4.4 对数函数
第1课时 对数函数的概念、图象和性质
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素
养
1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(重点、难点)2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．(重点)
1.通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养．2．借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算的素养.
中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有1亿至8
000万年历史的黄河巨龙的肋骨．经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”．
同学们，你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗？那就让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧！
问题：(1)考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用
(P为碳14含量)估算出土文物或古遗址的年代t，那么t是P的函数吗？为什么？
(2)函数的解析式与函数y＝log2x的解析式有什么共同特征？
提示：(1)t是P的函数，因为对于P每取一个确定的值按照对应关系f：，都有唯一的值与之相对应，故t是P的函数．
(2)两个函数都是对数的真数作为函数的自变量．
1．对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？
提示：不是，其不符合对数函数的形式．
2．对数函数的图象和性质
a的范围
0
a>1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
定点
(1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性
在(0，＋∞)上是减函数
在(0，＋∞)上是增函数
思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？
提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降．
当a>1时，对数函数的图象“上升”；当03．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对数函数的定义域为R.
( )
(2)函数y＝loga(x＋2)恒过定点(－1,0)．
( )
(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．
( )
(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为( )
A．5
B．
C.
D．
A [由图可知，a>1，故选A.]
3．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为________．
f(x)＝log2x [设对数函数的解析式为f(x)＝logax(a>0且a≠1)．由f(4)＝2得loga4＝2，∴a＝2，即f(x)＝log2x.]
4．函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为________．
(－1，＋∞) [由x＋1>0得x>－1，故f(x)的定义域为(－1，＋∞)．]
对数函数的概念及应用
【例1】 (1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；
②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(－1)x；
④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；
A．③④⑤
B．②④⑥
C．①③⑤⑥
D．③⑥
(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.
(3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f＝_____________.
(1)D (2)4 (3)－1 [(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D.
(2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，
所以
解得a＝4.
(3)设对数函数为f(x)＝logax(a>0且a≠1)，
由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，
∴f(x)＝log2x，
∴f＝log2＝－1.]
判断一个函数是对数函数的方法
1．若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________.
2 [由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.
又a>0且a≠1，所以a＝2.]
对数函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域．
(1)y＝log3x2；
(2)y＝loga(4－x)(a>0，且a≠1)；
(3)y＝；
(4)y＝log7.
[解] (1)∵x2>0，即x≠0.
∴函数y＝log3x2的定义域为{x|x≠0}．
(2)∵4－x>0，即x<4.
∴函数y＝loga(4－x)的定义域为{x|x<4}．
(3)∵x＞0，且lg
x≠0.
∴x＞0且x≠1.
∴函数y＝的定义域为{x|x＞0且x≠1}．
(4)∵>0，∴1－3x>0，即x<.
∴函数y＝log7的定义域为.
求对数型函数的定义域时应遵循的原则
?1?分母不能为0.
?2?根指数为偶数时，被开方数非负.
?3?对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.
2．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝eq
\f(1,\r(logx＋1))；
(2)f(x)＝＋ln(x＋1)；
(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．
[解] (1)要使函数f(x)有意义，则logeq
\s\do8()x＋1>0，即logeq
\s\do5()x>－1，解得0(2)函数式若有意义，需满足即解得－1(3)由题意得解得故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为.
对数函数的图象问题
[探究问题]
1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？
提示：作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.
2．函数y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1)的图象有何特点？
提示：两函数的图象关于直线y＝x对称．
【例3】 (1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为( )
A B C D
(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
[思路点拨] (1)结合a>1时y＝a－x＝及y＝logax的图象求解．
(2)由f(－5)＝1求得a，然后借助函数的奇偶性作图．
(1)C [∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.]
(2)[解] ∵f(x)＝loga|x|，∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，∴f(x)＝log5|x|，
∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．
1．把本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝logax”改为“y＝loga(－x)”，则函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是( )
C [∵在y＝loga(－x)中，－x＞0，∴x＜0，
∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；
当a＞1时，y＝loga(－x)是减函数，
y＝a－x＝是减函数，故排除B；
当0＜a＜1时，y＝loga(－x)是增函数，
y＝a－x＝是增函数，∴C满足条件，故选C.]
2．把本例(2)改为f(x)＝＋2，试作出其图象．
[解] 第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．
(1) (2)
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．
第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．
(3) (4)
函数图象的变换规律
?1?一般地，函数y＝f?x±a?＋b?a，b为实数?的图象是由函数y＝f?x?的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.
?2?含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f?|x－a|?的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f?x?|的图象与y＝f?x?的图象在f?x?≥0的部分相同，在f?x?<0的部分关于x轴对称.
1．掌握3个知识点
(1)对数函数的定义；
(2)对数函数的定义域；
(3)对数函数的图象．
2．关注3个易错点
(1)判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a>0且a≠1)这种形式．
(2)在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．
(3)涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝2＋log3x
B．y＝loga(2a)(a>0，且a≠1)
C．y＝logax2(a>0，且a≠1)
D．y＝ln
x
D [结合对数函数的形式y＝logax(a>0且a≠1)可知D正确．]
2．函数f(x)＝＋lg(5－3x)的定义域是( )
A.
B．
C.
D．
C [由得
即1≤x<.]
3．对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝log4x
B．y＝logeq
\s\do5()x
C．y＝logeq
\s\do5()x
D．y＝log2x
D [由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.]
4．已知函数f(x)＝loga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点Q，则Q点坐标是( )
A．(0,5)
B．(1,4)
C．(2,4)
D．(2,5)
C [令x－1＝1，即x＝2.则f(x)＝4.即函数图象恒过定点Q(2,4)．故选C.]
5．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)[解] (1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，
即log3x＝log32，解得x＝2.
由图象知：
当0所以所求a的取值范围为0PAGE
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1
-第2课时 对数函数及其性质的应用
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1.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．(重点)2．通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．(重点)
1.通过学习对数函数的单调性的应用，培养逻辑推理素养．2．借助对数函数性质的综合应用的学习，提升逻辑推理及数学运算素养.
比较对数值的大小
【例1】 比较下列各组值的大小：
(1)log5与log5；
(2)logeq
\s\do5()2与logeq
\s\do5()2；
(3)log23与log54.
[解] (1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以log5法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，
所以log5(2)法一(单调性法)：由于logeq
\s\do5()2＝，logeq
\s\do5()2＝，
又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
且>，所以0>log2>log2，
所以<，所以logeq
\s\do5()2\s\do5()2.
法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝logeq
\s\do5()x及y＝logeq
\s\do5()x的图象，由图易知：logeq
\s\do5()2\s\do5()2.
(3)取中间值1，
因为log23>log22＝1＝log55>log54，
所以log23>log54.
比较对数值大小的常用方法
?1?同底数的利用对数函数的单调性.
?2?同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
?3?底数和真数都不同，找中间量.
提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小
1．比较下列各组值的大小：
(1)logeq
\s\do5()0.5，logeq
\s\do5()0.6；
(2)log1.51.6，log1.51.4；
(3)log0.57，log0.67；
(4)log3π，log20.8.
[解] (1)因为函数y＝logeq
\s\do5()x是减函数，且0.5<0.6，所以logeq
\s\do5()0.5>logeq
\s\do5()0.6.
(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4.
(3)因为0>log70.6>log70.5，
所以<，即log0.67(4)因为log3π>log31＝0，log20.8log20.8.
解对数不等式
【例2】 已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．
[思路点拨] (1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合．
(2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．
[解] (1)由解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．
(2)不等式f(x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，
①当a＞1时，不等式等价于
解得1②当0＜a＜1时，不等式等价于
解得≤x<3.
综上可得，当a＞1时，不等式的解集为；
当0＜a＜1时，不等式的解集为.
常见的对数不等式的三种类型
?1?形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
?2?形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解；
?3?形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解.
2．(1)已知loga>1，求a的取值范围；
(2)已知log0.7(2x)[解] (1)由loga>1得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，此时无解．
②当0所以a的取值范围是.
(2)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
所以由log0.7(2x)1.
即x的取值范围是(1，＋∞)．
对数函数性质的综合应用
[探究问题]
1．类比y＝af(x)单调性的判断法，你能分析一下y＝logeq
\s\do5()
(2x－1)的单调性吗？
提示：形如y＝af(x)的单调性满足“同增异减”的原则，由于y＝logeq
\s\do5()
(2x－1)由函数y＝logeq
\s\do5()t及t＝2x－1复合而成，且定义域为2x－1>0，即x>，结合“同增异减”可知，
y＝logeq
\s\do5()
(2x－1)的减区间为.
2．如何求形如y＝logaf(x)的值域？
提示：先求y＝f(x)的值域，注意f(x)>0，在此基础上，分a>1和0【例3】 (1)已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(0,2)
D．[2，＋∞)
(2)函数f(x)＝logeq
\s\do5()
(x2＋2x＋3)的值域是________．
[思路点拨] (1)结合对数函数及y＝2－ax的单调性，构造关于a的不等式组，解不等式组可得．
(2)先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解．
(1)B (2)(－∞，－1] [(1)∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数，
∴
即∴∴1＜a＜2.
(2)f(x)＝log(x2＋2x＋3)＝log[(x＋1)2＋2]，
因为(x＋1)2＋2≥2，
所以log
[(x＋1)2＋2]≤logeq
\s\do5()2＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]．]
1．求本例(2)的函数f(x)在[－3,1]上的值域．
[解] ∵x∈[－3,1]，∴2≤x2＋2x＋3≤6，
∴logeq
\s\do5()6≤logeq
\s\do5()
(x2＋2x＋3)≤logeq
\s\do5()2，
即－log26≤f(x)≤－1，
∴f(x)的值域为[－log26，－1]．
2．求本例(2)的单调区间．
[解] ∵x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，
又y＝logeq
\s\do5()t在(0，＋∞)为减函数，
且t＝x2＋2x＋3在(－∞，－1)上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数，故由复合函数单调性可知，y＝logeq
\s\do5()
(x2＋2x＋3)单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为[－1，＋∞)．
1．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．
2．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．
1．掌握2种方法
(1)比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性，若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和0(2)解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．
2．规避1个易错
求对数型复合函数的单调性易忽视定义域．
1．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A．a>c>b
B．b>c>a
C．c>b>a
D．c>a>b
D [a＝log32log22＝1，由对数函数的性质可知log522．函数y＝2＋log2x(x≥2)的值域为( )
A．(3，＋∞)
B．(－∞，3)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，3]
C [因为x≥2，所以log2x≥1，所以y≥3.]
3．函数y＝lg
|x|是( )
A．偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增
B．偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递减
C．奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增
D．奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减
B [易知函数y＝lg|x|是偶函数．当x>0时，y＝lg|x|＝lg
x，所以在区间(0，＋∞)上单调递增．由偶函数的性质知，函数在区间(－∞，0)上单调递减．]
4．函数f(x)＝log2(1＋2x)的单调增区间是______．
[易知函数f(x)的定义域为，又因为函数y＝log2x和y＝1＋2x都是增函数，所以f(x)的单调增区间是.]
5．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求不等式loga(3x＋1)(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．
[解] (1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1.∴实数a的取值范围是(0,1)．
(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)∴
即解得即不等式的解集为.
(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，∴a－2＝＝5，解得a＝.
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7
-第3课时 不同函数增长的差异
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1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2．区分指数函数、对数函数以及一次函数增长速度的差异．(易混点)3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)
借助三个函数模型的增长特征培养数学运算、数学建模的素养.
澳大利亚兔子数“爆炸”：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子的数量在不到100年内达到75亿只，喂养牛羊的牧草几乎被兔子们吃光，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量的增长为对数增长．
问题：指数函数、对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律？
提示：都是增函数，而y＝ax(a>1)增长速度越来越快；y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上增长速度非常缓慢．
三种函数模型的性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化趋势
随x增大逐渐近似与y轴平行
随x增大逐渐近似与x轴平行
保持固定增长速度
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢；②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些．
( )
(2)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax( )
(3)函数y＝logeq
\s\do5()x衰减的速度越来越慢．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是( )
A．y减少1个单位
B．y增加1个单位
C．y减少2个单位
D．y增加2个单位
C [结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]
3．三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
x
0
5
10
15
20
25
30
y1
5
130
505
1
130
2
005
3
130
4
505
y2
5
90
1
620
29
160
524
880
9
447
840
170
061
120
y3
5
30
55
80
105
130
155
其中关于x呈指数增长的变量是________．
y2 [由指数函数的变化规律可知，y2随x的变化呈指数增长．]
4．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
②③ [结合图象可知②③正确，故填②③.]
几类函数模型的增长差异
【例1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2
020x
B．y＝2020
C．y＝log2
020x
D．y＝2
020x
(2)下面对函数f(x)＝logeq
\s\do5()x，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变
D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
(1)A (2)C [(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.
(2)观察函数f(x)＝logeq
\s\do5()x，g(x)＝与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：
函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．]
常见的函数模型及增长特点
?1?线性函数模型,线性函数模型y＝kx＋b?k>0?的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
?2?指数函数模型,指数函数模型y＝ax?a>1?的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.
?3?对数函数模型,对数函数模型y＝logax?a>1?的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.
1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A．y＝ex
B．y＝ln
x
C．y＝2x
D．y＝e－x
A [结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．]
指数函数、对数函数与一次函数模型的比较
【例2】 函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f与g，f(2
020)与g(2
020)的大小．
[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)
从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，
∴f＜g；
当x＞2时，f(x)＞g(x)，
∴f(2
020)＞g(2
020)．
由图象判断指数函数、一次函数的方法,根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.
2．函数f(x)＝lg
x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg
x.
(2)当xf(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
1．正确区分3种函数模型
(1)三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型．
(2)直线上升、指数爆炸、对数增长
对于直线y＝kx＋b(k＞0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变．
2．规避1个误区
实际问题应有定义域并作答．
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝1
B．y＝x
C．y＝3x
D．y＝log3x
C [结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.]
2．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
A [随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．]
3．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
现有如下4个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；
③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．
④ [画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④.
]
4．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1
000元，1
500元时，应分别选择________方案．
乙、甲、丙 [将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．]
5．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
[解] 函数f(x)与g(x)的图象如图所示．
根据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；
当x>4时，f(x)PAGE
-
1
-4.5 函数的应用(二)
4.5.1 函数的零点与方程的解
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2．会求函数的零点．(重点)3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．(难点)
1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养．2．借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养.
路边有一条河，小明从A点走到了B点．观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定渡过河？
(1) (2)
将这个实际问题抽象成数学模型．
问题：如图，若将河看成x轴，建立平面直角坐标系，A，B是人的起点和终点，则点A，B应该满足什么条件就能说明小明的行程一定渡过河？
提示：只要满足点A与点B分布在x轴的两侧即可，即图中A处的函数值与B处的函数值符号相反，这也是我们将要学习的零点的相关知识．
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？
提示：不是．函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
2．方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点?函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
思考2：该定理具备哪些条件？
提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)f(x)＝x2的零点是0.
( )
(2)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．
( )
(3)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
( )
(4)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
A B C D
D [结合函数零点的定义可知选项D没有零点．]
3．函数y＝2x－1的零点是( )
A.
B．
C.
D．2
A [由2x－1＝0得x＝.]
4．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为( )
A．(0,1)
B．(－1,0)
C．(2,3)
D．(1,2)
D [由f(－1)＝－<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，得f(x)的零点所在区间为(1,2)．]
求函数的零点
【例1】 (1)求函数f(x)＝的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
[解] (1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln
x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.
(2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝－.
所以函数g(x)的零点为0和－.
函数零点的求法
?1?代数法：求方程f?x?＝0的实数根.
?2?几何法：对于不能用求根公式的方程f?x?＝0，可以将它与函数y＝f?x?的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；
(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
(3)f(x)＝2x－1－3；
(4)f(x)＝.
[解] (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，
所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.
(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.
判断函数零点所在的区间
【例2】 (1)函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是( )
A．(3,4)
B．(2，e)
C．(1,2)
D．(0,1)
(2)根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.08
x＋3
2
3
4
5
6
A.(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
(1)C (2)C [(1)因为f(1)＝ln
2－<0，f(2)＝ln
3－1>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选C.
(2)构造函数f(x)＝ex－x－3，由上表可得f(－1)＝0.37－2＝－1.63<0，
f(0)＝1－3＝－2<0，
f(1)＝2.72－4＝－1.28<0，
f(2)＝7.39－5＝2.39>0，
f(3)＝20.08－6＝14.08>0，
f(1)·f(2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.]
判断函数零点所在区间的三个步骤
?1?代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.
?2?判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.
?3?结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，
则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.
2．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是( )
A．－2
B．0
C．1
D．3
A [f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.]
函数零点的个数
[探究问题]
1．方程f(x)＝a的根的个数与函数y＝f(x)及y＝a的图象交点个数什么关系？
提示：相等．
2．若函数g(x)＝f(x)－a有零点，如何求实数a的范围？
提示：法一：g(x)＝f(x)－a有零点可知方程
f(x)－a＝0有解，即a＝f(x)有解．
故a的范围为y＝f(x)的值域．
法二：g(x)＝f(x)－a有零点，等价于函数y＝a与函数y＝f(x)的图象有交点，故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象，观察交点情况即可．
【例3】 已知0A．1
B．2
C．3
D．4
[思路点拨]
B [函数y＝a|x|－|logax|(0画出函数f(x)＝a|x|(01．把本例函数“y＝a|x|－|logax|”改为“y＝2x|logax|－1”，再判断其零点个数．
[解] 由2x|logax|－1＝0得|logax|＝，作出y＝及y＝|logax|(0由图可知，两函数的图象有两个交点，
所以函数y＝2x|logax|－1有两个零点．
2．若把本例条件换成“函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点”，求实数b的取值范围．
[解] 由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中分别画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
则当01．理解2个知识点——零点的含义、零点存在定理
(1)在函数零点存在定理中，要注意三点：①函数是连续的；②定理不可逆；③至少存在一个零点．
(2)方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．掌握2种方法
(1)转化法：函数的零点转化为方程的根还可转化为函数图象与x轴的交点的横坐标．
(2)数形结合思想：借助图象交点确定零点及方程根的问题．
3．规避1个误区
零点不是点，
而是数，是图象与x轴交点的横坐标．
1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )
A．－，－1
B．，1
C.，－1
D．－，1
B [方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.]
2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
B [∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，
∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)．]
3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
D [∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．]
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．
2 [由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．]
5．已知函数f(x)＝x2－x－2a.
(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；
(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2.
令f(x)＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2.
即函数f(x)的零点为－1和2.
(2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－，
所以a的取值范围是.
PAGE
-
2
-4.5.2 用二分法求方程的近似解
学
习
目
标
核
心
素
养
1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点)2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点)3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．(易混点)
借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模及逻辑推理素养.
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10
km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10
km长的线路大约有200多根电线杆子．可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除了．
问题：你知道他是如何做到的吗？
提示：利用二分法．
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？
提示：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
2．二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．
( )
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．
( )
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1]
B．[－1,0]
C．[0,1]
D．[1,2]
A [∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．]
3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．
x3 [因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]
4．(一题两空)用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
(0,0.5) f(0.25) [∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴x0∈(0,0.5)，故第二次应计算f(0.25)．]
二分法的概念
【例1】 已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4
B．3,4
C．5,4
D．4,3
D [图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.]
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.
1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
A B C D
B [二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．]
用二分法求函数零点的近似值
[探究问题]
1．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？
提示：当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束．
2．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？
提示：精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同．
【例2】 求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度为0.01)．
[思路点拨]
[解] 确定一个包含负数零点的区间(m，n)，
且f(m)·f(n)<0.因为f(－1)>0，f(－2)<0，
所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
f(－1)>0，f(－2)<0
(－2，－1)
x0＝＝－1.5
f(x0)＝4.375>0
(－2，－1.5)
x1＝＝－1.75
f(x1)≈2.203>0
(－2，－1.75)
x2＝＝－1.875
f(x2)≈0.736>0
(－2，－1.875)
x3＝＝－1.937
5
f(x3)≈－0.097
4<0
(－1.937
5，－1.875)
x4＝＝－1.906
25
f(x4)≈0.328
0>0
(－1.937
5，－1.906
25)
x5＝＝－1.921
875
f(x5)≈0.117
4>0
(－1.937
5，－1.921
875)
x6＝＝－1.929
687
5
f(x6)≈0.010
5>0
(－1.937
5，－1.929
687
5)
由于|－1.929
687
5＋1.937
5|＝0.007
812
5<0.01，所以函数的一个负零点近似值可取为－1.929
687
5.
1．(变条件)求本例函数f(x)在区间[－2，－1]上精确度为0.1的一个零点近似值．
[解] 因为f(－1)>0，f(－2)<0，且函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的图象是连续的曲线，根据函数零点的存在定理可知，它在区间[－2，－1]内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
f(－1)>0，f(－2)<0
(－2，－1)
x0＝＝－1.5
f(x0)＝4.375>0
(－2，－1.5)
x1＝＝－1.75
f(x1)≈2.203>0
(－2，－1.75)
x2＝＝－1.875
f(x2)≈0.736>0
(－2，－1.875)
x3＝＝－1.937
5
f(x3)≈－0.097
4<0
(－1.937
5，－1.875)
由于|－1.875＋1.937
5|＝0.062
5<0.1，所以函数在区间[－2，－1]内的一个近似零点可取为－1.937
5.
2．若将本例函数改为“f(x)＝x3＋2x2－3x－6”，如何求该函数的正数零点？(精确度为0.1)
[解] 确定一个包含正数零点的区间(m，n)，
且f(m)·f(n)<0.
因为f(0)＝－6<0，f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，
所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间，
用二分法逐步计算，列表如下：
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0
(1,2)
x1＝＝1.5
f(1.5)＝－2.625<0
(1.5,2)
x2＝＝1.75
f(1.75)≈0.234
4>0
(1.5,1.75)
x3＝＝1.625
f(1.625)≈－1.302
7<0
(1.625,1.75)
x4＝＝1.687
5
f(1.687
5)≈－0.561
8<0
(1.687
5,1.75)
由于|1.75－1.687
5|＝0.062
5<0.1，所以函数的正数
零点的近似值可取为1.687
5.
利用二分法求方程近似解的过程图示
1．掌握2个知识点
(1)二分法的定义．
(2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解．
2．学会2种方法——化归思想、逼近思想
(1)化归思想：把求方程f(x)＝0的近似解转化为求函数y＝f(x)的近似零点．
(2)逼近思想：二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的数学思想的应用．
3．规避1个误区
并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)<0，
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．
1．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是( )
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点
C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解
D [二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D.]
2．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)f(b)<0，f(a)f>0，则( )
A．f(x)在上有零点
B．f(x)在上有零点
C．f(x)在上无零点
D．f(x)在上无零点
B [由f(a)f(b)<0，f(a)f>0可知f·f(b)<0，根据零点存在定理可知f(x)在上有零点．]
3．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )
A．|a－b|<0.1
B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001
D．|a－b|＝0.001
B [据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．]
4．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
(2,3) [因为f(2)·f(3)<0，所以零点在区间(2,3)内．]
5．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x)
1.079
4
0.191
8
－0.360
4
－0.998
9
由表中的数据，求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)．
[解] 因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312
5，两个区间(1.25,1.312
5)和(1.312
5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062
5<0.1，因此1.312
5是一个近似解．
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-
1
-4.5.3 函数模型的应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1.会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点)3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)
通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模、数据分析的素养.
爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕．若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁．也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为1
000元，每期的利率为2.25%.
问题：五期后的本利和是多少？
提示：解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a?1＋r?x，将相应的数据代入该关系式就可得到五年期的本利和.
1．常用函数模型
常用函数模型
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型
y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型
y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型
y＝
2.建立函数模型解决问题的基本过程
思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？
提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．
( )
(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．
( )
(3)在不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )
A．300只
B．400只
C．600只
D．700只
A [将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.]
3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2
000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2
000)
B．y＝0.3x＋1
600(0≤x≤2
000)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2
000)
D．y＝－0.3x＋1
600(0≤x≤2
000)
D [由题意知，变速车存车数为(2
000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2
000－x)×0.8＝－0.3x＋1
600(0≤x≤2
000)．]
4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过________年．
7 [设二次函数y＝a(x－6)2＋11，又过点(4,7)，
所以a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11.
解y≥0，得6－≤x≤6＋，所以有营运利润的时间为2.又6<2<7，所以有营运利润的时间不超过7年．]
利用已知函数模型解决实际问题
【例1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×eq
\s\up12()，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88
℃热水冲的速溶咖啡，放在24
℃的房间中，如果咖啡降温到40
℃需要20
min，那么降温到32
℃时，需要多长时间？
[解] 先设定半衰期h，由题意知
40－24＝(88－24)×eq
\s\up12()，
即＝eq
\s\up12()，
解之，得h＝10，故原式可化简为
T－24＝(88－24)×eq
\s\up12()，
当T＝32时，代入上式，得
32－24＝(88－24)×eq
\s\up12()，
即eq
\s\up12()＝＝＝，∴t＝30.
因此，需要30
min，可降温到32
℃.
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.
1．某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：
P＝(t∈N
)
设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？
[解] 设日销售金额为y(元)，则y＝PQ，
所以y＝(t∈N
)
①当0时，y＝－(t－10)2＋900，
所以当t＝10时，ymax＝900(元)．
②当25≤t≤30且t∈N
时，y＝(t－70)2－900，
所以当t＝25时，ymax＝1
125(元)．
结合①②得ymax＝1
125(元)．
因此，这种商品日销售额的最大值为1
125元，且在第25天时日销售金额达到最大.
自建确定性函数模型解决实际问题
【例2】 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，（碳14的半衰期为5730年）能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
[解] 设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p(0y＝k(1－p)x (k∈R，且k≠0；0由碳14的半衰期为5
730年，得
k(1－p)5
730＝k.
于是1－p＝，
所以y＝k.
由样本中碳14的残余量约为初始量的55.2%可知，
k＝55.2%k，
即＝0.552.
由计算工具得x≈4
912.
因为2010年之前的4
912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的．
自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”.
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.,设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.
2．牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值．
[解] (1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1－，由此可得y＝kx(0(2)对原二次函数配方，得y＝－(x2－mx)
＝－＋，即当x＝时，y取得最大值.
拟合数据构建函数模型解决实际问题
[探究问题]
1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？
提示：不一定．
2．对于收集的一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？
提示：常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势，结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律．
【例3】 某企业常年生产一种出口产品，自2016年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2016年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
(1)画出2016～2019年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2020年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2020年的年产量为多少？
[思路点拨] →
[解] (1)画出散点图，如图所示．
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．
设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得解得
∴f(x)＝1.5x＋2.5.
检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，
f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
(3)根据所建的函数模型，预计2020年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2020年的年产量为7万件．
函数拟合与预测的一般步骤：
?1?根据原始数据、表格，绘出散点图.
?2?通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线.
?3?求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
?4?利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.
3．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.90
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y
kg与身高x
cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175
cm，体重为78
kg的在校男生的体重是否正常？
[解] (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．
根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．
取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx得：
用计算器算得a≈2，b≈1.02.
这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．
(2)将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖.
1．掌握2种模型
(1)指数函数模型；(2)对数函数模型．
2．掌握4个步骤
解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
3．规避1个易错
实际应用题易忘记定义域和作答．
1．根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是( )
A B C D
[答案] B
2．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A．y＝0.957
6eq
\s\up12()
B．y＝(0.957
6)100x
C．y＝
D．y＝1－0.042
4eq
\s\up12()
A [由题意可知y＝(95.76%)eq
\s\up12()，
即y＝0.957
6eq
\s\up12().]
3．某市的房价(均价)经过6年时间从1
200元/m2增加到了4
800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是( )
A．600元
B．50%
C.－1
D．＋1
C [设6年间平均年增长率为x，则有1
200(1＋x)6＝4
800，解得x＝－1.]
4．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I（单位：安）与电线半径r（单位：毫米）的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，
则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )
A．60安
B．240安
C．75安
D．135安
D [由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝＝5，所以I＝5r3.故当r＝3时，I＝5×33＝135(安)．故选D.]
5．已知A，B两地相距150
km，某人开汽车以60
km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50
km/h的速度返回A地．
(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；
(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．
[解] (1)①汽车由A地到B地行驶th所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．
②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3.5)．
③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜t≤6.5)．
综上，s＝
它的图象如图(1)所示．
(1) (2)
(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v＝它的图象如图(2)所示．
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1
-第4章
指数函数与对数函数
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
指数与对数的运算
【例1】 计算：(1)2log32－log3＋log38－5；
(2)1.5eq
\s\up12()×＋80.25×＋(×)6－.
[解] (1)原式＝log3－3＝2－3＝－1.
(2)原式＝eq
\s\up12()＋2eq
\s\up12()×2eq
\s\up12()＋22×33－eq
\s\up12()＝21＋4×27＝110.
指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.
1．设3x＝4y＝36，则＋的值为( )
A．6
B．3
C．2
D．1
D [由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436，
∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.]
指数函数、对数函数的图象及应用
【例2】 (1)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列图像函数正确的是( )
A B C D
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝.
①如图，画出函数f(x)的图象；
②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
(1)B [由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符．故选B.]
(2)[解] ①先作出当x≥0时，f(x)＝的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．
②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．
1．识别函数的图象从以下几个方面入手：
(1)单调性：函数图象的变化趋势；
(2)奇偶性：函数图象的对称性；
(3)特殊点对应的函数值．
2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.
2．函数y＝1＋logeq
\s\do12()
(x－1)的图象一定经过点( )
A．(1,1)
B．(1,0)
C．(2,1)
D．(2,0)
C [把y＝logeq
\s\do12()x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y＝1＋logeq
\s\do12()
(x－1)的图象，故其经过点(2,1)．]
比较大小
【例3】 若0A．3y<3x
B．logx3C．log4xD.
<
C [因为0对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误．
对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0logy3，B错误．
对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x对于D，函数y＝在R上单调递减，故
>，D错误．]
1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．
2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．
4．含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论．
3．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则( )
A．a>b>c
B．b>a>c
C．a>c>b
D．c>b>a
C [∵a＝log2π>log22＝1，b＝logπc>b，故选C.]
指数函数、对数函数的性质
【例4】 (1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．
(1)A [由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．]
(2)[解] ①因为loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．
又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.
②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝＋.
令t＝log3x，因为1≤x≤3，
所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.
所以y＝＋∈，
所以所求函数的值域为.
1．把本例(1)的函数f(x)改为“f(x)＝ln(x＋)”，判断其奇偶性．
[解] ∵f(x)＝ln(x＋)，∴其定义域为R，
又f(－x)＝ln(－x＋)，
∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln
1＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
2．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．
[解] 由题意可知y＝32x＋3x－1，令3x＝t，则t∈[3,27]，
∴f(t)＝t2＋t－1＝－，t∈[3,27]，
∴当t＝3时，f(t)最小值＝f(3)＝9＋3－1＝11.
1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．
2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u的取值范围．
函数的应用
【例5】 一种放射性元素，最初的质量为500
g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
[解] (1)最初的质量为500
g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即
0．9t＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得
lg
0.9t＝lg
0.5，即tlg
0.9＝lg
0.5，
所以t＝≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．
指数函数模型的应用
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1)
[解] 设过滤n次能使产品达到市场要求，依题意，得×≤，即≤.
则n(lg
2－lg
3)≤－(1＋lg
2)，故n≥≈7.4，考虑到n∈N，故n≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．
[培优层·素养升华]
【例】 电子工业部扬声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由于对AB胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响产品质量．经过试验，已有一些恰当用胶量的具体数据，见下表：
序号
1
2
3
4
5
磁钢面积/cm2
11.0
19.4
26.2
46.6
56.6
用胶量/g
0.164
0.396
0.404
0.664
0.812
序号
6
7
8
9
10
磁钢面积/cm2
67.2
125.2
189.0
247.1
443.4
用胶量/g
0.972
1.688
2.86
4.076
7.332
现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系．
[思路分析] 画出散点图，利用散点图确定函数模型，再利用待定系数法求出关系式．
[解] 将磁钢面积x作为横坐标，用胶量y作为纵坐标，建立平面直角坐标系，根据上表数据在坐标系中描点，得散点图如图所示．
从图中可以看出这些点基本上在一条直线附近，画出一条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数y＝kx＋b(k≠0)表示用胶量与磁钢面积的关系．取点(56.6,0.812)，(189.0,2.86)，将它们的坐标分别代入直线方程y＝kx＋b(k≠0)，得方程组
解得
所以用胶量与磁钢面积的函数关系可表示为y＝0.015
47x－0.063
60.
1．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数，计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．
2．本例通过一些数据寻求事物的规律，先画出这些数据的散点图，然后利用散点图的整体特征，选择我们熟悉的函数模型，将一些数据代入求得表达式，进而使例题得以求解，很好地考查了学生的数学建模的核心素养．
18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：
行星
1(金星)
2(地球)
3(火星)
4( )
5(木星)
6(土星)
7( )
距离
0.7
1.0
1.6
5.2
10.0
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置．在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？
[解] 根据题意画出散点图如图所示，由此图知宜采用指数型函数做模型．
设f(x)＝a·bx＋c，
代入前三组数据，得a＝，b＝2，c＝.
所以f(x)＝×2x＋.
把x＝5和x＝6分别代入检验，得f(5)＝＝5.2，f(6)＝10，刚好符合．
所以f(4)＝2.8，f(7)＝19.6.
所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处．在土星外面是天王星，它与太阳的距离大约是19.6天文单位．
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