圆的方程

(共20张PPT)
圆的一般方程
目标
掌握圆的一般方程及一般方程的特点
能将圆的一般方程化为标准方程
能用待定系数法由圆的以知条件导出圆的方程
复习
圆的标准方程是：
圆心是：
半径是：
特别地当圆心是原点时：
新课
对圆的标准方程：
展开：
作代换：
则原圆的方程可以写为：
所以圆的方程均具有这个形式，但是是否所有这个形式的方程都表示圆呢？怎样来判断？
我们可以把它化向圆的标准方程。若它可以等价的变化就说明了它的图象就是圆：
配方：
②当　　　　 时，方程㈠只有实数解 , 表示一个点 .
由此可推断：
不一定表示圆的方程
①当 时，表 示 以 为 圆心，
为半径的圆.
③当 时，方程（一）无实数解，所以不表示任何图形。
练习：P97
1、下列方程各表示什么图形？
（1）x2+y2=0 （2）x2+y2-2x+4y-6=0
（3）x2+y2+2ax-b2=0
答案：
（1）原点
（2）圆心是（1，2）半径
（3）当 时是圆心是（-a，0）半径
的圆
当a=b=0时是点（0，0）
例1 ：求过三点 O(0,0) M 1 (1,1) M 2(4,2) 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标。
y
x
0
.
.
M
2
M
1
例1 ：求过三点 O(0,0) M 1 (1,1) M 2(4,2) 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标。
解：设所求的方程为
得到关于D,E,F的三元一次方程组
所求圆方程为x2+y2-8x+6=0
圆心坐标为（4，-3）半径：5
因此，当 D2+E2-4F >0 时，我们称
是圆的一般方程。
请同学们分析下列问题：
问题：二元二次方程满足什么样的条件才表示圆的方程呢？
Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0．(2)
当二元二次方程 Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0具有以下三个条
件时它才表示圆：
(1)x2和y2的系数相同，且不等于零，即A=B≠0；
(2)没有xy项，即C=0；
(3)D2+E2 - 4AF＞0．
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
圆的一般方程的特点是：
①x2，y2项的系数相同；
②不含xy项。
上述两个特点①、②是二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的必要条件，不是充分条件。
形如Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示圆的充要条件：
A=C≠0
B=0
且D2＋E2－4F＞0。
练习 ：求过点 A(1,-1) B (-1,1),并且圆心在直线x+y-2=0,的圆的方程。
分析：设所求的方程为（x-a)2+(y-b)2=r2
或者设为：x2+y2+Dx+Ey+F=0
答案： （x-1)2+(y-1)2=4
或者 x2+y2-2x-2y-2=0
圆的 标准与一般方程
标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
可以方便地知道圆心和半径
在和半径以及圆心有关的题目中会较方便。
一般方程
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
突出了方程形式上的特点
在知道圆上的点又进行待定系数时因为未知量次数为一所以计算较方便
在不同的题目中依据题目条件选用不同的形式可以简化计算。
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)，A(3，0)距离的比为 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。
1
2
解：设点M(x,y)是曲线C的任意一点，也就是M属于集合
　　　　　　P
点M所适合的条件可以表示为:
将 式两边平方得：
化简得：
这就是所求的曲线方程。
M
OM
AM
2
1
＝　　　　　＝　　　　　　　
＝
( x ＋y )
2
2
2
(x －3 )＋y
2
2
1
①
x ＋ y
( x －3) ＋y
2
2
2
2
＝
1
4
①
x ＋ y
2
2
＋2x－3＝0
②
②
2
2
②
把　　左边配方得(x＋1) ＋ y ＝ 4
所以方程 的曲线是以C( —1，0）为圆心，2为半径的圆，
它的图形如图：
.
O
.
.
y
x
（-1，0）
A(3,0)
M
小结
圆的一般方程及一般方程的特点
将圆的一般方程化为标准方程
用待定系数发由圆的以知条件导出圆的方程
作业 ：习题7.7第5、6、8题
预习 ：圆的参数方程并思考圆的三种方程间的
互化方法以及三种方程各有什么特点。
谢
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观
赏
再
见