4.1 指数
第1课时 根式
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1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)2．能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)
借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养.
薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它所到之处，树林枯萎、花草凋零．经测算，薇甘菊的侵害面积S(单位：hm2)与年数t满足关系式S＝S0·1.057t，其中S0(单位：hm2)为侵害面积的初始值．
根据上述关系式，可以计算出10年后薇甘菊的侵害面积是S0·1.05710hm2，其中1.05710是整数指数幂的形式．
问题：经过15.5年，薇甘菊的侵害面积是多少？如何表示？
提示：经过15.5年，薇甘菊的侵害面积为S0·1.05715.5
hm2.
1．根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N
.
(2)a的n次方根的表示
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
R
n为偶数
±
[0，＋∞)
(3)根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
2．根式的性质(n>1，且n∈N
)
(1)n为奇数时，＝a.
(2)n为偶数时，＝|a|＝
(3)＝0.
(4)负数没有偶次方根．
思考：()n中实数a的取值范围是任意实数吗？
提示：不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；
当n为大于1的偶数时，a≥0.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)实数a的奇次方根只有一个．
( )
(2)当n∈N
时，()n＝－2.
( )
(3)＝π－4.
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.
B．
C.
D．
C [当m<0时，没有意义，其余各式均有意义．]
3．下列说法正确的个数是( )
①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．
A．1
B．2
C．3
D．4
B [①16的4次方根应是±2；②＝2，所以正确的应为③④.]
4．(1)＝________；(2)＝________.
(1)－8 (2)π－3 [＝－8；＝|3－π|＝π－3.]
n次方根的概念问题
【例1】 (1)27的立方根是________．
(2)已知x6＝2
019，则x＝________.
(3)若有意义，则实数x的取值范围为________．
(1)3 (2)± (3)[－3，＋∞) [(1)27的立方根是3.
(2)因为x6＝2
019，所以x＝±.
(3)要使有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.
所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．]
n次方根的个数及符号的确定
?1?n的奇偶性决定了n次方根的个数；
?2?n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号.
1．已知a∈R，n∈N
，给出下列4个式子：
①；②；③；④，其中无意义的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
A [①中(－3)2n>0，所以有意义；②中根指数为5有意义；③中(－5)2n＋1<0，因此无意义；④中根指数为9，有意义．故选A.]
利用根式的性质化简求值
【例2】 化简下列各式：
(1)＋()5；
(2)＋()6；
(3).
[解] (1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.
(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.
(3)原式＝|x＋2|＝
正确区分与()n
(1)()n已暗含了有意义，依据n的奇偶性可知a的范围；
(2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．
2．若＝3a－1，求a的取值范围．
[解] ∵＝＝|3a－1|＝3a－1∴3a－1≥0，∴a≥.
故a的取值范围为.
有限制条件的根式的运算
[探究问题]
1．当a>b时，等于多少？
提示：当a>b时，＝a－b.
2．|a|的代数意义是什么？
提示：|a|＝
【例3】 (1)若x<0，则x＋|x|＋＝________.
(2)若－3
[思路点拨] (1)由x<0，先计算|x|及，再化简．
(2)结合－3(1)－1 [∵x<0，∴|x|＝－x，＝|x|＝－x，
∴x＋|x|＋＝x－x－1＝－1.]
(2)[解] －
＝－＝|x－1|－|x＋3|，
当－3当1综上，原式＝
1．在本例(1)条件不变的情况下，求＋的值．
[解] ＋＝x＋＝x＋1.
2．将本例(2)的条件“－3[解] 原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，
所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
有条件根式的化简
?1?有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.
?2?有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.
1．掌握2个知识点
(1)n次方根的概念、表示与性质．
(2)根式的性质．
2．规避2个易错点
(1)注意同()n的区别．前者求解时，要注意n为奇数还是偶数，同时要注意实数a的正负，而后者()n＝a是恒等式，只要()n有意义，其值恒等于a.
(2)一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分n为奇数和n是偶数这两种情况．
1．已知m10＝2，则m等于( )
A.
B．－
C.
D．±
D [∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，
∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±.]
2．()4运算的结果是( )
A．2
B．－2
C．±2
D．不确定
[答案] A
3．若x3＝－5，则x＝________.
－ [若x3＝－5，则x＝＝－.]
4.＋＝________.
1 [＋＝4－π＋π－3＝1.]
5．已知－1[解] 原式＝－
＝|x－2|－|x＋1|.
因为－1所以x＋1>0，x－2<0，
所以原式＝2－x－x－1＝1－2x.
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-第2课时 指数幂及其运算
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1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)
1.通过分数指数幂的运算性质的推导，培养逻辑推理素养．2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.
牛顿(Newton
1643～1727)是大家所熟悉的物理学家，可是你知道他在数学史上的贡献吗？
牛顿
他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…所以可将，，，…写成aeq
\s\up12()，aeq
\s\up12()，aeq
\s\up12()，…，将，，，…写成a－1，a－2，a－3，…”，这是牛顿首次使用任意实数指数，这正是这节课我们要学习的指数幂的拓展过程，下面我们就进入本课的学习．
问题：(1)aeq
\s\up12()、aeq
\s\up12(－)
(a>0)写成根式会是怎样的形式？
(2)aeq
\s\up12()、aeq
\s\up12(－)的根式形式中a≤0又如何？
提示：(1)aeq
\s\up12()＝，aeq
\s\up12(－)＝＝(其中a>0，m，n∈N＋，且n>1)．
(2)若a≤0，aeq
\s\up12()、aeq
\s\up12(－)不一定有意义，例如(－4)eq
\s\up12()、(－4)eq
\s\up12(－)无意义，故规定a>0.
1．分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂
规定：aeq
\s\up12()＝(a>0，m，n∈N
，且n>1)
负分数指数幂
规定：aeq
\s\up12(－)＝＝(a>0，m，n∈N
，且n>1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
思考：在分数指数幂与根式的互化公式aeq
\s\up12()＝中，为什么必须规定a>0?
提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即＝aeq
\s\up12()＝0，无研究价值．
②若a<0，aeq
\s\up12()＝不一定成立，如(－2)eq
\s\up12()＝无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.
2．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)0的任何指数幂都等于0.
( )
(2)5eq
\s\up12()＝.
( )
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如＝aeq
\s\up12().
( )
(4)aeq
\s\up12()可以理解为个a.
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．下列运算结果中，正确的是( )
A．a2a3＝a5
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1
D．(－a2)3＝a6
A [a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.]
3．4eq
\s\up12()等于( )
A．25
B．
C.eq
\r(4)
D．
B [4eq
\s\up12()＝＝，故选B.]
4．(meq
\s\up12())4＋(－1)0＝________.
m2＋1 [(meq
\s\up12())4＋(－1)0＝m2＋1.]
根式与分数指数幂的互化
【例1】 将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)(a>0)；(2)；
(3)eq
\s\up12(－)
(b>0)．
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
1．将下列根式与分数指数幂进行互化：
(1)a3·；(2)(a>0，b>0)．
利用分数指数幂的运算性质化简求值
【例2】 计算下列各式(式中字母均是正数)：
指数幂运算的常用技巧
?1?有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
?2?负指数幂化为正指数幂的倒数.
?3?底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
2．化简求值：
指数幂运算中的条件求值
[探究问题]
1.和存在怎样的等量关系？
提示：＝＋4.
2．已知＋的值，如何求a＋的值？反之呢？
提示：设＋＝m，则两边平方得a＋＝m2－2；反之若设a＋＝n，则n＝m2－2，∴m＝.即＋＝.
【例3】 已知aeq
\s\up12()＋aeq
\s\up12(－)＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
[思路点拨]
[解] (1)将aeq
\s\up12()＋aeq
\s\up12(－)＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
1．在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．
[解] 令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，
∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8，即a－a－1＝±8.
2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．
[解] 由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8×14＝±112.
解决条件求值的思路
?1?在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.
?2?在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.
1．掌握2个知识点
(1)分数指数幂的意义；
(2)分数指数幂的运算性质．
2．掌握2种方法
(1)对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．
(2)解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．
3．规避1个易错
在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．
1．把根式a化成分数指数幂是( )
D [由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]
2．已知xeq
\s\up12()＋xeq
\s\up12(－)＝5，则的值为( )
A．5
B．23
C．25
D．27
B [∵xeq
\s\up12()＋xeq
\s\up12(－)＝5，∴x＋x－1＝23，即＝23.]
3．计算：＋2－2×eq
\s\up12(－)－(0.01)0.5＝________.
[原式＝1＋×eq
\s\up12()－eq
\s\up12()＝1＋－＝.]
5．求下列各式的值：
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-4.2 指数函数
第1课时 指数函数的概念、图象和性质
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1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)
1.通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养．2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养.
将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
折叠次数 对应层数 对折后的面积S
x＝1
y＝2＝21
S＝
x＝2
y＝4＝22
S＝＝
x＝3
y＝8＝23
S＝＝
…… …… ……
由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为y＝2x(x∈N
)，对折后的面积S＝
(x∈N
)．
问题：实例中得到的两个函数解析式有什么共同特征？
提示：(1)幂的形式；(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数；(3)幂的指数是一个变量．
1．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R.
2．指数函数的图象和性质
a的范围
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
(0,1)，即当x＝0时，y＝1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称
思考1：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？
提示：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0思考2：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？
提示：指数函数值随自变量的变化规律如下：
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝x2是指数函数．
( )
(2)函数y＝2－x不是指数函数．
( )
(3)指数函数的图象一定在x轴的上方．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．下列函数一定是指数函数的是( )
A．y＝2x＋1
B．y＝x3
C．y＝3·2x
D．y＝3－x
D [由指数函数的定义可知D正确．]
3．函数y＝3－x的图象是( )
A B C D
B [∵y＝3－x＝，∴B选项正确．]
4．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝2x
C．f(x)＝
D．f(x)＝xeq
\s\up12()
B [设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得
a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故选B.]
指数函数的概念
【例1】 (1)下列函数中，指数函数的个数是( )
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；
④y＝2·3x.
A．1
B．2
C．3
D．0
(2)已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝________.
(1)D (2) [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数不是自变量x，所以不是指数函数；
③中，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.
(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f＝得aeq
\s\up12(－)＝，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝.]
1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点：
(1)底数是大于0且不等于1的常数；
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；
(3)ax的系数必须为1.
2．求指数函数的解析式时常用待定系数法．
1．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
∪(1，＋∞) [由题意可知
解得a>，且a≠1，
所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]
指数函数的图象的应用
【例2】 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
(1)D (2)(3,4) [(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0又00，所以b<0，故选D.
(2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)．]
指数函数图象问题的处理技巧
?1?抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.
?2?利用图象变换，如函数图象的平移变换?左右平移、上下平移?.
?3?利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.
2．已知f(x)＝2x，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：
(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；
(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.
[解] (1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到．
(2)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到．
(3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到．
(4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象．
(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象．]
指数函数的定义域、值域问题
[探究问题]
1．函数y＝2的定义域与f(x)＝x2＋1的定义域存在什么关系？
提示：定义域相同．
2．如何求y＝2的值域？
提示：可先令t＝x2＋1，则易求得t的取值范围为[1，＋∞)，又y＝2t在[1，＋∞)上是单调递增函数，故2t≥2，所以y＝2的值域为[2，＋∞)．
【例3】 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝4x＋2x＋1＋2.
[思路点拨] ―→
[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，
所以∈[0,1)，即函数y＝的值域为[0,1)．
(2)定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴≤＝16.
又∵
>0，
∴函数y＝的值域为(0,16]．
(3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)．
1．若本例(1)的函数换为“y＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1)”，求其定义域．
[解] 由－1≥0得≥，∴x≤0，即函数的定义域为(－∞，0]．
2．若本例(3)的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域．
[解] ∵0≤x≤2，∴1≤2x≤4，∴y＝4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1.
令2x＝t，则t∈[1,4]，且f(t)＝(t＋1)2＋1，
易知f(t)在[1,4]上单调递增，
∴f(1)≤f(t)≤f(4)，即5≤f(t)≤26，
即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为[5,26]．
1．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
2．函数y＝af(x)的值域的求解方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)；
(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；
(3)求t＝f(x)的值域t∈M；
(4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
3．形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．
1．掌握3个知识点
(1)判断一个函数是否为指数函数，只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式．
(2)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
(3)由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域为R，所以函数y＝af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．
2．规避1个易错点
易忽视底数a>0且a≠1.
1．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是( )
A．[0,8)
B．(0,8)
C．[0,8]
D．(0,8]
A [∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，∴函数y＝8－23－x的值域为[0,8)．]
2．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
B [作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知b]
3．函数y＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))的定义域是________．
[0，＋∞) [由1－≥0得≤1＝，
∴x≥0，
∴函数y＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))的定义域为[0，＋∞)．]
4．设f(x)＝3x，g(x)＝.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
[解] (1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝＝3，
f(π)＝3π，g(－π)＝＝3π，
f(m)＝3m，g(－m)＝＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．
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-
1
-第2课时 指数函数的性质的应用
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标
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养
1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点)2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)
借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养.
利用指数函数的单调性比较大小
【例1】 比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6－1.2和0.6－1.5；
(3)1.70.2和0.92.1；
(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．
[解] (1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.
(2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，
因为函数y＝0.6x在R上是减函数，
且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.
(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，
所以1.70.2>0.92.1.
(4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；
当0比较幂的大小的方法
?1?同底数幂比较大小时构造指数函数，根据函数的单调性比较.
?2?指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.
?3?底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.
?4?当底数含参数时，要按底数a>1和01．比较下列各值的大小：eq
\s\up12()，2eq
\s\up12()，，eq
\s\up12().
[解] 先根据幂的特征，将这4个数分类：
(1)负数：；(2)大于1的数：eq
\s\up12()，2eq
\s\up12()；(3)大于0且小于1的数：eq
\s\up12().
(2)中，eq
\s\up12()<2eq
\s\up12()<2eq
\s\up12()
(也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝，y＝2x的图象，再分别取x＝，x＝，比较对应函数值的大小，如图)，
故有\s\up12()\s\up12()<2eq
\s\up12().
利用指数函数的单调性解不等式
【例2】 (1)解不等式≤2；
(2)已知ax2－3x＋10，a≠1)，求x的取值范围．
[解] (1)∵2＝，∴原不等式可以转化为≤.
∵y＝在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，∴x≥0，
故原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)分情况讨论：
①当00，a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，
∴x2－4x－5>0，
根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1∴x2－4x－5<0，
根据相应二次函数的图象可得－1综上所述，当05；当a>1时，－11．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．
2．解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)?
2．若ax＋1>
(a>0且a≠1)，求x的取值范围．
[解] 因为ax＋1>，所以ax＋1>a3x－5，当a>1时，y＝ax在R上为增函数，可得x＋1>3x－5，所以x<3；
当03.
综上，当a>1时，x的取值范围为(－∞，3)；当0指数型函数单调性的综合应用
[探究问题]
1．试结合图象，分析y＝2－x，y＝2|x|，y＝的单调性，并写出相应单调区间．
提示：
2．结合探究1，分析函数y＝2|x|与函数y＝|x|的单调性是否一致？
提示：y＝2|x|的单调性与y＝|x|的单调性一致．
3．函数y＝a
(a>0，且a≠1)的单调性与y＝－x2的单调性存在怎样的关系？
提示：分两类：(1)当a>1时，函数y＝a的单调性与y＝－x2的单调性一致；
(2)当0【例3】 判断f(x)＝的单调性，并求其值域．
[思路点拨] ―→
―→eq
\x(函数y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的单调性)eq
\o(――――→,\s\up7(同增异减))
[解] 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝，u∈[－1，＋∞)，
∴0<≤＝3，
∴原函数的值域为(0,3]．
把本例的函数改为“f(x)＝2”，求其单调区间．
[解] 函数y＝2的定义域是R.
令u＝－x2＋2x，则y＝2u.
当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，
所以函数y＝2在(－∞，1]上是增函数．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2在[1，＋∞)上是减函数．
综上，函数y＝2的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．
函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数是a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．
1．掌握2种方法
比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．关注2类易错点
(1)解简单指数不等式问题的注意点
①形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论．
②形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
③形如ax>bx的不等式，可借助图象求解．
(2)函数y＝af(x)的问题的注意点
①研究y＝af(x)型单调区间时，要注意a>1还是0当a>1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同．
当0②研究y＝f(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间．
1．若2x＋1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)
D [∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.]
2．下列判断正确的是( )
A．1.72.5＞1.73
B．0.82＜0.83
C．π2＜π
D．0.90.3＞0.90.5
D [∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.]
3．函数y＝的单调递增区间为( )
A．(－∞，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
A [由已知得，y＝f(x)的定义域为R.
设u＝1－x，
则y＝.
因为u＝1－x在R上为减函数，
又因为y＝在(－∞，＋∞)上为减函数，
所以y＝在(－∞，＋∞)上为增函数，
所以选A.]
4．若f(x)＝3x＋1，则( )
A．f(x)在[－1,1]上单调递减
B．y＝3x＋1与y＝＋1的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象过点(0,1)
D．f(x)的值域为[1，＋∞)
B [f(x)＝3x＋1在R上单调递增，则A错误；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f(0)＝2，得f(x)的图象过点(0,2)，则C错误；由3x>0，可得f(x)>1，则D错误．故选B.]
5．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点.
(1)比较f(2)与f(b2＋2)的大小；
(2)求函数g(x)＝a
(x≥0)的值域．
[解] (1)由已知得a2＝，解得a＝，因为f(x)＝在R上递减，2≤b2＋2，所以f(2)≥f(b2＋2)．
(2)因为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以≤3，
即函数g(x)＝a
(x≥0)的值域为(0,3]．
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-4.3 对数
4.3.1 对数的概念
学
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养
1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点)2．理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点)3．理解常用对数、自然对数的概念及记法.
借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题，培养数学运算素养.
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，….
问题 依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？
提示：2x个，3次，8次；由2x＝N可知当N已知时，x的值即为分裂次数．
1．对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.
2．常用对数与自然对数
3．对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．
(2)loga
1＝0(a>0，且a≠1)．
(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．
思考：为什么零和负数没有对数？
提示：由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)logaN是loga与N的乘积．
( )
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.
( )
(3)对数运算的实质是求幂指数．
( )
(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有( )
A．log2M＝a
B．logaM＝2
C．log22＝M
D．log2a＝M
B [∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B.]
3．若log3x＝3，则x＝( )
A．1
B．3
C．9
D．27
D [∵log3x＝3，∴x＝33＝27.]
4．在b＝loga(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．a>5或a<0
B．0C．0D．1B [由对数的定义可知
解得0指数式与对数式的互化
【例1】 将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：
[解] (1)由2－7＝，可得log2＝－7.
(2)由logeq
\s\do7()
32＝－5，可得＝32.
(3)由lg
1
000＝3，可得103＝1
000.
(4)由ln
x＝2，可得e2＝x.
指数式与对数式互化的方法
?1?将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
?2?将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝； (2)＝16；
利用指数式与对数式的关系求值
【例2】 求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－；
(2)logx
8＝6；
(3)lg
100＝x;
(4)－ln
e2＝x.
求对数式logaN?a>0，且a≠1，N>0?的值的步骤
?1?设logaN＝m；
?2?将logaN＝m写成指数式am＝N；
?3?将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.
2．
应用对数的基本性质求值
[探究问题]
1．你能推出对数恒等式a＝N(a>0且a≠1，N
>0)吗？
提示：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得a＝N.
2．若方程logaf(x)＝0，则f(x)等于多少？若方程logaf(x)＝1呢？(其中a>0且a≠1)
提示：若logaf(x)＝0，则f(x)＝1；若logaf(x)＝1，则f(x)＝a.
A．10
B．13
C．100
D．±100
(2)若log3(lg
x)＝0，则x的值等于________．
[思路点拨] (1)利用对数恒等式求解；
(2)利用logaa＝1，loga1＝0求解．
(1)B (2)10 [(1)由＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B.
(2)由log3(lg
x)＝0得lg
x＝1，∴x＝10.]
1．若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为________．
3e [由ln(log3x)＝1得log3x＝e，∴x＝3e.]
2．在本例(2)条件不变的前提下，计算x－的值．
[解] ∵x＝10，∴xeq
\s\up12(－)＝10eq
\s\up12(－)＝.
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．性质a＝N与logaab＝b的作用
(1)a＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．
1．理解4个知识点
(1)对数的概念．
(2)自然对数、常用对数．
(3)指数式与对数式的互化．
(4)对数的性质．
2．理清1组关系——指数式与对数式的关系
(1)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：①logaab＝b；②a＝N.
(2)在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
3．规避1个易错
注意对数式中底数与真数的范围．
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．100＝1与lg
1＝0
B．27eq
\s\up12(－)＝与log27＝－
C．log39＝2与9eq
\s\up12()＝3
D．log55＝1与51＝5
C [C不正确，由log39＝2可得32＝9.]
2．若logeq
\s\do5(a)b＝c，则( )
A．a2b＝c
B．a2c＝b
C．bc＝2a
D．c2a＝b
B [loga2b＝c?(a2)c＝b?a2c＝b.]
3．
0 [原式＝3＋0－3＋0＝0.]
4．若log2(logx9)＝1，则x＝________.
3 [由log2(logx9)＝1可知logx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．]
5．求下列各式中的x的值：
(1)logx27＝；
(2)log2
x＝－；
(3)x＝log27；
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2
-4.3.2 对数的运算
学
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1.理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)
1.借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养．2．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养.
问题：(1)计算log24，log28及log232的值，你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗？
(2)计算lg
10，lg
100，lg
1
000及lg
104的值，你能发现什么规律？
提示：(1)∵log24＝2，log28＝3，log232＝5，
∴log24＋log28＝log2(4×8)＝log232；
log232－log28＝log2＝log24；
log232－log24＝log2＝log28.
(2)lg
10＝1，lg
100＝lg
102＝2，lg
1
000＝lg
103＝3，lg
104＝4，可见lg
10n＝nlg
10＝n.
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
思考：当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
提示：不一定．
2．对数的换底公式
若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，
则有logab＝.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)log2x2＝2log2x.
( )
(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．
( )
(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)．
( )
(4)logx2＝.
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．计算log84＋log82等于( )
A．log86
B．8
C．6
D．1
D [log84＋log82＝log88＝1.]
3．计算log510－log52等于( )
A．log58
B．lg
5
C．1
D．2
C [log510－log52＝log55＝1.]
4．logab·logbc·logca＝________.
1 [logab·logbc·logca＝··＝1.]
对数运算性质的应用
【例1】 计算下列各式的值：
(1)lg
－lg
＋lg
；
(2)lg
52＋lg
8＋lg
5·lg
20＋(lg
2)2；
(3).
[解] (1)原式＝(5lg
2－2lg
7)－·lg
2＋(2lg
7＋lg
5)
＝lg
2－lg
7－2lg
2＋lg
7＋lg
5
＝lg
2＋lg
5
＝(lg
2＋lg
5)
＝lg
10
＝.
(2)原式＝2lg
5＋2lg
2＋lg
5(2lg
2＋lg
5)＋(lg
2)2
＝2lg
10＋(lg
5＋lg
2)2
＝2＋(lg
10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝
＝
＝
＝.
1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：
(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；
(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
1．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg
2·lg
50；
(2)lg
8＋lg25＋lg
2·lg
50＋lg
25.
[解] (1)原式＝lg25＋(1－lg
5)(1＋lg
5)＝lg25＋1－lg25＝1.
(2)lg
8＋lg25＋lg
2·lg
50＋lg
25＝2lg
2＋lg25＋lg
2(1＋lg
5)＋2lg
5
＝2(lg
2＋lg
5)＋lg2
5＋lg
2＋lg
2·lg
5＝2＋lg
5(lg
5＋lg
2)＋lg
2＝2＋lg
5＋lg
2＝3.
对数的换底公式
【例2】 (1)计算：
(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
[解] (1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝log25·(1＋1＋1)log52＝·3＝13.
(2)∵18b＝5，∴b＝log185.
又log189＝a，
∴log3645＝＝＝＝.
(变结论)在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)
[解] ∵log189＝a，∴log183＝.又log185＝b，
∴log915＝＝＝＝.
1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式．
2．常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm＝logab，logab＝等．
2．求值：
(1)log23·log35·log516；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
[解] (1)原式＝··＝＝＝4.
(2)原式＝
＝
＝·
＝.
对数运算性质的综合应用
[探究问题]
1．若2a＝3b，则等于多少？
提示：设2a＝3b＝t，则a＝log2t，b＝log3t，∴＝log23.
2．对数式logab与logba存在怎样的等量关系？
提示：logab·logba＝1，
即logab＝.
【例3】 已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．
[思路点拨]
[解] ∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，
∴＝logc3，＝logc5，
∴＋＝logc15.
由logc15＝2得c2＝15，即c＝.
1．把本例条件变为“3a＝5b＝15”，求＋的值．
[解] ∵3a＝5b＝15，∴a＝log315，b＝log515，
∴＋＝log153＋log155＝log1515＝1.
2．若本例条件改为“若a，b是正数，且3a＝5b＝c”，比较3a与5b的大小．
[解] ∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，
∴3a－5b＝3log3c－5log5c
＝－＝
＝<0，
∴3a<5b.
应用换底公式应注意的两个方面
?1?化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.
?2?题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.
1．记牢2个知识点
(1)对数的运算性质；(2)换底公式．
2．掌握2种方法
(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度．
(2)利用结论logab·logba＝1，loganbm＝logab化简求值更方便．
1．若a>0，a≠1，x>0，n∈N
，则下列各式：
(1)(logax)n＝nlogax；
(2)(logax)n＝logaxn；
(3)logax＝－loga；
(4)＝logax；
(5)＝loga.
其中正确的有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
A [根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)与(5)正确．]
2．计算log92·log43＝( )
A．4
B．2
C.
D．
D [log92·log43＝·＝·＝.]
3．设10a＝2，lg
3＝b，则log26＝( )
A.
B.
C．ab
D．a＋b
B [∵10a＝2，∴lg
2＝a，
∴log26＝＝＝.]
5．计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)log2＋log212－log242－1.
[解] (1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.
(2)原式＝log2＋log212－log2－log22
＝log2＝log2
＝log22eq
\s\up12(－)＝－.
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