江苏省扬中二中2021届高三上学期数学周练（三） Word版含答案

江苏省扬中二中2020-2021第一学期高三数学周练3
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．已知全集，集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
3．已知数列的前n项和为，且既不是等差数列也不是等比数列，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若关于的不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
5．在二项式的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方体中，点是线段上的动点，点为正方体对角线上的动点，若三棱锥的体积为正方体体积的，则直线与底面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
7．点是抛物线与双曲线的一条渐近线的一个交点，若点到抛物线的焦点的距离为，则双曲线的离心率等于 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则“”是“函数有且仅有一个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．已知方程表示的曲线C，则下列判断正确的是 （ ）
A. 当时，曲线C表示椭圆； B. 当或时，曲线C表示双曲线；
C. 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则；
D. 若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则；
10．已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当，且时，都有，则下列命题中正确命题为 （ ）
A． B．函数在上为增函数
C．函数在上有个零点
D．若直线与函数的图象交于个点，则三个点的横坐标之和为
11．在中，在线段上，且,则 （ ）A． B．的面积为
C．的周长为 D．为钝角三角形
12．已知等比数列的公比为q，前n项和，设，记的前n项和为，则下列判断正确的是 （ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
二、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．已知随机变量，则 （用数字作答）
14．中，为的中点，与交于点与交于点，则 .
15．已知函数，则满足的的取值范围为 .
16．在平面直角坐标系中，已知点，圆，过点的直线与圆O交于不同的两点,设的中点为M，点，若，则直线AB被圆截得的弦长为______．
三、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量，且共线，其中.
（1）求值；（2）若，，求的值.
18．已知，.
（1）若函数与的图象在处的切线平行，求函数的图象
在点处的切线方程；
（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围．
19．设数列的各项均为正数，的前n项和，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列，，（），的前n项和为，若对于恒成立，求λ的范围.
20． 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班名女同学，名男同学中随机抽取一个容量为的样本进行分析.
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少不同的样本？（写出算式即可，不必计算结果）；
（2）如果随机抽取的名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
学生序号






数学成绩






物理成绩






①若规定分以上（包括分）为优秀，从这名同学中抽取名同学，记名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；②根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到）：若班上某同学的数学成绩为分，预计该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程，其中







21．如图，四边形为菱形，四边形为等腰梯形（），设与相交于点，的中点，,
（1）证明：平面平面；
（2）已知直线与平面所成角的正弦值为，
求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
22.已知椭圆的离心率为是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于两个不同点.
（1）求椭圆方程；（2）若以为直径的圆经过点，求直线的方程；
（3）设为椭圆的左，右顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点,求证：线段在在轴上的射影长为定值.

参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A A A C A B A BC ABCD BCD BD
二、填空题．
13. ； 14．；
15. ； 16．；
三、解答题
17．解：（1）∵，∴，即
∴
（2）由（1）知，又，
∴，
∴
∴，
即，
∴，即，
又 ，∴.
18．解: (1) ，
因为函数与的图象在处的切线平行，
所以，解得.
所以，
所以函数的图象在处的切线方程为.
(2) 当时，由恒成立得，
恒成立，
即恒成立．
设，
则.
当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以，
所以的取值范围为．
19．解：（1）由于且①.当时，，记得.
当时，②，
-②并化简得，
其中，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以.
（2）由（1）知，
所以，
所以，
所以.
所以，
由于是单调递增数列，且，所以.
【点睛】本小题主要考查已知求，考查裂项求和法，考查数列的单调性，属于中档题.
20．解：（1）根据分层抽样的方法，名女同学中应抽取的人数为名，
名男同学中应抽取的人数为名，故不同的样本的个数为,
（2）①名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为名，的取值为，
,
,
的分布列为：








；
②，
线性回归方程为，当时，
，
则可预测该同学的物理成绩为分.
21．解：（1）因为四边形为等腰梯形四边形为菱形，则。
在和中，有则。
得到，
为等腰三角形，连接，则。
又因为，所以面，又面，
所以平面平面。
（2）因为四边形为等腰梯形，的中点分别为，
则。又因为平面平面，所以平面。
建立如图的空间直角坐标系.
又因为直线与平面所成角的正弦值为，
过作的垂线，垂足为，可得：，
则有
设面的法向量为，
满足，取
取面的法向量为，
设平面与所成锐二面角为则有.
22.解．（1）已知，则。椭圆方程为
（2）设，，由，
得，
则，，
，
又坐标原点在以线段为直径的圆上，则，即，
即，即，
则，即或，满足，或 ,
（3）线段在轴上的射影长是. 设，由（1）得点，
是线段的中点，则点，
直线的斜率为，直线的斜率为 ，又，
则直线的方程为，即，
又直线的方程为，联立方程，
消去化简整理，得，又，
代入消去，得，
即，即点的横坐标为，
则. 故线段在轴上的射影长为定值.
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