人教八上数学第十二章全等三角形证明判定方法分类总结（无答案）

全等三角形（一）SSS
【知识要点】
1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形．
2．全等图形的性质：
（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等
（2）全等图形的面积相等
3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形
（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于”
如全等，记作≌
（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．
（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．
（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”．
【典型例题】
例1．如图，≌，点B与点D是对应点，，且，，求的度数及的面积．
例2．如图，≌，，求的度数及CF的长．
例3．如图，已知：AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：
例4．如图AB=DE，BC=EF，AD=CF，求证：
（1）≌
（2）AB//DE，BC//EF
例5．如图，在D、E分别为AC、AB上的点，且BE=BC，DE=DC，求证：（1）；
（2）BD平分
【巩固练习】
1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（
）
A、①④
B、①②
C、②③
D、③④
2．如图，≌，且AB和CD是对应边，下面四个结论中
不正确的是（
）
A、的面积相等
B、的周长相等
C、
D、AD//BC且AD=BC
3．如图，≌，A和B
以及C和D分别是对应点，如果，则的度数为（
）
A、
B、
C、
D、
4．如图，≌，AD=8，BE=2，则AE等于（
）
A、6
B、5
C、4
D、3
5．如图，要使≌，则下列条件能满足的是（
）
A、AC=BC，AD=CE，BD=BE
B、AD=BD，AC=CE，BE=BD
C、DC=EC，AC=BC，BE=AD
D、AD=BE，AC=DC，BC=EC
6．如图，≌，点A和点D、点E和点F分别是对应点，则AB=
，
，AE=
，CE=
，AB//
，若，则DF与BC的关系是
．
7．如图，≌，若
，
，
．
8．如图，若AB=AC，BE=CD，AE=AD，则
，所以
，
，
．
9．如图，≌，，则下列说法错误的是（
）
A、
B、C、D
10．如图，≌，，求的度数及BC的长．
11．如图，在中，AC=BD，AD=BC，求证：≌
全等三角形（一）作业
1．如图，≌，AC=7cm，AB=5cm.，则AD的长是（
）
A、7cm
B、5cm
C、8cm
D、无法确定
2．如图，≌，，点B、C、E在同一直线上，则的度数为（
）
A、
B、
C、
D、
3．如图，≌，AF=2cm,CF=5cm，则AD=
．
4．如图，≌，，求的度数．
5．如图，已知，AB=DE，BC=EF，AF=CD，求证：AB//CD
6．如图，已知AB=EF，BC=DE，AD=CF，
求证：①≌
②AB//EF
7．如图，已知AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：
全等三角形（二）
【知识要点】
定义：SAS
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”，几何表示
如图，在和中，
≌
【典型例题】
【例1】
已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BE=CD.
【例2】
如图，已知：点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.
【例3】
如图已知：AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE的度数.
【例4】
如图，B，C，D在同一条直线上，△ABC，△ADE是等边三角形，
求证：①CE=AC+DC；
②∠ECD=60°.
【例5】如图，已知△ABC、△BDE均为等边三角形。求证：BD＋CD=AD。
【巩固练习】
1．在△ABC和△中，若AB=，AC=，还要加一个角的条件，使△ABC≌△，那么你加的条件是（
）
A．∠A=∠
B.∠B=∠
C.∠C=∠
D.∠A=∠
2．下列各组条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（
）
A．AB=DE，BC=EF；CA=CD
B.CA=CD；∠C=∠F；AC=EF
C．CA=CD；∠B=∠E
D.AB=DE；BC=EF，两个三角形周长相等
3．阅读理解题：
如图：已知AC，BD相交于O，OA=OB，OC=OD.
那么△AOD与△BOC全等吗？请说明理由.△ABC与△BAD全等吗？请说明理由.
小明的解答：
△AOD≌△BOC
而△BAD=△AOD+△ADB
△ABC=△BOC+△AOB
所以△ABC≌△BAD
（1）你认为小明的解答有无错误；
（2）如有错误给出正确解答；
4．如图，点C是AB中点，CD∥BE，且CD=BE，试探究AD与CE的关系。
5．如图，AE是AB=AC
（1）若D是AE上任意一点，则△ABD≌△ACD，说明理由.
（2）若D是AE反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由.
6．如图，已知AB=AC，EB=EC，请说明BD=CD的理由
全等三角形（二）作业
1．如图，已知AB=AC，AD=AE，BF=CF，求证：≌。
2．如图，△ABC，△BDF为等腰直角三角形。求证：（1）CF=AD；（2）CE⊥AD。
3．如图，AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于点O，AO的延长线交BC于点F。
求证：BF=FC。
4．已知：如图1，AD∥BC，AE=CF，AD=BC，E、F在直线AC上，求证：DE∥BF。
5.
如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，
求证：（1）BE=DC，（2）BE⊥DC.
6、已知，如图A、F、C、D四点在一直线上，AF=CD，AB//DE，且AB=DE，求证：（1）△ABC≌△DEF
（2）∠CBF=∠FEC
7、
已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE
8、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，
（1）观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。
9、已知:如图,AD是BC上的中线
,且DF=DE．求证:BE∥CF．
10、已知C为AB上一点,△ACN和
△BCM是正三角形.求证：（1）AM=BN
（2）求∠AFN大小。
11、已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在AB的延长线上，FB＝EB，AF交CE于G，求∠AGC的度数.
12、
如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.
(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；
(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.
全等三角形（三）ASA
【知识要点】
ASA公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
如图，在与中
ASA公理推论（AAS公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．
【典型例题】
【例1】下列条件不可推得和全等的条件是（
）
AB=AB，，
AB=
AB，AC=AC，BC=C
AB=
AB，AC=AC，
AB=
AB，，
【例2】已知如图，，求证：BC=EF
【例3】如图，AB=AC，，求证：AD=AE
【例4】已知如图，，点P在AB上，可以得出PC=PD吗？试证明之．
【例5】如图，，AC=AE，求证：DE=BC
【例6】如图，，AC，BD相交于O，
求证：①AB=CD
②OA=OD
【巩固练习】
1．如图，AB//CD，AF//DE，BE=CF，求证：AB=CD
2．如图，AD//BC，O为AC中点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，求证：AM=CN
3．求证：两个全等三角形ABC与ABC的角平分线AD、AD相等
4．如图，AB，CD相交于O，E，F分别在AD，BC上，若，求证：
5．如图，AB//CD，AD//BC，求证：AB=CD
6．已知，如图AB=DB，，求证：AC=DE
全等三角形（三）作业
1．已知，如图，，求证：AB=DE
2．如图，已知，求证：BE=CD
3．已知如图，AB=AD，，求证：AC=AE
4．已知如图，在中，AD平分，求证：
5．已知如图，，求BD的长（要求写出完整的过程）
6、如图中，∠B＝∠C，D，E，F分别在AB,BC,AC上，且BD=CE,∠DEF=∠B
求证：ED=EF
7、
(1)如图１，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．
(2)园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？
8、已知：如图
,
AD为CE的垂直平分线
,
EF∥BC.求证：△EDN≌△CDN≌△EMN．
9、
已知：如图
,
AB=AC
,
AD=AE
,
求证：△OBD≌△OCE
10、已知：如图
,
AB=CD
,
AD=BC
,O为BD中点
,
过O作直线分别与DA、BC的延长线交于E、F．求证：OE=OF
11、如图在△ABC和△DBC中
,
∠1=∠2
,
∠3=∠4
,
P是BC上任意一点．求证：PA=PD.
12、已知
：如图
,
四边形
ABCD中
,
AD∥BC
,
F是AB的中点
,
DF交CB延长线
于E
,
CE=CD．
求证：∠ADE=∠EDC．
13、已知：如图
,
OA=OE
,
OB=OF
,
直线FA与BE交于C
,
AB和EF交于O
,求证：∠1=∠2．
全等三角形（四）
强化训练
1、如图，△是等边三角形，点、、分别是线段、、上的点，
（1）若，问△是等边三角形吗？试证明你的结论；
（2）若△是等边三角形，问成立吗？试证明你的结论．
2、如图所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，求证：2∠M=（∠ACB-∠B）
3、△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，E、F分别在AC、AB上，且DE⊥DF，试判断DE、DF的数量关系，并说明理由．
4、已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点．
（1）求证：；（2）求证：；
5、
如图，点是等边内一点，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形？
7、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM平行于斜边BC，在AM上取点D，使BD=BC，且DB与AC所在直线交于E，求证：CD=CE。
过A作AF⊥BC于F，过D作DG⊥BC于G，则DG=AF=1/2BC=1/2BD，
在Rt△BDG中，DG=1/2BD
=>
∠DBC=30°
=>∠BDC=∠BCD=1/2(180°-30°)=75°，即∠EDC=75°
∠DEC=∠DBC+∠BCA=30°+45°=75°
∴∠EDC=∠DEC
=>CD=CE
8、Rt△ABC，AB=AC,BM是中线，AD⊥BM交BC于D，求证：∠AMB=∠CMD。
9、如图，已知△ABC是等边三角形，∠BDC＝120?，说明AD=BD+CD的理由。
10、已知：如图，点D在△ABC的边CA的延长线上，点E在BA的延长线上，CF、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线，且∠B=30°，∠D=40°，求∠F的度数。
11、等边三角形ABC和等边三角形DEC，D在AC边上。延长BD交CE延长线于N，延长AE交BC延长线于M。求证：CM=CN
易证△BCD≌△ACE
所以∠DBC=∠EAC
再证△BCN≌△ACM
(ASA)
∴
CM=CN
12、操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．
13、如图等边△ABC和等边△CDE，点P为射线BC一动点，角APK=60°，PK交直线CD于K。
试探索AP、PK之间的数量关系；
当点P运动到BC延长线上时，上题结论是否依然成立？为什么。
14、（涉及相似三角形）若P为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点.
如图，在锐角外侧作等边′连结′。
求证：′过的费马点，且′=.
15、如图,是等腰直角三角形,∠C＝900,点M,N分别是边AC和BC的中点,点D在射线BM上,且BD＝2BM,
点E在射线NA上,且NE＝2NA.求证:BD⊥DE.
第五章
全等三角形
拓展延伸
分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。
例1：已知AE既是∠BAC的平分线，也是∠BDC的平分线，试说明AB=AC
思路：AB在△ABD中，AC在△ACD中，要说明AB=AC，尝试说明△ABD与△ACD全等。
观察图形发现两个三角形存在公共边AD
题目所给条件可以得到两组角相等，
再根据三个条件的位置，利用ASA，可得三角形全等
再利用全等三角形的对应边相等，得到AB=AC
例2：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，如果CE=5，BD=11，请你求出DE的长度。
思路：抓住题目中所给的一组相等线段AB=AC进行分析，对它们的位置进行分析，发现AB、AC分别位于一个Rt△中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt△全等。
那么：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角=直角.可以求证△ABD≌△ACE。
练习1.
小明说：“三角形一边的两个端点到这边上的中线所在直线的距离相等。”你认为小明的话有道理吗？为什么？
分析：如图，题目的意思是要你说明哪两条线段相等呢?
_______＝_______
∴我们只需要说明
________≌________
解：
练习2．
在△ABC中，∠ACB=
900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，△ADC≌△CEB，且
DE=AD+BE。你能说出其中的道理吗？
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，
DE
=AD-BE。说说你的理由。
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE
具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。
A
B
D
C
A
B
E
C
F
D
A
B
E
C
D
A
B
C
D
F
E
A
E
B
C
D
A
B
D
C
A
B
C
D
第3题图
A
C
E
B
F
D
第6题图
第5题图
A
B
C
D
E
B
A
C
E
F
D
第4题图
B
A
C
D
E
第7题图
E
F
D
B
C
A
第9题题图
第8题图
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B
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2
B
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F
C
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C
D
D
A
B
C
E
SAS
OA=OB
OD=OC
D
C
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2
O
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B—
A
C
B
E
D
B
C
D
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Q
C
P
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C
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M
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3
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C
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D
EMBED
Equation.3
EMBED
Equation.3
C
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C
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C
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G
F
C
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E
（图１）
A
C
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图3
图2
图1
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