22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质 同步课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
22.1
二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的图象和性质
人教版·九年级数学上册
学习目标
【知识与技能】
1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念；
2.掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的表达式.
【过程与方法】
通过画出简单的二次函数y=x2，y=-
x2等探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征.
【情感态度】
使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.
【教学重点】
1.二次函数y=ax2的图象的画法及性质；
2.能确定二次函数y=ax2的解析式.
【教学难点】
1.用描点法画二次函数y=ax2的图象，探索其性质；
2.能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题.
新课导入
导入课题
问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们来学习最简单的二次函数y=ax2的图象.
①列表；②描点；③连线
一条直线
先画二次函数y
=
x2的图象
推进新课
知识点1
二次函数y
=
ax2的图象的画法
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
y
=
x2
···
9
4
1
0
1
4
9
···
1.列表
在y
=
x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示出几组对应值：
2.描点
根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点.
3.连线
用平滑曲线顺次连接各点，就得到y
=
x2的图象.
3
6
9
y
O
-3
3
x
3
6
9
y
O
-3
3
x
观察：二次函数y
=
x2的图象像什么？
事实上，二次函数的图象都是抛物线，
它们的开口或者向上或者向下．
一般地，二次函数
y
=
ax2
+
bx
+
c（a≠0）的图象叫做抛物线y
=
ax2
+
bx
+
c.
抛物线y
=
x2
知识点2
二次函数y
=
ax2的图象和性质
3
6
9
y
O
-3
3
x
函数y
=
x2的图象开口______.
向上
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.
顶点坐标是________.
顶点是图象的最____点.
（0，0）
低
在抛物线y
=
x2上
任取一点（m，m2），
因为它关于y轴的对称
点（-m，m2）也在抛
物线y
=
x2上，所以抛
物线y
=
x2关于y轴对称。
特征
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点．
3
6
9
y
O
-3
3
x
当x<0
(在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小.
当x>0
(在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大.
单调性
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x
···
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
···
···
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
···
x
···
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
y
=
2x2
···
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
···
y=2x2
例1
在同一直角坐标系中，画出函数
，y
=2x2的图象.
a值越大，抛物线的开口越小．
增减性相同：当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
思考
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y=2x2
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点；
开口都向上；
对称轴都是y轴；
函数
的图象与函数y=x2
的图象相比，有什么共同点和不同点？
一般地，当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.
归纳
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y=2x2
探究
画出函数y=-x2,
,
y=-2x2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点．
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
y
=
-x2
···
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
···
···
-2
0
-2
···
y
=
-2x2
···
-18
-8
-2
0
-2
-8
-18
···
y=-2x2
y=-x2
-3
-6
-9
y
O
-3
3
x
y=-2x2
y=-x2
-3
-6
-9
y
O
-3
3
x
开口都向下；
对称轴都是y轴；
a值越小，抛物线的开口越小．
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点；
增减性相同：
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
共同点和不同点
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
1.二次函数的图象都是抛物线.
2.抛物线y=ax2的图象性质:
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点;
|a|越大，抛物线的开口越小.
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
y=-2x2
y=-x2
2
6
8
y
4
y=2x2
-8
-4
-2
-6
O
-2
2
x
4
-4
小
结
知识点3
二次函数y
=
ax2的实际应用
二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.
物体自由下落的高度h与下落时间t之间的关系（g代表重力加速度，为定值）
质量为m的物体运动时的能量E与其运动速度v之间的关系（m为定值）
物体做匀加速运动时，行驶路程与时间的关系（a代表加速度，为定值）
数形结合
已知正方形的周长为C
cm，面积为S
cm2，
（1）求S与C之间的二次函数关系式；
（2）画出它的图象；
（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；
（4）根据图象，求出C取何值时，S
≥4cm2.
出题角度
二次函数y=ax2与不等式的综合运用
注意自变量的范围
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，
∴正方形的边长为
cm，
∴S与C之间的关系式为S
=
；
（2）作图如右：
（3）当S
=
1cm2时，C2
=16，即C
=4cm
（4）若S
≥
4cm2，即
≥4，解得C
≥
8cm
.
.
随堂演练
1.函数y
=
2x2的图象的开口_______，对称轴是_______，
顶点是________
.
向上
y轴
（0，0）
a
=
2>0
基础巩固
（1）其中开口向上的是________（填序号）；
（2）其中开口向下且开口最大的是______（填序号）；
（3）有最高点的是_______（填序号）.
2.
已知下列二次函数①y=-x2；②y=
x2；③y=15x2；④y
=-4x2；⑤y
=
4x2.
②
①
①
③
⑤
④
a>0
a<0，
|a|越大，开口越小.
开口向下
a<0
3.
分别写出抛物线y=4x2与
的开口方向、对称轴及顶点坐标.
解：抛物线y=4x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标（0，0）；
抛物线
的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0，0）.
y
O
x
y
O
x
y
O
x
4.
在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
···
3
0
3
···
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
···
-3
0
-3
···
综合应用
5.
已知一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2，其中a≠0，b<0，则下面选项中，图象可能正确的是（
）
C
y=ax+b与y轴交点（0，b）
b<0
交点在y轴负半轴，故B、D错；
a>0，
y=ax+b单调递增
故A错；
y=ax2开口向上
a<0，
y=ax+b单调递减
故C对.
y=ax2开口向下
×
√
×
×
6.
m为何值时，函数
的图象是开口向下的抛物线？
解：由题意得
解得m=-1
∴当m=-1时，函数
的图象是开口向下的抛物线.
a<0
二次函数
二次函数与一次函数性质的综合应用
7.如图，直线AB过x轴上的点B（4，0），且与抛物线y=ax2交于A、C两点，已知A（2，2）.
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）如果抛物线上有点D，使S△OBD=S△OAC，求点D的坐标.
y=ax+b
（2，2）
（4，0）
D
D
拓展延伸
解：（1）设直线表达式为y=ax+b，
∵A（2，2），B（4，0）都在y=ax+b的图象上，
∴直线AB的函数解析式为：y=-x+4.
（2）∵点A（2，2）在y=ax2的图象上，
∴代入可得
，
∴抛物线的函数解析式为
.
（2，2）
（4，0）
（3）联立得
解得：
∴点C的坐标为（-4，8），
设D
∵S△OBD=S△OAC，∴x2=12，
∴D点坐标为
或
.
（2，2）
（4，0）
D
D
（-4，8）
二次函数y
=
ax2
的性质
根据图形填表：
抛物线
y
=
ax2（a>0）
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方（除顶点外）
在x轴的下方（除顶点外）
向上
向下
当x
=
0时，最小值为0.
当x
=
0时，最大值为0.
当x<0时，y随着x的增大而减小.
当x>0时，y随着x的增大而增大.
当x<0时，y随着x的增大而增大.
当x>0时，y随着x的增大而减小.
课堂小结
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
谢谢欣赏