3.1　直线的倾斜角与斜率

(共24张PPT)
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？
问题引入
x
y
O
l
P（x，y）
为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方法把这些几何要素表示出来．
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的位置由哪些条件确定？
问题引入
x
y
O
l
我们知道，两点确定一条直线．一点能确定一条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P，直线 l 的位置能够确定吗？
问题引入
x
y
O
l
l’
l’’
P
过一点P可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，…它们都经过点P （组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？
问题引入
x
y
O
l
l’
l’’
P
容易看出，它们的倾斜程度不同．怎样描述直线的倾斜程度呢？
问题引入
x
y
O
l
l’
l’’
P
当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角（angle of inclination） ．
x
y
O
l
当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 .
直线的倾斜角 的取值范围为：
直线的倾斜角
直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？
平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，
倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，
度相同的直线其倾斜角相同．
倾斜程
x
y
O
l
已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置；同样已知直线的倾斜角α．也不能确定一条直线的位置．
但是，直线上的一个点和这条直线的倾斜角可以唯一确定一条直线．
直线的倾斜角
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：
直线上的一个定点以及它的倾斜角， 二者缺一不可．
确定直线的要素
x
y
O
l
P
　　日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
前进量
升
高
量
问题引入
问题引入
前进
升
高
　　例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度（比）
通常用小写字母k表示，即
一条直线的倾斜角　的正切值叫做这条直线的斜率（slope）.
倾斜角是 的直线有斜率吗？
倾斜角是 的直线的斜率不存在．
直线的斜率
　　如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡度（比）”实际就是“倾斜角α的正切”．
如：倾斜角 时，直线的斜率
当 为锐角时，
如：倾斜角为 时，由
即这条直线的斜率为
直线的斜率
　　倾斜角α不是90°的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度．
已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？
两点的斜率公式
给定两点P1 （ x1 ，y1）， P2 （ x2 ，y2）， 并且x1 ≠x2，如何计算直线P1 P2的斜率k．
当 为锐角时，
在直角 中
设直线P1 P2的倾斜角为α（ α ≠90° ），当直线P1 P2的方向（即从P1指向P2的方向）向上时，过点P1作 x 轴的平行线，过点P2作 y 轴的平行线，两线相交于点 Q，于是点Q的坐标为（ x2，y1 ）．
两点的斜率公式
当 为钝角时，
在直角 中
两点的斜率公式
同样，当 的方向向上时，也有
两点的斜率公式
1．已知直线上两点 ，运用上述公式计算直线 斜率时，与 两点坐标的顺序有关吗？
无关
两点的斜率公式
2．当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述斜率公式还适用吗？为什么？
不适用
当直线 与 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
经过两点 的直线的斜率公式为：
两点的斜率公式
成立
例1 如图 ，已知 ，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
解：直线AB的斜率
直线BC的斜率
直线CA的斜率
由 及 知，直线AB 与CA的倾斜角均为锐角；由 知，直线BC的倾斜角为钝角．
典型例题
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线 及 ．
即
解：取 上某一点为 的坐标是 ，根据斜率公式有:
设 ，则 ，于是 的坐标是 ．过原点及 的直线即为 ．
x
y
是过原点及 的直线， 是过原点及
的直线， 是过原点及 的直线．
典型例题
两点间斜率公式
知识小结
倾斜角
斜率
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2006年3月制作
直线的倾斜角与斜率