(共27张PPT)
22.1.4
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第2课时
用待定系数法求二次函数的解析式
人教版·九年级数学上册
学习目标
【知识与技能】
利用已知点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式.
【过程与方法】
通过介绍二次函数的三点式，顶点式，交点式，结合已知的点，灵活地选择恰当的解析式求法.
【情感态度】
经历用待定系数法求解二次函数解析式的过程，发现二次函数三点式、顶点式与交点式之间的区别及各自的优点，培养学生思维的灵活性.
【教学重点】
待定系数法求二次函数的解析式.
【教学难点】
选择恰当的解析式求法.
新课导入
导入课题
问题：如果一个二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗？
推进新课
思考
回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤．求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么？
知识点1
用二次函数一般式y=ax2+bx+c
求函数解析式
我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式。对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数？
探究
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)，求这个函数的解析式.
第一步:设出解析式的形式；
第二步:代入已知点的坐标；
第三步：解方程组。
解：
设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
由已知得：
a-b+c=10
a+b+c=4
三个未知数，两个等量关系，这个方程组能解吗？
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)
、(2,7)，
求这个函数的解析式.
第一步:设出解析式的形式；
第二步:代入已知点的坐标；
第三步：解方程组。
解：
设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
由已知得：
a-b+c=10
a+b+c=4
4a+2b+c=7
三个未知数，三个等量关系，这个方程组能解吗？
a-b+c=10
a+b+c=4
4a+2b+c=7
①
②
③
?
由②-①可得：
2b=-6
b=-3
由③-①可得：
3a+3b=-3
a+b=-1
a=2
将a=2，b=-3代入①可得：
2+3+c=10
c=5
∴解方程组得：
a=2,
b=-3,
c=5
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)
、(2,7)，
求这个函数的解析式.
第一步:设出解析式的形式；
第二步:代入已知点的坐标；
第三步：解方程组。
解：
设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
由已知得：
a-b+c=10
a+b+c=4
4a+2b+c=7
∴解方程组得：
因此，所求二次函数是：
a=2,
b=
-3,
c=5
y=2x2-3x+5.
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。
归纳
任意两点的连线不与y轴平行
已知一个二次函数的图象过点A(-1,0),
B(4,5),
C(0,-3).
三点，求这个函数的解析式.
第一步:设出解析式的形式；
第二步:代入已知点的坐标；
第三步:解方程组。
解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.
∵抛物线经过点A(-1，0),
B(4，5),
C(0，-3).
∴
解得a＝1，b＝-2，c＝-3.
∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3.
练习
图象顶点为(h,k)的二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？
知识点2
用二次函数顶点式y=a(x-h)2+k求函数解析式
已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式.
解：∵抛物线顶点为(1,-4)
∴设其解析式为y=a(x-1)2-4，
又抛物线过点(2,-3)，
则-3=a(2-1)2-4，则a=1.
∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3.
已知顶点坐标和一点，求二次函数解析式的一般步骤:
第一步：设解析式为y=a(x-h)2+k.
第二步：将已知点坐标代入求a值得出解析式.
归纳
知识点3
用交点式y=a(x-x1)
(x-x2)
求二次函数解析式
一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝-1，当x＝-2与
时，y＝0，求这个二次函数的解析式.
两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式.
解:
∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)
∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3)
∵图象过点C(0,3)
∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1.
∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3
用待定系数法求二次函数的解析式的一般步骤：
①设出合适的函数解析式；
②把已知条件代入函数解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
③解方程组求出待定系数的值，从而写出函数的解析式.
知识点4
已知图象上关于对称轴对称的两点坐标
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1，1)，B(3，1)两点，与y轴交于点C(0，3)，求这个二次函数的解析式.
方法1：设y=a(x-1)(x-3)+1,把C(0，3)代入其中求出a的值.
方法2：设y=ax2+bx+c，把A(1，1)，B(3，1)，C(0，3)代入其中列方程组求a，b，c的值.
两种方法的结果一样吗？哪种方法更简捷？
已知二次函数的图象经过点(-1,3),
(1,3),(2,6),求这个二次函数的解析式.
解：设其解析式为y=a(x-1)(x+1)+3,
又图象经过点(2,6),
∴6=a(2-1)(2+1)+3,
解得a=1.
∴二次函数解析式为y=(x-1)(x+1)+3=x2+2.
随堂演练
基础巩固
1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为(
)
A.y=x2+2
B.y=(x-2)2+2
C.y=(x-2)2-2
D.y=(x+2)2-2
2.
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1,2)
和(-1,-6)两点，则a+c=
．
3.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为
.
D
-2
y=-7(x-3)2+4.
解：
（1）选用一般式求解析式：
（2）选用交点式求解析式：
根据已知条件选设函数解析式：
用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：
①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
②已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
③已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；
④已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式（可求出对称轴）.
综合应用
5.
如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4),求这个抛物线的解析式.
解：由抛物线过A(8,0)及对称轴为x=3,
知抛物线一定过点(-2,0).
设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8),
∵抛物线过点(0,4),
∴4=a(0+2)(0-8),
拓展延伸
6.已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.
解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0),
设解析式为y=a(x-5)(x+3),
∵抛物线过点(1,16)
∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.
课堂小结
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
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22.1.4
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
人教版·九年级数学上册
学习目标
【知识与技能】
1.能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x-h)2+k的形式，以便确定它的对称轴和顶点坐标；
2.会利用对称性画出二次函数的图象，掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的平移规律；
3.会用公式确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴和顶点.
【过程与方法】
通过思考、探索、尝试与归纳等过程，让学生能主动积极地探索新知.
【情感态度】
经历探求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的过程，感悟二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2的内在联系，体验利用抛物线的对称轴画抛物线的方法，感受数学的对称美.
【教学重点】
用抛物线的对称轴画二次函数y=ax2+bx+c的图象，通过配方确定抛物线的对称轴和顶点坐标.通过配方法将二次函数的一般形式化为顶点式，探索二次函数y=ax2+bx+c的平移变换.
【教学难点】
用配方法推导抛物线的对称轴与顶点坐标.
新课导入
导入课题
问题:
说说画二次函数y=a(x-h)2+k的图象的要点是什么？
y
O
x
y=a(x-h)2+k
h
k
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
开口方向：
对称轴：
顶点：
向下
x=-1
(-1，-1)
抛物线的开口大小由
决定
|a|
怎么画二次函数y=ax2+bx+c的图象?
推进新课
知识点1
二次函数y=ax2+bx+c
与y=a(x-h)2+k的关系
思考
解：
配
方
有哪几种画图方法？
方法一：平移法
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
6
8
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
6
8
方法二：描点法
先利用对称性列表:
开口方向：
对称轴：
顶点：
向上
x=6
(6,3)
y=ax2+bx+c
二次函数y=ax2+bx+c
与y=a(x-h)2+k的关系?
(a≠0)
二次函数y=ax2+bx+c
(a≠0)
通过配方可以转化成y=a(x-h)2+k形式.
知识点2
二次函数y=ax2+bx+c
与的图象与性质
根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质吗？
y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
二次函数的顶点式
对称轴为
。
二次函数的一般表达式
因此，抛物线的对称轴是
，顶点是
。
y
O
x
（a>0）
y
O
x
（a<0）
二次函数y=ax2+bx+c的图象：
增减性？
最小值
最大值
随堂演练
基础巩固
B
2.李玲用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格，根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c，当x=3时，y=
．
1
3.确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.
（1）y=－3x2+12x－3；（2）y=4x2－24x+26；
（3）y=2x2+8x－6；
（4）y=12x2－48x+45.
?
开口向上，
对称轴为x=3，
顶点为（3，-10）.
开口向下，
对称轴为x=2，
顶点为（2，9）.
开口向上，
对称轴为x=-2
顶点为（-2，-14）.
开口向上，
对称轴为x=2，
顶点为（2，-3）.
4.从地面向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2.小球运动到最高点时，所花时间是多少？最高点的高度是多少？
解：小球在顶点时达到最大高度.
∴所花时间是3s，最高点的高度是45m.
综合应用
5.已知函数y=-2x2+x-4,当x=
时，y有最大值
.
6.已知二次函数y=x2-2x+1，那么它的图象大致为（
）
B
拓展延伸
7.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=
，x=2对应的函数值y=
．
1
-8
课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与系数a,b,c及b2-4ac的符号之间的关系:
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
谢谢欣赏
