(共20张PPT)
22.1.3
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
人教版·九年级数学上册
学习目标
【知识与技能】
1.会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象；
2.掌握抛物线y=ax2与y=a(x-h)2+k之间的平移规律；
3.依据具体问题情境建立二次函数y=a(x-h)2+k模型来解决实际问题.
【过程与方法】
通过“活动探究——观察思考——运用迁移”等三个环节来获取新知识，掌握新技能，解决新问题.
【情感态度】
进一步培养学生观察能力、抽象概括能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，了解从特殊到一般的辩证关系.
【教学重点】
二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0）的图象及其性质.
【教学难点】
1.二次函数y=a(x-h)+k与y=ax2(a≠0)的图象之间的平移关系；
2.通过对图象的观察，分析规律，归纳性质.
新课导入
导入课题
问题：说说抛物线y=ax2的平移规律.
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
推进新课
知识点1
二次函数y=a(x-h)2+k的图象的画法
例3
解：
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
开口方向：
对称轴：
顶点：
向下
x=-1
(-1,-1)
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
画一画，填出下表:
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
向左平移一个单位
向下平移一个单位
向左平移一个单位，
再向下平移一个单位
还有其他平移方法吗？
y
O
x
开口方向
对称轴
顶点坐标
上
下
x=h
x=h
（h,k）
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h)2+k
a>0
a<0
（h,k）
知识点2
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
h
k
思考
想一想，试着画出二次函数y=a(x-h)2+k不同情况下的大致图象.（
按a,h,k的正负分类
）
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
归纳
a>0
a<0
图象
h<0
h>0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当xh时，y随x增大而减小.
当xh时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,k）
x=h时，y最小值=k
x=h时，y最大值=k
（h,k）
y=a(x-h)2+k
y=ax2
平移关系
？
二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象：
这些图象与抛物线y=ax2有什么关系？
结论：
h<0，将抛物线y=ax2向左平移，
h>0，将抛物线y=ax2向右平移；
k>0，将抛物线y=ax2向上平移；
k<0，将抛物线y=ax2向下平移，
y
O
x
y=ax2
y=a(x-h)2+k
h
k
y=a(x-h)2+k
y=ax2
平移关系
？
可概括为：左加右减，上加下减。
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长.
例4
3
解：如图,以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系.
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点，
因此，可设这段抛物线对应的函数是y=a(x-1)?+3（0≤x≤3）
由这段抛物线经过点(3,0)可得
0=a(3-1)?+3，
当x=0时，y=2.25，也就是说，水管应长2.25m.
3
随堂演练
1.对称轴是直线x=-2的抛物线是(
)
A.y=-2x2-2
B.y=-2x2＋2
C.y=-(x+2)2-2
D.y=-5(x-2)2-6
2.将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（
）
A.y=3(x-2)2-1
B.y=3(x-2)2+1
C.y=3(x+2)2-1
D.y=3(x+2)2+1
3.若抛物线的顶点为(3,5)
,则此抛物线的解析式可设为(
)
A.y=a(x+3)2+5
B.y=a(x-3)2+5
C.y=a(x-3)2-5
D.y=a(x+3)2-5
基础巩固
C
C
B
4.指出下面函数的开口方向，对称轴和顶点坐标.
（1）y=5(x+2)2+1；
（2）y=-7(x-2)2-1；
（3）y=(x-4)2+3；
（4）y=-(x+2)2-3.
开口向上
对称轴为x=-2
顶点坐标为（-2，1）
开口向下
对称轴为x=2
顶点坐标为（2，-1）
开口向上
对称轴为x=4
顶点坐标为（4，3）
开口向下
对称轴为x=-2
顶点坐标为（-2，-3）
5.在同一坐标系内，画出函数y=
(x+2)2-2和y=
(x-1)2+2的图象，并写出它的对称轴、顶点和最值.
解：图象如图.
综合应用
6.已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．
解：由函数顶点坐标是（1，-2），
设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2.
图象过点(0，0)，则0=a(0-1)2-2，
解得a=2
∴这个二次函数的关系式为y=2(x-1)2-2.
拓展延伸
7.小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y=
x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是(
)
A.3.5
m
B.4
m
C.4.5
m
D.4.6
m
B
向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位
课堂小结
y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+k
向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位
向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位
向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位
向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位
向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位
y
O
x
y=ax2
y=a(x-h)2+k
h
k
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
谢谢欣赏(共20张PPT)
22.1.3
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第2课时
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
人教版·九年级数学上册
学习目标
【知识与技能】
1.能画出二次函数y=a(x-h)2的图象；
2.了解抛物线y=ax2与抛物线y=a(x-h)2的联系；
3.掌握二次函数y=a(x-h)2的图象特征及其简单性质.
【过程与方法】
通过动手操作、观察比较、分析思考、规律总结等活动过程完成对二次函数y=a(x-h)2的图象及其性质的认知.
【情感态度】
在学生学习活动过程中，使他们进一步体会数形结合的思想方法，培养创造性思维能力和动手实践能力，增强学习兴趣、激发学习欲望.
【教学重点】
1.掌握二次函数y=a(x-h)2的图象及性质；
2.二次函数y=ax2与y=a(x-h)2图象之间的联系.
【教学难点】
利用二次函数y=a(x-h)2的性质解决实际问题.
新课导入
导入课题
问题:说说二次函数y=ax2+k的图象的特征.
a的符号
a>0
a<0
图象
k>0
k<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0,k）
（0,k）
x=0时，y最小值=k
x=0时，y最大值=k
二次函数y
=
ax2
+k的图象和性质:
?y
=
a(x-h)2
推进新课
知识点1
二次函数y
=
a(x-h)2
的图象的画法
探究
解：先分别列表：
x
…
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
…
然后描点画图：
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
…
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
…
-8
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
思考1
-8
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
抛物线
，
的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
开口方向
对称轴
顶点坐标
下
下
x=-1
x=1
（-1,0）
（1,0）
相同点：
不同点：
开口方向相同、形状相同。
对称轴、顶点坐标发生了改变。
知识点2
二次函数y
=
a(x-h)2
的图象和性质
-8
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
记作x=-1
x=1
所以，
的图象还可以由抛物线
平移
个单位得到.
思考2
向左
1
向右
1
向右
2
-8
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
观察图象可发现：
把抛物线
平移
个单位就得到抛物线
;把抛物线
平移
个单位就得到抛物线
.
抛物线y
=
a(x-h)2
与抛物线y=ax2
有什么关系？
思考3
y
O
x
y
=
a(x-h)2
(h>0)
y
=
a(x-h)2
(h<0)
y
=
ax2
h
h
结论：
抛物线y=a(x-h)2的图象相当于把抛物线y=ax2的图象
（h＞0）或
（h＜0）平移
个单位.
向右
向左
|h|
二次函数y
=
a(x-h)2的图象和性质:
归纳
a的符号
a>0
a<0
图象
h>0
h<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当xh时，y随x增大而减小.
当xh时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,0）
x=h时，y最小值=0
x=h时，y最大值=0
（h,0）
随堂演练
1.抛物线y＝3(x－2)2可以由抛物线y＝3x2向
平移
个单位得到．
2.二次函数y=-2(x-1)2的图象开口方向是
，顶点坐标是
，对称轴是
.
3.要得到抛物线y=
(x－4)2，可将抛物线y=
x2(
)
A.向上平移4个单位
B.向下平移4个单位
C.向右平移4个单位
D.向左平移4个单位
基础巩固
右
2
向下
（1，0）
x=1
C
4.对于任意实数h，抛物线y=(x-h)2与抛物线y=x2(
)
A.开口方向相同
B.对称轴相同
C.顶点相同
D.都有最高点
5.抛物线y=
x2向左平移3个单位所得抛物线是(
)
A.y=
(x+3)2
B.y=
(x-3)2
C.y=
(x+3)2
D.y=
(x-3)2
A
A
6.写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点.
（1）y=-
(x+2)2；
（2）y=3(x-1)2.
解：（1）开口向下，对称轴为x=-2，顶点为（-2，0）.
（2）开口向上，对称轴为x=1，顶点为（1，0）.
综合应用
7.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图.
函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.
y
O
x
y
=
2(x-2)2
y
=
2x2
2
拓展延伸
8.在直角坐标系中画出函数y＝
(x-3)2的图象．
(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)说明该函数图象与二次函数y＝
x2的图象的关系；
(3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小，何时y随x的增大而增大，何时y有最大(小)值，是多少?
解：（1）开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，0）.
（3）当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小，当x=3时，y有最小值，为0.
-2
2
4
y
O
-2
2
x
4
-4
（2）该函数图象由二次函数y=
x2的图象向右平移3个单位得到.
课堂小结
复习y=ax2+k
探索y=a(x-h)2的图象及性质
图象的画法
图象的特征
描点法
平移法
开口方向
顶点坐标
对称轴
平移关系
直线x=h
（h,0）
a>0,开口向上
a<0,开口向下
y=ax2
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
谢谢欣赏
