等腰三角形

(共30张PPT)
　
在我们的生活中,对称现象无处不在.
等腰三角形在实际生活中的应用
等腰三角形
A
B
C
材料: 剪刀、一张矩形纸
方法：（1）先将矩形纸按图中虚线对折；
（2）剪去阴影部分；
（3）将剩余部分展开。
探究:
A
C
B
D
上述过程中得到的 ABC有什么特点？
AB=AC
等腰三角形
除了剪纸的方法，还可以怎样作出一个等腰三角形
定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
　　等腰三角形中，相等的两条
边都叫做腰，另一边叫做底边
A
B
C
底边
腰
腰
顶角
底角
两腰的夹角叫做顶角，腰和底
边的夹角叫做底角.
如图，在 ABC中 , AB=AC.
ABC是等腰三角形
等腰三角形
　　 把剪出的等腰三角形ABC
沿折痕对折，找出其中
重合的线段和角.
等腰三角形是轴对称图形吗？
A
C
B
D
轴对称图形
概念:把一个图形沿着一条直线折过来,直线两旁
的部分能够相互重合,那么这个图形叫轴对称
图形,这条直线叫对称轴.
结论:等腰三角形的对称轴有一条或三条。
重合的线段 重合的角
　
A
C
B
D
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗
大胆猜想
A
B
C
请大家观察试验，能发现等腰三角形具有什么性质吗？
演示
等腰三角形的两个底角相等。 （简写成“等边对等角”）
结论
A
B
C
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C。
性质1等腰三角形的两个底角相等
1.目前，我们学过证两个角相等的方法吗
2.证三角形全等要二个三角形,一个等腰三角形还能用全等的知识来证明吗 刚才的折纸给我们什么启发
证两个三角形全等，对应角相等
想办法构造两个全等的三角形
回顾思考
如何构造两个全等的三角形
A
B
C
∴ ∠1＝∠2
D
1
2
在△ABD和△ACD中
证明: 作顶角的平分线AD
AB＝AC
（已知）
∠1＝∠2
（已证）
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌ △ACD
（SAS）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
A
B
C
∴ BD＝CD
D
在△ABD和△ACD中
证明: 作△ABC 的中线AD
AB＝AC
（已知）
BD＝CD
（已证）
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌ △ACD
（SSS）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
A
B
C
∴ ∠ADB＝∠ADC ＝90
D
在Rt△ABD和Rt△ACD中
证明: 作△ABC 的高线AD
AB＝AC
（已知）
AD＝AD
（公共边）
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD
（HL）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
性质1 : 等腰三角形的两个底角相等
（简称“等边对等角”，前提是在同一个三角形中。）
性质2 : 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（简称“三线合一”，前提是在同一个等腰三角形中。）
根据等腰三角形性质2，在△ABC中，AB=AC时
（1） ∵ AD⊥BC，∴ = ， =
∠
∠
（2） ∵ AD是中线， ∴ ， =
⊥
∠
∠
（3）∵ AD是角平分线， ∴ ，
⊥
=
BAD
CAD
BD
CD
AD
BC
BAD
CAD
AD
BC
BD
CD
结论：
在等腰三角形中，（在 ABC中，AB=AC）
① ∠BAD =∠CAD，② AD ⊥ BC，③ BD = CD
中已知任意一个都可以得其它两个条件.
归纳：用几何语言叙述性质
性质1：
∵在 ABC中 , AB=AC.
∴ B= C.
A
B
C
D
三线合一”的操作
红线:三角形的高线
蓝线:三角形的角平分线
黑线:三角形的中线
3、等腰三角形的一个角是120°时，另两个角是多少？
2、等腰三角形的一个角36°，另两个角是多少？　
1、等腰三角形的顶角是36°，底角是多少？
牛刀小试
解:如图,在三角形ABC中,AB=AC,
∴∠B=∠C(等边对等角)
解:如图,在三角形ABC中,AB=AC, ∴∠B=∠C =36 (等边对等角) 由三角形内角和定理得:
①
②
C
B
A
36
C
A
B
36
由三角形内角和定理得:
∠B=∠C=
分析:由于三角形中只能有一个钝角,所以在等腰三角形ABC中只有顶角∠A=120 。
B
A
C
解:如图,在三角形ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C 由三角形内角和定理得:
∠B=∠C=
等腰三角形的顶角不超过180 ,底角不超过90 。
分析:由于三角形中只能有一个钝角,所以在等腰三角形ABC中只有顶角∠A=120 。
B
A
C
解:如图,在三角形ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C (等边对等角)
设∠B=∠C=x
由三角形内角和定理得∠B+∠C+∠A=x+x+120 =180
解得: x=30
∴∠B=∠C=30
演示
如图的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在重锤线上。
（1）求证 AD⊥BC （2）这时BC处于水平位置，为什么？
B
C
D
A
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高
互相重合，简称“三线合 一”
拓展与延伸:
⑴等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？(动手画图，折纸，思考，讨论得出结论，并用适当的方法验证这一结论。)
⑵利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪些线段相等？(如：两腰上的高，两腰上的中线，两底角的平分线等。)
心得与体会
通过今天这堂课的研究，我明白了
我的收获与感受有
我还有疑惑之处是
反思归纳，知识升华：
通过这一节课的探究，你在知识与技能方面有什么收获？在学习方法上又有什么思考？请与大家交流。 学生讨论、交流、归纳总结：
1、知识方面：等腰三角形性质定理和推论
①等腰三角形的两底角相等。
②三角形的顶角的平分线、底边上的中线、
底边上的高互相重合。
2、能力方面：当我们面对一个几何图形或问题时，
要全面细致的观察，通过实际测量等各种手段，
大胆进行猜想，并进一步的加以分析、证明，
很多规律都是这样被发现的，这是数学学习中的
一种重要的思想方法。
1、必做题：
课本第51页1、3题 2、选做题：
教科书P151 第13题
3、预习作业：
等腰三角形的判定定理是什么？你如何证明这个定理？
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之于人.
证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.
下课了!
纸上得来终觉浅，
绝知此事须躬行。