分数(奥数初步）
【教学目标】
教学目标：
1、系统化地掌握分数的概念和应用。
2、常见题目类型整理与训练。
3、了解奥数中分数的应用。
【教学重点】
1、分数的复杂计算。
2、分数与小数的互化。
3、理解不同问题的深层内涵,掌握解题技巧。
【教学难点】
分数的意义和应用。
全面完整的掌握一般分数题目的解法。
【知识精讲】
一、分数与除法
1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数。
2、分数和除法的关系：被除数÷除数=。
3、数轴的三个要素：正方向、原点、单位长度。
4、在数轴上表示分数：将数轴的单位长度按照分数的分母来等分，然后看分数的分子是几就从原点开始自左而右的第几个点就表示这个分数。
二、分数的基本性质
5、分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或都除以一个不为零的数，所得的分数与原分数大小相等。即：
6、运用分数的基本性质，可以将一个分数化为分母不同而大小相同的分数。
7、分子和分母互素的分数，叫做最简分数。
8、把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分。
9、求一个数是另一个数的几分之几，用除法进行计算，即：一个数÷另一个数=
三、分数的大小比较
10、同分母分数的大小比较：同分母分数，分子大的那个分数比较大。
11、同分子分数的大小比较：同分子分数，分母大的那个分数反而小。
12、异分母分数的大小比较：运用通分，可以把异分母的分数化成同分母的分数，然后再按照同分母分数大小比较的方法来进行比较。
【热身练习】
1、写出数轴上A、B、C三点表示的分数：
解析：
A:
B:
C:
2、把一根5米的钢管平均截成6段，其中每一段是整个钢管的
(
)
A.
B.
C.
米
D.
米
解析：B
3、下列分数中，与相等的是
(
)
A.
B.
C.
D.
解析：C
4、某校六年级有合唱队、器乐队、乒乓队和羽毛球队四个兴趣社团，那么合唱队的人数是所有兴趣社团人数的
A.
B.
C.
D.无法确定
解析：D
5、单位换算
(1)7厘米=
米
(2)15分钟=
小时
(3)75克=
千克
(4)2天=
周
解析：(1)米
(2)小时
(3)千克
(4)周
6、如果一个分数的分母是27，且与相等，那么这个分数是
。
解析：
【巩固训练】
1、已知一个分数，
(1)分子扩大3倍，分母扩大6倍，则原来的分数扩大了还是缩小了？扩大(或缩小)了几倍？
解析：缩小了2倍;
(2)分子缩小6倍，分母缩小2倍，原来的分数如何变化？
解析：缩小了3倍;
(3)分子扩大6倍，分母缩小2倍，则原来的分数如何变化？
解析：扩大了12倍;
(4)如何使原来的分数扩大2倍？(请用3种方法)
解析：①分子扩大2倍；②分母缩小2倍；③分子扩大4倍，分母扩大2倍等。
2、写出所有大于而小于，且分母是48的分数。
解析：
3、某校预备班人数统计图如下图所示：
预备3班和4班的总人数是全年级人数的几分之几？
预备1班人数是预备2班人数的几分之几？
解析：（1）；（2）
【强化训练】
1、25米增加它的后，再减少，结果是(
)
A.25米
B.24米
C.20米
D.26米
解析：B
2、分数中，a和b同时扩大为原来的2倍，得到的分数是原来的(
)
A、
B、2倍
C、4倍
D、1倍
解析：A
3、24的是18
；32的是24.
解析：18；32
4、仓库有大米120吨，第一周用去，第二周用去吨，共用去多少吨？
解析：
答：共用去吨。
方法提炼
分数的大小比较方法：1、通分2、特殊比较法
先观察，后答题
根据以上规律，
（1）比较。
（2）比较的大小，其中a是大于1的自然数。
解析：（1）
（2）
【回家作业】
1、=
÷
解析：13,17
2、5除12的商可用分数表示为
解析：
3、10米长的绳子平均分成3段，每段是这条绳子的
，每段长
米。
解析：，
4、6占它全部约数之和的
。(填几分之几)
解析：
5、100克水中加了5克糖，求：
糖占水的几分之几？
糖占糖水的几分之几？
解析：（1）；（2）
6、一个分数的分母是最大的两位素数，分子是最小的素数与最大的一位合数的积，求这个分数。
解析：
7、将下列数从小到大排列起来
(1)
(2)
解析：(1)，因为，所以
(2)
做一做
1、一个分数的分子缩小3倍，分母扩大6倍，这个分数就
(
)
A.扩大2倍
B.缩小2倍
C.扩大18倍
D.缩小18倍
解析：B
2、下列说法正确的是
(
)
A.最简分数的分子、分母都是素数
B.分数的分子、分母都加上同一个自然数，分数的大小一定不变
C.约分后是，约分后是
D.大于而且小于的分数有无数多个
解析：D
3、的分母加上21，要使这个分数大小不变，分子应加上
(
)
A.6
B.4
C.9
D.10
解析：C
4、23千克=(
)吨
(
)
A、
B、
C、
D、
解析：B
5、分数中，最简分数有
(
)
A、4个
B、3个
C、2个
D、1个
解析：C
6、下列各式正确的是：
(
)
A、
B、
C、
D、
解析：C
7、利用分数的基本性质求x.
(1)
(2)
(3)
解析：
x=32
x=56
x=7
8.一个分数是，分子加上某数，分母减去同一个数，成为，求这个数
（提示：把的分子加上一个数，分母同时减去这个数，分子和分母的和不变，由于新分数化筒，分子和分母同时缩小了若干倍，化简后为．和缩小了(27
+13)÷(7+3)倍，这样就可推算出某数了，本题也可设某数为求解）
答案：解法一：(27
+13)÷(7+3)=4
28-13
=15或27-12
=15
解法二：设某数为
解得=15
9.把一个最简分数的分子缩小5倍，分母扩大9倍后是，原分数是
．
（提示：我们可以用倒推还原法来求原分数，也就是把的分子扩大5倍，分母缩小9倍，来求出原分数）
答案：
10.国庆节到了，杭州两家西服店同时开展有奖销售特卖活动，规则如下：
甲店：100000件为一开奖组
乙店10000件为一开奖组
设一等奖：1200名
设一等奖：200名
二等奖：2000名
二等奖：300名
三等奖：16000名
三等奖：500名
(1)在哪家商店购买西服获奖的可能性大一些？
(2)在哪家商店购买获一等奖的可能性大一些？
(3)在哪家商店购买获一、二等奖的可能性大一些？
答案：（1）甲
（2）乙
（3）乙
实验小学有男教师28人，女教师50人，问男、女教师分别占全校教师的几分之几？女教师人数是男教师的几倍？男教师人数是女教师的几分之几？
答案：男教师占全校教师的；女教师占全校教师的；女教师人数是男教师人数的倍，男教师人数是女教师的
12.解放路东延工程需要修一条路，招标时有两个工程队愿意承包，甲工程队单独承包，计划用28天完成；乙工程队单独承包，计划用21天完成，后来为了加快进度，把工程同时承包给这两个队从两端起共同完成，12天就完成了任务，问完成任务时每个队各完成了全工程的几分之几？如果整个修路费用为84万元，甲、己两个工程队各应得多少元?
答案：甲12天完成了全工程的，乙12天完成了全工程的，甲工程队得36万元，乙工程队得48万元。
课后练习
一、填空题
1．在、、、四个分数中，第二大的是
.
答案：
提示,将分子“通分”为72，再比较分母的大小.
2.有一个分数,分子加1可以约简为,分子减1可约简为,这个分数是
.
答案：
解析：事实上,所求分数为和的平均数,即(+)2=.
3.已知.把A、B、C、D、E这五个数从小到大排列,第二个数是
.
答案：
C
解析：因为,又,所以D>E>B>C>A,故从小到大第二个数是C.
4.所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加,和是
.
答案：
解析：分母是n的所有真分数共有n-1个,这n-1个分数的分子依次为1~n-1,
和为,所以分母n的所有真分数之和等于.本题的解为
+
=+1+2+3+5+6+8+9+11+14=.
三个质数的倒数和为,则a=
.
答案：
131
解析：因为231=3711,易知这3个质数分别为3,7和11,又+=,故a=131.
6.计算,把结果写成若干个分母是质数的既约分数之和:
=
.
答案：
.
解析：原式=,令,则19a+7b=83,易见a=4,b=1,符合要求.
7.将、、、和分别填入下面各(
)中,使不等式成立.
(
)<(
)<(
)<(
)<(
).
答案：
.
解析：提示各分数的倒数依次为,,,,.
8.纯循环小数0.abc写成最简分数时,分子与分母之和是58,请你写出这个循环小数
.
答案：
0.567
解析：0.abc化为分数时是,当化为最简分数时,因为分母大于分子,所以分母大于582=29,即分母是大于29的两位数,由999=33337,推知999大于29的两位数约数只有37,所以分母是37,分子是58-37=21.因为,所以这个循环小数是0.567.
9..(要求三个加数的分母是连续的偶数).
答案：
4,6,8.
解析：令(a为偶数).由，得，故a=2或4，a=2时，，不合题意，因此，.
10.下式中的五个分数都是最简真分数,要使不等式成立,这些分母的和最小是
..
答案：
40
解析：提示.
11.我们把分子为1，分母为大于1的自然数的分数称为单位分数.试把表示成分母不同的两个单位分数的和.(列出所有可能的表示情况).
答案：令,则.所以.
由a、b为整数，知为整数，即a-6为36的约数，所以,2,3,4,6,9,12,18,36.所以a=7,8,9,10,12,15,18,24,42,相应地b=42,24,18,15,12,10,9,8,7.注意到,所有可能情况为.
12.试比较22…2与55…5的大小.
301个2
129个5
答案：因为301=437,129=433,,所以>.
13.已知两个不同的单位分数之和是,求这两个单位分数之差的最小值.
答案：令,且aa尽可能大.
注意到==22,23不合要求,所以差的最小值为.
14.(1)要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子(每块巧克力最多只能切成两部分),怎么分?
(2)如果把上面(1)中的“4个孩子”改为“7个孩子”，好不好分？如果好分，怎么分？如果不好分，为什么？
答案：
(1)把9块中的三块各分为两部分:
,,.
每个孩子得块:
甲:1+1+；乙:1+；丙:
1++；丁:1+1+.
(2)好分,每人分块:
甲:1+；乙:；丙:；丁:；戊:；己:；庚:.
.
.
.
.
。
.
.
.
.分数(奥数初步)
【教学目标】
教学目标：
1、系统化地掌握分数的概念和应用。
2、常见题目类型整理与训练。
3、了解奥数中分数的应用。
【教学重点】
1、分数的复杂计算。
2、分数与小数的互化。
3、理解不同问题的深层内涵,掌握解题技巧。
【教学难点】
分数的意义和应用。
全面完整的掌握一般分数题目的解法。
【知识精讲】
一、分数与除法
1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数。
2、分数和除法的关系：被除数÷除数=。
3、数轴的三个要素：正方向、原点、单位长度。
4、在数轴上表示分数：将数轴的单位长度按照分数的分母来等分，然后看分数的分子是几就从原点开始自左而右的第几个点就表示这个分数。
二、分数的基本性质
5、分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或都除以一个不为零的数，所得的分数与原分数大小相等。即：
6、运用分数的基本性质，可以将一个分数化为分母不同而大小相同的分数。
7、分子和分母互素的分数，叫做最简分数。
8、把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分。
9、求一个数是另一个数的几分之几，用除法进行计算，即：一个数÷另一个数=
三、分数的大小比较
10、同分母分数的大小比较：同分母分数，分子大的那个分数比较大。
11、同分子分数的大小比较：同分子分数，分母大的那个分数反而小。
12、异分母分数的大小比较：运用通分，可以把异分母的分数化成同分母的分数，然后再按照同分母分数大小比较的方法来进行比较。
【热身练习】
1、写出数轴上A、B、C三点表示的分数：
2、把一根5米的钢管平均截成6段，其中每一段是整个钢管的
(
)
A.
B.
C.
米
D.
米
3、下列分数中，与相等的是
(
)
A.
B.
C.
D.
4、某校六年级有合唱队、器乐队、乒乓队和羽毛球队四个兴趣社团，那么合唱队的人数是所有兴趣社团人数的
(
)
A.
B.
C.
D.无法确定
5、单位换算
(1)7厘米=
米
(2)15分钟=
小时
(3)75克=
千克
(4)2天=
周
6、如果一个分数的分母是27，且与相等，那么这个分数是
。
【巩固训练】
1、已知一个分数，
(1)分子扩大3倍，分母扩大6倍，则原来的分数扩大了还是缩小了？扩大(或缩小)了几倍？
(2)分子缩小6倍，分母缩小2倍，原来的分数如何变化？
(3)分子扩大6倍，分母缩小2倍，则原来的分数如何变化？
(4)如何使原来的分数扩大2倍？(请用3种方法)
2、写出所有大于而小于，且分母是48的分数。
3、某校预备班人数统计图如下图所示：
预备3班和4班的人数是全年级人数的几分之几？
预备1班人数是预备2班人数的几分之几？
【强化训练】
1、25米增加它的后，再减少，结果是(
)
A.25米
B.24米
C.20米
D.26米
2、分数中，a和b同时扩大为原来的2倍，得到的分数是原来的(
)
A、
B、2倍
C、4倍
D、1倍
3、24的是
；
的是24.
4、仓库有大米120吨，第一周用去，第二周用去吨，共用去多少吨？
方法提炼
分数的大小比较方法：1、通分2、特殊比较法
先观察，后答题
根据以上规律，
（1）比较。
（2）比较的大小，其中a是大于1的自然数。
【回家作业】
1、一个分数的分子缩小3倍，分母扩大6倍，这个分数就
(
)
A.扩大2倍
B.缩小2倍
C.扩大18倍
D.缩小18倍
2、下列说法正确的是
(
)
A.最简分数的分子、分母都是素数
B.分数的分子、分母都加上同一个自然数，分数的大小一定不变
C.约分后是，约分后是
D.大于而且小于的分数有无数多个
3、的分母加上21，要使这个分数大小不变，分子应加上
(
)
A.6
B.4
C.9
D.10
4、23千克=(
)吨
(
)
A、
B、
C、
D、
5、分数中，最简分数有
(
)
A、4个
B、3个
C、2个
D、1个
6、下列各式正确的是：
(
)
A、
B、
C、
D、
7、利用分数的基本性质求x.
(1)
(2)
(3)
8.一个分数是，分子加上某数，分母减去同一个数，成为，求这个数
（提示：把的分子加上一个数，分母同时减去这个数，分子和分母的和不变，由于新分数化筒，分子和分母同时缩小了若干倍，化简后为．和缩小了(27
+13)÷(7+3)倍，这样就可推算出某数了，本题也可设某数为求解）
9.把一个最简分数的分子缩小5倍，分母扩大9倍后是，原分数是
．
（提示：我们可以用倒推还原法来求原分数，也就是把的分子扩大5倍，分母缩小9倍，来求出原分数）
10.国庆节到了，杭州两家西服店同时开展有奖销售特卖活动，规则如下：
甲店：100000件为一开奖组
乙店10000件为一开奖组
设一等奖：1200名
设一等奖：200名
二等奖：2000名
二等奖：300名
三等奖：16000名
三等奖：500名
(1)在哪家商店购买西服获奖的可能性大一些？
(2)在哪家商店购买获一等奖的可能性大一些？
(3)在哪家商店购买获一、二等奖的可能性大一些？
11.实验小学有男教师28人，女教师50人，问男、女教师分别占全校教师的几分之几？女教师人数是男教师的几倍？男教师人数是女教师的几分之几？
12.解放路东延工程需要修一条路，招标时有两个工程队愿意承包，甲工程队单独承包，计划用28天完成；乙工程队单独承包，计划用21天完成，后来为了加快进度，把工程同时承包给这两个队从两端起共同完成，12天就完成了任务，问完成任务时每个队各完成了全工程的几分之几？如果整个修路费用为84万元，甲、己两个工程队各应得多少元?
一、填空题
1．在、、、四个分数中，第二大的是
.
2.有一个分数,分子加1可以约简为,分子减1可约简为,这个分数是
.
3.已知.把A、B、C、D、E这五个数从小到大排列,第二个数是
.
4.所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加,和是
.
5.三个质数的倒数和为,则a=
.
6.计算,把结果写成若干个分母是质数的既约分数之和:
=
.
7.将、、、和分别填入下面各(
)中,使不等式成立.
(
)<(
)<(
)<(
)<(
).
8.纯循环小数0.abc写成最简分数时,分子与分母之和是58,请你写出这个循环小数
.
9..(要求三个加数的分母是连续的偶数).
10.下式中的五个分数都是最简真分数,要使不等式成立,这些分母的和最小是
..
11.我们把分子为1，分母为大于1的自然数的分数称为单位分数.试把表示成分母不同的两个单位分数的和.(列出所有可能的表示情况).
12.试比较22…2与55…5的大小.
301个2
129个5
13.已知两个不同的单位分数之和是,求这两个单位分数之差的最小值.
14.(1)要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子(每块巧克力最多只能切成两部分),怎么分?
(2)如果把上面(1)中的“4个孩子”改为“7个孩子”，好不好分？如果好分，怎么分？如果不好分，为什么？
.
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