝0，即a＝2时，－4＜0恒成立；
当a－2≠0，即a≠2时，则有
解得－2＜a＜2.综上，实数a的取值范围是－2＜a≤2.]
4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300
m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是________．
{x|10≤x≤30} [设矩形宽为y，由三角形相似得：＝，且x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30.]
5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
[解] 设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]元，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]>400，解得：15≤x<20.
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为15≤x＜20.
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10
-第2章
一元二次函数、方程和不等式
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
不等式的性质
【例1】 如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定成立的是( )
A．ab＞ac
B．c(b－a)＞0
C．cb2＜ab2
D．ac(a－c)＜0
C [c＜b＜a，ac＜0?a＞0，c＜0.
对于A：?ab＞ac，A正确．
对于B：?c(b－a)＞0，B正确．
对于C：?cb2≤ab2cb2＜ab2，C错，即C不一定成立．
对于D：ac＜0，a－c＞0?ac(a－c)＜0，D正确，故选C.]
式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项，只要四个中排除了三个，剩下的就是正确答案了.
1．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( )
A．ab>ac
B．ac>bc
C．a|b|>c|b|
D．a2>b2>c2
A [由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，
又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故选A.]
2．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．
－1≤a－b≤6 [∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a－b≤6.]
基本不等式
【例2】 设x<－1，求y＝的最大值．
[解] ∵x<－1，∴x＋1<0.
∴－(x＋1)>0，
∴y＝＝
＝＝(x＋1)＋＋5
＝－＋5
≤－2＋5＝1，
当(x＋1)2＝4，即x＝－3时取“＝”．]
基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立.
3．若x，y为实数，且x＋2y＝4，则xy的最大值为________．
2 [xy＝·x·(2y)≤·＝2(当且仅当x＝2y，且x＋2y＝4，即x＝2，y＝1时取“＝”)．]
一元二次不等式的解法
【例3】 解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0.
[解] 方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.
函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以
(1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；
(2)当a＝－1时，原不等式解集为?；
(3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图象、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论.
4．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}，则m＝________.
2 [因为ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}，
所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，
且m>1??]
不等式恒成立问题
【例4】 (1)若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}都成立，则实数m的取值范围是________．
(2)对任意－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
(1)－＜m＜0 [由题意，得函数y＝x2＋mx－1在{x|m≤x≤m＋1}上的最大值小于0，又抛物线y＝x2＋mx－1开口向上，
所以只需
即解得－＜m＜0.]
(2)[解] 由y＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
g＝(x－2)m＋x2－4x＋4可看作以m为自变量的一次函数．
由题意知在－1≤m≤1上，g的值恒大于零，
所以
解得x＜1或x＞3.
故当x＜1或x＞3时，对任意的－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零．
对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：
?1?变更主元法,根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.
?2?转化法求参数范围,已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值的集合为B＝{y|m≤y≤n}，
则?1?y≥k恒成立?y＝ax2＋bx＋c的最小值大于等于k，即m≥k；
?2?y≤k恒成立?y＝ax2＋bx＋c的最大值小于等于k，即n≤k.
5．若不等式ax2－2x＋2>0对于满足1[解] ∵1∴不等式ax2－2x＋2>0可化为a>.
令y＝，且1则y＝＝－2＋≤，
当且仅当＝，即x＝2时，函数y取得最大值，
∴a>即为所求．
[培优层·素养升华]
【例】 某自来水厂的蓄水池存有400
t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60
t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，m
h内供水总量为120
t(0≤m≤24)．
(1)开始供水多长时间后，蓄水池中的水量最少？最少水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80
t时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天之中，有几个小时出现供水紧张现象？
[思路分析] 由于题目解析式中既有m，也有，两者为二次关系，可构造一元二次不等式求解．
[解] (1)设开始供水m
h后，蓄水池中的水量为y
t，则y＝400＋60m－120＝60(－)2＋40.
∴当＝，即m＝6时，y的最小值为40.
故开始供水6
h后，蓄水池中水量最少，最少水量为40
t.
(2)令＝x(x≥0)，由题意，得400＋10x2－120x＜80，即x2－12x＋32＜0，
解得4＜x＜8，则16＜x2＜64.
∵x2＝6m，∴16＜6m＜64，
∴＜m＜.
∵－＝8，
∴每天有8
h出现供水紧张现象．
1．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．
2．在理解题意的基础上列出函数关系式是解答本题的关键，其中求解第(2)问时，重要的一步是将换元，将问题转化为一元二次不等式问题．另外，要注意换元后新变量的取值范围．本题主要涉及数学建模及数学运算素养．
某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10
000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
[解] (1)由题意得
y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10
000×(1＋0.6x)(0整理得y＝－6
000x2＋2
000x＋20
000(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
必须有y－(12－10)×10
000>0(0即－6
000x2＋2
000x>0(0所以投入成本增加的比例x的取值范围为.
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