全等三角形全章学案
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文档简介
第十一章 全等三角形
11.1全等三角形
学习目标
1．知道什么是全等形、全等三角形；
2．能熟练找出全等三角形的对应元素，能用符号正确地表示两个三角形全等；
3．掌握全等三角形的性质.
重点: 全等三角形的概念、性质。
难点: 对应边和对应角的确定。
自主学习
一、全等形、全等三角形的概念
阅读课本P2内容，回答课本思考问题，并完成下面填空：
1． 能够完全重合的两个图形叫做 .
全等图形的特征：全等图形的 和 都相同.
2．能够完全重合的两个三角形叫做 .
二、全等三角形的对应元素及表示
阅读课本P3第一个思考及下面两段内容，完成下面填空：
1． 平移 翻折 旋转
启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略．
2．全等三角形的对应元素
（1）对应顶点（三个）---重合的顶点
（2）对应边（三条）--- 重合的边
（3）对应角（三个）--- 重合的角
请同学们写出上图甲、乙、丙的对应顶点、对应边、对应角
图甲： 对应边是： 对应顶点是： 对应角是：
图乙：
对应边是：
对应顶点是： 对应角是：
图丙：对应顶点是： 对应边是：
对应角是：
寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边；
（2）有公共角的，公共角是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角是对应角；
（4）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（5）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。
3．“全等”用“≌”表示，读作“全等于”
如图甲记作:△ABC≌△DEF 读作:△ABC全等于△DEF
如图乙记作: 读作:
如图丙记作: 读作:
注意：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
三、全等三角形的性质
阅读课本P3第二个思考及下面内容，完成下面填空：
全等三角形的性质:
全等三角形的 相等， 相等.
练习
1.如图1，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．
图1 图2
2.如图2，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．
课堂小结
本节课你有哪些收获？
巩固练习
1.下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角.
（1） （2） （3）
2.如图，△ABE≌△ACD，AB与AC，AD与AE是对应边，已知：∠A=43°，
∠B=30°，求∠ADC的大小.
课堂检测
1.全等用符号 表示，读作： .
2.若△BCE≌△CBF，则∠CBE= , ∠BEC= ,BE= , CE= .
3.判断题
1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.（ ）
2）全等三角形的周长相等，面积也相等. （ ）
3）面积相等的三角形是全等三角形. （ ）
4）周长相等的三角形是全等三角形. （ ）
4.如图:△ABC≌△DBF,找出图中的对应边,对应角.
答:∠B的对应角是 ，∠C的对应角是 ，
∠BAC的对应角是 ；
AB的对应边是 ，AC的对应边是 ，
BC的对应边是 .
课后作业：课本P4习题第1、2题
板书设计：
11．1 全等三角形
一、全等形、全等三角形的概念
二、全等三角形的对应元素及表示
三、全等三角形的性质
教学反思：
11.2.1三角形全等的判定
学习目标
1．理解三边对应相等的两个三角形全等的内容．
2．会运用“边边边”条件证明两个三角形全等．
3. 会作一个角等于已知角.
自主学习
一、课前准备
1. 叫做全等三角形
2.全等三角形的 和 相等
3.将△ABC沿直线BC平移，得到△DEF，说出你得到的结论，说明理由？
如果AB=5, ∠A=55°, ∠B=45°,那么DE= ，∠F= .
二、自主探究
自主探究三角形全等的条件：
阅读课本P6探究2之前，回答下面问题：
通过探究
（1）只给一个条件对应相等的两个三角形一定全等吗？
①只给一条边时；
②只给一个角时；
（2）如果给出两个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？
①给出两个角时；
②给出两条边时；
③给出一条边和一个角时；
（3）由上面的几种情景，两个三角形满足一个或两个条件时，它们一定全等吗？
（4）如果两个三角形有三个条件对应相等，这两个三角形全等吗？我们也可以分情况讨论，有哪几种情况？
①我们先来探究两个三角形三个角相等的情况：
②画出一个三角形，使它的三边长分别为3cm、 4cm、6cm ,把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一定全等吗？
③上面的探究反映了什么规律？
阅读课本P6-7探究2至例1前，回答下面问题：
的两个三角形全等，简写为“ ”或“ ”．
三、例题学习
阅读课本P7例1，学习“边边边”证明两个三角形全等的格式．
巩固练习
1. 如图，AB=AD，BC=CD，求证：（1）△ABC≌△ADC（2）∠B=∠D
证明：
（1）在△ABC和△ADC中
（公共边）
∴△ABC≌△ADC（ ）
（2）∵△ABC≌△ADC
∴∠B=∠D（ ）
2.如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
证明：
四、作一个角等于已知角
阅读课本P7最后一段至P8，回答书中问题.
课堂小结
本节课你有哪些收获？
课堂检测
如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
证明：
课后作业：课本P15习题第1、2题
板书设计：
11．2．1 三角形全等的条件（一）
一、三角形全等的条件
三边对应相等的两三角形全等（SSS）
二、例题
三、作一个角等于已知角
教学反思：
11.2.2全等三角形的识别（二）（SAS）
学习目标：会运用“边角边”公理证明三角形全等的简单问题
重难点：1、会运用“边角边”公理证明三角形全等的简单问题
2、分清用两边一角证明三角形相似和全等的不同。
自学过程：
知识回顾：
一、判别三角形相似的方法之二：
1、如果两个三角形有 _____边对应＿＿＿＿＿＿，并且____相等，那么这两个三角形相似．
新课讲解：
做一做 以图24.2.5中的两条线段和一个角画一个三角形，使该角恰为这两条线段的夹角.
步骤：
画一线段AB使它的长度等于4cm.
以点A为顶点，作∠BAP=45°,在射线AP上截取AC＝3cm,
连结BC.△ABC即为所求.
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？
换两条线段和一个角，用同样的方法试试，是否有同样的结论．
A C
A B
A
这样我们就得到识别三角形全等的另一种简便的方法
如果两个三角形有 _____边及其______分别对应＿＿＿＿，那么这两个三角形全等．简记为（S.A.S.）．
对比判别三角形相似的方法
如果两个三角形有 _____边对应＿＿＿＿＿＿，并且____相等，那么这两个三角形相似．
例2 如图11-1，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD.
做一做 如图24.2.7，已知两条线段和一个角，以这两条线段为边，以这个角为其中一条边的对角，画一个三角形.
图24.2.7
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形一定都会全等吗？
练 习
根据题目条件，判断下面的三角形是否全等？
(3) (4)
点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点，△AMD和△BMC全等吗？试说明你的理由？
综合练习：
填空：
如图11-2，AB=AD,AC=AE,
则可得△ABC≌＿＿＿＿
其理由是＿＿＿＿＿＿
2、如图（1）：OA=OD,OB=OC,求证：△ABO≌△DCO
证明： OA=OD OB=OC（ ）
＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿（ ）
△ABO≌△DCO（ ）
3、如图（2）：已知AB=DC，∠ABC=∠DCB,求证：AC=BD
证明：AB=DC，∠ABC=∠DCB （ ）
BC=________( )
△BCD≌_______，( )
AC=________( )
如图（1） 如图（2）
选择：
1、在△ABC中，∠B=∠C,与△ABC全等的三角形有一个角是100°,那么△ABC中与这个角对应的角是（ ）
A ∠A B ∠B C ∠C D ∠B或∠D
l
2、如图：直线l是四边形ABCD的对称轴，如果，有下列 A
结论：(1)AB∥DC（2）AB=BC（3）ABBC（4） AO=OC， B O D
其中正确的结论有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 C
3、具有下列条件的两个等腰三角形，不能判定它们全等的是（ ）
A 顶角、一腰对应相等 B 底边、一腰对就相等
C 两腰对应相等 D 一腰、一底角、一底边对应相等
△ABC和△A′B′C′边角条件如图：那么这两个三角形（ ） C′
A全等 B不全等
C不一定全等 D相似
证明：1、如图，已知∠1＝∠2，AO＝BO，那么△AOP≌△BOP，为什么？
2、已知：AD＝BC，∠ADC＝∠BCD．求证： ∠BDC＝∠ACD．
3、如图，AE＝DB，BC＝EF，BC∥EF，说明△ABC和△DEF全等的理由．
4、如图：点M是等腰梯形ABCD底边AB上的中点，则MD与MC的大小有何关系，试说明理由。
5、已知点A、B、C、D在同一条直线上，AB=CD, ∠D=∠ECA,试问：AE与BF的大小关系，并说明理由。
6、如图：在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°,在AB上取点P，边CA的延长线上取点Q，使AP=AQ，边CP与BQ交于点S，求证：△CAP≌△BAQ
7、如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC， △ABC与△ADE全等吗？并说明理由。
11.2.3 全等三角形的识别（三）（ASA及AAS）
学习目标：会运用“角边角”公理及其推论证明三角形全等的简单问题
重难点：能灵活运用“角边角”公理及其推论证明三角形全等的简单问题
自学过程：
做一做 如图24.2.9，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为两个角的夹边，画一个三角形.
步骤：
一线段AB使它的长度等于4cm.
分别以点A、B为顶点，作∠BAP=40°∠ABQ=60°,AP、BQ相交于点C,
△ABC即为所求.
把你画的三角形与其他同学画的进行比较，所有的三角形都全等吗？
换两个角和一条线段， 用同样的方法试试看，是否有同样的结论．
A
B
A B
由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：
如果两个三角形的＿＿＿＿＿＿＿及其＿＿＿＿分别对应＿＿＿＿＿，那么这两个三角形全等．简记为(A.S.A.).
例3 如图所示，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，试说明△ABC≌△DCB.
解 ∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，
BC是＿＿＿＿＿＿，
＿＿＿＿＿＿（ ）
思 考
如图24.2.11，如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，
那么这两个三角形是否一定全等？
图24.2.11
你的结论是______________________________________
证明： ∠A＝∠D，∠C＝∠F，
∠B＝180°－＿＿＿＿＿＿，∠E＝180°－＿＿＿＿，
∠＿＿＿＿＝∠＿＿＿＿＿＿
又∠＿＿＿＝∠＿＿＿，AB＝＿＿＿＿
△ABC≌△DEF.（ ）
由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：
如果两个三角形的＿＿＿＿＿＿＿及其＿＿＿＿分别对应＿＿＿＿＿，那么这两个三角形全等．简记为(A.A.S.).
小结： 如果知道两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这时应该有两种不同的情况： 一种情况是两个角及两角的＿＿＿＿（ASA）； 另一种情况是两个角及其中一角的＿＿＿（AAS），两种情况都可以证明三角形全等。如图24.2.8所示．
图24.2.8
练 习
填空：
1、如图：D是△ABC的边AB上一点，DE交AC于点E，交CF于点 F，DE=FE,FC∥AB, 求证：AE=CE
证明： FC∥AB（ ） ∴∠_____=∠_____,
∠_____=∠_____, 又 DE=FE（ ）
∴△AED≌____（ ）
∴AE=CE（ ）
2、如图：点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE,
AB∥ED,AC∥FD，求证：AB=DE
证明： FB=CE（ ）
FB＋＿＿＿=CE＋＿＿（ ）
即：＿＿＿＿＝＿＿＿＿
AB∥ED,AC∥FD
∠ABC=∠_______,∠ACB=∠_______
△ABD≌________,（ ）
AB=DE，（ ）
3、如图：AB=CD,AD=BC,EF过BD的中点O，求证：△OBF≌△ODE
证明：AB=CD,AD=BC( )
_________=__________( )
△ABD≌________,( )
∠CBD=_______
EF过BD的中点O( )
______=__________
又∠FOB=∠_____( )
△OBF≌_______( )
选择
1、下列说法中，正确的是（ ）
A所有的等腰三角形全等 B有两边对应相等的两个等腰三角形全等
C有一边对应相等的两个等腰三角形全等 D腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等
2、在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=44°，∠B=67°,∠C′=69°,∠A′=44°,且AC=A′C′，那么这两个三角形（ ）
A 一定不全等 B 一定全等 C 不一定全等 D 以上都不对
3、如图：点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE
交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE,则（ ）
A △ABD≌△AFD B △AFE≌△ADC
C △AFE≌△DFC D △ABC≌△ADE
4、在△ABC和△DEF中，条件(1)AB=DE,(2)BC=EF,(3)AC=DF,(4) ∠A=∠D,(5) ∠B=∠E,(6) ∠C=∠F，则下列各组条件中，不能保证△ABC≌△DEF的是（ ）
A(1) (2) (3) B (1) (2) (5) C (1) (3) (5) D(2) (5) (6)
三、证明与计算：
根据题目条件，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.
△ABC是等腰三角形，AD、BE分别是∠A、∠B的角平分线，△ABD和△BAE全等吗？试说明理由.
3、如图，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF，△ABC与△DEF全等吗？试说明理由.
4、如图，∠1＝∠2，∠B＝∠D，△ABC和△ADC全等吗？试说明理由。
5、已知： 如图，∠C＝∠D，CE＝DE．求证： ∠DAB＝∠ABC．
6、已知： 如图，∠BDA＝∠CEA，AE＝AD．求证： AB＝AC．
7、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC, ∠B=∠C,求证：BD=CE
11.2.4 全等三角形的识别（四）（HL）
学习目标：会运用“斜边、直角边公理” 证明三角形全等的简单问题
重难点：
1、会运用“斜边、直角边公理”（HL） 证明三角形全等的简单问题
2、了解SSS、SAS、ASA、AAS也适用于直角三角形。
自学过程：
知识回顾：
一、判别三角形相似的方法之三：
如果一个三角形的_______分别与另一个三角形的_______对应相等，那么这两个三角形相似．
我们知道，对于两个三角形，有“边、边、角”对应相等，是不能保证它们全等的．但是，在两个直角三角形中，当斜边及一条直角边分别对应相等时，也具有“边、边、角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形是否全等呢？
做一做 试以24.2.12中的两条线段AC、AB分别为直角边和斜边画一个直角三角形.
步骤：
画∠MCN＝90°，
在射线CM上截取AC的长度，
以点A为圆心，以线段AB的长为半径画圆弧，交射线CN于点B，
连结AB，△ABC即为所求.
把你画的图形与周围的同学画的比较一下，所画的图形都全等吗？请按照下题的步骤证明你的结论。
如图，AC＝DF，AB=DE,∠C＝∠F＝90°，试说明△ABC≌△DEF.
∠C＝∠F＝90°
BC=_________,EF=____________(勾股定理)
又 AC＝DF，AB=DE,
＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿
又∠＿＿＝∠＿＿，AC＝＿＿＿＿
△ABC≌△DEF.（ ）
由此可以得到如下结论：
如果两个直角三角形的＿＿＿＿＿及一条＿＿＿＿＿＿分别对应相等，那么这两个直角三角形全等. 称为斜边、直角边公理，简记为（H.L.）.
注意：
1、斜边、直角边公理（HL）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。
2、SSS、SAS、ASA、AAS适用于任何三角形，包括直角三角形。
例4 如图24.2.13，AB是圆O的直径，AC＝AD，试说
明△ABC和△ABD全等.
解 AB为⊙O的直径
∠ACB＝∠＿＿＿＝＿＿°．
又AC＝AD，＿＿＿＝＿＿＿，
△ABC≌△ABD．（ ）
练 习
如图，AC＝AD，∠C＝∠D＝90°，试说明BC与BD相等.
以下面格点图中的格点为顶点，画出所有的直角三角形，并说明哪些直角三角形是全等的.
（第2题）
综合练习：
一、填空：
两条直角边对应相等的两个直角三角形＿＿＿＿＿＿，理由是＿＿＿＿＿＿＿＿
有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形＿＿＿＿＿，理由是＿＿＿＿＿＿
如图(1)：BA⊥AC,CD∥AB,AB=CE,BC=DE,则△CDE≌______，
理由是＿＿＿＿＿，且有∠ACB=________，∠ABC=_______,
由此可知BC与DE互相__________
如图：AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′
中BC,B′C′边上的高，且AB=A′B′，AD=A′D′,若
使△ABC≌△A′B′C′，需补充条件是＿＿＿＿＿＿
（只需填写一个你认为适当的条件）
二、选择：
1、两个直角三角形全等的条件是（ ）
A一锐角对应相等B两锐角对应相等C一条边对应相等D两条边对应相等
2、判断下列命题：（1）在Rt△ABC中，两锐角互余（2）有两个锐角不互余的三角形不是直角三角形（3）一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（4）有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
3、下列说法正确的有（ ）
（1）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等（2）一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等（3）两条边对应相等的两个直角三角形全等（4）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
4、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′,AB=A′B′,那么下列结论中正确的是（ ）
A AC=A′C′ B BC=B′C′ C AC=B′C′ D ∠A=∠A′
下列叙述的图形中，是全等三角形的只有（
A 两个含60°角的直角三角形 B 腰对应相等的两个等腰三角形
C 有一边相等的两个等边三角形 D 面积相等的两个直角三角形
6、如图：△ABC中，∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB，
交BC于D点，DE⊥AB于点E，且AB=60cm，则△BED的
周长为（ ）
A 100cm B 80cm C 60cm D 40cm
证明：
1、如图：CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为EF，AC∥DB,且AC=BD，求证：CE=DF
2、如图：△ABC是等腰三角形，AB=AC,AD是高，
求证（1）BD=DC（2）∠BAD=∠CAD
3、如图，AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E、F是垂足，DE=BF,求证（1）AE=CF（2）AB∥CD
4、如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F，求证：EB=FC
5、如图：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°,CDAB,C′D′A′B′,且CD=C′D′,BC=B′C′，求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
11．3角平分线的性质
自学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )：
（1）掌握角平分线的性质定理；
（2）能够运用性质定理证明两条线段相等；
（3）角平分线的性质定理及它的应用。
重难点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )：角平分线的性质定理及它的应用。
自学过程：
一、复习：
1、判断两个三角形全等的方法：
（1）三边分别相等的两个三角形全等。
（2）有两边级其夹角对应相等的两个三角形全等。
（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
（4）有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（5）有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。
2、练习：根据题目的结论，添加相应的条件。
（1）如上图，AB=DE，AC=DF，______=_______，那么根据（SSS）可得
（2）如上图，AB=DE，AC=DF，______=_______，那么根据（SAS）可得
（3）如上图，AB=DE，______=______，______=_______，那么根据（ASA）可得
（4）如上图，AB=DE，______=______，_______=_______，那么根据（AAS）可得
（5）如右图，，_____=_____，
_______=_______，那么根据（HL）
可得
三、“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”
请你自己设计出一条几何证明题，去证明上面的命题是否正确：
小光已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整：
解： 如右图：
已知：__________________，
___________________
求证：______=_______
证明：
归纳：从上面的我们可知道“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”这是一个_________（填“真”或“假”）命题。
练习：根据上面定理完成书本P21 思考。
四：把前面的定理反过来可得：“角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上”
请你自己设计出一条几何证明题，去证明上面的命题是否正确：
小白已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整：
解：如右图，过______做射线
已知：，；
并且_______=_______
求证：_____是的平分线
证明：
归纳：从上面的我们可知道“角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上”这是一个_________（填“真”或“假”）命题。
五、练习：
A组：
1、请你利用尺规作图，画出的平分线
B组：
书P22页习题11.3第1----5题。（可做在书本上）
C组：请你利用尺规作图在内部找一个点，
使这个点到三边距离相等
3㎝
3㎝
3cm
45
45
45
300
700
800
300
800
700
A
B
C
D
B
C
D
A
PAGE
11.1全等三角形
学习目标
1．知道什么是全等形、全等三角形；
2．能熟练找出全等三角形的对应元素，能用符号正确地表示两个三角形全等；
3．掌握全等三角形的性质.
重点: 全等三角形的概念、性质。
难点: 对应边和对应角的确定。
自主学习
一、全等形、全等三角形的概念
阅读课本P2内容，回答课本思考问题，并完成下面填空：
1． 能够完全重合的两个图形叫做 .
全等图形的特征：全等图形的 和 都相同.
2．能够完全重合的两个三角形叫做 .
二、全等三角形的对应元素及表示
阅读课本P3第一个思考及下面两段内容，完成下面填空：
1． 平移 翻折 旋转
启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略．
2．全等三角形的对应元素
（1）对应顶点（三个）---重合的顶点
（2）对应边（三条）--- 重合的边
（3）对应角（三个）--- 重合的角
请同学们写出上图甲、乙、丙的对应顶点、对应边、对应角
图甲： 对应边是： 对应顶点是： 对应角是：
图乙：
对应边是：
对应顶点是： 对应角是：
图丙：对应顶点是： 对应边是：
对应角是：
寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边；
（2）有公共角的，公共角是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角是对应角；
（4）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（5）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。
3．“全等”用“≌”表示，读作“全等于”
如图甲记作:△ABC≌△DEF 读作:△ABC全等于△DEF
如图乙记作: 读作:
如图丙记作: 读作:
注意：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
三、全等三角形的性质
阅读课本P3第二个思考及下面内容，完成下面填空：
全等三角形的性质:
全等三角形的 相等， 相等.
练习
1.如图1，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．
图1 图2
2.如图2，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．
课堂小结
本节课你有哪些收获？
巩固练习
1.下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角.
（1） （2） （3）
2.如图，△ABE≌△ACD，AB与AC，AD与AE是对应边，已知：∠A=43°，
∠B=30°，求∠ADC的大小.
课堂检测
1.全等用符号 表示，读作： .
2.若△BCE≌△CBF，则∠CBE= , ∠BEC= ,BE= , CE= .
3.判断题
1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.（ ）
2）全等三角形的周长相等，面积也相等. （ ）
3）面积相等的三角形是全等三角形. （ ）
4）周长相等的三角形是全等三角形. （ ）
4.如图:△ABC≌△DBF,找出图中的对应边,对应角.
答:∠B的对应角是 ，∠C的对应角是 ，
∠BAC的对应角是 ；
AB的对应边是 ，AC的对应边是 ，
BC的对应边是 .
课后作业：课本P4习题第1、2题
板书设计：
11．1 全等三角形
一、全等形、全等三角形的概念
二、全等三角形的对应元素及表示
三、全等三角形的性质
教学反思：
11.2.1三角形全等的判定
学习目标
1．理解三边对应相等的两个三角形全等的内容．
2．会运用“边边边”条件证明两个三角形全等．
3. 会作一个角等于已知角.
自主学习
一、课前准备
1. 叫做全等三角形
2.全等三角形的 和 相等
3.将△ABC沿直线BC平移，得到△DEF，说出你得到的结论，说明理由？
如果AB=5, ∠A=55°, ∠B=45°,那么DE= ，∠F= .
二、自主探究
自主探究三角形全等的条件：
阅读课本P6探究2之前，回答下面问题：
通过探究
（1）只给一个条件对应相等的两个三角形一定全等吗？
①只给一条边时；
②只给一个角时；
（2）如果给出两个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？
①给出两个角时；
②给出两条边时；
③给出一条边和一个角时；
（3）由上面的几种情景，两个三角形满足一个或两个条件时，它们一定全等吗？
（4）如果两个三角形有三个条件对应相等，这两个三角形全等吗？我们也可以分情况讨论，有哪几种情况？
①我们先来探究两个三角形三个角相等的情况：
②画出一个三角形，使它的三边长分别为3cm、 4cm、6cm ,把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一定全等吗？
③上面的探究反映了什么规律？
阅读课本P6-7探究2至例1前，回答下面问题：
的两个三角形全等，简写为“ ”或“ ”．
三、例题学习
阅读课本P7例1，学习“边边边”证明两个三角形全等的格式．
巩固练习
1. 如图，AB=AD，BC=CD，求证：（1）△ABC≌△ADC（2）∠B=∠D
证明：
（1）在△ABC和△ADC中
（公共边）
∴△ABC≌△ADC（ ）
（2）∵△ABC≌△ADC
∴∠B=∠D（ ）
2.如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
证明：
四、作一个角等于已知角
阅读课本P7最后一段至P8，回答书中问题.
课堂小结
本节课你有哪些收获？
课堂检测
如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
证明：
课后作业：课本P15习题第1、2题
板书设计：
11．2．1 三角形全等的条件（一）
一、三角形全等的条件
三边对应相等的两三角形全等（SSS）
二、例题
三、作一个角等于已知角
教学反思：
11.2.2全等三角形的识别（二）（SAS）
学习目标：会运用“边角边”公理证明三角形全等的简单问题
重难点：1、会运用“边角边”公理证明三角形全等的简单问题
2、分清用两边一角证明三角形相似和全等的不同。
自学过程：
知识回顾：
一、判别三角形相似的方法之二：
1、如果两个三角形有 _____边对应＿＿＿＿＿＿，并且____相等，那么这两个三角形相似．
新课讲解：
做一做 以图24.2.5中的两条线段和一个角画一个三角形，使该角恰为这两条线段的夹角.
步骤：
画一线段AB使它的长度等于4cm.
以点A为顶点，作∠BAP=45°,在射线AP上截取AC＝3cm,
连结BC.△ABC即为所求.
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？
换两条线段和一个角，用同样的方法试试，是否有同样的结论．
A C
A B
A
这样我们就得到识别三角形全等的另一种简便的方法
如果两个三角形有 _____边及其______分别对应＿＿＿＿，那么这两个三角形全等．简记为（S.A.S.）．
对比判别三角形相似的方法
如果两个三角形有 _____边对应＿＿＿＿＿＿，并且____相等，那么这两个三角形相似．
例2 如图11-1，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD.
做一做 如图24.2.7，已知两条线段和一个角，以这两条线段为边，以这个角为其中一条边的对角，画一个三角形.
图24.2.7
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形一定都会全等吗？
练 习
根据题目条件，判断下面的三角形是否全等？
(3) (4)
点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点，△AMD和△BMC全等吗？试说明你的理由？
综合练习：
填空：
如图11-2，AB=AD,AC=AE,
则可得△ABC≌＿＿＿＿
其理由是＿＿＿＿＿＿
2、如图（1）：OA=OD,OB=OC,求证：△ABO≌△DCO
证明： OA=OD OB=OC（ ）
＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿（ ）
△ABO≌△DCO（ ）
3、如图（2）：已知AB=DC，∠ABC=∠DCB,求证：AC=BD
证明：AB=DC，∠ABC=∠DCB （ ）
BC=________( )
△BCD≌_______，( )
AC=________( )
如图（1） 如图（2）
选择：
1、在△ABC中，∠B=∠C,与△ABC全等的三角形有一个角是100°,那么△ABC中与这个角对应的角是（ ）
A ∠A B ∠B C ∠C D ∠B或∠D
l
2、如图：直线l是四边形ABCD的对称轴，如果，有下列 A
结论：(1)AB∥DC（2）AB=BC（3）ABBC（4） AO=OC， B O D
其中正确的结论有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 C
3、具有下列条件的两个等腰三角形，不能判定它们全等的是（ ）
A 顶角、一腰对应相等 B 底边、一腰对就相等
C 两腰对应相等 D 一腰、一底角、一底边对应相等
△ABC和△A′B′C′边角条件如图：那么这两个三角形（ ） C′
A全等 B不全等
C不一定全等 D相似
证明：1、如图，已知∠1＝∠2，AO＝BO，那么△AOP≌△BOP，为什么？
2、已知：AD＝BC，∠ADC＝∠BCD．求证： ∠BDC＝∠ACD．
3、如图，AE＝DB，BC＝EF，BC∥EF，说明△ABC和△DEF全等的理由．
4、如图：点M是等腰梯形ABCD底边AB上的中点，则MD与MC的大小有何关系，试说明理由。
5、已知点A、B、C、D在同一条直线上，AB=CD, ∠D=∠ECA,试问：AE与BF的大小关系，并说明理由。
6、如图：在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°,在AB上取点P，边CA的延长线上取点Q，使AP=AQ，边CP与BQ交于点S，求证：△CAP≌△BAQ
7、如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC， △ABC与△ADE全等吗？并说明理由。
11.2.3 全等三角形的识别（三）（ASA及AAS）
学习目标：会运用“角边角”公理及其推论证明三角形全等的简单问题
重难点：能灵活运用“角边角”公理及其推论证明三角形全等的简单问题
自学过程：
做一做 如图24.2.9，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为两个角的夹边，画一个三角形.
步骤：
一线段AB使它的长度等于4cm.
分别以点A、B为顶点，作∠BAP=40°∠ABQ=60°,AP、BQ相交于点C,
△ABC即为所求.
把你画的三角形与其他同学画的进行比较，所有的三角形都全等吗？
换两个角和一条线段， 用同样的方法试试看，是否有同样的结论．
A
B
A B
由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：
如果两个三角形的＿＿＿＿＿＿＿及其＿＿＿＿分别对应＿＿＿＿＿，那么这两个三角形全等．简记为(A.S.A.).
例3 如图所示，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，试说明△ABC≌△DCB.
解 ∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，
BC是＿＿＿＿＿＿，
＿＿＿＿＿＿（ ）
思 考
如图24.2.11，如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，
那么这两个三角形是否一定全等？
图24.2.11
你的结论是______________________________________
证明： ∠A＝∠D，∠C＝∠F，
∠B＝180°－＿＿＿＿＿＿，∠E＝180°－＿＿＿＿，
∠＿＿＿＿＝∠＿＿＿＿＿＿
又∠＿＿＿＝∠＿＿＿，AB＝＿＿＿＿
△ABC≌△DEF.（ ）
由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：
如果两个三角形的＿＿＿＿＿＿＿及其＿＿＿＿分别对应＿＿＿＿＿，那么这两个三角形全等．简记为(A.A.S.).
小结： 如果知道两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这时应该有两种不同的情况： 一种情况是两个角及两角的＿＿＿＿（ASA）； 另一种情况是两个角及其中一角的＿＿＿（AAS），两种情况都可以证明三角形全等。如图24.2.8所示．
图24.2.8
练 习
填空：
1、如图：D是△ABC的边AB上一点，DE交AC于点E，交CF于点 F，DE=FE,FC∥AB, 求证：AE=CE
证明： FC∥AB（ ） ∴∠_____=∠_____,
∠_____=∠_____, 又 DE=FE（ ）
∴△AED≌____（ ）
∴AE=CE（ ）
2、如图：点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE,
AB∥ED,AC∥FD，求证：AB=DE
证明： FB=CE（ ）
FB＋＿＿＿=CE＋＿＿（ ）
即：＿＿＿＿＝＿＿＿＿
AB∥ED,AC∥FD
∠ABC=∠_______,∠ACB=∠_______
△ABD≌________,（ ）
AB=DE，（ ）
3、如图：AB=CD,AD=BC,EF过BD的中点O，求证：△OBF≌△ODE
证明：AB=CD,AD=BC( )
_________=__________( )
△ABD≌________,( )
∠CBD=_______
EF过BD的中点O( )
______=__________
又∠FOB=∠_____( )
△OBF≌_______( )
选择
1、下列说法中，正确的是（ ）
A所有的等腰三角形全等 B有两边对应相等的两个等腰三角形全等
C有一边对应相等的两个等腰三角形全等 D腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等
2、在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=44°，∠B=67°,∠C′=69°,∠A′=44°,且AC=A′C′，那么这两个三角形（ ）
A 一定不全等 B 一定全等 C 不一定全等 D 以上都不对
3、如图：点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE
交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE,则（ ）
A △ABD≌△AFD B △AFE≌△ADC
C △AFE≌△DFC D △ABC≌△ADE
4、在△ABC和△DEF中，条件(1)AB=DE,(2)BC=EF,(3)AC=DF,(4) ∠A=∠D,(5) ∠B=∠E,(6) ∠C=∠F，则下列各组条件中，不能保证△ABC≌△DEF的是（ ）
A(1) (2) (3) B (1) (2) (5) C (1) (3) (5) D(2) (5) (6)
三、证明与计算：
根据题目条件，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.
△ABC是等腰三角形，AD、BE分别是∠A、∠B的角平分线，△ABD和△BAE全等吗？试说明理由.
3、如图，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF，△ABC与△DEF全等吗？试说明理由.
4、如图，∠1＝∠2，∠B＝∠D，△ABC和△ADC全等吗？试说明理由。
5、已知： 如图，∠C＝∠D，CE＝DE．求证： ∠DAB＝∠ABC．
6、已知： 如图，∠BDA＝∠CEA，AE＝AD．求证： AB＝AC．
7、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC, ∠B=∠C,求证：BD=CE
11.2.4 全等三角形的识别（四）（HL）
学习目标：会运用“斜边、直角边公理” 证明三角形全等的简单问题
重难点：
1、会运用“斜边、直角边公理”（HL） 证明三角形全等的简单问题
2、了解SSS、SAS、ASA、AAS也适用于直角三角形。
自学过程：
知识回顾：
一、判别三角形相似的方法之三：
如果一个三角形的_______分别与另一个三角形的_______对应相等，那么这两个三角形相似．
我们知道，对于两个三角形，有“边、边、角”对应相等，是不能保证它们全等的．但是，在两个直角三角形中，当斜边及一条直角边分别对应相等时，也具有“边、边、角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形是否全等呢？
做一做 试以24.2.12中的两条线段AC、AB分别为直角边和斜边画一个直角三角形.
步骤：
画∠MCN＝90°，
在射线CM上截取AC的长度，
以点A为圆心，以线段AB的长为半径画圆弧，交射线CN于点B，
连结AB，△ABC即为所求.
把你画的图形与周围的同学画的比较一下，所画的图形都全等吗？请按照下题的步骤证明你的结论。
如图，AC＝DF，AB=DE,∠C＝∠F＝90°，试说明△ABC≌△DEF.
∠C＝∠F＝90°
BC=_________,EF=____________(勾股定理)
又 AC＝DF，AB=DE,
＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿
又∠＿＿＝∠＿＿，AC＝＿＿＿＿
△ABC≌△DEF.（ ）
由此可以得到如下结论：
如果两个直角三角形的＿＿＿＿＿及一条＿＿＿＿＿＿分别对应相等，那么这两个直角三角形全等. 称为斜边、直角边公理，简记为（H.L.）.
注意：
1、斜边、直角边公理（HL）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。
2、SSS、SAS、ASA、AAS适用于任何三角形，包括直角三角形。
例4 如图24.2.13，AB是圆O的直径，AC＝AD，试说
明△ABC和△ABD全等.
解 AB为⊙O的直径
∠ACB＝∠＿＿＿＝＿＿°．
又AC＝AD，＿＿＿＝＿＿＿，
△ABC≌△ABD．（ ）
练 习
如图，AC＝AD，∠C＝∠D＝90°，试说明BC与BD相等.
以下面格点图中的格点为顶点，画出所有的直角三角形，并说明哪些直角三角形是全等的.
（第2题）
综合练习：
一、填空：
两条直角边对应相等的两个直角三角形＿＿＿＿＿＿，理由是＿＿＿＿＿＿＿＿
有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形＿＿＿＿＿，理由是＿＿＿＿＿＿
如图(1)：BA⊥AC,CD∥AB,AB=CE,BC=DE,则△CDE≌______，
理由是＿＿＿＿＿，且有∠ACB=________，∠ABC=_______,
由此可知BC与DE互相__________
如图：AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′
中BC,B′C′边上的高，且AB=A′B′，AD=A′D′,若
使△ABC≌△A′B′C′，需补充条件是＿＿＿＿＿＿
（只需填写一个你认为适当的条件）
二、选择：
1、两个直角三角形全等的条件是（ ）
A一锐角对应相等B两锐角对应相等C一条边对应相等D两条边对应相等
2、判断下列命题：（1）在Rt△ABC中，两锐角互余（2）有两个锐角不互余的三角形不是直角三角形（3）一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（4）有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
3、下列说法正确的有（ ）
（1）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等（2）一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等（3）两条边对应相等的两个直角三角形全等（4）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
4、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′,AB=A′B′,那么下列结论中正确的是（ ）
A AC=A′C′ B BC=B′C′ C AC=B′C′ D ∠A=∠A′
下列叙述的图形中，是全等三角形的只有（
A 两个含60°角的直角三角形 B 腰对应相等的两个等腰三角形
C 有一边相等的两个等边三角形 D 面积相等的两个直角三角形
6、如图：△ABC中，∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB，
交BC于D点，DE⊥AB于点E，且AB=60cm，则△BED的
周长为（ ）
A 100cm B 80cm C 60cm D 40cm
证明：
1、如图：CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为EF，AC∥DB,且AC=BD，求证：CE=DF
2、如图：△ABC是等腰三角形，AB=AC,AD是高，
求证（1）BD=DC（2）∠BAD=∠CAD
3、如图，AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E、F是垂足，DE=BF,求证（1）AE=CF（2）AB∥CD
4、如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F，求证：EB=FC
5、如图：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°,CDAB,C′D′A′B′,且CD=C′D′,BC=B′C′，求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
11．3角平分线的性质
自学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )：
（1）掌握角平分线的性质定理；
（2）能够运用性质定理证明两条线段相等；
（3）角平分线的性质定理及它的应用。
重难点 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )：角平分线的性质定理及它的应用。
自学过程：
一、复习：
1、判断两个三角形全等的方法：
（1）三边分别相等的两个三角形全等。
（2）有两边级其夹角对应相等的两个三角形全等。
（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
（4）有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（5）有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。
2、练习：根据题目的结论，添加相应的条件。
（1）如上图，AB=DE，AC=DF，______=_______，那么根据（SSS）可得
（2）如上图，AB=DE，AC=DF，______=_______，那么根据（SAS）可得
（3）如上图，AB=DE，______=______，______=_______，那么根据（ASA）可得
（4）如上图，AB=DE，______=______，_______=_______，那么根据（AAS）可得
（5）如右图，，_____=_____，
_______=_______，那么根据（HL）
可得
三、“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”
请你自己设计出一条几何证明题，去证明上面的命题是否正确：
小光已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整：
解： 如右图：
已知：__________________，
___________________
求证：______=_______
证明：
归纳：从上面的我们可知道“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”这是一个_________（填“真”或“假”）命题。
练习：根据上面定理完成书本P21 思考。
四：把前面的定理反过来可得：“角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上”
请你自己设计出一条几何证明题，去证明上面的命题是否正确：
小白已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整：
解：如右图，过______做射线
已知：，；
并且_______=_______
求证：_____是的平分线
证明：
归纳：从上面的我们可知道“角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上”这是一个_________（填“真”或“假”）命题。
五、练习：
A组：
1、请你利用尺规作图，画出的平分线
B组：
书P22页习题11.3第1----5题。（可做在书本上）
C组：请你利用尺规作图在内部找一个点，
使这个点到三边距离相等
3㎝
3㎝
3cm
45
45
45
300
700
800
300
800
700
A
B
C
D
B
C
D
A
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