第二章 有理数及其运算

(共12张PPT)
有理数的加法(二)
太原市师院附中　王之静
太原市第二外国语学校 寇元朝
第二章 有理数及其运算
1 叙述有理数的加法法则．
2 小学学过的加法的运算律是不是也可以扩充到有
理数范围？
3．计算下列各题，并说明是根据哪一条运算法则？
(1)(-9.18)+6.18；
(2)6.18+(-9.18)；
(3)(-2.37)+(-4.63)；
4．计算下列各题：
(1) [8+(-5)]+(-4)；
(2) 8+[(-5)+(-4)]；
(3) [(-7)+(-10)]+(-11)；
(4) (-7)+[(-10)+(-11)]；
(5) [(-22)+(-27)]+(+27)；
(6) (-22)+[(-27)+(+27)]．
有理数的加法中，两个数相加，交换加数的
位置和不变。
加法交换律：a+b=b+a
有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加，
或者先把后两个数相加，和不变。
加法的结合律：（a+b)+c=a+(b+c)
例1 计算：16+(-25)+24+(-32)．
解： 16+(-25)+24+(-32)
=16+24+(-25)+(-32) (加法交换律)
=（16+24）+[(-25)+(-32)] (加法结合律)
=40+(-57) (同号相加法则)
=-17 (异号相加法则)
常用的三个规律：
1、 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加。
2、有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整。
3、有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加。
此题你是抓住数的什么特点使计算简化的？
依据是什么？
计算：(要求注理由)
(1)23+(-17)+6+(-22)；
(2)(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)；
(3)(-7)+(-6.5)+(-3)+6.5．
做一做
本节小结：
1、通过具体有理数的计算，把加法运算律从非负数
范围扩大到有理数的范围。
2、掌握加法运算律的法则及公式，并适当的运用运
算律进行简化计算。
3、有理数加法解决实际问题，体会求简意识。
布置作业
知识技能 1、2、3、4.
问题解决 1.“负负得正”的乘法法则可以证明吗？
关于“负负得正”的乘法法则，是否可以通过证明来确认这条法则呢？这个问题历来
被老师们关注，有关专家对此也有各种看法，现将一篇新近文章转摘如下，供老师们参考。
“负负得正”的乘法法则可以证明吗？
(田载今，中学数学教学参考，2005年第3期)
有理数的乘法法则中包括“负负得正”一条，“两个负有理数相乘，结果（积）是一个正有理数，其绝对值等于相乘两数的绝对值的乘积.”例如，（－2）×（－3）=＋6
这条法则对刚学它的人来说，不是很容易理解，多数人是把它硬记下来的.记得水稻专家袁隆平院士说过他学正负数时想不清这个法则的道理，就去向老师请教，老师说：“你记住就行了.”
编写教材时，大家为说明这条法则的道理想了很多办法,有的教材以实际问题为背景来说明,有的教材从运算律的角度进行说明,有的教材利用相反数的意义解释……
教学中,许多老师都反映这条法则的道理不是很好讲.也有人考虑：是否可以通过证明来确认这条法则呢？教科书中哪种说法可以算是对它的证明呢？
一种意见认为，“负负得正”有着丰富的实际背景，实践是检验真理的标准，这些实际背景对这一 法则的证明.例如，考虑这样的问题：如果水位一 直以每小时2厘米的速度下降，现在水位在水文标尺刻度的A处，3小时前水位在水文标尺的刻度在何处？为区分水位变化方向，我们规定水位上升为正，下降为负；显然3小时前水位在水文标尺刻度的A处上方6cm处，这可以表示为（－2）×（－3）=＋6.在许多情况下，都能找到类似这样的“负负得正”的原型，因此，“负负得正”可以认为是通过客观实践检验证明的.
上面的意见中，以“实际事物的原型”替代“数学的证明”的做法是不妥的.数学中的证明不是个例的验证，数学不是物理、化学、生物那样的实验科学，它的命题具有一般性，不能依靠检验个别案例完成对一般结论的证明，而需要依据已有的结论（定义、公理和定理等）经合乎逻辑的推导来证明.这些客观事物中的原型，只有在人为地规定问题中有关量的正负意义之后，即经过数学化、抽象化之后，才具有了“负负得正”的意义，它们只能说明“负负得正”有 实际背景，或作为应用“负负得正”法则的例子，而不能作为逻辑地推导这个法则的根据.
另一种意见认为，可以通过运算律来证明“负负得正”这一法则，具体推导过程如下：
有了有理数的加法法则以及“正正得正”，“正负得正”的乘法法则之后，由分配律，有
（－1）×（－1）=（－1）×（1－2）
=（－1）×1－（－1）×2=－1－（－2）=－1＋2=1 .
进而由交换律和结合律可以推出任何两个负数相乘的结果,例如， （－2）×（－3）=（－1）×2×（－1）×3=（－1）×（－1）×2×3 =［（－1）×（－1）］×（2×3）=1×6=6.
于是,得出“负负得正”这一法则.
笔者认为,上面的意见中在应用分配律时,用到了 （－1）×（1－2）=（－1）×1-（－1）×2. （1）
当确立了有理数的加法法则以及“正正得正”,“正负得负”的乘法法则,而尚未确立“负负得正”这一法则时,这样做是缺乏根据的.
在这时,我们可以确信（－1）×（2－1）=（－1）×2－（－1）×1.⑵ 这是因为⑵的左边为 （－1）×（2－1）=（－1）×1=－1.
⑵的右边为 （－1）×2－（－1）×1=-2-(-1)=-2+1=-1.
所以(2)的左边等于右边,即(2)成立.但是,我们不能用类似的方法推出⑴成立,因为⑴的左边为 （－1）×（1－2）=（－1）×（－1），而（－1）×（－1）的法则此时尚未成立,所以无法确定⑴的左边是否等于右边,即此时分配律等于（－1）×（1－2）是否适用尚且存疑。先确定运算法则,后才能确定那些运算律成立,是合乎逻辑顺序的做法.这就是说,只有当（－1）×（－1）的结果确定后,才能明确(1)成立.因此,像上面那样用分配律推导“负负得正”的法则有循环论证之嫌.
还有一种意见认为,如果在确立了通常的有理数加法法则后,把有理数的乘法定义为一种抽象的运算(即先不规定具体的乘法运算法则),并从抽象代数角度约定有理数集合连同加法、乘法运算构成一个域，那么就能推导出通常的具体的有理数乘法法则，自然也就推出了“负负得正”.
笔者认为，事实上并非如此，请看下面反例.
我们这样规定有理数的乘法“”:对于任意两个有理数a 、b它们的“乘积”
ab=－ab即这样“乘积”等于通常乘法的乘积的相反数.
可以验证，－1是这种“乘法”的单位元，对任意非零有理数x，他的逆元是－，并且 (ab)c=a(bc)（结合律）； ab=ba（交换律）；
a (b＋c）=ab＋ac（分配律）在有理数结合内都成立.因此，有理数集合Q连同通常意义的有理数加法“＋”、如上定义的有理数的乘法“”，满足抽象代数中域的定义，即｛Q，＋，｝是一个域.但是，这个“乘法”法则不是“负负得正”，而是“负负得负.”
上述反例证明.在确立了有理数通常 的加法法则，并约定有理数集合连同加法、乘法运算构成一个域的条件下，并不能一定得出“负负得正”的乘法法则.
第四种意见证明，如果先确立通常的有理数的加法法则以及两个非负有理数的乘法（及算术中的乘法）法则，然后再把含有负因数的有理数乘法定义为一种抽象的运算，并把这种抽象的乘法运算连同算术中的乘法合起来作为整个有理数的乘法法则，并且约定有理数集合连同加法、乘法运算构成一个域，那么就能推导出通常的有理数乘法法则，自然也就推出了“负负得正”.具体推导过程如下：由于约定了有理数集合连同加法、乘法运算构成一个域，根据分配律（－1）×1=（1－2）×1=1×1－2×1=1－2=－1， （－1）×2=（－1）×（1＋1）=（－1）×1＋（－1）×1=－1＋（－1）=－2， （－1）×（－1）=（－1）×（1－2）=（－1）×1－（－1）×2=－1－（－2）=－1＋2=1，
因此，（－1）×（－1）=1。在此基础上，由交换律和结合律可以推出任何两个负数相乘的法则，即两个负有理数相乘，结果（积）是一个正有理数，其绝对值等于相乘两数的绝对值的乘积.
这种意见中，作为推理依据除了确定加法法则及部分乘法法则外，还有“有理数集合连同加法、乘法运算构成一个域”这个重要的约定，然而，在乘法法则尚未确定之前，就做出这个约定在逻辑上是否合适呢？
应先完全确定有理数的加法和乘法的具体法则，才能根据域的定义判断｛Q，＋，X｝是一个域，这是一种合乎逻辑的推理顺序.而像上面那样先约定｛Q，＋，X｝是一个域，再由约定去确定乘法法则的过程，恰与正常的推理顺序相反.这样进行本未倒置的分析，目的在于说明确定乘法法则的一种意图，即使新确定适用于Q的乘法法则与已有的算术中的乘法法则不矛盾，并且能使｛Q，＋，X｝是一个域.这样的分析只能说明确定有理数乘法法则的思想背景，而不能认为是合乎逻辑地导出了有理数的乘法法则.
代数中类似上面那样说明某种规定的背景的例子有许多，例如下面的对规定a0=1(a≠0)的解释.
我们已知，同底数幂除法法则，即am÷an=am-n(a≠0,m、n∈N+，m>n)。如果这一法则在a≠0,m、nN+，m=n时也适用，则有am÷am=am-m=a0另一方面，显然有am÷am=1。于是，规定a0=1(a≠0).
这里的“这一法则在a≠0,m、n∈N+，m=n时也适用”事先缺乏根据，而只是一种假设，借以作为后面如何具体定义0指数幂的背景.因为“这一法则在a≠0,m、n∈N+，m=n时也适用”这个前提条件，在未定义0指数幂前还未落实，所以不能认为由这个空中楼阁可以推导a0=1(a≠0)，否则就犯了推理理由不真实和循环论证的逻辑错误.这个问题与前面第四种意见的做法是类似的，类比他们可以帮助我们认识到第四种意见的做法并非证明.
综上所述，“负负得正”的乘法法则是数学中的一种规定（定义），它不能通过逻辑证明得出.然而，对这个法则的规定既有客观世界中的实际背景，又有数学内部需要和谐发展的思想背景.教学中适当地介绍这些材料，可以帮助学生认识乘法法则的由来和合理性，但是不能将这样做误认为证明这个法则.第二章 有理数及其运算
8．有理数的乘法（一）
太原五中 路丘平
－、 学生起点分析:
学生的知识技能基础:学生在小学已经学习过非负有理数的四则运算以及运算律.在本章的前面几节课中,又学习了数轴、相反数、绝对值的有关概念，并掌握了有理数的加减运算法则及其混和运算的方法，学会了由运算解决简单的实际问题，具备了学习有理数乘法的知识技能基础.
学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经历了探索加法运算法则的活动，并且通过观察＂水位的变化＂，运用有理数的加法法则解决了一些实际问题，从而获得了较为丰富的数学活动经验，同时在以前的学习中，学生曾经历了合作学习和探索学习的过程，具有了合作和探索的意识，另外在加法法则的学习过程中曾经遇到的问题和经历过的挫折，这对有理数的乘法法则的学习也是值得借鉴的宝贵经验.
二、　学习任务分析：
教科书基于学生已掌握了有理数加法、减法运算法则的基础上，提出了本节课的具体学习任务：发现探索有理数的乘法法则，了解倒数的概念，会进行有理数的运算.本节课的数学目标是：
1、 经历探索有理数乘法法则的过程，发展观察、归纳、猜想、验证能力；
2、 学会进行有理数的乘法运算，掌握确定多个不等于零的有理数相乘的积的符号方法以及有一个数为零积是零的情况：
三、教学过程设计：
本节课设计了六个环节：第一环节：问题情境，引入新课；第二环节：探索猜想，发现结论；第三环节：验证明确结论；第四环节：运用巩固，练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.
第一环节：问题情境，引入新课
活动内容：（１）观察教科书给出的图片，分析教科书提出的问题，弄清题意，明确已知是什么，所求是什么，让学生讨论思考如何解答.
（２）如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，讨论四天后，甲水库水位的变化量的表示法和乙水库水位变化量的表示法.
活动目的：培养学生从图形语言和文字语言中获取信息的能力，感受用数学知识解决实际问题，体验算法多样化，并从第二种算法中得到算式３＋３＋３＋３＝３×４＝１２（厘米）；（－３）＋（－３）＋（－３）＋（－３）＝（－３）×４＝－１２（厘米）从而引出课题：有理数的乘法.
活动注意事项：在以上活动（１）中可得到“甲水库的水位总变化量是上升１２厘米，乙水库的水位总变化量是下降１２厘米.”对于这个算法和结论学生是没有疑义的，但对活动（２）中得到“乙水库水位每天下降３厘米，记作－３厘米，４天后水位变化总量为　　　（－３）+（－３）＋（－３）＋（－３）＝（－３）×４＝-１２厘米，”的意义是“水位上升－１２厘米”会产生疑义，教师应不失时机地复习负数的有关知识，解释“水位上升－１２厘米”与“水位下降１２厘米”是等价的.
第二环节：探索猜想，发现结论
活动内容：（１）由课题引入中知道：４个－３相加等于－１２，可以写成算式　　　　　（－３×４）＝－１２，那么下列一组算式的结果应该如何计算？请同学们思考：
　　　　　　　　（－３）×３＝＿＿＿＿＿;
（－３）×２＝＿＿＿＿＿;
（－３）×１＝＿＿＿＿＿;
（－３）×０＝＿＿＿＿＿.
（２）当同学们写出结果并说明道理时，让学生通过观察这组算式等号两边的特点去发现积的变化规律，然后再出示一组算式猜想其积的结果：
　　　（－３）×（－１）＝＿＿＿＿＿;
　　　（－３）×（－２）＝＿＿＿＿＿;
　　　（－３）×（－３）＝＿＿＿＿＿;
　　　（－３）×（－４）＝＿＿＿＿＿.
活动目的：以算式求解和探究问题的形式引导学生逐步深入的观察思考，从负数与非负数相乘的一组算式中发现规律后，猜想负数与负数相乘的积是多少，通过对两组算式的观察，归纳，概括出有理数的乘法法则，并用语言表述之，以培养学生的观察能力，猜想能力，抽象能力和表述能力.
活动注意事项：（１）本环节的设计理念是学生通过观察思考，亲身经历感受乘法法则的发现过程，并在合作交流中互相补充，完善结论.但在实际过程中，学生对结论的表述有困难，或者表达不准确，不全面，对于这些问题，教师绝不能求全责备，而应循循善诱，顺势引导，帮助学生尽可能简练准确的表述，也不要担心时间不足而代替学生直接表述法则.
（２）展示两组算式时，注意板书艺术，把算式竖排，并对齐书写，这样易于学生观察特点，发现规律.
第三环节：验证明确结论
活动内容：针对上一环节探究发现的有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘，任何数与零相乘，积仍为零.进行验证活动，出示一组算式由学生完成.
　　　　　　　　　　４×（－４）＝＿＿＿＿＿;
　　　　　　　　　　４×（－３）＝＿＿＿＿＿;
４×（－２）＝＿＿＿＿＿;
４×（－１）＝＿＿＿＿＿;
（-４）×０＝＿＿＿＿＿;
（-４）×１＝＿＿＿＿＿;
（-４）×２＝＿＿＿＿＿;
（-４）×（－１）＝＿＿＿＿＿;
（-４）×（－２）＝＿＿＿＿＿.
　　活动目的：这个环节的设计一方面是因为它是合情推理的必要环节，另一方面是为了让学生知道从特例归纳得到的结论不一定适合一般情况，所以要加以验证和证明它的正确性.同时，验证的过程本身就是对有理数乘法法则的练习和熟悉过程.
　　活动的注意事项：（１）教科书中没有这个环节的要求，但在教学中应该设计这个环节，确实让学生体验经历验证过程.
　（２）本环节的重点是验证乘法法则的正确性而不是运用乘法法则计算.所以在验证过程中，既要用乘法法则计算，又要加法法则计算，真正体现验证的作用和过程.
　（３）在用乘法法则计算时，要注意其运算步骤与加法运算一样，都是先确定结果的符号，再进行绝对值的运算.另外还应注意：法则中的“同号得正，异号得负”是专指“两数相乘而言的，”不可以运用到加法运算中去.
　　第四环节：运用巩固，练习提高
活动内容：
（１）教科书第７５页例１.计算：
⑴（－４）×５；　　⑵（５－）×（－７）；　　
⑶（－3÷8）×（－8÷3）； ⑷（－3）×（－1÷3）；
　　（２）教科书第７５页例２.计算：　
⑴（－４）×５×（－０.２５）；　⑵（－3÷5）×（－5÷6）×（－2）；
（３）教科书第７６页“议一议”：几个有理数相乘，因数都不为零时，积的符号怎样确定？有一个因数为零时，积是多少？　
（４）教科书第７６页“随堂练习”.计算：
⑴（－8）×21÷4　；　　　　　　　⑵4÷5×（－25÷6）×（－7÷10）；
⑶2÷3×（－5÷4）；　　　　　　　　⑷（－24÷13）×（－16÷7）×0×4÷3；
⑸5÷4×（－1.2）×（－1÷9）；　 　⑹（－3÷7）×（－1÷2）×（－8÷15）.
　　　活动目的：对有理数乘法法则的巩固和运用，练习和提高．
　　　活动的注意事项：（１）例题讲解板书时，要注意格式归范，一开始对每一步运算应注明理由，运算熟练后，可不要求书写每一步的理由；
　　　（２）在计算完例１的⑶⑷小题后，引出有理数的互为倒数的概念的同时，要注意复习互为相反数的概念，避免产生混淆错误，并注意本节课不讨论如何求倒数的问题；
　　　（３）例２讲解之后，要启发学生完成＂议一议＂的内容，鼓励学生通过对例２的运算结果观察分析，用自己的语言表达所发现的规律，学生有困难时，教师可设置如下一组算式让学生计算后观察发现规律，而不应代替学生完成这个任务.
（－１）×２×３×４＝＿＿＿＿＿;
（－１）×（－２）×３×４＝＿＿＿＿＿;
（－１）×（－２）×（－３）×４＝＿＿＿＿＿;
（－１）×（－２）×（－３）×（－４）＝＿＿＿＿＿;
（－１）×（－２）×（－３）×（－４）×０＝＿＿＿＿＿.
通过对以上算式的计算和观察，学生不难得出结论：多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正.只要有一个数为零，积就为零.当然这段语言，不需要让学习背诵，只要理解会用即可.
第五环节：课堂小结
活动内容：用提问的方式由学生完成课堂小结.如“本节课大家学会了什么？”或“有理数乘法法则如何叙述？”或“有理数乘法法则的探索采用了什么方法？”等等.
活动目的：培养学生的口头表达能力，提高学生的参与意识.激励学生展示自我.
活动的注意事项：学生小结时，可能会有语言表达障碍或表达不流畅，但只要不影响运算的正确性，则不必强调准确记忆，而应鼓励学生大胆发言，同时教师可用准确的语言适时的加以复述.
第六环节：布置作业
活动内容：教科书第７６～７７页，知识技能１、２；问题解决１；联系扩广１.
活动目的：复习巩固检测本节知识，训练运算技能和提高解决问题的能力.
活动的注意事项；对知识技能１的计算，应要求学生对每一步的理由要写出来，以巩固有理数的乘法法则，以后的计算可省去理由.
四、教学反思：
１．创造性的使用教材
本节的问题情境是教科书提供的.我们可以采用其他的问题情境引入课题，例如利用数轴引入，或利用飞机的上升和下降引入，或利用收入和支出引入，总之，根据自己的学生所熟悉的问题，选择一种情境引入都可以.
2． 相信学生的探索能力
本节课的内容适合学生探索，只要教师适当引导，学生具有能力探索出有理数的乘法法则的，不需要教师代替，也不能代替.
３．合理使用多媒体教学手段可以弥补课时的不足，但绝不能代替必要的板书.
甲水库的水位每天升高3厘米,乙水库的水位每天下降3厘米,4天后甲,乙水库的水位的总变化量各是多少
第一天
第二天
第三天
第四天
第四天
第三天
第二天
第一天负数是数吗？——人类认识负数经历了一个漫长的过程。
大约2000年以前，中国就认识了负数，规定了表示负数的方法，指出了负数的实际意义，并进一步在解方程中运用正负数的运算，遥遥领先于印度和欧洲。
科学上的新发现往往会受到保守势力的反抗。当负数概念传到欧洲以后，新旧观点之间出现了激烈的辩论，在这场辨论中有一段插曲。
1天， 著名数学家、物理学家帕斯卡正和他的好友、神学家、数学家阿尔诺聊天，突然，阿尔诺说：从来都是
（较小的数）：（较大的数）＝（较小的数）：（较大的数）
或者
（较大的数）：（较小的数）＝（较大的数）：（较小的数）
现在，居然出现（－１）：１＝１：（－１），也就是
（较小的数）：（较大的数）＝（较大的数）：（较小的数）
这类怪现象了！
其实，这种现象很正常，不必大惊小怪。
当数的范围扩大以后，原有的数学现象，有一些被保留下来，也有一些没有被保留下来。数的范围从正整数、正分数扩大到有理数，“大数：小数＝大数：小数”这一数学现象就没有被保留下来。
２与２＋a相比较，哪个数大？自己思考一下。
月日星期天气情况
弱新新555555处
负数是数吗
负数是数吗 —人类认识负数经历了一个漫长的过程
大约2000年以前,中国就认识了负数,规定了表示负数的方法,指出了负数的实际意
义,并进一步在解方程中运用正负数的运算,遙遥领先于印度和欧洲
科学上的新发现往往会受到保守势力的反抗.当负数概念传到欧洲以后,新旧观点之
间出现了激烈的辩论,在这场辩论中有一段小插曲
天,著名数学家、物理学家帕斯卡正和他的好友、神学家、数学家阿尔诺聊天,突然,
阿尔诺说:从来都是
(较小的数):(较大的数)=(较小的数):(较大的数),
由或者
(较大的数):(较小的数)=(较大的数):(较小的数).
现在,居然出现(-1):1=1:(-1),也就是
(较小的数):(较大的数)=(较大的数):(较小的数)
这类怪现象了!
其实,这种现象很正常,不必大惊小怪
当数的范围扩大以后,原有的数学现象,有一些被保留下来,也有一些没有被保留下暂
来,数的范围从正整数、正分数扩大到有理数,“大数:小数一大数:小数”这一数学现象
就没有被保留下来
2与2十a相比较,哪个数大 自己思考一下
坐尝学学学坐坐尝坐坐坐尝坐坐学像尝坐坐学使学坐学(共18张PPT)
第二节 数轴
山西省太原市万柏林区一中
赵洁
℃
℃
℃
5
0
-10
请读出下面温度计所表示的温度
创设情境,引入课题
在一条东西向的马路上,有一个汽车站,汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境.
创设情境,引入课题
3
7.5
-3
-4.8
东
西
汽车站
柳树
杨树
槐树
电线杆
0
怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位置关系 (方向、距离)
思 考
？
由上述两问题得到什么启发？你能用一条直线上的点表示有理数吗
用射线上的点表示有理数
必须在直线上先确定零点
还需要正方向以及像温度计刻度一样的单位长度
有理数是无限的,应该采用直线
0
1
2
3
-1
-2
-3
(1)取原点(origin)
(2)规定正方向,通常取向右为正方向
(3)选取适当的长度为单位长度
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
4
-1.5
1|4
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
1 . 在数轴上表示下列各数
1|4
+3，-4，
，-1.5
3
-4
，0
0
0
0
动手练习，归纳总结
0
1
2
3
-1
-2
A
D
C
B
解：
点A表示-2；
点B表示2；
点D表示-1。
点C表示0；
2.
指出数轴上A，B，C，D各点分别表示什么数。
0
1
2
3
解：
3.画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
3|2
-5，0，5，-4，
-
3|2
，
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
-
3|2
3|2
4. 2与-2有什么相同点与不相同点？它们在数轴上的位置有什么关系？与，5与-5呢？
结论：
如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。
观察数轴，回答问题
1. 数轴上的两个点，右边点表示的数与左边点表示的数有怎样的大小关系？
2. 正数、负数在数轴的什么位置？判断它们的大小？
0
1
2
3
-1
-2
-3
数轴上两个点所表示数，右边的总比左边的大。
正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
越 来 越 大
发现规律：
练一练: 比较下列每组数的大小
(1) -2 和 +6；
(2) 0 和 -1.8；
(3) -3/2和 -4。
解:(1) -2﹤+6
(2) 0﹥-1.8
(3)-3/2﹥-4
巩固提高
1、写出三对非零的相反数，在数轴上将它们表示出来，并比较其中三个负数的大小.
2、在数轴上距原点2个单位长度的点表示什么数？
基础知识 :掌握了数轴的画法，会用数轴上的点表示有理数。
了解互为相反数的两数的特点，及在数轴上的位置关系。
利用数轴比较有理数的大小
思想方法 ：数形结合思想
这节课有什么收获？
归纳小结，强化思想
布置作业
1、在数轴上把下列各数的相反数表示出来，并比较它们的大小。
7 ，－４/５ ，-3.5 ，0 ，４/３
2、比较下列每组数的大小
（１） -10 ，-7
（2） -3.5，1
（3）－１/２，－１/４
（4） 3.8，-4.1，-3.9
3、(1)点A在数轴上距原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将A向右移动4个单位
长度，在向左移动1个单位长度，此时A点所表示的是什么数
(2)B点所表示的数是A点开始时所表示数的相反数做同样的移动以后， B点表示
　什么数 第二章 有理数及其运算
9．有理数的除法
太原五中 路丘平
－、 学生起点分析:
学生的知识技能基础：学生在小学时已熟知乘法与除法互为逆运算，而且也熟悉“除一个数等于乘以它的倒数的运算”的法则，这些知识和技能对于本节课的学习是必备的基础，另外前几节学过的有理数乘法法则以及运算律、倒数的概念等等，也是本节课学习的重要基础，尤其是前几节课采用的探索、猜想、验证的手段，更是本节课继续学习的研究方法.
学生的活动经验基础：学生在小学经历了除法向乘法的转化过程，并体验到了转化的作用，甚至掌握了转化的方法.这对本节课完成有理数的除法向乘法的转化是非常有利的，可以预见，也许学生就会利用小学学过的“除以一个数等于乘以一个数的倒数”的法则直接进行有理数的除法运算，对此教师应加以肯定，并明确此法则在有理数范围内同样成立.另外在前几节课对运算法则及运算律的语言表达过程中也积累了一些有用的数学语言，这对本节课除法法则的表达也是一个重要的语言基础.
二、学习任务分析：
教科书在学生掌握了有理数的加法、减法、乘法运算以及五条运算规律的基础上.特别是在学生有了一定的探究意识、方法、能力的基础上，提出了本节课的具体学习任务：探索发现有理数除法的法则，会进行有理数的除法运算.
本节课的教学目标：
1、 经历探索发现有理数除法法则的过程，发展观察、归纳、猜想、验证、表达能力.
2、 学会进行有理数的除法运算；掌握多个数相乘；商的符号判定方法.
3、 会求有理数的倒数，会用“除以一个数等于乘以它的倒数”法则进行有理数的除法运算，提高灵活解题的能力.
三、教学过程设计：
本节课设计了六个环节：第一环节：复习提问，引入新课；第二环节：特例归纳，猜
想规律；第三环节：例题练习，巩固新知；第四环节：探究猜想，发现法则；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业；
第一环节：复习提高，引入新课
活动内容：（1）复习提问：“有理数的乘法法则如何叙述？”
（2）运用有理数乘法法则，请同学们回答下列各题计算结果：（投影片展示题目）
⑴（－2）×3 ； ⑵4×（－1/4）； ⑶（－7）×（－3）； ⑷ 6×（－8）； ⑸（－6）×（－8）；； ⑹（－3）×0.
（3）提问：已知两个因数的积和其中一个因数，要求另一个因数，应该用什么运算进行计算呢？
活动目的：复习巩固有理数的乘法法则，为本节课有理数除法的应用做准备工作，利用提问及回答，引出本节课的课题：有理数的除法.
活动的注意事项：在活动（2）中，不仅要回答计算结果，而且要说明理由，即叙述所依据的法则内容，另外因为题目简单，所以教师应把机会全部留给学习有困难的学生，让他们来回答并适当鼓励，以增强他们的自信.
第二环节：特例归纳，猜想规律
活动内容：（1）以提问的形式，让学生明确乘法与除法互为逆运算在有理数范围内也成立.
问题1：8÷4是什么运算？商等于多少？
问题2：0÷4等于多少？
问题3：（－12）÷（－3）是什么运算？商等于多少？
（2）在活动（1）的基础，请同学们想一想，分析讨论计算以下各题：
⑴（－18）÷6=＿＿＿＿＿； ⑵5÷（－1÷5）=＿＿＿＿＿；
⑶（－27）÷（－9）=＿＿＿＿＿ ； ⑷0÷（－2）=＿＿＿＿＿.
（3）观察以上算式，看看商的符号及商的绝对值与被除数和除数有何关系？如果有，请大家从特例中归纳猜想出一般规律，并用自己的语言叙述规律.
活动目的：用算术数除法类比有理数除法，从而明确除法是乘法的逆运算在有理数范围内也适用，所以活动（1）是活动（2）的准备，活动（2）是活动（1）的继续，也是活动（3）的准备，通过这一系列的活动，就为学生从特例中归纳猜想想出有理数的除法法则作好了充分的铺垫工作.
活动的注意事项：（1）其中活动（1）与教科书稍有差别，这里设计它是起一个台阶作用，有利于学生活动（2）的进行.
（2）活动（2）的计算，一定要用活动（1）的方法进行，要让学的充分的讨论、分析、转化成乘法计算后得出结果，而不能条理的去归纳猜想，教师要适当引导，类比乘法法则，先确定结果的符号，再确定结果的绝对值，同时要注意除法与乘法的区别：0不能作除数的规定，总之，除法的运算法则要由学生归纳得出，教师适当补充和修正，最后板书规范内容并要求学生熟记.
第三环节：例题练习，巩固新知
活动内容：（1）用投影片展示教科书第80页
例1：计算：⑴（－15）÷（－3）； ⑵（－12）÷（－1÷4）；
⑶（－0.75）÷0.25 ； ⑷（－12）÷（－1÷12）÷（－100）.
（2）用投影片展示一组练习题：
计算：⑴（－64）÷4； ⑵（－3÷5）÷（－3）；
⑶ 0÷（－16）； ⑷（－15）÷（－1÷5）÷（－2）.
活动目的：对有理数除法法则的巩固和运用，练习和提高，例题和练习题中的第（4）题是为了得到多个数相除商的符号判定方法设计的.
活动的注意事项：（1）例题讲解时，要注意板书规范，体现除法法则的应用步骤.要一边板书，一边讲述法则的内容，当然可不要求书写每一步的依据，但应做到心中有数.
（2）关于例题中第（4）题的讲解时，一是讲清楚多个数相除时，可按顺序依次两个数相除进行；二是要讲清楚多个数相除时，也可以类比多个数相乘确定符号的方法进行，从而转化成非负数相除的情形.
（3）应设计一组练习题供学生巩固新知，不要因为教科书中没有练习而忽略这个程序.
第四环节：探究猜想，发现法则，巩固提高.
活动内容：（1）做一做（用投影片展示）
计算： ⑴1÷（-2/5）； 1×（－5/2）；
⑵0.8÷（－3/10）； 0.8×（－10/3）；
⑶（－1/4）÷（－1/60）； （－1/4）×（－60）.
（2）计算出结果后，请同学们比较每一组小题中两个结果，并用语言叙述其中的规律.
（3）想一想：负数的倒数如何求？
（4）巩固提高：
1．计算：
（1）（－18）÷6;（2）（－63）÷（－7）； （3）（－36）÷6； （4）1÷（－9）;
（5）0÷（－8）； （6）16÷（－3）．
2．计算：
（1）（ ）÷（ ）;（2）（－6.5）÷0.13；
（3）（ ）÷（ ）;（4） ÷（－1）．
3. 计算
（1）（ ）÷（－6）；
（2）－3.5÷ ×（ ）；
（3）（－6）÷（－4）×（ ）．
活动目的：活动⑴一方面是除法法则的进一步巩固练习，以熟练运用技能，另一方面主要是为活动⑵提供问题素材，活动⑵是让学生通过观察每一小题的结果，发现规律，并思考得出除法的另一个法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；活动⑶是为下一步运用法则进行除以计算时做准备工作，即首先学会负数的倒数的求法，才有可能去做除法运算，活动⑷是为了掌握除法第2法则的练习题.
活动的注意事项：（1）活动⑵）中用语言叙述除法的第二法则一般没问题，因为这一法则在小学就已熟知.这里需要注意的是不能因为学生已经知道，就忽略了活动（1）的计算和观察比较，而必须让学生经历⑴⑵，并由学生把法则叙述出来，教师千万不能代替.
（2）活动⑶中怎样求负数的倒数，要让学生观察活动⑴中的计算，总结出求负数的倒数的方法，并概括有理数的倒数的求法.
（3）在巩固练习时，首先要练习除法的第二法则，同时应让学生知道，在计算时，可根据具体的情况选用两个法则，一般而言，两个数能整除时，应用第一法则，两个数不能整除时或除数为分数时，应用第二法则，这种选择意识的培养应不失时机的随时进行.
第五环节：课堂小结
活动内容：（1）由提问的方式进行课堂小结，如⑴请同学们叙述除法的两个法则；⑵有理数的倒数的求法.
（2）由教师总结有理数四则运算的步骤以及运用法则进行计算的注意事项.
活动目的：培养学生课堂主人翁精神，提高语言表达能力和概括能力，另外因为有理数的四则运算已告段落，教师提纲携领地总结一些计算的注意事项，可以帮助学生更好地掌握有理数的运算法则.
活动的注意事项：教师在总结有理数运算法则的应用时，不需要把每一条法则都复述一次，而应指明运算的共性，还应指明进行有理数除法时，要根据题目特点，恰当选择有理数除法法则进行计算.另外要指明有理数除法转化成乘法后，还要注意利用乘法的运算律简化计算过程，等等.
第六环节：布置作业
活动内容：教科书第82页习题2.12知识技能1、2、3问题解决.
活动目的；复习巩固检测本节知识，训练提高运算技能，应用有理数运算解决实际问题.
活动注意事项：对知识技能第1题的计算，应要求学生不能直接写出结果，而应写出过程，体现运用除法法则的步骤，以巩固有理数除法法则，培养言之有理，落笔有据的思维习惯，对问题解决中的应用题，是混合运算的应用.要提醒学生注意格式和单位，另外，可有选择的布置作业或分层适量，区别对待等等.
四、教学反思：
1、数学的教学活动必须建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础上，本节课正是考虑和分析到了这一事实，向学生提供了充分从事数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握有理数的除法法则，并在活动中获得了一定的数学活动经验.这一做法已在最近几节课中都有所体现，而且收到了较好的效果，所以在有理数四则运算即将结束之时，有必要对这一段的教学经验加以总结，以便于更好地进行下一单元的教学.
2、要关注学生数学学习的过程，要关注学生在数学活动中所表现出来的态度，帮助学生建立信心、展示自我，要坚持这一做法.有理数是怎么产生的
很久很久以前，人类的祖先群居在森林里、山洞中，身上披的是兽皮和树叶，吃的是山上的野兽、树上的野果和水里的鱼，终年靠狩猎为生.那时候，虽然每天猎取的食物不多，但仍然有一个记数的问题.开始，人们只是以“多”和“少”来区分.渐渐地，有人想到可以扳着手指头来数数，因为那时每天狩猎的结果也只是“屈指可数”的水平.再后来，狩猎的工具改进了，水平也提高了，当猎物超过十个以后，“屈指”已不可数，于是又想到在一条绳子上打结来记数.周代（公元前10世纪前后）《易经·系辞》中记载的“上古结绳而治”，指的就是那个远古的时代.又过了不知多少年代，人们渐渐感到“结绳”不但麻烦，而且时间一长往往记不清这些“结”指的是什么了，终于想到要用一些符号来表示各种不同的东西和各种东西的数目，出现了最早的数字.例如，在我国三千多年前殷代刻在甲骨上的数字：
它们分别表示现在的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。
数字的出现，给人们的生产和生活带来了极大的方便.但如何用尽量少的数字来表示那么多的数呢？这个问题，在中国人首先创立了十进制记数法以后，才最终得到圆满的解决.
　　打猎有时两人合作才能猎获一只兔子，有时五人合作一共猎获二头羊.如何分配这些食物呢？起初，人们只知道“二分一”、“五分二”；后来，才逐渐形成了分数的概念，记录下来，就是“二分之一”、“五分之二”、... ...，这也是中国人首创的.《周髀算经》中已大量使用分数，《九章算术》（约公元1世纪东汉时期）给出了相当完整的分数理论，比欧洲同类著作大约早1400年.我们现在所说的分数除法把除数“颠倒相乘”，就是我国古代教学家刘徽（公元前三世纪）的原话.
　人类对零的认识比较晚.打不到野兽，空手而归，这是最初对“零”的印象──空虚、饥饿、一无所有.在记录这种情况时，各民族大多不约而同地用空位来表示.后来，又用符号“□”表示空位（有人推测这是个空无一物的牲畜栏），慢慢地就演化成现在的“0”了.
　　正如伟大导师恩格斯所精辟论断的那样“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的”.
　　在小学教学中，算式“2-3”给我们的印象是“不够减”.但学习了有理数的知识以后，我们就能解决这个问题了.有理数包括正数、负数和0.正负数的概念也是从生产实际的需要中产生的.生产发展了，一方面，人们的“财富”多起来，同时也促使人们“互通有无”，进行交换.于是，人们把私有财产记为正，欠债记为负；收入记为正，支出记为负；运进记为正，运出记为负；超出记为正，不足记为负……人们从这些具有相反意义的量中抽象出了正数和负数的概念.负数是相对于正数而言的.正数和负数既相互对立，又相互依存.我们的祖先不仅最早认识到负数的存在，而且总结出正负数的加减运算法则（如《九章算术》），这在当时也是一件具有世界意义的重大创造.
由于生产实践的需要，随着科学技术的发展，数的概念一直在不断地扩充.目前，对于人类已经掌握的数的概念，其关系可综述为：(共12张PPT)
有理数的减法
第二章 有理数及其运算
太原市师院附中　王之静
太原市第二外国语学校 寇元朝
全国主要城市天气预报 2001/4/9
北京专业气象台
城市 天气 最高温度 最低温度
北京 小雨 15 6
沈阳 小雨 19 7
太原 小雨 10 0
乌鲁木齐 晴 4 －3
兰州 雨夹雪 3 －3
呼和浩特 雨夹雪 8 －3
乌鲁木齐的温差怎么计算呢？
4-(-3)=
－6
－4
－5
－3
0
—1
-2
1
2
10
9
8
6
7
3
4
5
℃
……，5，6，7.
什么数加上－3等于4呢？
(+4)-(-3)=+7
(+4)+(+3)=+7,
而+7=+7
所以(+4)-(-3)=(+4)+(+3)
我们观察下面的题目:
我们看-3变成了+3
动手做一做
换其他的数也有这样的特点吗
由上可以得出
有理数减法的法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数.
表达式为: a-b=a+(-b)
这里可以a,b是正,也可以是负,也可以为0
用心想一想
例1:计算
(1)(-3)-(-5) (2)0-7
解:(1) (-3)-(-5)=(-3)+5=2
(2)0-7=0+(-7)=-7
例2 (1)7.2-(-4.8) (2) (-3-2)-5
做题时要想着法则
例3 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约为是8848米，吐鲁番盆地的海拔高度大约是－155米，两处高度相差多少米？
解：8848-（-155）=8848+155=9003（米）
因此两处高度相差9003米。
1.有理数的减法运算法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数
a-b=a+(-b)
2.转化的思想方法:
减法运算转化成加法进行计算
课本习题2.6
知识技能的2、3、4和问题解决 1能力提高
1．用“＞”或“＜”号填空：
(1)如果a＞0，b＞0，那么a+b ______0；
(2)如果a＜0，b＜0，那么a+b ______0；
(3)如果a＞0，b＜0，|a|＞|b|，那么a+b ______0；
(4)如果a＜0，b＞0，|a|＞|b|，那么a+b ______0．
2．分别根据下列条件，利用|a|与|b|表示a与b的和：
(1)a＞0，b＞0； (2) a＜0，b＜0；
(3)a＞0，b＜0，|a|＞|b|； (4)a＞0，b＜0，|a|＜|b|．(共16张PPT)
第一天
第二天
第三天
第四天
第四天
第三天
第二天
第一天
甲水库的水位每天升高3厘米,乙水库的水位每天下降3厘米,4天后甲,乙水库的水位的总变化量各是多少
如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，那么四天后，甲水库水位的变化量为
３＋３＋３＋３＝３×４＝１２（厘米）；
乙水库水位变化量为
（－３）＋（－３）＋（－３）＋（－３）＝（－３）×４＝－１２（厘米）
（－３）×３＝＿＿＿＿＿
（－３）×２＝＿＿＿＿＿
（－３）×１＝＿＿＿＿＿
（－３）×０＝＿＿＿＿＿
运用上面的运算方法,进行下列计算:
观察以上算式,你能发现什么规律
以上算式,第一个因数不变,当第二个因数减少1时,积增大3.
（－３）×（－１）＝＿＿＿＿＿
（－３）×（－２）＝＿＿＿＿＿
（－３）×（－３）＝＿＿＿＿＿
（－３）×（－４）＝＿＿＿＿＿
猜一猜
观察每个式子中的两个因数及积的符号,你能得到什么结论
正乘正得正。
正乘负得负。
负乘正得负。
负乘负得正。
异号得负
同号得正
两数的
符号特征 积的符号 积的绝对值
同 号
异 号
一个数
为0
有理数乘法法则:
+
-
绝对值相乘
绝对值相乘
得 0
先定符号,再定绝对值!
４×（－４）＝＿＿＿＿＿
４×（－３）＝＿＿＿＿＿
４×（－２）＝＿＿＿＿＿
４×（－１）＝＿＿＿＿＿
（-４）×０＝＿＿＿＿＿
（-４）×１＝＿＿＿＿＿
（-４）×２＝＿＿＿＿＿
（-４）×（－１）＝＿＿＿＿＿
（-４）×（－２）＝＿＿＿＿＿
例1 计算
乘积为1的两个有理数互为倒数.
例2 计算
计算下列各式，你能从中找出符号的规律吗？
在积的各个因数中,
只有一个负号，积为负；
有两个负号，积为正；
有三个负号，积为负；
有四个负号，积为正；
有零，积为零；
当负因数有奇数个时，
积为负；
当负因数有偶数个时，
积为正；
有因数为零时，积就为零。
（－１）×２×３×４
（－１）×（－２）×３×４
（－１）×（－２）×（－３）×４
（－１）×（－２）×（－３）×（－４）
（－１）×（－２）×（－３）×（－４）×０
随堂练习
本节课大家学会了什么？
有理数乘法法则如何叙述？
有理数乘法法则的探索采用了什么方法？
教科书习题 2.10 ；
知识技能1、2；
问题解决1；
联系拓广1.(共12张PPT)
第二章 有理数及其运算
太原五中 路丘平
计算下列各题，并比较它们的结果：
⑴　（－７）×８与８×（－７）；
　　（－5÷3）×（－9÷10）与
　　（－9÷10）×（－5÷3）；
⑵　［（－４）×（－６）］×５　与　
　　（－４）×［（－６）×５］；
　　［1÷2×（－7÷3）］×（－４）　与　
　　　1÷2×［（－7÷3）×（－４）］ ；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
⑶　（－２）×［（－３）＋（－3÷2）］与
　　（－２）×（－３）×（－２）×（－3÷2）；
　　５×［（－７）＋（－4÷5）］　与　
　　５×（－７）＋５×（－4÷5）；
做一做
⑴（－7）×8=8×（－7）；
（－3÷5）×（－10÷9）×=（—10÷9）×（－3÷5）；
⑵［（－4）×（－6）］×5=（－4）×［（－6）×（－5）］；
［1÷2×（－7÷3）］×（－4）=1÷2×［（7÷3）×（－4）；］
⑶（－2）×［（－3）＋（－3＋2）］=（－2）×3＋（－2）×（－3÷2）；
5×［（－7）＋（－4÷5）］=5×（－7）＋5×（－4÷5）。
乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变；
乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变；
乘法对加法的结合律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
下列等式成立吗 为什么
(1) (-765)×4=4×(-765);
(2) [7×(-8)] 3=7 ×[(-8) ×3];
(3) (-5) ×[1/2+(-1/3)]= (-5) ×1/2+(-5 )×(-1/3) .
你能用字母表示乘法运算律吗
有理数乘法运算律:
加法交换律 　 a＋b=b＋a
加法结合律 　(a＋b)＋c=a＋(b＋c)
乘法对加法的分配律 a(b+c)=ab+ac
乘法交换律 　 ab=ba
乘法结合律 　 (ab)c=a(bc)
例1.计算：
⑴（－5÷6＋3÷8）×（－24）　　　　　　　　　　　　
⑵　（－7）×（－4÷3）×5÷14
你是怎样算的
恰当使用运算律可简化计算
2.计算：　
　⑴　０×（－5÷6）　；　
⑵３×（－1÷3）；
⑶（－３）×０.３　；　　
⑷（－1÷6）×（－6÷7）；
3.计算：
⑴（－3÷4）×（－８）；　　　　
⑵３０×［（－1÷2）－（1÷3）］；
⑶（０.2５－2÷3）×（－３６）；
⑷８×（－4÷5）×1÷16.
⑴运算律的语言表述；
⑵运算律的符号表示；
⑶运算律的作用。
教科书第７９页
知识技能１，
联系拓广１、２。知识拓展
1.确定下列各题中有理数a与b的符号，其中|a|＞|b|
(1)已知a+b>0,a×b>0;
(2)已知a+b>0,a×b<0;
(3)已知a+b<0,a×b>0;
(4)已知a+b<0,a×b<0.
答案：（1）a>0,b>0; (2)a>0,b<0; (3)a<0,b<0; (4)a<0,b>0.第二章 有理数及其运算
4．有理数的加法（一）
太原市师院附中 王之静
太原市第二外国语学校 寇元朝
一 学生起点分析：
学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过算术四则运算，而初中的有理数运算是以小学算术四则运算为基础的，不同的是有理数运算多了一个符号问题。因此符号问题是一个很重要的问题，在有理数运算法则中都突出了符号，它是运算法则的重要组成部分，这一点应引起大家的重视。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些数学活动，感受到了数的范围的扩大，同时对一些简单的实际问题进行过有理数的运算，只是借助生活经验而已，如计算比赛的得分，计算温差等等。同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定数学交流的能力。
二 教学任务分析：
对于有理数的运算，首先在于运算的意义的理解，即首先要回答为什么要进行运算。为此，必须让学生通过具体的问题情境，认识到运算的作用，加深学生对运算本身意义的理解，同时也让学生体会到运算的应用，从而培养学生一定的应用意识和能力。教科书基于学生学习了相反数和绝对值基础之上，提出了本课时的具体学习任务：探索有理数的加法运算法则，进行有理数的加法运算。本课时的教学重点是有理数加法法则的探索过程，利用有理数的加法法则进行计算，教学难点是异号两数相加的法则。本课时的教学目标如下：
1.经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数的加法法则；
2.能熟练进行整数加法运算；
3.培养学生的数学交流和归纳猜想的能力；
4.渗透分类、探索、归纳等思想方法，使学生了解研究数学的一些基本方法。
三 教学过程设计：
本课时设计了六个教学环节：第一环节：情境引入，提出问题；第二环节：活动探究，猜想结论；第三环节：验证明确结论；第四环节：运用巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
（一）情境引入，提出问题
活动内容:提出问题：
1.足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量．若我们规定赢球为“正”，输球为“负”．比如，赢3球记为+3，输2球记为-2．学校足球队在一场比赛中的胜负可能有以下各种不同的情形：
(1)上半场赢了3球，下半场赢了2球，那么全场共赢了5球．也就是
(+3)+(+2)=+5． ①
(2)上半场输了2球，下半场输了1球，那么全场共输了3球．也就是
(-2)+(-1)=-3． ②
你能说出其他可能的情形吗？．
答：上半场赢了3球，下半场输了2球，全场赢了1球，也就是：
(+3)+(-2)=+1； ③
上半场输了3球，下半场赢了2球，全场输了1球，也就是：
(-3)+(+2)=-1； ④
上半场赢了3球，下半场不输不赢，全场仍赢3球，也就是：
(+3)+0=+3； ⑤
上半场输了2球，下半场两队都没有进球，全场仍输2球，也就是：
(-2)+0=-2； ⑥　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
上半场打平，下半场也打平，全场仍是平局，也就是：
0+0=0 。 　　　　　　　　　 ⑦
2. 两个有理数相加，有多少种不同的情形？
活动目的：通过实际问题情境类比列出两个有理数相加的7种不同情形，进而讨论如何进行一般的有理数加法的运算。
活动的实际效果: 实际问题情境为学生营造了良好的学习氛围，利于他们积极探究.
（二）活动探究，猜想结论：
活动内容:
1．利用数轴来表示有理数加法的运算过程
如果我们把向东走5米记作+5米，那么-5米表示什么？向东走-5米表示什么？
（1）一个人向东走5米，再向东走3米，两次一共走多少米？
或说：一质点在数轴上先运动+5米，再运动+3米，两次一共运动多少米？
（2）一个人向东走5米，再向西走5米，两次一共走了多少米？
或说：一质点在数轴上先运动+5米，再运动-5米，两次一共运动了多少米？
（３）一个人向东走５米，再向西走３米，两次一共走了多少米？
或说：一质点在数轴上先运动＋５米，再运动－３米，两次一共运动了多少米？
（４）一个人向东走３米，再向西走５米，两次一共走了多少米？
或说：一质点在数轴上先运动＋３米，再运动－５米，两次一共运动了多少米？
2.仔细观察比较上述算式，你发现了什么运算规律？
有理数的加法法则：
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；
一个数同0相加，仍得这个数．
活动目的：利用数轴帮助学生理解加法运算过程，同时有利于加法运算法则的归纳。
活动的实际效果:通过卡通小人在坐标轴上来回的移动，使学生在小人的移动过程中体会两个数相加的变化规律。由于采用了形式活泼的教学手段，学生能够全副身心地投入到思考问题中去，让学生亲身参加了探索发现，获取知识和技能的全过程。最后由学生对规律进行归纳总结补充，从而得出有理数的加法法则.
（三）验证明确结论：
活动内容:
例1 计算下列算式的结果，并说明理由：
(1) 180 +(-10)； (2)(-10)+(-1)；
活动目的：给学生提供示范，进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，再根据两个加数符号的具体情况选用某一条加法法则．进行计算时，通常应该先确定“和”的符号，再计算“和”的绝对值．
活动的实际效果:通过习题，加深了学生对有理数加法法则的理解。
（四）运用巩固：
活动内容:
1．请同学们计算下列各题：
(1)(-0.9)+(+1.5)； (2)(+2.7)+(-3)； (3)(-1.1)+(-2.9)；
全班学生书面练习，四位学生板演，教师对学生板演进行讲评．
2．男生出题，女生回答；女生出题，男生回答。
活动目的：习题的配备上，注意到学生的思维是一个循序渐进的过程，所以由难而易，使学生在练习的过程中能够逐步的提高能力，得到发展。
活动的实际效果: 通过练习进一步熟悉有理数的加法法则。采用男生出题，女生回答；女生出题，男生回答，活跃课堂气氛，充分调动学生的积极性，学生在一种比较活跃的氛围中，解决各种问题。
（五）课堂小结：
活动内容:师生共同总结。
1. 两个有理数相加，首先判断加法类型，再确定和的符号，最后确定和的绝对值
2. 有理数加法法则及其应用。
3. 注意异号的情况。
活动目的：课堂小结并不只是课堂知识点的回顾，要尽量让学生畅谈自己的切身感受，教师对于发言进行鼓励，进一步梳理本节所学，更要有所思考，达到对所学知识巩固的目的。
活动的实际效果: 学生畅所欲言自己的实际收获，达到了本节课的教学目标。
（六）布置作业：
1.课本习题 2.4 1、2、3.
2.问题解决 1、2.
四、教学设计反思
本节课是在前面学习了有理数的意义的基础上进行的,学生已经很牢固地掌握了正数、负数、数轴、相反数、绝对值等概念,因此教师没有把时间过多地放在复习这些旧知识上,而是利用学生的好奇心，采用生动形象的事例，让学生充当指挥官的角色，亲身参加探索发现，从而获取知识。在法则的得出过程中,教师利用多媒体让学生在动态演示中自己发现规律归纳总结，这不但增加了课堂的趣味性提高了学生的能力，而且直接地向学生渗透了数形结合的思想。在法则的应用这一环节我又选配了一些变式练习,通过书上的基本练习达到训练双基的目的,通过变式练习达到发展智力、提高能力的目的。同时在做练习的过程中让学生互相提问，使课堂在学生的参与下积极有序的进行。
“有理数加法法则”的教学，可以有多种不同的设计方案．大体上可以分为两类：一类是较快地由教师给出法则，用较多的时间(30分钟以上)组织学生练习，以求熟练地掌握法则；另一类是适当加强法则的形成过程，从而在此过程中着力培养学生的观察、比较、归纳能力，相应地适当压缩应用法则的练习，如本教学设计．
现在，试比较这两类教学设计的得失利弊．
第一种方案，教学的重点偏重于让学生通过练习，熟悉法则的应用，这种教法近期效果较好．
第二种方案，注重引导学生参与探索、归纳有理数加法法则的过程，主动获取知识．这样，学生在这节课上不仅学懂了法则，而且能感知到研究数学问题的一些基本方法．
这种方案减少了应用法则进行计算的练习，所以学生掌握法则的熟练程度可能稍差，这是教学中应当注意的问题．但是，在后续的教学中学生将千万次应用“有理数加法法则”进行计算，故这种缺陷是可以得到弥补的．第一种方案削弱了得出结论的“过程”，失去了培养学生观察、比较、归纳能力的一次机会．权衡利弊，我们主张采用第二种教学方法。PAGE
第二章 有理数及其运算
7．水位的变化
太原市师院附中 王之静
太原市第二外国语学校 寇元朝
一 学生起点分析：
知识技能基础：学生在前面已经学习了有理数加减混合运算，能够综合运用有理数的意义及其加法、减法的有关知识，解决简单的实际问题.
活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了观察、抽象、计算等活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了有理数的意义和作用，体会到数学与现实生活的联系；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二 教学任务分析：
本节设置了一个丰富的现实情境一—流花河的水文资料，并据此资料，提出相关问题，综合运用有理数及其加法、减法的有关知识对现实问题进行讨论，进一步体会数学和现实生活的联系．通过对流花河一周内的水位变化的数据信息进行分析，判断一周中每天河流水位情况，继而用折线统计图表示本周的水位情况，让学生体会用数学的方法对生活中的问题进行合理判断，并学会用数学工具直观地表示事物的变化情况。它对学生进一步理解有理数加减运算，提高运用知识解决实际问题能力，激发学习数学的热情具有重要作用.本节教学目标为：
知识技能目标：
（1）能综合运用有理数及其加、减法的有关知识灵活地解决简单的实际问题。
（2）经历运用图表描述事物的变化过程，会用折线统计图表示数据变化趋势。
（3）培养学生的观察、对比、分析生活问题的能力
过程与方法：
经历将一些实际问题抽象成有理数的加减运算的过程，体会数学与现实生活的联系。
情感与态度：
让学生经历和体验用所学的知识解决实际生活中问题的乐趣，感受到有理数运算的实用性，增强学生学好数学的信心。
三 教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备一一收集资料；第二环节：情境
引入；第三环节：合作学习；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
第一环节 课前准备
活动内容:对学生有理数的加减运算的掌握情况进行检测，，并让学生收集一些与上课相关的资料（新闻与水文资料）。
活动目的：复习的目的是让学生对已有知识进行补充与完善，为新一次的挑战作好准备。收集资料的目的是丰富学生对背景资料的学习，减少学习的障碍。
活动的实际效果:通过前面的学习学生对有理数的加减运算普遍掌握得不错，并收集了丰富的新闻和水文资料。
第二环节：情境引入
活动内容：幻灯片展示情境
上图是流花河的水文资料（单位：米）
活动目的：创设丰富的现实情境，让学生体验所学知识与现实世界的联系，引起学生对学习内容的兴趣。
活动的实际效果: 学生独立观察思考后与交流组内的同学交流。然后全组内发表看法进行交流。有助于培养学生独立思考、善于与人合作的习惯和语言表达能力。运用数学解决简单问题的能力。
第三环节：合作学习
活动内容：1.如果把流花河的警戒水位记为0点，那么其他数据可以分别记为什么？并且说明自己的思路。请大家继续观察并独立思考，各自在交流组内发表自己的意见。
2. 下表是小明记录的今年雨季流花河一周内的水位变化情况（上周末的水位达到警戒水位）。
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化/米 +0.2 +0.81 -0.35 +0.03 +0.28 -0.36 -0.01
注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降。
（1）本周哪一天流花河的水位最高？哪一天水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少？
(2)与上周末相比,本周末流花河水位是上升了还是下降了
(3)请完成下面的本周水位记录表:
星 期 一 二 三 四 五 六 日
水位记录（米） 33.6
(4)以警戒水位为0点,用折线统计图表示本周的水位情况。
活动目的：通过老师指导，学生之间的交流，讨论，思维水平及思维方法灵活多样，促进思维的提高，培养学生的“数感”
活动的实际效果: 学生分组讨论，相互交流，取得一致意见，并做汇报。培养学生语言表达能力，运用有理数的加减法解决实际问题，培养学生学习兴趣。学生表现得都非常出色，积极地动脑筋思考问题，能大胆表明自己的观点
第四环节： 练习提高
活动内容：
1.光明中学初一(1)班学生的平均身高是160厘米.
(1)下表给出了该班6名同学的身高情况(单位:厘米).试完成下表:
姓名 小明 小彬 小丽 小亮 小颖 小山
身高 159 154 165
身高与平均身高的差 -1 +2 0 +3
(2)谁最高 谁最低
(3)最高与最矮的学生身高相差多少
2：小明的父亲上星期日买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）
星 期 一 二 三 四 五 六
每股张跌 ＋４ ＋４.５ －１ －２.５ －６ ＋２
⑴星期三收盘时，每股是多少元？
⑵本周内最高价是每股多少元？最低每股多少元？
⑶已知小明父亲买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易税，如果他在周六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
活动目的：通过对此题的解答，进一步掌握连续运动后结果的求法。教师在参与组内交流时，对学生的方法，及时给予肯定。对活动中出现的错误组织同学讨论，找出产生错误的原因，有利于学生“学会向错误学习”，进行自我完善。
活动的实际效果: 学生在独立思考后交流,教师巡视活动情况。根据观察的情况，激励学生的热情，并及时组织学生研讨个别同学出错的原因。
第五环节：课堂小结
通过这节课的学习，同学们有何收获？学到了什么？
1.学会了用数学去解决生活中的变化现象，对于几次连续的变化情况可以用有理数的加减法去解决。
2.感受到折线统计图可以形象的反映事物的变化情况。
3.很多实际问题可以转化为有理数的加减混合运算来解决。
活动目的：使学生将文字语言，符号语言，代数语言互译巩固所学知识，培养学生归纳概括的能力.体会数学与实际生活是紧密相连的.
活动的实际效果: 学生畅所欲言自己的切身感受和实际的收获，在愉快的氛围中结束本节课的学习
第六环节：布置作业。
1.课本P71 习题 2.8 1、2.
2.问题解决 1.
四 教学反思
本节要培养学生综合运用有理数及其加法、减法的有关知识，解决简单的实际问题的能力，体会数学和生活的联系．用所学的知识解决实际问题．教学时，要鼓励学生从有关数据中读取一些有用的信息，慎重地转化成数学问题，在计算不太熟练的情况下，严格按照有理数加减混合运算的步骤，正确地运用有理数加减法法则和运算律．从过程的形式方面看，有学生的观察感受，有学生的独立思考，有生生的合作交流，有师生的问答交流，有师生的合作小结，体现了教师是活动的组织者、引导者、合作者，学生是活动的主人、主体。在本节课中，学生活动多，参与程度高，教师的展示行为、引导语言和激励语言，要起到突出重点、突破难点、和谐课堂气氛等积极作用.过程中安排了折线统计图解决实际问题的内容，体现了数形结合的数学思想；分层次地反复强化知识及其知识应用的多样化,遵循了学生认知的自然规律，渐渐扫清了学生的认知障碍，扩大了学生的认知视野。
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1第二章 有理数及其运算
11．有理数的混合运算
太原五中 路丘平
一、学生起点分析：
学生的知识技能基础：学生在小学已经学习了非负有理数的四则混合运算法则，运算顺序，掌握了运算律的使用方法，已经具备了计算的技能基础，在本章前十节的学习过程中，也已具有了进行有理数加、减、乘、除、乘方各种运算的知识与技能基础.
学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经历了实验、猜想、观察、比较、分析、综合、抽象概括等数学活动，积累了较为丰富的活动经验，在解决问题的同时体会到了学习数学的兴趣，在独立思考的基础上，体验到了合作交流的重要性 ，同时在语言表达，发表见解方面都有成功的感受，具备了学习本节课所需要的活动经验基础.
二、学习任务分析:
教科书在学生掌握了有理数加、减、乘、除乘方运算率的基础上，在数的范围内得到扩充，运算级别得到扩展的基础上，提出了本节课的具体学习任务：掌握有理数混合运算法则，并能熟练地掌握有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算，能在运算中合理使用运算规律简化运算，本节课的教学目标是：
1、经历实验、操作、探索、等数学活动过程，发展合作交流的意识，提高有条理地、清晰地阐述自己观念的能力；
2、 在解决问题的游戏活动中，体验数学学习的兴趣，在解决疑难问题的过程中，体
会克服困难获得的欢欣.
3、 掌握有理数混合运算法则，能熟练进行四步以内有理数的混合运算，并能合理使用运算律进行简便运算.
三、教学过程设计：
本节课设计了五个环节：第一环节：复习回顾，引入新课；第二环节：例题练习，掌握新知；第三环节：游戏活动，巩固提高；第四环节：课堂小节；第五环节：布置作业；
第一环节：复习回顾，引入新课
活动内容：
（1）请同学们回顾学过的加、减、乘、除四则运算的法则如何叙述？
（2）请同学们做一组练习，复习本章已学习过的有理数的加法混合运算、乘法运算、除法运算和乘方运算
⑴1/2－1/2＋4/5; ⑵（－5/6＋3/8）×（－24）;
⑶8÷（－4/9）÷18/5; ⑷－（－2/3）3 .
（3）请同学们观察下列各题，各包含了哪几种运算？这种运算应该怎么进行？
⑴18－6÷（－2）×（－1/3）;
⑵3＋22×（－1/5）;
⑶（－3）2×［－2/3＋（－5/9）］.
活动目的：通过活动（1）复习回顾小学四则运算法则“先算乘法，再算加法，如果有括号，先算括号里面的.”为有理数四则运算的法则的学习铺设台阶；通过活动（2）复习本章已学习的有理数加减混合运算，乘法、除法、乘方运算法则及其运算律等知识，为本节课学习有理数混合运算做准备；通过活动（3）引入本节课的学习课题：有理数的混和运算，并为下一环节的进行提出问题.
活动的注意事项：对活动（1）中学生的回答中.只要意思正确，就要加以肯定，以保护学生的积极性，并用投影片展示规范语言：先算乘法，再算加减；如果有括号，先算括号里的；对于活动（2）的计算，要让每个学生都参与，并将每一步的算理搞清楚，尤其是第⑵小题的算法，可用运算律简化运算，对于没有使用运算律的同学的算法也应给以肯定，因为算法多样化的倡导只对全体学生而言的，即允许学生对同一题有不同的算法，而不是要求对同一题有多种解法；对于活动（3）中问题，可让学生进一步概括有理数的混和运算法则，有困难时，可提示类比活动（1）的复习.
第二环节：例题练习，掌握新知
活动内容：（1）观察、类比、概括有理数混和运算的法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里的.
例1　计算：
例2　计算：
24÷3+22×(-1/4)
（2）由学生独立完成第一环节活动（3）的计算，请三名学生上台板演，并说明算理.
⑴18－6＋（－2）×（－1/3）；
⑵3＋22×（－1/5）；
⑶（－3）2×［－2/3＋（－5/9）］.
（3）由学生独立完成教科书第89页随笔练习
计算：⑴8＋（－3）2×（－2）；
⑵100÷（－2）2－（－2）÷（－2/3）.
活动目的：活动（1）是为了培养学生的观察能力，类比能力，概括能力，语言表达能力；活动（2）一方面是为了熟练有理数混和和运算的法则，并培养说明意识和表达能力；另一方面是为了让学生自己去验证自己概括的有理数混和运算的法则的正确性，并体验成功的欢欣；活动（3）是为了进一步巩固新知.
活动的注意事项：对于活动（1）要给学生一定的思考、讨论、交流的时间.鼓励学生积极参与和发展见解，对于学生的答案，只要意思正确，就应给予正面评价，而不必求全责备，只要将准确的叙述用投影片展示即可；对于活动（2），要让学生独立完成，要相信学生有能力完成，并请三个学生上台板演，然后师生共同评价，对出现的问题做出适当处理，总之教师要当好引导者、合作者的角色，尤其是对第⑶小题的解题方法的评价要注意肯定两种不同的方法，允许对问题认识的差异存在，不必强求统一；对于活动（3）教师应关注学生完成的质量程度，对本节课教学目标的达成情况要心中有数.
第三环节：游戏活动，巩固提高
活动内容：（1）让学生阅读“24点游戏规则”（投影片展示规则）
“从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或－24.其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J、Q、K分别代表11、12、13”.
（2）提出问题，让学生思考、讨论、交流并做出解答.（投影片展示课本中问题）
（3）让学生当场从教师准备好的扑克牌中任意抽出四张牌，并向同学们展示，请同学们四个人为一组，合作交流写出尽可能多的结果为24的算式，并展示竞赛.
活动目的：活动（1）让学生阅读规则的目的是培养学生的阅读理解能力；活动（2）是为了培养学生的探究能力，合作能力，交流能力，以及对运算法则、运算律的应用能力，同时也是为了培养学生的逆向思维能力.因为游戏中“已知结果写算式”的过程正好与过去“已知算式求结果”的过程相反；活动（3）的目的是让学生体验做数学游戏的乐趣，也是活动（2）的继续，同时展开竞赛可进一步激发学生的活动兴趣，培养集体荣誉感.
活动的注意事项：活动（1）规则的阅读一定要学生阅读并理解，教师不能代替.其实数学的各类题目的阅读任务就应该学生自己完成；活动（2）教师应先对“黑桃7、3梅花7、3”这四个数列算式做示范，以突破难点，对于学生在讨论交流合作过程中探究出的不同算式，教师应及时展示给全体同学，例如对“黑桃1、2、3和方片2”的算式为： （-2-3）2-1=24； ［3－（－2）2］－1=24； ［1－（－2）］×23=24； ［－2－1］（－2）3=24 （3＋2）－（－2）-1=24； 3×2（1＋2=24等等；活动（3）应注意对竞赛结果做出评价，对表现积极，写的算式又对又多又快的小组要表扬，同时要根据时间，及时点拨收场，把意犹未尽的游戏活动延伸到课后进行.另外对学生在活动中出现的运算问题要倍加关注，及时纠正.
第四节课：课堂小结
活动内容：用提问方式由学生思考完成课堂小结，如“通过本节课的学习，你有何收获？”
活动目的：培养学生的语言表达能力，活跃课堂气氛，表现学生独立、自主、自信的个性.展示学生的聪明智慧.
活动的注意事项：要重视学生在游戏活动中的收获小结，关注学生的情感与态度.例如：体验数学活动充满着探索和创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，享受数学活动的乐趣和成功的欢欣，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯等等.
第五环节：布置作业
活动内容：教科书第90页习题2.15知识技能1，问题解决1
活动目的：复习巩固有理数混和运算的知识，训练运算技能和提高解决问题的能力.
活动注意事项：对知识技能1的计算，教师提出要求：对每一步的算理要思考，想好算理后再进行计算，养成落笔有据的好习惯，对问题解决中的游戏，可将24改成其他数如21等，让学生去玩.
四、教学反思
1、本节课引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，在教学活动中发挥了平等、民主，保护了学生的自尊，体现了学生是学习的主人，教师是组织者、引导者的理念.
2、从本节课的效果来看，在突破难点，发挥游戏的功能上还需继续探索和改进.同时发现要想使游戏发挥更大的正面效果，取得理想的效果，需要教师挖掘教材，创设情境.另外学生的活动往往易放难收，时间上总是把握不当，需要在今后教学中加以注意.
3、课程改革的实施不仅仅是使用新教材，更重要的是要有新观念，新教法和新的课堂环境，这些都是需要教师在教学实践中不断总结经验，不断创新进取.(共16张PPT)
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
5
大象距原点多远
两只小狗分别
距原点多远
观察下图,回答问题:
一、创设情境，导入新课
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
5
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。
绝对值：
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
5
例如：大象在数轴上+5点，距离原点5个单位长度，
那么，两只小狗呢
即 +5的绝对值等于5，记作 │+5│＝5。
二、合作交流，解读探究
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
5
求下列各组数的绝对值,你发现了什么
互为相反数的两个数的绝对值相等
(1)4,-4; (2)0.1,-0.1; (3)1/3,-1/3.
例1 求下列各数的绝对值：
-21， + ， 0， -7.8 .
解: |-21|=21 ； |+ |= ；
|0|=0 ； |-7.8|=7.8 .
一个数的绝对值与这个数有什么关系
正数的绝对值是它本身;
负数的绝对值是它的相反数;
0的绝对值是0.
议一议：
( 1 )在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小；
- 1.5 ， - 3 ， - 1 ， - 5 ;
( 2 ) 求出（1）中各数的绝对值，并比较它们的大
小；
（ 3 ）你发现了什么？
做一做:
解：（1）如图
∴ - 5 ＜ - 3 ＜- 1.5 ＜ - 1
（2）| -1.5 | = 1.5 ； | - 3 | = 3；
| -1 | = 1 ； | - 5 | = 5．
（3）由以上知：两个负数比较大小，绝对值大的
反而小。
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
∴ 1 ＜ 1.5 ＜ 3 ＜ 5
解法一（利用绝对值比较两个负数的大小）
解:(1) ∵ | -1| = 1， | -5 | = 5 ，
1﹤5，
∴ - 1＞ - 5 .
（2）∵ | - | = ， |- 2.7| =2.7，
﹤2.7，
∴ - ﹥-2.7
例2 比较下列每组数的大小:
（1） -1和 –5； （2）- 和- 2.7 .
三、应用迁移，巩固提高
解法二 （利用数轴比较两个负数的大小）如图
因为- 5在–1左边,所以 - 5﹤ - 1 ；
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
-2.7
-
因为- 2.7在 - 的左边，所以- 2.7﹤ -
随堂练习：
1.一个数的绝对值是它本身,那么这个数一定是__________.
正数或零
2.绝对值小于3的整数有___个,分别是 __________ ______.
4 或 - 4
3.如果一个数的绝对值等于 4，那么这个数等于__________.
2,1,0,-1,-2
5
4.用>、<、=号填空
│-5│ 0 , │+3│ 0,
│+8│ │-8│ , │-5│ │-8│.
5.在数轴上表示下列各数，并求它们的绝对值：
, 6 , -3 ,
6.比较下列各组数的大小:
(2)
(3) (4)
四、总结反思，拓展升华
1.本节学习的数学知识是:
2.本节学习的数学方法是:
数形结合的思想方法;分类讨论的思想方法.
借助数轴，理解绝对值的概念;
会求一个数的绝对值;
会利用绝对值比较两个负数的大小.
反思:两个负数比较大小，方法有几种？请举例说明.
总结：
拓展：
1.字母 a 表示一个数，-a 表示什么？-a一定是负数吗？
2.已知： ，求2x+3y的值.
五、布置作业：
必做题：
习题2.3，知识技能第２，３，４题．
选做题：
若 则a 0;
若 则a 0.乘方素材
1.你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条。
2．蟑螂的生命力很顽强，它繁衍后代的方法为下一代的数目永远是上一代数目的5倍，也
就是说如果蟑螂第一代有5只，则下一代（第二代）就会有25只。
3.18世纪初俄国马格尼茨的《算术》一书中有一“卖马”问题：某人卖马一匹，得钱156卢布。但是买主买到马以后又懊悔了，要把马退还给卖主，他说这匹马根本不值这么多钱。于是卖主向买主提出了另一种计算马价的方案，说：“如果你嫌马太贵了，那么就只买马蹄上的钉子好了，马就白送给你了。每个马蹄铁上有6枚钉子。第一枚钉子只卖1/4戈比，第二枚卖半个戈比，第三枚卖1个戈比，后面每个钉子的价格依此类推。”买主以为买这些钉子总共也花不了10个卢布，还能白得一匹好马，于是欣然同意了。结果买主一算帐才明白上了当。请问买主在这笔交易中要亏损多少？（1卢布=100戈比）
……
第三次捏合后
第二次捏合后
第一次捏合后第二章 有理数及其运算
10．有理数的乘法（二）
太原五中 路丘平
1、 学生起点分析：
学生的知识技能基础：学生在上一节课刚刚学习了有理数乘方的有关概念，法则等知识，对有理数乘方的符号表示，运算方法，符号判定比较熟悉，具备了进一步学习有理数乘方运算的知识技能基础，并且通过初中数学的学习，对运算数学知识解决实际问题有了一定的主动性，掌握了初步的估算方法，这对本节课的学习奠定了良好的基础.
学生的活动经验基础：较大的数据在报刊杂志上时常出现，而学生对此却缺乏经验，但是经过计算不难得出一张纸对折20次的厚度.将大数与身边熟悉的事物进行比较，从而得到启示，这个过程的实施，学生具有丰富的经验，比如折纸操作，测量厚度，估算高度，分析讨论，猜测验证等等，这对于本节课的学习非常有用.
2、 学习任务分析：
教科书在学生掌握了有理数乘方的概念和运算的基础上，提出了本节课的具体学习任务；通过师生折纸的共同活动，体验当底数大于1时，乘方的运算结果增大的很快.并进一步熟练有理数乘方的运算的技能.本节课的教学目标是：
1、 通过实例感受有理数的乘方运算，当底数大于1时，幂增大的很快.
2、 熟练掌握有理数的乘方运算.
3、 参与折纸操作数学活动，在具体的情境中初步掌握估算的方法，获得一些经险，为本册书第六章第一节“认识100万”的学习打基础.
4、
3、 教学过程设计
本节课设计了五个环节：第一环节：故事情境，引入新课；第二环节：折纸活动，计算思考；第三环节：例题练习，熟练乘方；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业.
第一环节：故事情境，引入新课
活动内容：
1． 复习回顾
什么是有理数的乘方
求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次幂（或a的n次方）.
2． 讲述或阅读教科书第87页读一读栏目“棋盘上的学问”中的第一自然段后，提出问题：棋盘里的米有多少呢？
活动目的：通过故事的趣味性，吸引学生的注意力，激发学生的求知欲，让学生自己想办法，如采用估测，或查阅资料等解决问题.同时引入新课：本节课我们来学习解决这类问题的方法，并从中获得启示.
活动的注意事项：故事的叙述要绘声绘色，特别是要把棋盘上放米的方法讲清楚，让学生听明白，使学生产生疑问：小小棋盘上真得有那么多米吗？这些米究竟会有多少呢？这样才能调动学生参与本节课活动的积极性，才能促使学生课后主动地去解决这些问题.
第二个环节：折纸活动，计算思考
活动内容：1.师生共同参与折纸活动，一边折，一边思考以下问题：纸的厚度为0.1mm ,对折一次后,厚度为2*0.1mm,对折两次后,厚度为多少毫米
（1） 对折20次后,厚度为多少毫米
（2） 若每层楼高度为3米,这张纸对折20次后约有多少层楼高
（3） 通过活动,你从中得到了什么启示
2.解决问题：
棋盘上的米究竟有多少
第2格有_______粒米,
第3格有_______粒米,
第4格有_______粒米,
… … … …
第64格有_______粒米，
共有_______粒米.
假设10000粒米为1斤，100斤为1袋，估计有-------袋
活动目的:培养学生积极参与课堂教学的意识,提高动手能力,猜想能力,估算能力.
加深对乘方意义的理解,进一步体会：当指数不断增加时,底数为2的幂的增长速度相当快；积累经验:当一张纸对折20次后,其厚度比30层楼还高,为本册第六章的学习打基础.
活动的注意事项：老师要与学生共同参与折纸活动，一起讨论，并尽可能利用上节细胞分裂的结果去发现一张纸对折10次后的厚度是1张纸的厚度的1024倍，可得102.4mm,对后10次的对折,应让学生先估算猜测后再计算验证,最后应提示学生去思考棋盘上的米究竟有多少 该如何去计算 或者建议学生去查阅有关资料.
第三环节：例题练习，熟悉乘方
活动内容：（1）讲解教科书第86页例3计算：
①-（-3）2；②-（-2）3；③-（-2/3）3；④-3/42.
（2）教科书第86页随堂练习1计算：
①-（3/2）2；②-（-3/2）2；③-53；④-4/32.
（3）巩固练习：
⒈ 填空
（1）310的意义是 个3相乘.
（2） 平方等于它本身的数是 .立方等于它本身的数是 .
（3） 一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是 .
（4）(－2)6中指数是 ，底数是 .
（5）平方等于1/64的数是 ，立方等于1/64 的数是 .
2.计算：
⑴ (－1/3 )3 ； ⑵ －32×23； ⑶ (－3)2×(－2)3
⑷ －2×32； ⑸ (－2×3)2； ⑹ (－2)14×(－1/2)15；
⑺ －(－2)4; ⑻ (－1)2001； ⑼ －23＋(－3)2；
⑽ (－2)2 · (－3)2.
活动目的：例题讲解的目的一方面是进一步熟悉乘方运算，另一方面是为了区分一些易于混淆的表示法，例如-32、（-3）2、-（-3）2 它们意义不同，-32表示32的相反数，底数是3；（-3）2的底数是-3；-（-3）2表示（-3）2的相反数，底数是-3；（-2/3）3与-22/3有区别：（-2/3）3的底数是-2/3，是乘方运算，而-23/3的分子是乘方运算，底数是2，整体是混合运算，随堂练习的目的是巩固课堂知识，是例题讲解的继续.
活动的注意事项：例题讲解要先分析，再计算，要把每一个题的读法及含义分析透彻.
讲明运算顺序和运算依据，再板书格式，另外要特别强调.在乘方运算中，当底数是负数或分数时，一定要把整个负数或分数用小括号括起来.随堂练习的题目与例题相类似，要引导学生认真计算，及时纠正学生在计算中出现的错误，并明确错误的原因，掌握算理.这里要特别注意，不要补充不必要的繁难计算题.
第四环节：课堂小结
活动内容：请同学们谈一下本节课的收获和感想.
1.乘方的意义
2.当底数大于1时，乘方运算的结果增长得很快
3 .乘方的运算
活动目的：提高学生的课堂参与意识，发展学生的课堂小节能力，语言表达交流能力.为学生提供展示自我，凸显个性的机会.
活动的注意事项：教师一方面应积极鼓励学生参与，特别是为学习有困难的学生创设发言机会，以提高他们的兴趣和自信，另一方面要把握课堂小结的准确性和全面性，对学生的小节做出适当的补充和修正.
第五环节：布置作业
活动内容：教科书第87页习题2.14 知识技能1计算,问题解决1.
活动目的：复习巩固检测本节知识，训练提高运算技能和解决问题的能力.
活动注意事项：对知识技能1计算，要向学生明确提出书写要求，即不能直接写结果，而要把演算步骤过程写出来并明确算理，对问题解决1应让学生由此感受到当底数小于1时，乘方运算的结果减少的速度很快.
4、 教学反思
1、 本节课的教学可不必拘泥于教科书的设计，可以创造性地使用教材，例如可把折纸活动设计成猜一猜，让学生先凭借以往的经验和知识进行猜测，以激发学生的求知欲，极大地调动学生学习的积极性，然后再指导学生用实践来验证，通过动手折纸找规律，寻找结论.
2、 例题的讲解和分析也可以让学生先去做，在做的过程中发现问题，再着手解决问题，当学生做题产生了不同的答案后，教师再来分析错误的原因，并让学生经历了错误过程的同时又经历了改正错误的过程，印象应该更深刻.
3、 本节课题的引入若能配上栩栩如生的动画，把学生吸引到数学王国中，激发学生的兴趣效果会更好.
幂
指数
底数(共29张PPT)
第二章 有理数及其运算
第一节 数怎么不够用了
山西省太原市小井峪二中
丁艳萍
学过的数:
古代猎人打了一只老鹰，用数如何表示一只老鹰——有了整数
二人分一只西瓜，用数如何表示半只西瓜——有了分数
货币购物，用数如何表示10元5角3分——有了小数。
瓦罐没有东西了 有了0
零上5 C
零下5 C
用小学学过的数能表示下列数吗
用小学学过的数能表示下列数吗
0
数怎么不够用了
加10分
扣10分
得0分
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题
第一队
第二队
第三队
第四队
某班进行知识竞赛，评分标准是：答对一题加10分，
答错一题扣10分，不答不得分；每一个队的基础分都是0分。
红色所表示的得
分比0分低。
带“－”的得分比0分低。
这里出现了比0分低的得分，我们可以用带有“－”号的数来表示，如－10（读作：负10）表示比0分低10分的数；
对于比0分高的得分，可以在前面加上“＋”号，如＋10（读作：正10）表示比0分高10的数。
现在我们可以用带有“＋”号和“－”号的数表示各队每道题的得分情况.试完成下表:
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 合计
第一组
第二组
第三组
第四组
＋10
－10
＋10
＋10
－ 10
＋10
－ 10
＋10
0
＋10
＋10
＋20
＋10
＋10
－ 10
－ 10
0
0
＋10
－ 10
＋10
－ 10
－ 10
－ 10
生活中你见过带有“－”号的数吗
全国主要城市天气预报
城市 天气 高温 低温 城市 天气 高温 低温
哈尔滨 小雨 15 6 长春 多云 18 10
沈阳 小雨 19 7 天津 小雨 12 8
西宁 小雪 5 -4 银川 小雪 0 -3
兰州 小雪 3 -3 西安 小雨 16 7
财富全球500强中的主要零售企业
排名 公司 年收入 利润 雇员人数
2 沃尔玛 166809.0 5377.0 1140000
46 麦德龙 46663.6 295.1 171440
66 家乐福 39855.7 805.6 297290
111 特斯科 30351.9 1088.4 134896
120 洋华堂 28670.9 423.6 97040
153 大荣 25230.1 －195.2 47953
184 佳士客 22451.3 －25.2 34375
资料来源:2002年《财富》全球500统计 单位:百万美元
像10、1.2、17…这样的数叫做正数，它们都比0大
在正数前面加上“－”号的数叫做负数，例如－10，－3 …
你认为0应该放在什么地方？
0既不是正数，也不是负数
获得新知
零上与零下
盈利与亏损
加分与扣分　
高出与低于
具有相反意义的量
具有相反意义的量：上升与下降、增与减、收入与支出、胜与负、进与退、多与少、盈利与亏损向东与向西、顺与逆、过剩与不足、重与轻等
用正数和负数可以表示具有相反意义的量
例１
(1)在知识竞赛中,如果+10分表示加10分,那么　　扣20分怎样表示
(2)某人转动转盘,如果用+5表示沿逆时针方向转　了5圈,那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示
(3)在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标
准质量0.02克记作+0.02,那么－0.03克表示什么
解 :(1)扣20分记作－20分;
(2)沿顺时针方向转12圈记作－12圈;
(3)－0.03克表示乒乓球的质量低于标
准质量0.03克.
(4)如果向东运动4m记作+4m，那么向西运动7m应记作什么？若在原地不动又记作什么？
知识运用
1、填空题
（1）如果零上5℃记作＋5 ℃，那么零下3 ℃记作______________.
（2）东、西为两个相反方向，如果－4米表示一个物体向西运动4米，那么＋2米表示___________，物体原地不动记作________。
（3）某仓库运进面粉7.5吨，那么运出3.8吨应记作_______________。
随堂练习
做一做
你会把我们所学过的所有的数进行分类吗
整数
分数
正整数：如 1、2、3……
零： 0
负整数：如－1、－2、－3…
有理数
整数与分数统称为有理数
正分数: 如 1/2 、1/3、5.2
负分数：如 -1/5、-3.5、-5/6
正有理数
0
负有理数
请你将到目前为止学过的数进行
分类，并与你的同伴进行交流。
2、下表是某日上海发行的部分债券行情表，试说明各债券当天涨跌情况。
名称 99国债
（1） 99国债
（2） 99国债
（3） 01通化债券 01三峡债券
涨跌/元 ＋0.01 －0.05 －1.24 ＋0.15 －2.01
99国债(1)__________;99国债(2)_________;
99国债(3)__________;01通化债券________;
01三峡债券___________.
涨0.01元
跌0.05元
跌1.24元
涨0.15元
跌2.01元
随堂练习
做一做
3、某厂计划每天生产零件800个，第一天生产零件850个，第二天生产零件800个，第三天生产零件750个，
你能正、负数表示该厂每天的超产量吗？
解：第一天超产零件是50个.
　　第二天超产零件是0个.
　　第三天超产零件是－50个
关键：以800个零件为正、负数的标准（分界限）
随堂练习
做一做
必做题
１、在－２；＋1/2；－３.５；１１中，正数
是 ；负数是 。
２、＋１３５０米表示高于海平面１３５０米，
低于海平面２００米，记作 。
３、如果上升１０米记作＋１０米，那么下降１２
米，记作 。
４、如果规定向西走３０米记作＋３０米，那么
－４０米，表示 。
＋1/2、 １１
－２、 －３.５
－２００
－12
向东走了40米
5.如果零上5记作+5,那么零下3 记作 .
6.某仓库运进面粉7.5吨记作+7.5,那么运出3.8吨,
记作 .
7.把下列数分别填在对应的括号内：
13，-0.5，2.7，123，0，2/5 ，-4，7/4 。
（1）分数（ ）；（2）负整数（ ）；
（3）正分数（ ）； （4）有理数（ ）。
-0.5，2.7，-─，─
5
2
4
7
-4
2.7，─
4
7
全都是
－3
－3.8
必做题
１、找规律:
（1）1，-2，3，-4，5，-6，7，-8 ，………
其中第199个数为 _____ ，第2002个数_____ ，
规律是______________；
（2）1，2，-3，4，5，-6，7，8 ，-9 ………
其中第345个数为 _____ ，第2002个数_____ ，
规律是 ______________ ；
（3）-1，2，-3，4，-5，6，-7，8 ，-9……
其中第279个数为 _____ ，第320个数的符号
为___,规律是______________；
199
奇数为+ 偶数为-
+
-279
-345
2002
-2002
3的倍数为-其它为+
奇数为- 偶数为+
选做题
2、去超市买食品时经常看到包装袋上写着净重
150g±5g.这里表示什么意思？
里面食品的重量为比150g左右，多不会超过155g,
少不会少于145g.
选做题
3、小明的爸爸开的小店昨天获利120元，他在每日
收支账本上记下“120元”。今天小店亏了20元，
他应记作＿＿。
A：20元 B：-20元 C：-20 D：100元
进一步来看，一周来他的账本上的数据为
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
120元 -20元 80元 0元 -10元 150元 100元
如此看来他这一周是赚了还是赔了？有多少？
选做题
课堂小结
1、正数与负数都来自于实际生活；用正、负数可以表示实际问题中具有相反意义的量，例如…
2、小学里学过的数除0外都是正数；正数前面添上“－”号的数是负数；0既不是正数，也不是负数，它表示正、负数的界限。
3、有理数的分类方法不是唯一的，可以按整数和分数分成两大类，也可以按正有理数、零、负有理数分成三大类。
4、我学得怎样？
作业：
1、下列各数中，哪些是正整数？哪些是负整数？哪些是正分数？哪些是负分数？哪些是正数？哪些是负数？
7，-9.25，-9/10，-301，4/27，31.25，
7/15，-3.5
2、请举出3对具有相反意义的量，并分别用
正、负数表示。
3、在4个不同时刻，对同一水池中的水位进行测量，记录如下：上升3厘米，下降6厘米，下降1厘米，不升不降，如果上升3厘米记为+3厘米，那么其余3个记录怎样表示？
4、（1）如果节约20千瓦·时电记作+20千瓦·时，那么浪费10千瓦·时电记作什么？
（2）如果-20.50元表示亏本20.50元,那么+100.57元表示什么
（3）如果+20％表示增加20％，那么-6％表示什么？
作业：
5、调查八月份家中的收入和支出情况，并且
正确表示出来
6、某日傍晚，黄山的气温由中午的零上2℃下
降了7℃，这天傍晚黄山的气温是多少？
作业：有理数巧算“十字诀”
1、“归”：将同类数（如正数或负数）归类计算.
[例1]计算（-13）+（+28）+（-47）+（+50）.
解：原式=（28+50）+（-13-47）
2、“消”：将相加得0的数（如互为相反数的数）对消.
[例2]（-）+2.3+（-0.1）-2.2++3.5.
解：原式=[(-)+]+[2.3+3.5-0.1-2.2]
=[(2.3-0.1-2.2)+3.5]
=0+3.5
=3.5.
3、”凑”将相加可得整数的数凑整,
[例3]计算
(+)+(-)+1.75+(-)+1.05+2.2.
解：原式=(--)+(1.75+1.05+2.2)+( +)
=-1+5 +
=4
4、“合”：将不同类数（如分母相同或易于通分的数）分别组合.
[例4]计算1-++--.
解：
原式=（1-）+（-）+（-）
=-－－
=-.
5、“分”：将一个数分解成几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式.
[例5]计算×15.
解：原式=（20-）×15
=300-
=.
[例6]计算（-）×0.25×(-96) ×.
解：原式=(×8) ×(0.25×4) ×(3×)
=1×1×1=1.
6、“化”：将小数与分数或乘法与除法相互转化.
[例7]计算-3-[-5+（1-0.2×）÷（-2）].
解：原式=-3-[-5+（1-×）÷（-2）]
=-3-[-5+×(-)]
=-3-[-5-]
=.
7、“变”：利用运算定律把运算顺序改变，从而简化计算.
[例8]计算（--）×（-）.
解：原式=×（-）-×（-）-×（- ） =-2+1+
=-.
8、“约”：将互为倒数的数或有因数和倍数关系的数约简.
[例9]计算（-0.12）·（+）·（-）·（-1.6）.
解：原式=-×××=-.
9、“逆”：正难则反，逆用运算律以简化运算.
[例10]计算
（-125）÷17+（+315）÷17-（-166）÷17-（-）.
解：原式=（-125+315+166+1）÷17
=357÷17=21.
10、“观”：根据0和1在运算中的特性，注意观察算式特征，可收到事半功倍的效果.
[例11]计算
-2006÷20.02×(2.15-)+(-1)2006+(-1)2007.
解：原式=0+1-1=0备选素材
国庆黄金周某旅游景点将每天游客人数与前一天比较并记录游客人数的变化情况，10月1日游客达到40000人次，以后几天游客人数变化如下表（比前一天多的为正，少的为负，单位：人）
日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
人数的变化（与前一天比较） 2000 1800 1000 -2000 -1500 -800(共12张PPT)
第二章 有理数及其运算
太原五中 路丘平
计算下列各题，并比较它们的结果：
乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变；
乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变；
乘法对加法的结合律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
下列等式成立吗 为什么
你能用字母表示乘法运算律吗
(1) (-765)×4=4×(-765);
(2) [7×(-8)] 3=7 ×[(-8) ×3];
(3) (-5) ×[1/2+(-1/3)]= (-5) ×1/2+(-5 )×(-1/3) .
有理数乘法运算律:
加法交换律 　 a＋b=b＋a
加法结合律 　(a＋b)＋c=a＋(b＋c)
乘法对加法的分配律 a(b+c)=ab+ac
乘法交换律 　 ab=ba
乘法结合律 　 (ab)c=a(bc)
例1.计算：
你是怎样算的
恰当使用运算律可简化计算
2.计算：　
　
3.计算：
⑴运算律的语言表述；
⑵运算律的符号表示；
⑶运算律的作用。
教科书习题2.11
知识技能１，
联系拓广１、２。
京師
(1)(3)×(-8);
(2)30×[
3)(0.25
)
36)
(4)8×(-±)
(1)0×
(2)3×(
(3)(-3)×0.3
)×(
6×3
×(-24)
(2)(-7)×(-4)×5
14
(1)
7)×8与8×(一7);
)×
10
(2)[(-4)×
6)]×5与
4)×[(-6)×5];
)]
4)
×[(
)×(-4)
(3)(-2)×[(-3)+(
)]与
2)×(-3)+(-2)×
5×[(-7)+(-)]与
5
7)+5×(
(1)(-7)×8=8×(-7)
)×(
)×=(一
)×
(2)[(-4)×(-6)]×5=(-4)×[(-6)×5]
[×(-3)]×(-4)=1×[(-3)×(-4)]
(3)(-2)×[(-3)+(
)]=(-2)×(-3)
+(-2)×(-3
[(-7)+(-4)]=5×(-7)+5×(数轴上任意两点间的距离公式
（2002南京中考数学试题）阅读下列材料：点A、B在数轴上分别表示数a和b，A、B两点之间的距离为。
当A、B两点有一点在原点时，不妨设A点在原点，如图1， ；当A、B两点都不在原点，如图2，点A、B都在原点的右边，；
如图3，点A、B都在原点的左边， ；如图4， A点和B点在原点的两边， 。
综上所述，数轴上A、B两点之间的距离。
回答下列问题：
（1） 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ；
（2） 数轴上表示x与-1的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ；
（3） 当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 。
B
A
O
图2
B
A
图3
O
B
O
B
A
A
O
图1
图4第二章 有理数及其运算
8．有理数的乘法（二）
太原五中 路丘平
一、学生起点分析：
学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过四则运算的五条运算律，并初步体验到了运算律可以简化运算，具备了对非负有理数运用运算律进行简便运算的意识和技能。在本章的第四节的第二课时又熟悉了有理数的加法交换律与加法的结合律，并经历了它们的探索活动过程，具有了探索学习有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律的基本技能基础，尤其是上节课有理数的乘法法则更是重要的知识基础。
学生的活动经验基础：学生在探究有理数加法的交换律、结合律的活动过程中，已经有了切身的体验，积累了经验，丰富了阅历，并体会到了运算律对有理数加法的简化作用，这不仅在探索方法上提供了经验基础，而且从情趣意识、求知欲望上也为本节可增添了兴趣基础。另外上节课学生在有理数乘法法则的训练过程中曾经出现的问题和解决修正的过程，也是本节课学习的有用经验。
二、学习任务分析：
教科书在学生已掌握了有理数加法、减法、乘法运算的基础上，提出了本节课的具体学习任务：探索发现有理数长法的运算律，会运用运算律简化运算过程。本节课的教学目标是：
1、 经历探索有理数的乘法运算律的过程，发展观察、归纳、猜想、验证等能力。
2、 学会运用乘法运算律简化计算的方法，并会用文字语言和符号语言表述乘法运算律。
3、 在合作学习过程中，发展合作能力和交流能力。
4、
三、教学过程设计：
本节课设计了六个环节：第一环节：探究猜想，引入新课；第二环节：文字表达，理解运算律；第三环节：符号表达，熟悉运算律；第四环节：体验运算律简化计算作用；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
第一环节：探究猜想，引入新课
活动内容：（1）根据有理数乘法法则，计算下列各题，并比较它们的结果：
⑴（－７）×８与８×（－７）；
　（－5÷3）×（－9÷10）与（－9÷10）×（－5÷3）
⑵［（－４）×（－６）］×５　与　（－４）×［（－６）×５］；
［1÷2×（－7÷3）］×（－４）　　与　　1÷2×［（－7÷3）×（－４）］；
⑶（－２）×［（－３）＋（－3÷2）］与（－２）×（－３）×（－２）×（－3÷2）；
５×［（－７）＋（－4÷5）］　与　５×（－７）＋５×（－4÷5）；
（２）通过计算积的比较，猜想乘法运算律在有理数范围内是否适用。
活动目的：复习巩固有理数的乘法法则，训练学生的运算技能，通过比较结果，探究猜想乘法交换律、结合律、分配律在有理数范围内使用的结论，从而引入本节课的课题：乘法运算律在有理数运算中的应用。
活动的注意事项：在以上的活动⑴中，学生在计算过程中肯定会有一些错误，教师应事先有所预料，可采取分组竞赛的方式进行活动以激发兴趣和提高运算准确性和述度，同时教师应有针对性的巡视，对有困难的学生加以指导和帮助，并对学生的表现给出正面评价。在活动⑵中，学生经过正确计算后，自然会发现计算结果分别相等。此时，教师应出示相等的算式，最好用投影展示：
⑴（－7）×8=8×（－7）；
（－3÷5）×（－10÷9）×=（—10÷9）×（－3÷5）；
⑵［（－4）×（－6）］×5=（－4）×［（－6）×（－5）］；
［1÷2×（－7÷3）］×（－4）=1÷2×［（7÷3）×（－4）；］
⑶（－2）×［（－3）＋（－3÷2）］=（－2）×3＋（－2）×（－3÷2）；
5×［（－7）＋（－4÷5）］=5×（－7）＋5×（－4÷5）。
这样便于学生观察猜想，乘法的运算律在有理数范围内适用。
第二环节：文字表达，理解运算律
活动内容：通过回忆交流，相互补充，用文字语言准确表达乘法运算律。
乘法运算律有三条，分别是乘法的交换律；乘法的结合律；乘法对加法的分配律。
乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变；
乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变；
乘法对加法的结合律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
活动目的：以讨论回顾的形式口头表达乘法运算律，一方面达到训练学生语言表达能力的目的，另一方面达到理解乘法运算律的目的，并为本课时下一环节的实施作准备。
活动的注意事项：学生在表述出现语言障碍，教师应设法给予帮助，但主要应由学生通过回忆、讨论、交流、修正、补充自己完成，而不能由教师代替。实践证明，只要相信学生，并适当引导，学生是能够完成任务的。
第三环节：符号表达，熟悉运算律
活动内容：（１）用投影片展示一组等式，请同学们判定等式成立的依据是哪条运算律，并口述对应运算律的内容。
（２）思考如何用字母来表示每条运算律。
下列等式成立吗 为什么
(1) (-765)×4=4×(-765);
(2) [7×(-8)] 3=7 ×[(-8) ×3];
(3) (-5) ×[1/2+(-1/3)]= (-5) ×1/2+(-5 )×(-1/3) .
你能用字母表示乘法运算律吗
活动目的：这个环节的设计目的，一方面是让学生在具体等式中熟悉运算律，并再一次叙述运算律的内容，从而加深印象，明确应用；另一方面是让学生用符号语言来表达运算律。事实上，运算律是经过对具体算式的探索，猜想发现的一般化的表示形式，它有多种表达方法（文字语言、符号语言、图形语言），其中符号语言方法，更能简捷深刻地揭示问题的共性，有助于对一般问题的认识，而且为数学交流提供了有效途径，特别能有效地发展学生的符号感及运用符号解决问题的能力，进行推理判断的能力。
活动的注意事项：运算律的文字语言叙述一般问题不大，而符号语言的表达学生会有困难，教师应有充分的预见性，并切实帮助学生正确的得到运算律的符号表达，至于学生采用那些字母，是否小写等等问题，教师不应求全责备，只要正确，就要鼓励，最后教师可将结论统一，用投影片展示规范的符号表达。
第四环节：体验运算律简化计算的作用
活动内容：（１）教科书第７８页例３，计算：
⑴（－5÷6＋3÷8）×（－24）　　　　　　　　　　　　
⑵　（－7）×（－4÷3）×5÷14
用两种方法计算，并比较哪种方法较简便。
　 （２）教科书第７８页“随堂练习”。
１、计算：　　⑴　０×（－5÷6）　；　　　　⑵３×（－1÷3）；
⑶（－３）×０.３　；　　　 ⑷（－1÷6）×（－6÷7）；
２、计算：⑴（－3÷4）×（－８）；　　　　　 ⑵３０×［（－1÷2）－（1÷3）］；
⑶　（０.2５－2÷3）×（－３６）； ⑷８×（－4÷5）×1÷16。
活动目的：对有理数乘法法则的巩固和提高运算技能，对运算律的运用使计算简便。
活动的注意事项：例题讲解时，需对两种解法进行板书，以比较两种解法的过程，体现运算律可简化计算的作用，提高学生合理使用运算律的意识。另外对体现环节的练习题不宜补充复杂的计算题，因为有理数运算重点是对运算法则和运算律的理解，所以切记因为小数、分数的繁杂运算冲淡学生的主题，况且对于复杂的计算，我们提倡使用计算器，而不能过分讲究运算技巧，最后还应关注学生在计算过程中的情感态度，培养学生认真细心的良好习惯。
第五环节：课堂小结
活动内容：由学生进行课堂小结；⑴运算律的语言表述；⑵运算律的符号表示；⑶运算律的作用；
活动目的：培养学生的口头表达能力，提高学生的课堂主人翁精神和积极参与意识。
活动的注意事项：学生在小结过程中，可能会有畏难情绪，教师要鼓励学生积极参与，并给予适时恰当的评价，特别要关注平时表现不积极不勇跃的同学，多给他们以帮助，鼓励和发言的机会，提高他们的自信。
第六环节：布置作业
活动内容：教科书第７９页知识技能１，联系拓广１、２。
活动目的：复习巩固检测本节知识，训练提高运算技能。
活动注意事项：联系拓广的第１题是乘法法则反过来思考，一方面培养学生逆向思维能力，从而进一步巩固乘法法则。另一方面是训练学生文字表达能力，一定要认真批阅这个作业，并及时反馈，纠正不当说法；第２题是训练学生符号语言表达能力，同样要关注。
四、教学反思：
１、要关注学生对有理数运算法则和运算律的理解水平，对法则和运算的学习评价，不应单纯考查记忆和具体计算，而应对运算的评价重点放在学生对算理的理解上，考察学生能否根据实际问题的特点选择合理简便的算法，
２、本节习题中联系与拓广中两题带有“＊”号，仅仅是面向学有余力有特殊数学学习需求的学生，并不要求所有学生都去完成它。在实际情况中也正说明这一点，收回的作业，学生的解答和理解有很大的差异，既增添批改的难度，又出现一些思维上的负面影响，所以对今后的作业布置，一定要区别对待，有所选择。
３、本节课的设计中，教师是以组作者，引导者的身份出现在每一个环节，在这个过程中培养了学生观察、归纳、验证的能力。并通过用自己的语言描述运算律，培养了学生的语言表达能力，用符号的语言描述运算律，发展了学生的符号感。在学习活动中，学生获得了成功的体验，增强了自信。　　　　　除法有相应的交换律、结合律、分配律吗
试卷上小明做错了一道题，但小明很是纳闷，不知道为什么错了。他是这样做的：
解：原式=
=
=
=
你发现他错在哪里了吗？
原来尽管有理数的除法可以转化为乘法，但除法没有相应的
交换律、结合律、分配律。
，
但
。
千万不能出错哦。
请你帮小明给出正确解答。第二章 有理数及其运算
6．有理数的加法混合运算（二）
太原市师院附中 王之静
太原市第二外国语学校 寇元朝
一 学生起点分析：
学生的知识技能基础：在上一节课的学习中学生已经学习了有理数的加减混合运算，初步接触了含有小数或分数的有理数的加减混合运算，知道加减混合运算利用加法法则和减法法则可以统一成加法进行运算，但还不够熟练，对在混合运算中如何运用加法交换律和结合律还不了解。
学生活动经验基础：在本章前面知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索、发现的数学活动，积累了初步的数学活动经验，具备了一定的探究能力；经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力；同时在本章前面的数学学习中学生已经具备了一定的运算技能，能够解决一些简单的实际问题。这些为本节课的学习作了很好的奠基和知识准备。
二 教学任务分析：
本节课就是在前面学习的基础上进一步熟练有理数的加减混合运算时，体会可以适当地运用加法交换律和结合律来简化运算．为了避免学习对单纯的运算产生厌烦情绪，所以利用游戏来训练有理数的加减混合运算，以增加学习的趣味性．本课时的教学目标如下：
1．让学生熟练地进行有理数加减混合运算，并利用运算律简化运算．
2．灵活运用有理数运算法则进行加减混合运算．熟练掌握有理数的加减混合运算及其运算顺序．
3．能根据具体问题，适当运用运算律简化运算．
三 教学过程设计
本节课设计了六个教学环节： 第一环节：问题引入；第二环节：讲授新课；第三环节：合作学习；第四环节： 练习提高；第五环节：课堂小结； 第六环节： 布置作业。
第一环节：问题引入
活动内容: 请学生说出-6+9-8-7+3两种读法．
活动目的：复习前面所学的知识，引出今天所学的内容，起到温故知新的作用。
活动的实际效果: 学生多数能从有理数加法和减法的关系说出上式的两种读法．
第二环节：讲授新课
活动内容:通过游戏来进一步熟练有理数的加减混合运算（课前每人准备红色卡片和白色卡片共20张，在每张卡片上写上任意数字）．
游戏规则如下：
(1)四人一组，每组选一学生当代表，在同组的80张卡片中，抽取4张，如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到红色卡片，那么减去卡片上的数字．
(2)每组四人都计算，然后看结果的正确与否，再看一看谁用的计算方法最简便。交流经验．
活动目的：利用游戏训练有理数的加减混合运算，以激发学生学习数学的兴趣，增加学习的趣味性．
活动的实际效果:学生参与教学活动，从而使学生积极主动的学习，学生学习的热情高涨，气氛热烈。
第三环节：合作学习
活动内容:例2 计算：
解：
活动目的：教学时，鼓励学生算法多样化，在具体情境中体会减法转化为加法的运算含义，在进行加减混合运算时，可以适当运用加法交换律和结合律来简化运算．
活动的实际效果: 本例由教师板演，在复习加减混合运算的同时，体会运用加法交换律和结合律可以简化运算。
第四环节： 练习提高
活动内容:
活动目的： 让学生能进行包括小数、分数在内的有理数的加减混合运算。
活动的实际效果: 本例由教师指定几名学生板演，其余学生在笔记本上解答，教师巡视，发现问题及时解决，这样让学生在运算的过程中逐步熟练掌握有理数的加减混合运算。
第五环节：课堂小结；
活动内容:师生共同完成。
1．通过本节课的学习研究，我们进一步巩固和掌握有理数的加减混合运算，并能根据具体问题适当运用加法交换律和结合律简化运算．
2．在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便．但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．
活动目的：鼓励学生谈自己的收获和感想,让学生总结本节所学内容的同时，学会及时的反思和总结
活动的实际效果:学生畅所欲言自己的切身感受和实际的收获，在愉快的氛围中结束本节课的学习
第六环节： 布置作业
1.课本P71 习题 2.8 1、2，
2.问题解决 1.
四 教学反思
1．通过例题、习题，复习、巩固有理数的加、减运算以及加减混合运算的法则与技能．讲课前教师要认真总结、分析学生在进行有理数加、减混合运算时常犯的错误，以便在这节课分析习题时，有意识地帮助学生改正．
2．关于“去括号法则”，只要求学生了解，并不要求追究所以然，以后在整式一章中还会详细的讲到。(共14张PPT)
2.6 有理数的加减混合运算(一)
第二章有理数及其运算
太原市师院附中　王之静
太原市第二外国语学校 寇元朝
1．叙述有理数加法法则．
2．叙述有理数减法法则．
3．叙述加法的运算律．
4．符号“+”和“-”各表达哪些意义？
5．化简：+(+3)；+(-3)；-(+3)；-(-3)．
上节课，我们在有理数减法的运算中重点探讨了整数减法的运算，那么遇到小数或分数时，会不会计算呢
下图是一条河流在枯水期的水位图
此时小康桥面距水面的高度为多少米
你知道小颖和小明分别是怎么想的 他们的结果
为什么相同
一架飞机做特技表演，起飞后的高度变化如下表：
此时飞机比起飞点高了多少千米？
法一：
4.5+（-3.2）+1.1+（-1.4）
=1.3+1.1+（-1.4）
=2.4+（-1.4）
=1（千米）
法二：
4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4
= 1.3 + 1.1 - 1.4
= 2.4 - 1.4
= 1（千米）
比较以上两种算法，你发现了什么？
在代数里，一切加法与减法运算，都可以统一成加法运算。在一个和式里，通常有的加号可以省略，每个数的括号也可以省略。
如4.5+（-3.2）+1.1+（-1.4）可以写成 省略括号的形式
4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4
读作“正4.5、负3.2、正1.1、负1.4的和”
例1 计算
（1）
解：（1）
（2）
（2）
计算:
（2）-2.25+
(3)
(1)
加减法混合运算可以统一成加法；
加法运算可以写成省略括号的形式。
布置作业
习题2.7
知识技能 1
问题解决 1、2(共16张PPT)
第四节 有理数的加法（一）
第二章 有理数及其运算
太原市师院附中　王之静
太原市第二外国语学校 寇元朝
足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量．若我们规定赢球为“正”，输球为“负”．比如，赢3球记为+3，输2球记为-2．学校足球队在一场比赛中的胜负可能有以下各种不同的情形：
(1)上半场赢了3球，下半场赢了2球，那么全场共赢了5球．也就是
(+3)+(+2)=+5． ①
(2)上半场输了2球，下半场输了1球，那么全场共输了3球．也就是
(-2)+(-1)=-3． ②
你能说出其他可能的情形吗
情境引入，提出问题：
上半场赢了3球，下半场输了2球，全场赢了1球，也就是：
(+3)+(-2)=+1； ③
上半场输了3球，下半场赢了2球，全场输了1球，也就是：
(-3)+(+2)=-1； ④
上半场赢了3球，下半场不输不赢，全场仍赢3球，也就是：
(+3)+0=+3； ⑤
上半场输了2球，下半场两队都没有进球，全场仍输2球，也就是：
(-2)+0=-2； ⑥　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
上半场打平，下半场也打平，全场仍是平局，也就是：
0+0=0 . 　　　　　 ⑦
两个有理数相加，有多少种不同的情形？
7种
(+3)+(+2)=+5 ;
(-2)+(-1)=-3 ;
(+3)+(-2)=+1 ;
(-3)+(+2)=-1 ;
(+3)+0=+3 ;
(-2)+0=-2 ;
0+0=0 .
如果我们把向东走5米记作+5米，那么-5米表示什么？向东走-5米表示什么？
1、一个人向东走5米，再向东走3米，两次一共走多少米？
或说：一质点在数轴上先运动+5米，再运动+3米，两次一共运动多少米？
结果向东走了8米
（+5）+（+3）=+8
利用数轴表示有理数
加法的运算过程
2、一个人向东走5米，再向西走5米，两次一共走了多少米？
　　或说：一质点在数轴上先运动+5米，再运动-5米，两次一共运动了多少米？
结果走了０米
（＋５）＋（－５）＝０
　　３、一个人向东走５米，再向西走３米，两次一共走了多少米？
　　或说：一质点在数轴上先运动＋５米，再运动－３米，两次一共运动了多少米？
结果向东走了２米
（＋５）＋（－３）＝＋２
　　４、一个人向东走３米，再向西走５米，两次一共走了多少米？
　　或说：一质点在数轴上先运动＋３米，再运动－５米，两次一共运动了多少米？
结果向西走了２米
（＋３）＋（－５）＝－２
仔细观察上面得到的算式,你发现了什么规律
同号两数相加：5 + 3 = 8
异号两数相加：5+（-3）=2
3+（-5）=-2
5+（-5）=0
一数和零相加： （-5）+0=-5
1.同号两数相加，取相同的符号，并把
绝对值相加。
2.异号两数相加，绝对值相等时和为0；
绝对值不相等时，取绝对值大的数的符号，
并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3.一个数同零相加，仍得这个数。
有理数加法法则
例1.计算下列各题：
（1）、180+（-10）
解：180+（-10）
=+（180-10）
=170
（2）、（-10）+（-1）
解：（-10）+（-1）
=-（10+1）
=-11
（同号两数相加）
（取绝对值较大的数的符号，并用 较大的绝对值减去较小的绝对值）
计算下列各题：
(1) (-0.9)+(+1.5)；
(2) (+2.7)+(-3)；
(3) (-1.1)+(-2.9).
男生出题，女生回答
女生出题，男生回答
1.两个有理数相加，首先判断加法类型，再确定和的符号，最后确定和的绝对值
2. 有理数加法法则及其应用。
3. 注意异号的情况。
布置作业
习题2.4 知识技能 1、2、3.
数学理解 1、2.第二章 有理数及其运算
1．数怎么不够用了
山西省太原市小井峪二中 丁艳萍
一 学生起点分析：
学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过整数、分数、小数和百分数及其有关运算，数感已经有了初步的发展，获得了用数学知识解决现实生活中的简单问题的能力.
学生的活动经验基础：在小学学习数的过程中，学生已经经历了从实际问题中抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题的过程，获得了一些数学活动经验，同时在以前的学习中，他们也具备了主动与他人合作学习、积极与他人交流的经验.
二 学习任务分析：
本章内容是在学生已经掌握了正整数、正分数和零的认知结构基础上，通过解决实际问题，发现数不够用，由第一节《数怎么不够用了》引出负数，进而将数的范围扩大到了有理数.在此基础上学习数轴和绝对值，最后学习有理数的运算.本章的重点内容是有理数的运算，而第一节《数怎么不够用了》是本章的出发点、是基础，它对于后面知识的学习起着决定性的作用.它提出了一个具体的学习任务：会判断一个数是正数还是负数，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量，同时也力图使学生在学习的过程中具备自主探索、交流合作的能力.综上所述，本节课的教学目标是：
（1）借助生活中的实例，理解有理数的含义，体会负数引入的必要性和有理书应用的广泛性.
（2）会判断一个数是正数还是负数，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量.
（3）培养学生对问题分析抽象概括能力，提高学生语言表达能力，培养学生的“数感”，渗透分类讨论思想和集合思想
（4）通过有趣的富有挑战性的生活中的实际问题，激发学生学习的兴趣和探索知识的欲望，培养学生学习的自信心和探索精神.通过小组活动培养学生合作精神及团队精神
三 教学过程设计
本节课设计了七个教学环节：第一环节：温故知新，引入新课，第二环节：小组合作，探索新知，第三环节：再次合作，得出新知，第四环节：巩固练习，能力提高，第五环节：目标检测，组内评价，第六环节：回顾概括，加深理解，第七环节：课后思考，布置作业。
第一环节：温故知新，引入新课
活动内容：
本节课先复习小学学习过的数，然后根据同学们都比较熟悉的温度有零上温度和零下温度，来创设情境提出问题：数不够用了！
学过的数:
SHAPE \* MERGEFORMAT SHAPE \* MERGEFORMAT
用小学学过的数能表示下列数吗
活动目的：
利用多媒体课件展示同学们以前学习过的数，这样设计一方面使学生迅速进入到上课的状态，另一方面温习了本节课所需的知识，做好了精神准备和知识准备.
活动的实际效果：本环节的利用问题情境的设置，紧紧扣住了学生的心弦，学生带着需要解决的问题来进行学习，极大的调动了学生学习的自觉性和积极性，有效的提高知识的可接受程度.
第二环节：小组合作，探索新知
活动内容：
根据课本第37页计算某班四个代表队举行知识竞赛得分情况，创设一个便于学生动手、动脑、主动探索的求知情境，然后进行小组合作讨论.得出新知后，利用新的知识完成表格。
现在我们用带有“+”号和“-”号的数表示各队每道题的得分情况，试完成下表
第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 合计
第一队
第二队
第三队
第四队
活动目的：
让学生之间互相交流，大胆发挥自己的想象力，找出问题的答案.
活动的实际效果：在学生的交流过程中，老师进行监控指导，确保每个小组讨论的质量并沿着正确的思考方向发展.每个小组的同学都能积极说出自己的想法，组内语言表达好的同学给语言表达稍差的同学作了良好的示范，这样起到了组内帮助的作用，各个小组的学生发表了他们的不同表达方法后，大家一致总结出：用带“-”号的数表示比0分低的得分，用带“+”号的数表示比0分高的得分是最方便简洁的方法.在此基础上给同学们讲授了“-10”和“+10”的读法.学生学习了“+”、“-”表示方法后，完成表格，虽然这里包含了有理数的运算，但学生根据生活经验可以完成，此处也为了以后的运算作了铺垫.
附表格：
现在我们用带有“+”号和“-”号的数表示各队每道题的得分情况，试完成下表
第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 合计
第一队 +10 -10 +10 +10 -10 +10
第二队 -10 +10 0 +10 +10 +20
第三队 +10 +10 -10 -10 0 0
第四队 +10 -10 +10 -10 -10 -10
第三环节：再次合作，得出新知
活动内容：
教师组织学生进行第二次分组讨论交流，找出生活中见过的带“-”号的数.通过对生活实际中的一些量的表示，体会正负数是两个具有相反意义的量；
活动目的：
为了进一步加深理解，教师组织学生进行第二次分组讨论交流，本教学环节的设计，目的在于鼓励学生自己寻找生活中的例子，并在寻求实例的过程中体会负数的引入是实际生活的需要，让学生感到数学与生活的紧密联系，感受数学就在身边，感受到数学应用的广泛性和学习数学的必要性.同时培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，通过小组交流讨论培养学生的合作精神.
活动的实际效果：
学生从身边的生活中找带有“-”号的数，他们很感兴趣，积极发言，当他们举出一些例子以后就会发现：零上为正的话，零下就为负；盈利为正，亏损就为负；海平面以上为正，海平面以下就为负，从而意识到“正”“负”是表示相反意义的量，这样学生认识到可以用正负数表示生活中具有相反意义的量，把知识逐步溶于学生的认知结构.在学生实际运用探索的基础上，这时再向学生讲解正负数的概念，并且让学生思考0应该归于哪一类，学生随着老师的引导得出0既不是正数，也不是负数，使学生对负数的认知由感性认识上升到了理性认识.
第四环节：巩固练习，能力提高
活动内容：
教师和学生一起完成例1后，学生独立完成随堂练习第一题，通过竞赛的形式，看谁做的又快又好.接下来，提出问题：你能将所学过的数分类吗？学生合作交流，最后师生一起总结得出有理数的分类。
例１
(1)在知识竞赛中,如果+10分表示加10分,那么扣20分怎样表示
(2)某人转动转盘,如果用+5表示沿逆时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示
(3)在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标准质量0.02克记作+0.02,那么－0.03克表示什么
(4)如果向东运动4m记作+4m，那么向西运动7m应记作什么？若在原地不动又记作什么？
随堂练习：
1、填空题
（1）如果零上5℃记作＋5 ℃，那么零下3 ℃记作______________.
（2）东、西为两个相反方向，如果－4米表示一个物体向西运动4米，那么＋2米表示___________，物体原地不动记作________。
（3）某仓库运进面粉7.5吨，那么运出3.8吨应记作_______________。
2、下表是某日上海发行的部分债券行情表，试说明各债券当天涨跌情况。
名称 99国债（1） 99国债（2） 99国债（3） 01通化债券 01三峡债券
涨跌/元 ＋0.01 －0.05 －1.24 ＋0.15 －2.01
99国债(1)__________;99国债(2)_________;
99国债(3)__________;01通化债券________;
01三峡债券___________.
3、某厂计划每天生产零件800个，第一天生产零件850个，第二天生产零件800个，第三天生产零件750个，你能正、负数表示该厂每天的超产量吗？
活动目的：
通过练习使学生加深理解正负数是表示相反意义的量，并能使学生在原有的认知结构的基础上，将数扩充到了有理数的范围.
活动的实际效果：
本环节教师和学生一起完成例1，对学生理解正负数是表示相反意义的量以及解题格式起到示范的作用.随后展开竞赛，完成随堂练习第一题，前一环节的学习是从实际上升到理论，这一次的练习是由理论到实际应用，后者比前者在理解上来的更为深刻些.在将所学的数分类上，学生有很多不同的分法，意见分歧比较大，但只要是合理，教师都给予了肯定，因为学生不可能得出有理数这一概念，这时教师讲解有理数的概念，并进行有理数的分类，让学生领会数学的分类思想，对有理数有了整体的认识.学生独立完成随堂练习后两题，进一步巩固对有理数的掌握.
第五环节：目标检测，组内评价（时间允许的话进行）
活动内容：
必做题:
1、在-2；＋1/2；-3.5；11中,正数是 ；负数是 .
2、+1350米表示高于海平面1350米,低于海平面200米，记作 .
3、如果上升10米记作＋10米，那么下降12米，记作 .
4、如果规定向西走30米记作+30米，那么-40米，表示 .
5.如果零上5记作+5,那么零下3 记作 .
6.某仓库运进面粉7.5吨记作+7.5,那么运出3.8吨,记作 .
7.把下列数分别填在对应的括号内：
13，-0.5，2.7，123，0，2/5 ，-4，7/4 .
（1）分数（ ）；（2）负整数（ ）；
（3）正分数（ ）； （4）有理数（ ）.
选做题：
1、找规律
（1）1，-2，3，-4，5，-6，7，-8 ，………其中第199个数为 ，第2002个数 ，规律是 ；
（2）1，2，-3，4，5，-6，7，8 ，-9 ………其中第345个数为 ，第2002个数 ，规律是 ；
（3）-1，2，-3，4，-5，6，-7，8 ，-9…… 其中第279个数为 ，第320个数的符号为 ，规律是 .
2.去超市买食品时经常看到包装袋上写着净重150g±5g.这里表示什么意思？
3.小明的爸爸开的小店昨天获利120元，他在每日收支账本上记下“120元”.今天小店亏了20元，他应记作＿＿.
A：20元 B：-20元 C：-20 D：100元
进一步来看，一周来他的账本上的数据为
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
120元 -20元 80元 0元 -10元 150元 100元
如此看来他这一周是赚了还是赔了？有多少？
活动目的：
检验学生对本节课的知识掌握情况
活动的实际效果：
教师预先设计好一组测试题，其中有必做题和选做题，检验学生本节课认知程度，便于有针对性的质疑和讲解. 同时也能体现出 数学课程标准 中的不同的人在数学上得到不同的发展的理念.学生交流答案、讲解做法，然后组内同学进行评价、纠错，同学间交流互助的做法可以激发学生学习的积极性.
第六环节：回顾概括，加深理解
活动内容：
小组交流讨论回顾本节课的学习过程，交流结束后由学生对本节课的内容进行总结.
1、正数与负数都来自于实际生活；用正、负数可以表示实际问题中具有相反意义的量，例如…
2、小学里学过的数除0外都是正数；正数前面添上“－”号的数是负数；0既不是正数，也不是负数，它表示正、负数的界限。
3、有理数的分类方法不是唯一的，可以按整数和分数分成两大类，也可以按正有理数、零、负有理数分成三大类。
4、我学得怎样？
活动目的：
通过回顾学习过程加深学生的情感体验，感受同学之间合作的快乐，学有所得的愉悦，在回顾的过程中再次熟悉知识的探索思路和方法，形成认识事物的正确观点和思想.
活动的实际效果：
每位同学在组内都能积极发言，认真回顾本节课所学知识，学生独立总结回答，既提高了学生的归纳总结能力又提高了学生的语言表达能力.
第七环节：课后思考，布置作业
1、下列各数中，哪些是正整数？哪些是负整数？哪些是正分数？哪些是负分数？哪些是正数？哪些是负数？
7，-9.25，-9/10，-301，4/27，31.25，7/15，-3.5
2、请举出3对具有相反意义的量，并分别用正、负数表示.
3、在4个不同时刻，对同一水池中的水位进行测量，记录如下：上升3厘米，下降6厘米，下降1厘米，不升不降，如果上升3厘米记为+3厘米，那么其余3个记录怎样表示？
4、（1）如果节约20千瓦·时电记作+20千瓦·时，那么浪费10千瓦·时电记作什么？
（2）如果-20.50元表示亏本20.50元,那么+100.57元表示什么
（3）如果+20％表示增加20％，那么-6％表示什么？
5、调查家中八月份收入和支出情况，并且正确表示出来.
6、某日傍晚，黄山的气温由中午的零上2℃下降了7℃，这天傍晚黄山的气温是多少？
四 教学反思
在认真学习《数学课程标准》的基础上，本节课通过学生身边熟悉的事物，让学生感受到负数的引入确实是实际生活的需要，数学与我们的生活密不可分；经历讨论、探索、交流、合作等过程获得新知，并能用所学的新知识来解决实际问题.这样教学更能激发学生学习数学的兴趣，发展学生的能力，促进学生的发展，使每个学生在数学上都能得到不同的发展.
从正数到负数的学习，是一个巨大的飞跃.负数没有正数那么有直观的实际意义，所以学生在刚开始接触这部分内容时或多或少会有点不习惯.从整数到有理数，是中学阶段数系的第一次扩充，深刻理解这部分内容对于今后学习数系的另外两次扩充相当重要.
这节课是在小学里学过的数的基础上，从表示具有相反意义的量引进负数的．从内容上讲，负数比非负数要抽象、难理解．因此学生通过这节课只能对负数概念有初步的理解，使学生掌握正负数的记法和它的描述性定义，要求不能过高．对有理数的深入理解将在以后的学习中逐步加强．
在教学方法和教学语言的选择上，尽可能注意中小学的衔接，既不违反科学性，又符合可接受性原则，教师在课堂上要起好主导作用，并让学生有充分的活动机会，使得课堂气氛有新鲜感．
零下5 C
零上5 C
古代猎人打了一只老鹰，用数如何表示一只老鹰
——有了整数
货币购物，用数如何表示10元5角3分——有了小数
二人分一只西瓜，用数如何表示半只西瓜——有了分数
瓦罐没有东西了 ——有了0
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1第二章 有理数及其运算
5．有理数的减法
太原市师院附中 王之静
太原市第二外国语学校 寇元朝
一、学生起点分析：
有理数的减法运算是一种基本的有理数运算，对今后正确熟练地进行有理数的混合运算，并对解决实际问题都有十分重要的作用。学生对减法运算并不陌生，但在小学阶段多是一种技能性的强化训练，学生对此缺乏理性的认识，很多时候减法仅作为加法的逆运算而存在．因此在教学中一方面要利用这些既有的知识储备作为知识生长的“最近发展区”来促进新课的学习，另一方面要通过具体情境中减法运算的学习，让学生体会减法的意义．
学生的知识技能基础：本节课是在学习了正负数、相反数、有理数的加法运算之后学习的新内容。
学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些数学活动，解决了一些简单的实际问题，感受到了有理数运算的必要性与作用，具有了一定合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、学习任务分析
“数的运算”是“数与代数”学习领域的重要内容，减法是其中的一种基本运算．本课的学习远接小学阶段关于整数、分数（包括小数）的减法运算，近承第四节有理数的加法运算．通过对有理数的减法运算的学习，学生将对减法运算有进一步的认识和理解，为后继诸如实数、复数的减法运算的学习奠定了坚实的基础。
鉴于以上对教学内容在教材体系中的位置及地位的认识和理解，确定本节课的教学目标如下：
1、知识目标：
经历探索有理数的减法法则的过程，理解有理数的减法法则，并能熟练运用法则进行有理数的减法运算．
2、能力目标：
经历由特例归纳出一般规律的过程，培养学生的抽象概括能力及表达能力；通过减法到加法的转化，让学生初步体会转化、化归的数学思想．
3、情感目标：
在归纳有理数减法法则的过程中，通过讨论、交流等方式进行同伴间的合作学习．
为了实现以上教学目标，确定本节课的教学重点是：有理数的减法法则的理解和运用．教学难点是：在实际情境中体会减法运算的意义并利用有理数的减法法则解决实际问题．
三、教学过程设计：
根据本节教材内容和学生的实际水平，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用探究发现法、多媒体辅助教学方法等。教学中教师精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，教师并适时运用电教多媒体动画演示，激发学生探索知识的欲望来达到对知识的发现，并自我探索找出规律，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。
本节课设计了五个教学环节；（一） 引入课题：(二)新课讲解：(三） 巩固练习: （四） 课堂小结：(五)布置作业
第一环节 引入课题：
活动内容 多媒体呈现教科书61页图片，提出问题：乌鲁木齐的最高温度为4℃，最低温度为-3℃，这天乌鲁木齐的温差为多少？你是怎么算的？
活动目的：根据学过的知识，引导学生列出减法算式后提出问题:怎样进行这里的减法运算呢？有理数的减法运算法则是什么呢？由问题的给出，激发学生探求解决问题方法的兴趣，从而引出本节课的课题。
教学要求与效果：由身边的数学问题引入，感受有理数减法运算的现实意义。
第二环节(二)新课讲解：
活动内容：通过对温度计的观察，计算温差，感知有理数减法法则。
问题1：你能从温度计上看出4℃比－3℃高多少摄氏度吗？
先请同桌两位同学相互讨论交流，然后请2~3个学生发言．
问题2：如何计算4－（－3）呢？
先引导学生回忆：被减数、减数、差之间的关系，被减数－减数=差，再利用减法是加法的逆运算，引导学生得出：差＋减数=被减数·
如：计算4－3就是求一个数“x”，使它加上3等于4，同样的，要计算4－（－3）就是求一个数“x”，使x与－3相加等于4.、
即X+（－3） =4，因为7+（－3） =4，所以4－（－3） =7
减法 加法
（+4）-（-3）=+7 (+4)+(+3)=+7
让学生比较上面这两个算式并讨论后得出：
（+4）-（-3）=(+4)+(+3)
再给出以下算式：
减法 加法
(+5)-（+2）=+3 （+5）+（-2）=+3
继续让学生比较上面这两个算式并讨论后得出：
(+5)-（+2）=（+5）+（-2）
问题3：请同学们想一想，4十？=7
请学生回答，教师板书：4＋（＋3) = 7，用彩色粉笔在4－（－3）与4十（＋3)处画出着重号．引导学生观察4＋（＋3)=7与4－（－3)=7，从而提出猜想“减去一个数与加上这个数的相反数是相等的”：
4-（－3）=4＋（＋3）．
这时教师问：你发现这个等式有什么特点？
学生回答后，示意再换几个数试一试，并请学生分组合作计算、交流：
（1）把4换成0，－1，－5，得0－（－3），（－5）－（－3），（－5）一（－3），这些数减（－3）的结果与它们加（＋3）的结果相同吗？
（2）计算9－8，9＋（一8），15一7，15＋（一7），你发现了什么？
请小组代表全班汇报，教师在此基础上归纳：
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
问题4：你能够用字母把法则表示出来吗？
a－b=a＋（－b） (说明：简明的表示方法，体现字母表示数的优越性实际运算时会更加方便）
强调运用法则时：被减数不变，减号变加号，减数变成其相反数
减数变号（减法============加法）
活动目的：《标准》中明确指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者．基于以上理念，结合本节课内容及学生情况，教学设计中采用“引导——发现法”组织教学．其基本程序设计为：创设情境——提出猜想——探索验证——总结归纳——反馈运用．
上述教学程序的实施很大程度上有赖于学生的学习，因此对学生学习方式的指导是十分重要的．本节课应鼓励和引导学生采用自主探索与合作交流相结合的方式进行学习，让学生亲历从列举特例到归纳（不完全归纳）出一般的减法法则的全过程，体验知识产生和发展的全过程．
教学要求与效果：通过学生的合作探讨，培养学生与他人合作交流的习惯与意识，改变他们的学习方式，争取让他们的学习方式，争取让每个学生都在同伴的交流中获益。此处也是让学生验证前面所提的猜想的正确性，用字母把减法法则表示出来，有利于学生的理解和记忆。
第三环节 巩固练习
活动内容： 让学生完成课本P63的练习1，巩固有理数减法法则的运用，强化学生对这节课的掌握。例1，例2口答，例3题请2个学生上黑板板演。对回答好的同学给予表扬肯定，如果有错误，请其他同学纠正。
例1．计算 :(1) (-3)-（-5）; （2） 0 - 7
例2．计算（1） 7.2 - (-4.8) ； (2) (-3 －2 ) - 5
例3 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约为是8848米，吐鲁番盆地的海拔高度大约是－155米，两处高度相差多少米？
活动目的：通过例题教学使学生巩固方法，初步具备解决问题的能力。
教学要求与效果：讲解时注意让学生复述有理数法减法则，加深学生对法则的认识，并注意归纳有理数减法的规律，而不机械地将减法转化成加法，为今后进一步学习减法运算逐步省略化成加法的中间步骤作准备。渗透化归的思想：让学生归纳一些运算的规律、特征，有利于提高学生的运算能力。补充例题的作用在于让学生体会减法在实际生活的应用。让学生感受8848米这个高度，培养学生的数感。
第四环节：课堂小结（师生共同完成）
1.有理数的减法运算法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数
a-b=a+(-b)
2.转化的思想方法:
减法运算转化成加法进行计算
第五环节：布置课后作业：
课本习题2.6知识技能的2、3、4和问题解决1，
教学目的：通过作业反馈对学生所学知识掌握的效果，以利课后解决学生尚有疑难的地方。
四、教学设计与反思
1本节在引入有理数减法时花了较多的时间，目的是让学生有充分的思考空间与时间进行探索，法则的得出，是在经历从实际例子（温度计上的温差）到抽象的过程中形成种，减法法则的归纳得出是本节课的难点，在这个过程中，设计了师生的交流对话，教师适时、适度的引导，也体现教师是学生学习的引导者、伙伴的新型师生关系．
2，在教学设计中，除了考虑学生探索新知的需要，还考虑学生对法则的理解和掌握是建立在一定量的练习基础之上的，因此，在例题中增加了一道实际问题，让学生在解决实际问题过程中培养运算能力．另外教师引导（提倡）学生进行解题后的反思，意在逐步培养学生思维的全面性、系统性．在反思的基础上又让学生（或教师启发引导）去寻找一些（如减正数即加负数；减负数即加正数）规律，目的是让学生顺利地掌握法则，并达到熟练运用的程度。与其它科学家相比较，数学家最习惯于、也最善于使用化归方法。从字面上看，化归就是转化和归结的意思。例如，引入“相反数”这个概念之后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念之后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了。
在正负数的四则运算学习中，你不是已经经历了这个过程吗？
曹冲称象是我国历史上著名的故事。大家都说曹冲聪明，他到底聪明在何处呢？
当时，大家亲眼看到，曹冲称的是石块而不是大象，但却没有一个人怀疑他曹冲没有称大象，并且人人确信，石块的质量就是大象的质量。曹冲的聪明在于，他用化归思想将问题转变了。
有时将问题的结论稍加转变，如曹冲称象的故事，结果是要称象的体重，把它转变为称石块的质量；有时也将整个问题加以转变。
牛顿说，“在数学中，例子比法则更重要”，就让我们用例子来进一步说明“化归”的运用吧！
例 如图是一个长16米，宽8米的长方形园地。其中充满1米宽的小路，如果你沿着小路的中心，从内部出发，走完这条小路，要走多远？
分析 这块园地的面积很容易计算，而走完这条小路的长度看来不容易计算。因此，如果期望能在“长度”和“面积”之间寻求某种关系，计算长度的问题就可以化归为计算面积的问题了。
转变——化归的实质。
如何实现这种期望呢？联想很重要——
你看过排球赛吗？当场外服务员用很宽的拖把为运动员清除场上的汗水时，被清除的场地面积很容易计算。设想，拖把宽1米，你用这种拖把去清除园地面时，你每走1米，被清除的地面恰为1平方米，而园地的面积等于128平方米。
这时，思维被“接通”了，像电似的，一瞬间被“接通”了——你可以理直气壮地说，走完这条小路要走128米。什么是警戒水位？
什么是警戒水位？警戒水位都有什么标准呢？ 警戒水位是指江河洪水普遍漫滩或水位上涨造成重要堤防很有可能出现险情，到了这个水位就要加强警戒。 对于没有堤防的河道，则根据历史洪水漫滩的程度确定其警戒水位。 同样是“警戒水位”一词，在南方和北方的运用中有所不同。北方一些河流的警戒水位是指河水平槽即与堤外地面相平；但是在多雨的南方，河流的水位常年高于平槽，比如长江的一些河段都是地上河，因此它的警戒水位要高一些。
- 1 -提高训练
1.计算: 的结果为( )
A. 5 B. C.-5 D.-
2.若三个不等的有理数的代数和为0,则下面结论正确的是( )
A.3个加数全为0 B.最少有2个加数是负数
C.至少有1个加数是负数 D.最少有2个加数是正数
3.如果一个数与另一个数的和是-50,其中一个数比6的相反数小5,则另一个数是___________.
4.若│a│=5,│b│=2,且a,b同号,则│a-b│=_________.
5.存折中有3000元,取出1200元后,又存入800元,则存折中还有________元.
6.当x=1, y=-2 ,z=-3时,分别求出下列代数式的值:
(1)x-(-y) - z (2)x+(-y)+(- z)
7.若用A、B、C分别表示有理数a、b、c,0为原点如图所示.已知a0.
化简c+│a+b│+│c-b│-│c-a│.
答案:
1.C 2.C 3.-39 4.3 5.2600
6.(1) ;(2)7
7. ∵c<0,a+b<0,c-b<0,c-a>0,
∴c+│a+b│+│c-b│-│c-a│=c-a-b+b-c-c+a=-c(共10张PPT)
第二章 有理数及其运算
太原五中 路丘平
计算器电源开关
打开计算器
将电源开关“POWER”拨至“ON”；
显示屏出现“ON”。
关闭计算器
将电源开关“POWER”拨至“OFF”；
显示屏上所有内容消失。
（1）实践发现常用键的功能：ON SHIFT AC DEL OFF = + （-） （ ） x2 xy
（2）尝试用计算器计算下列各题，总结按键顺序规律。
⑴23＋3.82; ⑵41.9×（－0.6）;
⑶23×5/6; ⑷1.2 ; ⑸12 .
2 4
1.用计算器求下列各式的值
⑴（-345）＋421；
⑵12.236÷（－2.3）；
⑶135 ；　　　
⑷－1553 ；
⑸（３.2－4.5）×3 2－2/5;
⑹1/2×（3.87－2.21）×1.5 2 ＋1.3 5 .
2.按照下面的步骤做一做:
任选1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个数字，如5，
将这个数字乘9 如5*9=45
将上面的结果乘12345679
如45*12345679
多选几个数试一试,你发现了什么规律
如果输入的数字是5,则得到结果555 555 555
如果输入的数字是2,则得到结果222 222 222
如果输入的数字是7,则得到结果777 777 777
你能解释为什么吗
事实上,因为12345679×9=111111111,
所以输入5,就得到结果555 555 555
本节课同学们学习了什么内容？
有什么收获？
利用计算器进行运算
利用计算器探索有趣的数字规律
教科书习题2.16
知识技能1，
问题解决1、2、3.
作业第二章 有理数及其运算
3．绝对值
山西省太原市西铭中学 路秀俊
一 、学生起点分析：
学生的知识技能基础：学生已经认识数轴，并且知道了相反数的概念，能够用数轴上的点来表示有理数，也已经知道数轴上的一个点与原点的距离，会比较这些距离的大小。并初步体会到了数形结合的思想方法 。
学生活动经验基础：在前面相关知识的学习过程中，学生已经经历了归纳、比较、交流等一些活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数学活动的重要性；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二 、学习任务分析：　　
1．地位和内容
　　绝对值知识是解决有理数比较大小、距离等知识的重要依据，同时它也是我们后面学习有理数运算的基础。
借助数轴引出对绝对值的概念，并通过计算、观察、交流、发现绝对值的性质特征，利用绝对值来比较两个负数的大小。让学生直观理解绝对值的含义，不要在绝对值符号内部出现多重符号和字母，多鼓励学生通过观察、归纳、验证
2．教学重点和难点
　　理解绝对值的概念；求一个数的绝对值；比较两个负数的大小。
3. 教学目标
知识与技能目标：
（1）、借助数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，会利用绝对值比较两个负数的大小。
（2）、通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。
过程与方法目标：
（1）、通过运用“| |”来表示一个数的绝对值，培养学生的数感和符号感，达到发展学生抽象思维的目的；
（2）、通过探索求一个数绝对值的方法和两个负数比较大小方法的过程，让学生学会通过观察，发现规律、总结方法，发展学生的实践能力，培养创新意识；
　 （3）、通过对“议一议”的思考和讨论，培养学生有条理地用语言表达解决问题的方法；通过用绝对值或数轴对两个负数大小的比较，让学生学会尝试评价两种不同方法之间的差异。
情感态度与价值观：
　　借助数轴解决数学问题，有意识地形成“脑中有图，心中有数”的数形结合思想。通过“想一想”“议一议”“做一做”问题的思考及回答，培养学生积极参与数学活动，并在数学活动中体验成功，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，发展学生清晰地阐述自己观点的能力以及培养学生合作探索、合作交流、合作学习的新型学习方式。
三 、教学过程设计：
本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，导入新课；第二环节：合作交流，解读探究；第三环节：应用迁移，巩固提高；第四环节：总结反思，拓展升华；第五环节：布置作业。
第一环节 创设情境，导入新课
活动内容：让学生观察图画，并回答问题，“大象和两只小狗分别距离原点多远？”利用图画将学生引入一定的问题情境，学生积极思考问题，解决问题，进入主题的重要环节。
活动目的：利用动画展示，让学生在有趣的问题情境中获取对绝对值概念的感性认识.并激发学生学习的积极性与主动性。
活动的实际效果：小动物的形象符合学生心理，学生兴趣很高，踊跃发言，全体学生都能顺利的解决该问题。
第二环节 合作交流，解读探究
活动内容：
1． 引入绝对值概念
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。
　　2．给出几对相反数，让学生求出它们的绝对值后，引导学生思考：互为相反数的两个数的绝对值有什么关系
　　(给学生充分的时间思考、探究，老师个别指导)
　　例1　求下列各数的绝对值：　　
　　　-21， ， 0， -7.8。
　　(学生充分思考后，让学生回答，老师板书)
3．每两个同学相互给对方任意写出三个正数、三个负数和零，然后要求对方求出它们的绝对值。
　　(给学生充分时间，让学生相互出题、答题)
　　4．通过上面例子，引导学生归纳总结出一个数的绝对值与这个数的关系。
　　(老师可在学生充分发表自己的观点后，再与学生一起归纳总结出：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.)
　　5．“做一做”：
　　(1)在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小：
　　　　　　　-1.5，-3，-1，-5；
　　(2)求出(1)中各数的绝对值，并比较它们的大小；
　　(3)你发现了什么
　　(老师可引导学生多举一些例子，让学生合作讨论完成)
活动目的：学生根据情境感知，初步认知绝对值，并通过对其概念的理解求解一个数的绝对值。通过学生举例思考，对互为相反数的两个数的绝对值进行观察对比，从而得到它们的关系。学生从“特殊——一般”分类归纳绝对值的代数意义，并通过归纳，总结出绝对值的内在涵义，体现学生的主体性。探索用绝对值比较两负数的方法，体验概念的形成过程。
实际效果：同桌之间举例，效果良好，体现了“自主——协作”学习。积极调动学生的思维，使学生在协商、讨论中将问题逐渐明朗化、具体化，在共享集体思维成果的基础上达到对当前所学内容比较全面、正确的理解。
第三环节：应用迁移，巩固提高
活动内容：　
例2　比较下列每组数的大小：
　　　　(1)-1和-5；(2) 和-2.7。
(给学生充分的时间思考、探究不同解法，并评价不同方法之间的差异。)
随堂练习：
1. 一个数的绝对值是它本身,那么这个数一定是 。
2.绝对值小于3的整数有 个,分别是 。
3.如果一个数的绝对值等于 4，那么这个数等于 。
4.用>、<、=号填空
│-5│ 0 , │+3│ 0,
│+8│ │-8│ , │-5│ │-8│.
5.在数轴上表示下列各数，并求它们的绝对值：
，6 ，-3 ， ；
6.比较下列各组数的大小：
　　　　 (1) (2)
　　　　
(3) (4)
活动目的：对本节知识进行巩固训练，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力。通
过用绝对值或数轴对两个负数大小的比较，让学生学会尝试评价两种不同方法之间的差异。
实际效果：通过以上题组训练，学生对本节知识有了更深一步的理解，并进一步明确了绝对值的内涵与意义，解决问题的能力得到了大大提高。
第四环节：总结反思，拓展升华
活动内容：总结：1.本节学习的数学知识；2.本节学习的数学方法。
(老师可先鼓励学生描述出自己的认识与收获，然后再作进一步归纳总结。)
反思：两个负数比较大小，方法有几种？请举例说明。
拓展：1.字母 a 表示一个数，-a 表示什么？-a一定是负数吗？
2.已知： ，求2x+3y的值。
活动目的：通过对绝对值定义，代数意义及数学思想方法的归纳总结，充分发挥学生的自主归纳能力，使学生能够系统的、完全的理解知识点。并明确在数学思想和方法的指导下，运用数学方法解决数学问题的重要性。在反思与拓展中使学生的认识得到经一步升华。?
实际效果：学生能够互相点评，共同归纳，并做进一步反思与拓展，这样既发展了学生自主学习能力，又强化了协作精神，同时使知识得到了进一步完善与升华。
第五环节：布置作业
必做题：
习题2.3，知识技能第２，３，４题．
选做题：
若 则a 0;
若 则a 0.
四、教学反思：
本节课设计了一个三只动物离原点距离的问题情境，使本节课一开始就充满趣味，让学生产生强烈的好奇心，进而积极主动地投入到学习之中，然后安排同学之间互相合作交流，给同学们创造了很好的学习氛围，激发了同学们参与学习的积极性，使原本难以理解的绝对值概念变得简单；另外，在整节课中我还给学生提供了很多探索问题的时间和空间，并让学生自己归纳和总结获得新知识，锻炼了学生有条理地表达自己的思想以及在与他人交流中学会表达自己思想的能力。
一个数的绝对值实质上是数轴上该数所对应的点到原点的距离的数值，而这种几何解释反映了概念的本质，学生在对概念理解的基础上，最后再概括上升到形式定义上来，这样比较符合从感性认识上升到理性认识的规律，同时使得绝对值概念的非负性具有较扎实的基础。在传授知识的同时，一定要重视学科基本思想方法的教学，如果把数学思想和方法学好了，在数学思想和方法的指导下运用数学方法驾驭数学知识，就能逐步形成和发展学生的数学能力。?
在小组讨论之前，教师应该留给学生充分的独立思考的时间，并对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
两只小狗分别
距原点多远
大象距原点多远
5
-3
-2
-1
4
3
2
1
0含字母的绝对值的讨论
绝对值可以从几何意义和代数意义两个方面去理解。几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离；代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。用式子可以表示为：
无论是绝对值的几何意义还是代数意义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性，也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任何有理数，都有，不可能是负数。
因此我们遇到带字母的绝对值问题时，要先判断符号，绝对值内的字母是正数、0还是负数。当这个字母的正、负不能确定时，要分类讨论。例如要比较a和2a的大小，由于a的正、负不能确定，故应该分a>0、a=0、a<0这三种情况加以讨论：
（1） 当a>0时，2a>a;
（2） 当a=0时，2a=a;
（3） 当a<0时，2aa (a>0)
0 (a=0)
-a (a<0)美妙的幻方
对幻方的由来有这样的传说，大约公元前2000年前的时候，位于陕西的洛河常常泛滥成灾，威胁着两岸人们的生活与生产。于是，大禹日夜奔忙，三过家门而不入，带领人们开沟挖渠，疏通河道，驯服了河水，感动了上天。事后，一只神龟从河中跃出，驮着一张图献给大禹。图上有九个数字。大禹因此得到上天赐给的九种治理天下的方法。这张图，就是闻名于世的洛书，见图1。洛书中每个小圆圈都代表一个l，所以把它写成现在的形式就是图2，即我们熟悉的三阶幻方。
4 9 2
3 5 7
8 1 6
三阶幻方是怎样构造出来的呢？我国南宋时期数学家杨辉总结出了三阶幻方构造的方法：“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出。”可以用下图解释：
其实幻方并不限于九个数，在杨辉所著的《续古摘奇算法》上卷（1275年）内，就载有16个数、25个数、36个数、49个数以至100个数所成的幻方。
除了我们熟悉的方形幻方外，还有其它类型的幻方。如图4的“龟文聚六图”， 其上有二十四个数，每块龟文六边形上的数字和为75。再如图5的六角幻方，它的十五条直线上的数字和都为19的2倍38。
幻方虽是一种数字游戏，但它蕴涵着丰富的数学知识，可锻炼我们的思维，有它的美妙之处，正因为此幻方深得人们的喜爱。
　　
图2
图1
1
4 2
7 5 3
8 6
9
九子排列
9
4 2
7 5 3
8 6
1
上下对易
9
4 2
3 5 7
8 6
1
左右相更
4 9 2
3 5 7
8 1 6
四维挺出
图3
图4
图5第二章 有理数及其运算
4．有理数的加法（二）
太原市师院附中 王之静
太原市第二外国语学校 寇元朝
一 学生起点分析：
学生在小学学过加法运算，知道加法的交换律和结合律，学生在上一课时已经探索总结出了有理数的加法法则，并进行了一定量的练习，但熟练程度还不够，并且对过去的加法交换律和结合律是否对有理数适用未进行探讨。
二 教学任务分析：
和有理数的加法运算律一样，有理数加法运算律的得出也是要学生自主探索，同时通过具体运算体会运算律对计算的简便之处。本课时教学重点是有理数加法运算律，并能运用加法运算律简化运算；教学难点是灵活运用运算律简化运算。具体教学目标如下：
知识与技能：
1. 进一步熟练掌握有理数加法的法则；
2. 掌握有理数加法的运算律，并能运用加法运算律简化运算。
过程与方法：
启发引导式教学，能够由特殊到一般、由一般到特殊，体会研究数学的一些基本方法。
情感、态度与价值观：
1．培养学生的分类与归纳能力。
2．强化学生的数形结合思想。
3．提高学生的自学以及理解能力，激发学生学习数学的兴趣。
三 教学过程设计：
本节课设计了六个教学环节：第一环节：情境引入，提出问题；第二环节：活动探究，猜想结论；第三环节：验证明确结论；第四环节：运用巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
（一）情境引入，提出问题：
活动内容:
1．叙述有理数的加法法则．
2．小学学过的加法的运算律是不是也可以扩充到有理数范围？
3．计算下列各题，并说明是根据哪一条运算法则？
(1)(-9.18)+6.18； (2)6.18+(-9.18)； (3)(-2.37)+(-4.63)；
4．计算下列各题：
(1)[8+(-5)]+(-4)； (2)8+[(-5)+(-4)]；
(3)[(-7)+(-10)]+(-11)； (4)(-7)+[(-10)+(-11)]；
(5)[(-22)+(-27)]+(+27)； (6)(-22)+[(-27)+(+27)]．
活动目的：复习旧知识，为新的知识内容做准备。
活动的实际效果: 学生知道了小学的加法运算和有理数加法运算的联系与区别：进行有理数加法运算，先要根据具体情况正确地选用法则，确定“和”的符号，这与小学里学过的数的加法是不同的，而计算“和”的绝对值，用的是小学里学过的加法或减法运算；同时巩固了有理数的加法运算。
（二）活动探究，猜想结论：
活动内容:通过上面练习，引导学生得出：
交换律——两个有理数相加，交换加数的位置，和不变．
用代数式表示：
a+b=b+a．
运算律式子中的字母a、b表示任意的一个有理数，可以是正数，也可以是负数或者零．在同一个式子中，同一个字母表示同一个数．
结合律——三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
用代数式表示：
(a+b)+c=a+(b+c)．
这里a、b、c表示任意三个有理数．
活动目的：通过特例归纳有理数的加法交换律、结合律。
活动的实际效果: 让学生自己总结，参与教学活动，从而使学生积极主动地学习，并且营造了良好的学习氛围.
（三）验证明确结论：
活动内容:
例1 计算：16+(-25)+24+(-32)．
引导学生发现，在本例中，把正数与负数分别结合在一起再相加，计算比较简便．
解： 16+(-25)+24+(-32)
=16+24+(-25)+(-32) (加法交换律)
=（16+24）+[(-25)+(-32)] (加法结合律)
=40+(-57) (同号相加法则)
=-17 (异号相加法则)
提出问题引起学生反思：此题你是抓住数的什么特点使计算简化的？依据是什么？
总结常用的三个规律：
1、 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加。
2、有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整。
3、有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加。
活动目的：体会加法运算律对运算的简化作用，并且根据加法交换律和结合律可以推出：三个以上的有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加．
活动的实际效果: 本例先由学生在笔记本上解答，然后教师根据学生解答情况指定几名学生板演，并引导学生发现，简化加法运算一般是三种方法：消去互为相反数的两数(其和为0)、同号结合或凑整数．
（四）运用巩固：
活动内容:
计算：(要求注理由)
(1)23+(-17)+6+(-22)； (2)(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)；
(3)(-7)+(-6.5)+(-3)+6.5．
活动目的：通过习题，加深学生对有理数加法运算律的理解。
活动的实际效果: 教师指定几名学生板演，并引导学生发现解题过程中出现的问题，及时解决。
（五）课堂小结：
活动内容: 请同学们谈一谈这节课的体会和收获。
1、通过具体有理数的计算，把加法运算律从非负数范围扩大到有理数的范围。
2、掌握加法运算律的法则及公式，并适当的运用运算律进行简化计算。
3、有理数加法解决实际问题，体会求简意识。
（六）布置作业：
课本65页：知识技能 1、2、3、4. 问题解决 1.
四、教学设计反思
1. 课堂上应当把更多的时间留给学生
在课堂教学中应当把更多时间交给学生。本节课中有理数运算律的探究，例题的讲解，习题的完成，知识的总结尽可能的全部由学生完成，教师所起的作用是点拨，评价和指导。这样做，可以更好的体现以学生为中心的教学思想，能更好的提高学生的综合能力。
2．不要忽视代数推理对学生的思维训练作用
我们一向会 错误地认为，推理训练是几何教学的目的，代数可以不讲推理．其实，计算本身就是推理，计算法则、运算性质都是进行计算的根据．学生要知道每进行一步运算都要有根有据．这样通过运算就能逐步培养学生的逻辑思维能力．(共18张PPT)
第二章 有理数及其运算
太原五中 路丘平
回忆已学过的有理数的运算有哪些？学过哪些运算律？
⑴1/2－1/2＋4/5;
⑵（－5/6＋3/8）×（－24）;
⑶8÷（－4/9）÷18/5;
⑷－（－2/3）3 .
做一做
⑴18－6÷（－2）×（－1/3）;
⑵3＋22×（－1/5）;
⑶（－3）2［－2/3＋（－5/9）］.
牛刀小试
有理数的混合运算的顺序
　　运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，必须先算括号里面的。
例1　计算：
例2. 计算: 24÷3+22×(-1/4)
1.⑴18－6÷（－2）×（－1/3）;
⑵3＋22×（－1/5）;
⑶（－3）2［－2/3＋（－5/9）］.
随堂练习
2.计算：
⑴8＋（－3）2×（－2）；
⑵100÷（－2）2－（－2）÷（－2/3）.
24点游戏规则
“从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或－24.其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J、Q、K分别代表11、12、13”.
黑桃7
黑桃3
梅花7
梅花3
黑桃7
黑桃3
梅花7
红桃3
黑桃7
黑桃3
红桃7
红桃3
牛刀小试
有理数的混合运算的顺序 　　运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，必须先算括号里面的。
教科书习题2.15
知识技能1，问题解决1第二章 有理数及其运算
10．有理数的乘法（一）
太原五中 路丘平
1、 学生起点分析：
学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过非负有理数的乘方运算，并且知道a×a记作 a ，读作a的平方或a的二次方,前几节课，学生已掌握了有理数的乘法法则，具备了进一步学习有理数的乘法运算的知识技能基础.
学生的活动经验基础：在以往的学习过程中，学生经历了不同类型的数学活动，积累了较为丰富的经验，合作学习的能力和探究学习的意识都有明显的进步，尤其是语言表达能力的提高，为本节课的学习奠定了重要的基础.
2、 学习任务分析：
教科书在学生熟练掌握了有理数的乘法运算的基础上，尤其是在学生具备了一定的学习
能力和探索意义，探究方法的基础上，提出了本节课的具体学习任务，理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方的概念，学会有理数乘方的运算，本节课的教学目标是：
1、 在现实背景中，感受有理数乘方的必要性，理解有理数乘方的意义；
2、 掌握有理数乘法的概念，能进行有理数的乘方运算.
3、 经历有理数乘方的符号法则的探究过程，通过实际计算，发现和记忆底数为10的
幂的特点以及底数为0或1的幂的特点.
3、 教学过程设计
本节课设计了六个环节：第一环节：现实情境，引入新课；第二环节：定义乘方，熟悉
概念；第三环节：例题练习，乘方运算；第四环节：特例归纳，符号法则；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业，
第一环节：现实情境，引入新课
活动内容：观察教科书给出的图片，阅读理解教科书提出的问题，弄清题意，计算每一次分裂后细胞的个数，五小时经过十次分裂后细胞的个数.
活动目的：感受现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用，面对实际问题，主动尝试从数学的角度运用所学知识解决实际问题，并在解决问题的过程中体验到乘法运算的必要性和优越性，同时体会细胞分裂的述度非常快，从而引出本节课的学习课题：有理数的乘方.
活动的注意事项：在活动中需要运用乘法运算计算五小时一个细胞能分裂成多少个细胞，这个过程不要一次完成，而应让学生仔细分析，逐步完成，并依次类推，如果一次分裂成2个，第2次分裂成2×2个，第三次分裂成2×2×2个.因为五小时要分裂十次，所以第十次分裂成2×2×2………×2×2个.得到这个结果时要指出两点：一是让学生感受细胞分裂的速度非常快的事实.二是要指出这种表示方法很复杂，为了简便，可将它写成210，表示10个2相乘，培养学生的符号感，同时指出这就是乘法运算，从而引出本节课的学习内容：有理数的乘方.
第二环节：定义乘方，熟悉概念
活动内容：1.归纳多个相同因数相乘的符号表示法，定义乘方运算的概念。
2．通过练习熟悉乘方运算的有关概念.
填空：
（1）（-2）10的底数是_______，指数是________，读作_________
(2)(-3)12表示______个_______相乘,读作_________,
(3)( 1/3)8的指数是________,底数是________读作_______,
(4)3.65的指数是_________,底数是________,读作_______,xm 表示____个_____相乘,指数是______,底数是_______,读作_________.
活动目的: 培养学生的归纳抽象能力,建立符号感,理解符号所表示的数量关系和变化规律,学习新知识,认识乘方是一种运算,幂是乘方运算的结果.
活动的注意事项: 教科书在给出乘方运算的 概念后,有关练习放在随堂练习的第一题中.为了及时消化新知识,要完成活动中的填空练习,真正弄清楚幂的读法和写法，区分幂的指数和底数.
第三环节：例题练习，乘方运算
活动内容：（1）教科书第84页例1计算：
① 53 ；② （-3）4；③ （-1/2）3.
（2）教科书第84页随堂练习2计算
① （-3）3；② (-1.5)2; ③(-1/7)2.
活动目的：例题讲解是为了熟悉有理数的乘方运算，并规范幂的书写格式：随堂练习是让学生动手动脑熟练有理数乘方的运算技能.
活动的注意事项：例题讲解时要让学生明确有理数的乘方运算是由有理数的乘法来进行的，并指明当底数是负数或分数时，书写时一定要用括号把底数括起来，再把指数写在右上角.如（-3）4 不能写成-34，（-1/2）3不能写成-1/23.要引导学生不断地回顾幂的意义.
第四环节：特例归纳，符号法则
活动内容：（1）教科书第84页例2计算：
1 102，103，104；②（-10）2，（-10）3，（-10）4.
(2)从以上特例的计算结果中，归纳乘方运算的符号法则；
（3）问题：0的任何次幂等于多少？1的任何次幂等于多少？以10为底数的幂有何特点？
活动目的：活动（1）的目的除了继续练习乘方运算的技能外，主要是为活动（2）和活动（3）提供特例以便于归纳；活动（2）活动（3）一方面是为了归纳得到有理数乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.以及0的任何次幂等于0，1的任何次幂等于1，10的n次幂等于1的后面有n个0，另一方面，更重要的是培养学生的观察能力，归纳能力.
活动的注意事项：教师对例2的讲解一方面要引导学生不断地回顾幂的意义.熟练有理数的乘方运算.另一方面要指出题目的特点.鼓励学生尽可能多地从运算结果中观察、发现正数幂的符号特点，负数幂的符号特点，并总结以10不底数的幂的特点，等等.切忌教师自己给出结果并让学生死记硬背的作法.
第五个环节： 课堂小结
活动内容：用提问的方式由学生完成课堂小结，如：“本节课同学们学到了哪些知识？”“乘方运算与四则运算有何联系？”
活动目的：培养学生的交流能力.小结能力，激励学生展示自我，认识自我，建立自信.
活动的注意事项：教师要尊重学生的个体差异.尊重学生在小结过程中所表现出的不同水平，对学习有困难的学生，教师要给予及时的关照和帮助，尽量给他们以发言的机会，鼓励他们主动参与小结，发表看法，要肯定他们的点滴进步，以增强他们的兴趣和信心，而不能每次都由优等生进行课堂小结.
第六环节：布置作业
活动内容：教科书第85页习题2.13，知识技能1、2、数学理解1，问题解决1、2.
活动目的：复习巩固检测本节知识，训练提高运算技能，以及应用数学知识解决实际问题的能力.
活动的注意事项：对知识技能第2题的计算，学生时常会产生如下误区：（1）混淆乘方与乘法的概念，如把73当作7×3来计算；（2）运算中出现符号错误.如（-6）3=216.为此，应要求学生把解答过程写出来，不要直接写出结果.如按乘方的定义，将乘方运算先转为乘法运算再进行计算.并注意乘方运算符号法则的运用对于习题2.13的联系拓广，可让学有余力的学生思考，不要求全体学生完成.
4、 教学反思
从学生的作业情况反馈的信息表明，教学设计中缺乏负数乘方与乘方的相反数的比较，使得学生在阅读上和计算中产生了混淆，造成了错误，因此在今后的教学设计中应作适当调整.如设计一个（-2）4和-24列表辨析，帮助学生区别负数乘方与乘方的相反数这两个概念.
（-2）4 -24
写法 有括号 无括号
读法 负2的4次方 2的4次方的相反数
意义 4个（-2）相乘即（-2）×（-2）×（-2）×（-2） 4个2相乘的积的相反数即-（2×2×2×2）
结果 16 -16
另外，对那些在数学学习上有特殊需求的学生，可在联系拓广中适当补充一两个有思维难度的题目，以满足他们的学习需求，如“试比较有理数a与a2的大小”,像这样的题,一方面是字母表示了数,另一方面需要分类讨论,这对学生而言,无疑是一个挑战,实践证明,这种做法很有意义.
运算的结果叫做幂
指数
底数
n
a运用计算器的利与弊是什么？
在当今这个高度的信息时代，使用计算器好处很多，新课标和新教材提倡使用计算器，如：（1）使用计算器进行计算（初等计算均可完成）；（2）利用计算器进行估算，如：在八年级上册用有理数逼近无理数的思想，就需要借助计算器用有理数近似表示无理数；在九年级下册，研究一元二次方程的近似解都借助计算器更快捷；（3）利用计算器进行探索规律，如在七年级上使用计算器验证、探索“黑洞数”的规律；（4）利用计算器处理较复杂的数据。计算器为数学应用提供了先进的计算工具，更便于处理实际数据，特别是处理随机实验得来的数据，使数学应用在中学有了广阔的空间；如在八年级下册鼓励学生用计算器方便地计算一组数据的标准差与方差，这对分析数据，研究数据的波动大有好处。（5）利用计算器产生随机数进行模拟实验。如在九年级上册“生日相同的概率”一节内容就可以利用计算器产生随机数进行模拟实验,可见计算器可以把静态的变成动态的，把抽象的东西具体化，直观化，使人们的思维得到一定程度的延伸。可见，使用计算器是一种先进的计算工具，即可以节省学生许多时间学习其他更有价值的内容，又可引发学习兴趣。
同时，我们还应当看到使用计算器也带来了一定的负面影响，人们普遍反映新课程下的学生计算能力欠缺，这与过早的使用计算器不无关系，因此，我们建议在初一上学期学习有理数运算时，只教会学生使用计算器进行有理数四则运算，但首先要会手算，七年级教材中的例习题数据绝大多数都比较简单，学生不必使用计算器运算，除非有明确说明的题目才可以使用计算器。使用计算器要有一定的度，教师要帮助学生把好基本的运算关。(共15张PPT)
第二章 有理数及其运算
太原五中 路丘平
什么是有理数的乘方
求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次幂（或a的n次方）.
底数
指数
幂
棋盘上的学问
你认为国王的国库里有这么多米吗？
折纸与楼高
(1)纸的厚度为0.1mm ,对折一次后,厚度为2*0.1mm,对折两次后,厚度为多少毫米
(2)对折20次后,厚度为多少毫米
(3)若每层楼高度为3米,这张纸对折20次后约有多少层楼高
(4)通过活动,你从中得到了什么启示
对折2次厚度为_______mm,
对折3次厚度为_______mm,
对折4次厚度为_______mm,
… … … …
对折20次厚度为_______mm.
对折20次后厚度为0.1×220mm
对折20次后大约有35层楼高
当指数不断增加时,底数大于1 的幂的增长速度相当快
解决问题
棋盘上的米究竟有多少
第2格有_______粒米,
第3格有_______粒米,
第4格有_______粒米,
… … … …
第64格有_______粒米，
共有_______粒米.
假设10000粒米为1斤，100斤为1袋，估计有
——————袋
例题讲解
例1.计算：
①-（-3）2； ②-（-2）3；
③-（-2/3）3； ④-3/42.
随堂练习
计算：
①-（3/2）2； ②-（-3/2）2；
③-53； ④-4/32.
⒈ 填空
（1）310的意义是 个3相乘.
（2） 平方等于它本身的数是 .
立方等于它本身的数是 .
（3） 一个数的15次幂是负数，那么这个数的2003次幂是 .
（4）(－2)6中指数是 ，底数是 .
（5）平方等于1/64的数是 ，立方等于1/64 的数是 .
2. 计算：
⑴ (－－ )3 ； ⑵ －32×23； ⑶ (－3)2×(－2)3
⑷ －2×32； ⑸ (－2×3)2； ⑹ (－2)14×(－－)15；
⑺ －(－2)4; ⑻ (－1)2001； ⑼ －23＋(－3)2；
⑽ (－2)2 · (－3)2.
1
3
1
2
1.乘方的意义
2.当底数大于1时，乘方运算的结果增长得很快
3 .乘方的运算
教科书习题2.14
知识技能1;
问题解决1.
作业魔数153
任写一个数，它是3的倍数。把它的各个数字分别立方，把得到的立方数相加，得到一个新的数，再把新得到的数的每个数字分别立方，把得到的立方数相加，又得到一个新数。一直重复下去，你发现了什么？请借助计算器进行探索。
答案：结果永远是153，有人称之为魔数。第二章 有理数及其运算
6．有理数的加法混合运算（一）
太原市师院附中 王之静
太原市第二外国语学校 寇元朝
一 学生起点分析：
学生的知识技能基础：学生在前面几节课中已经学习过有理数的加法、减法的法则，并利用其解决了一些问题，但前面的运算多为整数运算不含分数或小数的运算，且比较简单多为单纯的加法运算或减法运算，而少有加法减法的混合运算。
学生活动经验基础：在本章前面知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索、发现的数学活动，积累了初步的数学活动经验，具备了一定的探究能力；经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力；同时在本章前面的数学学习中学生已经具备了一定的运算技能，能够解决一些简单的实际问题。这些为本节课的学习作了很好的奠基和知识准备。
二 教学任务分析：
本节课是学生在前两节学习整数加减运算的基础上自然地过渡到含有小数、分数的加减混合运算.通过对小康桥面距水面高度，对一架特技飞机起飞的高度变化这两个实际问题的讨论，引导学生从减法法则与实际问题两个方面回答两种算法的关系．对两种算法比较的同时，学生将体会到加减混合运算可以统一成加法，以及加法运算可以省略括号及前面加号的形式(即“代数和”的问题)，使学生进一步熟悉有理数加减混合运算. 具体教学目标如下：
1．使学生理解有理数的加减法可以互相转化，并了解代数和概念；
2．使学生熟练地进行有理数的加减混合运算；
3．培养学生的运算能力．
三 教学过程设计
本节课设计了六个教学环节： 第一环节：问题引入；第二环节：讲授新课；第三环节：合作学习； 第四环节： 练习提高； 第五环节：课堂小结； 第六环节： 布置作业。
第一环节 问题引入
活动内容:1.复习提问：
（1）叙述有理数加法法则．
（2）叙述有理数减法法则．
（3）叙述加法的运算律．
（4）符号“+”和“-”各表达哪些意义？
（5）化简：+(+3)；+(-3)；-(+3)；-(-3)．
2．提出问题：上节课，我们在有理数减法的运算中重点探讨了整数减法的运算，那么遇到小数或分数时，会不会计算呢
活动目的：复习旧知识的同时，引出新的知识.
活动的实际效果:部分学生出现知识的遗忘，及时的复习、巩固有利于后续知识的学习.
第二环节：讲授新课
活动内容:
看下面问题：(出示下图是一条河流在枯水期的水位图)．
此时小康桥面距水面的高度为多少米
你知道小颖和小明分别是怎么想的吗？他们的结果为什么相同？
活动目的：
通过对这个问题的讨论，学生将回顾有理数减法法则，并用以进行有关小数的运算．
活动的实际效果:
通过对小康桥面距水面高度的求解进而对两种算法的比较，学生将进一步体会“减法可以转化为加法”．教师要引导学生从减法法则与实际问题两个方面回答两种算法的关系．
第三环节：合作学习
活动内容:
议一议：
一架飞机进行特技表演，飞行的高度变化由表格给出。
对于题中的“高度变化”，你是怎么理解的？
你能通过列式计算此时飞机的高度吗？
4.5+(－3.2)+1.1+(－1.4)
=1.3+1.1+(－1.4)
=2.4+(－1.4)
=1(千米)
还可以这样计算：
4.5－3.2+1.1－1.4
=1.3+1.1－1.4
=2.4－1.4
=1(千米)
比较以上两种算法，你发现了什么？
活动目的：通过对身边的数学问题的讨论，学生将回顾有理数的加法法则，加深对法则的认识，并用以进行有关小数的运算．
活动的实际效果:对于这一实际问题，学生特别是男同学很感兴趣，都瞪大眼睛仔细听讲。通过学生的合作探讨，培养学生与他人合作交流的习惯与意识，改变他们的学习方式，争取让每个学生都在同伴的交流中获益。而通过对两种算法的比较，学生将体会加减法混合运算可以统一成加法，以及加法运算可以写成省略括号及前面加号的形式(即“代数和”问题)．对“代数和”的学习，重点是让学生通过具体情境加以体会，无须出现“代数和”的名称
第四环节： 练习提高
活动内容:
例1、计算：
练一练
2．计算：
（1） （2）-2.25+ (3)
活动目的：让学生体会根据有理数的减法法则，把减法都可以转化为加法熟练进行有理数的加减混合运算
活动的实际效果: 例1由教师指定几名学生板演，其余学生在笔记本上解答，教师巡视，发现问题及时解决，在复习有理数的减法法则的同时，训练学生熟练进行有理数的加减混合运算
第五环节：课堂小结
活动内容:师生共同完成。
1．有理数的加减法可以利用有理数减法法则统一成加法．
2．根据有理数的减法法则，把减法都可以转化为加法，在这样的式子里，通常有的加号可以省略，每个数的括号也可以省略．所以，在进行有理数的加减混合运算，一般先要化成省略加号及括号的和的形式．
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，谈谈自己的收获和感想，学会及时的反思和总结.
活动的实际效果: 学生畅所欲言自己的切身感受和实际的收获，在愉快的氛围中结束本节课的学习。
第六环节： 布置作业
课本P68 习题 2.7 知识技能1，
问题解决 1，2.
四 教学反思
有理数的加减混合运算共两个课时．这一课时的重点是继续帮助学生实现减法向加法的转化与加减法互化，了解运算符号和性质符号之间的关系．把任何一个含有有理数加、减混合运算的算式都看成和式，这一点对学生熟练掌握有理数运算非常重要，这是因为有理数加、减混合算式都看成和式，就可灵活运用加法运算律，简化计算．因此在教学中要让学生真正理解加法和减法的关系。
（1）
（1）
（2）利用绝对值的意义解题
绝对值的概念：
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|.
如：|-2|表示-2的点到原点的距离.
那么|x|则是在数轴上表示x的点到原点的距离，那么|x-1|呢？在数轴上表示(x-1)的点到原点的距离，但x-1这个数相当于把x这个数减少了一个，在数轴上相当于左移了一个单位，若把点x不动，相当于把原点右移了一个单位，即|x-1|相当于在数轴上表示x的点到表示1的点的两点间的距离.如图所示：
有了这个知识就可解决像|x-1|=2此类问题.
解：到表示数1的点的距离为2的点.

图上的A、B两点都满足等于
∴x1=3，x2=-1
又如|x+3|=1
∵|x+3|的意义相当于数轴表示x的点到-3的距离（因为|x+3|相当于将x右移3个单位到原点距离或是把原点左移3个单位到x的距离）
∴观察数轴即可得到解答：
可见x1=-4，x2=-2
(共10张PPT)
2.6有理数的加减混合运算（二）
第二章 有理数及其运算
太原市师院附中　王之静
太原市第二外国语学校 寇元朝
说出式子-6+9-8-7+3的两种读法．
游戏规则
(1)每人每次抽取4张卡片．
如果抽到白色卡片，那么加上卡
片上的数字；如果抽到红色卡片，
那么减去卡片上的数字．
(2)比较两人所抽4张卡片
的计算结果，结果大的为胜者．
小彬抽到了下面的4张卡片：
他抽到的卡片的计算结果是多少
小丽抽到了下面的4张卡片：
获胜的是谁？
例1
（1）
（2）
（3）
（4）
随堂练习
1．通过本节课的研究讨论，我们进一步
学习了有理数的加减混合运算，并能根据具
体问题适当运用加法交换律和结合律简化
运算．
2．在运用交换律交换加数的位置时，一
定要把加数前面的符号一起进行交换．
布置作业
习题2.8 知识技能 1、2
问题解决 1
同学们再见！
12金
令令命
◆◆4第二章 有理数及其运算
12．计算器的使用
太原五中 路丘平
1、 学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在小学已经会使用计算器进行复杂的运算，探索简单的数学
规律.如“任意给定四个互不相等的自然数组成最大的数和最小的数用最大的数减去最小的数，对所得结果的四个数重复上述过程，你能发现什么？”都是利用计算器去探索的，在前一段时间，又系统地学习了有理数的概念和运算法则，具备了使用计算器进行有理数混和运算的知识技能基础.
学生的活动经验基础：在有理数运算法则的学习过程中，学生多次经历了探索研究的活动和讨论交流的过程，积累了较为丰富的数学活动经验，具有了探索能力和合作学习的意识，这对本节课的学习是必要的经验基础，另外学生成长在一个科学技术高述发展的时代，对计算器，甚至对计算机都有一定的操作经验，这些都是对本节课学习的有利基础.
2、 学习任务分析：
教科书基于学生已掌握了有理数的运算法则的前提下，提出了本节课的具体学习任务，
会使用计算器进行有理数的混和运算，能适用计算器进行实际问题的复杂运算，本节课的教学目标是：
1、 经历探索计算器使用方法的过程，了解计算器按键功能，会使用计算进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算.掌握按键顺序，
2、 经历运用计算器探索数学规律的活动，培养合情推理能力，能运用计算器进行实际
问题的复杂运算.
3、 在合作交流的学习过程中，培养合作能力和动手操作的实践能力.
3、 教学过程设计
本节课设计了四个环节：第一环节：实践发现，学会操作，掌握运用；第二环节：例题练
习，熟练技能，探索规律；第三环节：课堂小结；第四环节：布置作业；
第一环节：实践发现，学会操作，掌握运用
活动内容：
（1）实践发现常用键的功能：ON SHIFT AC DEL OFF = + （-） （ ） x2 xy.
（2）尝试用计算器计算下列各题，总结按键顺序规律.
⑴23＋3.82; ⑵41.9×（－0.6）; ⑶23×5/6; ⑷1.22; ⑸124.
活动目的：（1）培养学生的动手操作能力，体验科学计算器操作简便，快捷高效的优越性；感受科学技术的重要性，激发学生的好奇心，培养创新意识.
（2）通过对简单运算的尝试操作，归纳和发现科学计算器的按键顺序与手写算式的顺序保持一致，从而培养学生的发现能力和耐心，细心，一丝不苟的学习习惯的养成.
活动的注意事项：因为学生对科学计算器并不陌生，在小学时已有过应用，只是对各种按键的功能不是很了解，所以应该放手让学生亲自动手操作，亲身经历发现按键功能的过程，而不必教师一一告知，教师只教师只需要统一布置尝试发现的按键位置和名称,然后组织指导学生实践探索,并总结记忆按键功能,在组织活动(2)时,要让学生先思考,再说一说每一小题的操作程序,最后再动手操作,从而发现计算时按键顺序的规律,另外对学生手中计算器不一致的情况要有所预见,随时解答学生的疑问,总之通过反复操作试验,是会发现按键功能的.还有就是教师应对学生操作发现的结论及时总结,便于学生记忆,并对使用计算器的常规注意事项要向学生讲清楚,指导学生合理使用计算器,同时对学生的发现及时给予激励性评价.
第二环节：例题练习，熟练技能，探索规律
活动内容：（1）用计算器求下列各式的值，
⑴（-345）＋421； ⑵12.236÷（－2.3）； ⑶1３５；　　　　⑷－１５５３；
⑸（３.2－4.5）×32－2/5 ； ⑹1/2×（3.87－2.21）×1.52＋1.35.
(2)按照下面的步骤做一做:
任选1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个数字，如5，
将这个数字乘9 ， 如5×9=45；
将上面的结果乘12345679， 如45×12345679.
多选几个数试一试,你发现了什么规律 与同伴交流你的理由.
活动目的:熟悉计算器上有关按键的功能,掌握按键的操作顺序,体验计算器强大的计算功能,感受数学程序思想,通过做一做的活动,进一步熟练计算器的操作,经历用计算器探索规律的过程,提高语言表达和说理能力;特别是把现代化信息技术作为学习数学和解决问题的工具,,使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去，从而改变学生的学习方式.
活动的注意事项：在活动（1）的计算中，不能只关注运算结果的对错，而应让学生讲述每一道题的操作过程和按键顺序，培养学生的表达能力和程序思想；在活动（2）的探索中，要先模仿，再自选几个数试一试，从中发现规律，并试着叙述规律，教师应鼓励学生尝试解释这一规律，这种富有挑战性的问题，对发展学生的观察、归纳、猜想、推理、交流等能力大有裨益.
第三环节：课堂小结
活动内容：用提问的方式让学生完成课堂小结：“本节课同学们学习了什么内容？有什么收获？”
活动目的：培养学生有条理地阐述自己观点的表达能力，提高学生的参与意识，
活动的注意事项：对计算器的使用，要防止学生对计算器产生依赖心理，所以教师一方面让学生体会到计算器处理复杂计算要比笔算省事省时，另一方面也应指出不能对任何运算都使用计算器，要培养自己合理选择的能力，掌握估计、心算、笔算、计算器等多种计算方法.
第四环节：布置作业
活动内容：教科书第94页知识技能1，问题解决1、2、3.
活动目的：复习巩固本节知识，训练计算器操作技能，提高解决问题的能力.
活动的注意事项：对问题解决1，可鼓励学生探索三位数的情况是否与四位数类似；对问题解决3，可让学有余力的学生去完成，因为此题需要学生自己根据问题设计一个合理的解决办法，可鼓励学生课后合作完成，讨论交流，从而解决问题.
教学反思：
1、 在教学实践中发现，学生的动手能力很强，操作熟练快捷，获悉按键功能比较顺利，
所以应该放心的让学生去操作发现按键功能，不必教师讲解，而且教师讲授远比不上学生自己实践的效果好，但应注意的是学生发现按键功能后教师要及时总结，条理地展示给学生，便于学生记忆.
2、 学生体验到计算器处理复杂计算的优越性后，必然会产生对计算器的依赖心理，实践证明，在今后的学习过程中，学生离不开计算器的现象普遍存在，影响了对估计、笔算、心算的学习，所以在本节课后，应随时控制计算器的使用，教育学生不能随意使用计算器，而应按学习要求，适当选用各种算法.
3、 对学生使用计算器的型号不必强求统一，只要求学生熟悉自己计算器的使用方法即可
.(共15张PPT)
第二章 有理数及其运算
太原五中 路丘平
某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个。现有1个细胞，经过5小时能分裂成几个？
第1次分裂成2个，
第2次分裂成2×2个，
第3次分裂成2×2×2个,
………
5小时要分裂十次，所以
第10次分裂成2×2×2………×2×2(10个2)个.
2×2×2………×2×2(共10个2)
有简单的表示方法吗
a
n
底数
指数
运算的结果叫做幂
2
读做a 的n次方，看作是a的n次方结果时，也可读做a的n次幂。
填空：
（1）（-2）10的底数是___，指数是 ____，读作_________
(2)(-3) 12表示______个_______相乘,读作_________,
(3)(-1/3) 8的指数是________,底数______ 读作_______,
(4)3.6 5 的指数是_________,底数是________,读作_______,
（5）x m 表示____个_____相乘,指数是______,底数是_______,读作_________.
例1：计算
3
4
5
(- 3)
1
2
(- )3
计算
① （-3）3；② (-1.5)2; ③(-1/7)2
例2：计算
（1）10 ，10 ，10 ；
（2）(-10） ，（-10） ，（-10）
猜一猜:你发现了什么规律
4
2 3 4
2 3 4
有理数乘方运算的符号法则 :
正数的任何次方都是正数,
负数的偶数次的幂是正数,
负数的奇数次的幂是负数.
0的任何次幂等于多少？
1的任何次幂等于多少？
以10为底数的幂有何特点？
0的任何次幂等于0，
1的任何次幂等于1，
10的n次幂等于1的后面有n个0.
本节课同学们学到了哪些知识？
乘方运算与四则运算有何联系？
8
教科书习题 2.13，
知识技能1、2、
数学理解1，
问题解决1、2.(共12张PPT)
2.7 水位的变化
第二章 有理数及其运算
太原市师院附中　王之静
太原市第二外国语学校 寇元朝
上图是流花河的水文资料（单位：米）
下表是小明记录的今年雨季流花河一周内的水位变化情况（上周末的水位达到警戒水位）。
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化/米 +0.2 +0.81 -0.35 +0.03 +0.28 -0.36 -0.01
注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降。
（1）本周哪一天流花河的水位最高？哪一天水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少？
(2)与上周末相比,本周末流花河水位是上升了还是下降了
做一做
请你先估计,再计算.
(3)请完成下面的本周水位记录表:
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位记录/米 33.6
(4)以警戒水位为0点,用折线统计图表示本周的水位情况。
日 一 二 三 四 五 六 日
+1.00+0.80+0.60+0.40+0.20 上周
水位/米
星期
·
·
·
·
·
·
·
·
·
1.光明中学初一(1)班学生的平均身高是160厘米.
(1)下表给出了该班6名同学的身高情况(单位:厘米).
试完成下表:
姓名 小明 小彬 小丽 小亮 小颖 小山
身高 159 154 165
身高与平均身高的差 －1 ＋2 0 ＋3
(2)谁最高 谁最低
(3)最高与最矮的学生身高相差多少
2.小明的父亲上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）
星期 一 二 三 四 五 六
每股张跌 +4 +4.5 —1 -2.5 -6 +2
⑴星期三收盘时，每股是多少元？ ⑵本周内最高价是每股多少元？最低每股多少元？ ⑶已知小明父亲买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易税，如果他在周六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
利用有理数的加减法解决实际中的问题若用正数表示变化的增加，用负数表示变化的减少，则利用加法“原来的＋变化的＝现在的” 可以得到变化后的情况．
通过本节课的学习，我们解决了水位变化这个问题，在解决这个实际问题时，用到了 正负数的表示法．有理数的加法、减法，因此可知，数学与现实生活紧密相联．
习题2.9 知识技能 1
问题解决 1
作业任意两个有理数之间有多少个有理数？
凭直觉，应该有无数个吧。你的直觉很正确，确实任意两个有理数之间有无数个有理数。
对此，我们可以借助数轴来分析。
先来看表示0和1的两点间有多少个有理数点？
先从特殊点开始吧。
0和1之间的中点显然是一个有理点，有没有其他点了呢？
既然0和1之间有中点，同样0、之间有中点以及、1之间有中点，它们也是有理点，
同样点0、之间的中点、与之间的中点，与之间的中点，与1之间的中点，……也都是有理点。
因此，0与1之间有无限多个有理数。
任意两个有理数之间存在无数个有理数，同样方法你能说明了吧。
由此可见，有理数是密密麻麻地分布在整个数轴上（但要注意，并不是数轴上的点都是有理点）。有理数的这种性质，我们称它是稠密的。
想一想，整数集稠密吗？提高训练
1.计算(-2)-(+5)+(-8)-(-5)+2所得的结果正确的是( )
A.-7 B.12 C.-7 D.-12
2.设a是最小的自然数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,则a-b+c的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.下列说法中正确的是( )
A.两个负数相减,等于绝对值相减; B.两个负数的差一定大于零
C.负数减去正数,等于两个负数相加; D.正数减去负数,等于两个正数相减
4.把-0.11+(-5.24)-(+0.15)-(-10)写成省略括号的和的形式为_________.
5.绝对值大于4小于12的所有整数的和是________.
6.计算
-----;
7.已知│x-1│=3,求-3│1+x│-│x│+5的值.
答案:
1.C 2.C 3.C 4.-0.11-5.24-0.15+10 5.0
6.
点拨: -----
=-----
=-(-+-+-+-+-)
=-(-)=
7.∵│x-1│=3,
∴x-1=3或-3即x=4或-2
当x=4时,-3│1+x│-│x│+5=-14
当x=-2时,-3│1+x│-│x│+5=0
- 1 -“数”是初中数学中研究的主要对象之一，新教材对于“数”更关注什么？
新教材对于“数”的内容主要研究“大（小）数的认识”和“数系的拓展”两部分。对于正数的认识，以往只限于小学阶段是不够的。因此本套教材在七上、七下分别安排了对“大数”、“小数”的认识，核心是培养数感。所谓的“数感”是指：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。这突出了运用数来解决问题的意识。
对于数系的扩充，我们首先关注学生的经验型理解，其次是形式化理解，最终我们关注结构化理解。例如：对于负数的意义的理解，教材首先通过大量的现实生活中具有相反意义的量，来理解负数；其次用“—”号表示负数；最终研究有理数与小学算术数之间的关系，对有理数取绝对值，就回到了小学的算术数，发现不同的数域之间的联系与区别。
对于运算，重在突出类比、发现法来建立新的数系的运算。趣味填数
将1-9这9个数字填入9个圆圈中，使每个三角形和直线上的3个数字之和相等。
提示：大胆尝试：冷静思考是解题的法宝。想一想9个数的和是多少，那么三角形的三个顶点上数之和是多少？一条直线上三数之和是多少？不妨将1放到最上面的圆圈内。这条直线可能怎样填……
答案： 1 1
5 6
9 8
2 4 3 4
7 3 7 2
6 8 5 9第二章 有理数及其运算
2．数轴
山西省太原市万柏林区一中 赵洁
一 学生起点分析:
学生的知识技能基础：学生小学里已经学习过在“射线”上用点来表示数和读出或写出“射线”上的点所表示的数，对数与点的这种对应关系有了初步的认识和理解，上一节又学习了有理数的概念，为数轴概念的建立和进一步学习数轴上的点与有理数的对应关系积累的必要的学习经验，具备了“表示”的基本技能和基本方法.
学生活动经验基础:数轴是用“长度”度量各类量的抽象，日常生活中常见的用温度计度量温度，用弹簧称（刻度在直线上）称重量等，都已为学生学习数轴概念打下了基础.
二 学习任务分析：
这一课时学习的数轴概念是中学数学中数形结合的起点，数形结合是帮助学生理解数学、学好数学的重要思想方法.从现在开始，在教学与学习中注重数形结合是数学教学与学习的重要指导思想，本章后面的有理数的有关性质和运算都是结合数轴进行的，由此可见这一课时学生学好数轴概念的重要性.数轴是用“长度”度量各类量的抽象，日常生活中常见的用温度计度量温度，用弹簧称（刻度在直线上）称重量等，都已为学生学习数轴概念打下了基础.本节是初步理解数形结合的思想方法，正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数,并会比较有理数的大小,借助数轴理解互为相反数两数的几何意义.正确理解有理数与数轴上点的对应关系.另外应该明确的是，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数.通过学习，使学生初步掌握用数轴解决问题的方法，为今后充分利用“数轴”这个工具打下基础．为此，本节课的教学目标是：
1、知识与技能:①通过与温度计的类比认识数轴,会用数轴上的点表示有理数; ②借助数轴了解相反数的概念,知道互为相反数的一对数在数轴上的位置关系; ③利用数轴比较有理数的大小.
2、过程与方法：培养学生的观察、比较、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和动手能力，渗透数形结合的数学思想和方法.
3、情感与态度：通过数轴与温度变化这种自然现象的和谐结合，激发学生探索的好奇心，提高学生的学习兴趣，以培养学生勇于创新的精神和良好的学习习惯.
三 教学过程设计：
本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入课题；第二环节：合作交流，探索新知；第三环节：动手练习，归纳总结；第四环节：仔细观察，发现规律； 第五环节：加强练习，巩固提高；第六环节：归纳小结，强化思想；第七环节：布置作业.
第一环节 创设情境,引入课题
活动内容：
教师通过课件演示温度计读数,并且让学生回答以下问题：
问题1:温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工具，你会读温度计吗？请你尝试读出图中三个温度计所表示的温度？
问题2：在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3 m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3 m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．
（四人小组为单位讨论并回答教师的问题）
活动目的：
创设问题情境,激发学生学习热情,发现生活中的数学.通过问题1和问题2的解决, 学生感受到点与数之间的关系,从而由点表示数的感性认识上升到理性认识.
活动的实际效果：
激发了学生学习兴趣,学生对此内容很感兴趣
第二环节 合作交流，探索新知
活动内容：
学生回答由上述两问题得到什么启发？你能用一条直线上的点表示有理数吗
活动目的：
让学生在讨论的基础上动手操作，在操作的基础上归纳出：可以表示有理数的直线必须满足什么条件？从而得出数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.
活动的实际效果：
学生在开放的环境下,大胆的发表自己的见解.有的学生提出用射线上的点表示有理数,但有人反驳,射线是向一方延伸,而有理数是无限的,应该采用直线.同时学生还探索出,为了区分正有理数和负有理数,必须在直线上先确定零点,即原点.同时还需要正方向以及像温度计刻度一样的单位长度.在学生的探索下，一个数轴展现在师生面前.即先画一条水平直线，在水平直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定向右的方向为正方向这就是数轴.
第三环节 动手练习，归纳总结
活动内容：
学生回答问题，动手训练
问题1： +3，-4，，-1.5，0分别在数轴的什么位置
问题2：指出数轴上 A, B, C, D各点分别表示什么数
问题3： 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
， -5， 0， 5， -4，
问题4：2与-2有什么相同点与不相同点？它们在数轴上的位置有什么关系？与，5与-5呢？
活动目的：
通过练习，得出结论.正有理数是用原点右边的点表示，负有理数是用原点左边的点表示，0用原点表示.所以任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
问题2是数轴上已知点所表示的有理数，是由“形”到“数”的思维过程.
问题3是给定的数用数轴上的点来表示，是由“数”到“形”的思维过程.它们从两个侧面体现出数形结合思想.
问题4是使学生通过观察特例，总结出相反数的概念，以及互为相反数的两数在数轴上的位置关系，从数和形两个侧面理解相反数.
活动的实际效果：
通过几个问题的训练学生基本掌握了数轴的画法，掌握了有理数可用数轴上的点来表示.他们还观察出像2和-2，-5和5等这样的一组数它们只有符号不同这样的特点，总结出相反数的概念.同时，还提出像0这样的特殊数字，它的相反数还是0.学生们还从数轴上观察出2与-2等这样的一组数，位于原点的两侧，并且距原点的距离相等.因此得到结论：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数.也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0.在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等.
第四环节 仔细观察，发现规律
活动内容：
学生观察数轴并回答问题：
问题1：数轴上的两个点，右边点表示的数与左边点表示的数有怎样的大小关系？
问题2：正数、负数在数轴的什么位置？判断它们的大小？
利用结论练习：比较下列每组数的大小，并说明理由.
⑴-2 和 +6；⑵0和 -1.8；⑶和 -4.
活动目的：
思考数轴的应用价值，观察数轴上两个点所表示的数的大小情况.得出结论：数轴上两个点所表示数，右边的总比左边的大.正数大于0，负数小于0，正数大于负数.通过练习，借助数轴比较数的大小.
活动实际效果：
学生通过练习掌握了利用数轴比较数的大小，在训练中灵活运用今天所学知识.
第五环节 加强练习，巩固提高
活动内容：
1、写出三对非零的相反数，在数轴上将它们表示出来，并比较其中三个负数的大小.
2、在数轴上距原点2个单位长度的点表示什么数？
活动目的：
一方面巩固新学内容，另一方面为讨论相反数的性质和绝对值的概念作准备.
活动实际效果：
学生基本能准确的把有理数用数轴上的点表示出来.在比较数的大小时，出现错误，例如：把 -5﹤-3﹤-2写成 -3﹥-5﹤-2，教学中应及时纠正.
第六环节 归纳小结，强化思想
活动内容：
师生共同总结这节课的知识内容,让学生畅所欲言谈这节课收获.
活动目的：
把所学知识条理化，学生把自己在本节课的收获说出来和大家共享，在知识、能力和情感上都有所发展.
活动实际效果：
通过师生共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也有利于培养学生归纳、概括的能力.学生不仅有知识上的收获，而且体会到数学源于生活.
第七环节 布置作业
1、在数轴上把下列各数的相反数表示出来，并比较它们的大小.
7 ， ，-3.5 ，0 ，
2、比较下列每组数的大小
（1） -10 ，-7 （2） -3.5，1
（3）， （4） 3.8，-4.1，-3.9
3、 (1)点A在数轴上距原点3个单位长度,且位于原点左侧,若将A向右移动4个单位
长度,在向左移动1个单位长度,此时A点所表示的是什么数
(2)B点所表示的数是A点开始时所表示数的相反数做同样的移动以后, B点表示
什么数
四 教学反思：
1、在问题的探索上
采用小组探究老师提供的情景下，在具有较多的时间和空间的条件下，亲身参加探索发现，主动的获取知识和技能.但在整个的实施过程中出现了一些问题，比如：在概念的得出上学生的总结出现了一些问题，我在处理时由于怕时间不够充裕所以学生出现的问题我给做出了解答，其实这里应由学生自己来解决，这样对学生能力的提高非常有帮助.
2、习题的配备
整个习题的配备大致是按从易到难的顺序排列的，面向全体学生，采用多种形式，使不同层次的学生都有所得，并且采用循序渐进的方法，使学生对数轴任意两点之间的大小关系理解进一步的加强以及对相反数概念的理解.在讲解完例题后，让学生互相提问，以促使学生积极踊跃的参与到教学活动中来，创造一种轻松的学习氛围.在最后的习题配备上，让学生对两个数大小关系作出判断，并且对各种情况做出讨论，达到本节课的一个高潮.促使学生的思路得到进一步的加强.
3、 课时安排
课堂教学容量过大，分两个课时要好一些.
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1棋盘上究竟有多少米？
教科书上“读一读:棋盘上的学问”，棋盘上究竟有多少米，你算过吗？
我们知道，按照大臣的要求，放满一个棋盘上的64个格子需要粒米，通过计算器计算可得答案为18 446 744 073 709 551 615粒米。下面我们可以通过估算解决这个问题：
100粒大米大约2.5克，那么1斤米大约20000粒，1吨米大约40000000粒，因此18 446 744 073 709 551 615粒米大约461168601800吨。如果1袋米100斤，那么461168601800吨就有9223372036000袋大米。
现在你明白为什么大臣会说“就怕您的国库里没有这么多米！”了吧。(共19张PPT)
第二章 有理数及其运算
太原五中 路丘平
还记得有理数的乘法法则吗
⑴（－2）×3 ；
⑵ 4×（－1/4）；
⑶（－7）×（－3）；
⑷ 6×（－8）；
⑸（－6）×（－8）；
⑹（－3）×0；
已知两个因数的积和其中一个因数，要求另一个因数，应该用什么运算进行计算呢？
问题1：8÷4是什么运算？商等于多少？
问题2：0÷4等于多少？
问题3：（－12）÷（－3）是什么运算？商等于多少？
除法是乘法的逆运算
由(-3) ×4=-12,得
（－12）÷（－3）=4
分析讨论计算以下各题：
⑴（－18）÷6=＿＿＿＿＿；
⑵5÷（－1/5）=＿＿＿＿＿；
⑶（－27）÷（－9）=＿＿＿＿＿ ；
⑷0÷（－2）=＿＿＿＿＿；
商的符号及商的绝对值与被除数和除数有何关系？
　两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何不等于0的数，都得0．
注意：0不能做除数
有理数的除法法则１：
例1：计算：
⑴（－15）÷（－3）；
⑵（－12）÷（－1/4）；
⑶（－0.75）÷0.25 ；
⑷（－12）÷（－1/12）÷（－100）.
计算：
⑴（－64）÷4；
⑵（－3/5）÷（－3）；
⑶ 0÷（－16）；
⑷（－15）÷（－1/5）÷（－2）.
计算：
⑴1÷（-2/5）； 1×（－5/2）；
⑵0.8÷（－3/10）； 0.8×（－10/3）；
⑶（－1/4）÷（－1/60）； （－1/4）×（－60）.
负数的倒数如何求？
从”做一做”的结果,你发现了什么
有理数的除法法则２：
除以一个数等于乘以这个数的倒数．
也可以写成 : .
1．计算：
（1）（－18）÷6;（2）（－63）÷（－7）； 　 （3）（－36）÷6； （4）1÷（－9）;
（5）0÷（－8）； （6）16÷（－3）．
2．计算：
（1）（ ）÷（ ）;（2）（－6.5）÷0.13；
（3）（ ）÷（ ）;（4） ÷（－1）．
3. 计算
（1）（ ）÷（－6）；
（2）－3.5÷ ×（ ）；
（3）（－6）÷（－4）×（ ）．
有理数的除法法则１：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何不等于0的数，都得0．
有理数的除法法则２：
除以一个数等于乘以这个数的倒数．
教科书习题 2.12
知识技能1、2、3
问题解决1.