(共16张PPT)
22.3
实际问题与二次函数
第3课时
抛物线形问题
人教版·九年级数学上册
【知识与技能】
能根据实际问题构建二次函数模型，并利用函数性质来解决实际问题.
【过程与方法】
再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，培养学生解决实际问题的能力.
【情感态度】
进一步体会数学知识的应用价值，感受数学来自于生活又服务于生活，激发学习数学的兴趣.
【教学重点】
用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想.
【教学难点】
(1)能建立合适的直角坐标系，用二次函数的知识解决与抛物线相关的实际问题.
(2)进一步巩固二次函数的性质与图象特征.
学习目标
新课导入
导入课题
问题：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2
m时，水面宽4
m.
水面下降1
m，水面宽度增加多少？
推进新课
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.
水面下降1m时，水面宽度增加多少？
分析：
(1)
建立合适的直角坐标系；
(2)
将实际建筑数学化，数字化；
(3)
明确具体的数量关系，如函数解
析式；
(4)
分析所求问题，代入解析式求解。
探究
(2,-2)
(-2,-2)
x
y
O
解：
以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系.
设抛物线解析式为y=ax2.
将点(-2，-2)代入解析式，
可得-2=a
·
(-2)2.
x
y
O
(2,-2)
(-2,-2)
水面
水面下降一米，即此时y=-3.
如果以下降1
m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系.
与前面方法的结果相同吗？
y
O
(2,1)
(-2,1)
水面
x
(0,3)
解：
依题意建立如图所示的直角坐标系.
设抛物线解析式为y=ax2+3.
将点(-2，1)代入解析式，
可得1=a
·
(-2)2+3.
y
O
(2,1)
(-2,1)
水面
x
(0,3)
水面下降一米，即此时y=0.
虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结果是相同的.
你还有其他的方法吗？
?
y
O
(2,0)
(-2,0)
x
(0,2)
还可以以水面未下降时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算.
随堂演练
基础巩固
1.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为(精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计)(
)
A.9.2
m
B.9.1
m
C.9
m
D.5.1
m
B
2.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是
.
y=-3.75x2
A
B
综合应用
3.某幢建筑物，从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(如图)，若抛物线最高点M离墙1米，
离地面
米，求水流落地点B离墙的距离.
拓展延伸
4.某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少？
解：以水平面为x轴,抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系.
设抛物线解析式为y=ax2+0.5，∵抛物线过点(1,0),
∴0=a+0.5，解得a=-0.5.
∴抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5.
令y＝0，则-0.5x2+0.5＝0，解得x＝±1.
令x=0.2,y=-0.5×0.22+0.5=0.48,
令x=0.6,y=-0.5×0.62+0.5=0.32.
(0.48+0.32)×2×100=160
(m)
∴这条防护栏需要不锈钢支柱
的总长度至少为160m.
课堂小结
利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：
(1)
建立适当的直角坐标系；
(2)
写出抛物线上的关键点的坐标；
(3)
运用待定系数法求出函数关系式；
(4)
求解数学问题；
(5)
求解抛物线形实际问题.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
谢谢欣赏(共20张PPT)
22.3
实际问题与二次函数
第1课时
几何图形面积问题
人教版·九年级数学上册
学习目标
【知识与技能】
1.能根据实际问题构造二次函数模型.
2.能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大（小）值问题.
【过程与方法】
通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.
【情感态度】
体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.
【教学重点】
用二次函数的最大值（或最小值）来解决实际应用问题.
【教学难点】
将实际问题转化为数学问题，并用二次函数性质进行决策.
新课导入
导入课题
问题:从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2
(0≤t≤6).
小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
推进新课
问题:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2
(0≤t≤6).
小球运动的时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
分析：
①由a=-5可得，图象的开口向下；
②结合自变量t的取值范围0≤t≤6，画函数图象的草图如图；
③根据题意，结合图象可知，小球在抛物线的顶点时为最大高度。
解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度.
h＝30t-5t2
(0≤t≤6)
即小球运动的时间是3s时，小球最高，且最大高度是45m.
一般地，当a>0(a<0)时，抛物线
y
=
ax2
+
bx
+
c的顶点有最低（高）点，也就是说，当x=
时，二次函数有最小（大）值
。
利用二次函数图象解决最值问题时需要注意哪些问题？
思考
探究
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
l
S
①已知矩形场地的周长是60m，一边长是lm，则另一边长是
m，场地面积S=
m2.
②由一边长l及另一边长30-l都是正数，可列不等式组：
.
解不等式组得l的范围是
.
l
S
总长为60m
分析：
(30-l)
l(30-l)
0何时取最大值呢？
S=l(30-l)
l
S
总长为60m
③根据解析式，可以确定这个函数的图象的开口
，对称轴是
，顶点坐标是
，与横轴的交点坐标是
，与纵轴的交点坐标是
.
向下
直线l=15
(15,225)
(0，0)，(30，0)
(0，0)
④根据l的取值范围及③画出该函数图象的草图。
50
100
S
150
200
250
O
-50
50
l
由图象知：
点
是图象的最高点，即当l=
时，S有最
(选填“大”或“小”)值.
(15,225)
15
大
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
l
S
解：
场地的面积
S=l(30-l)
即S=-l2+30l
(0即当l是15m时，场地的面积S最大。
利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：
1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；
2.确定自变量的取值范围；
3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；
4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.
随堂演练
基础巩固
1.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+
BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面
积最大？
解：设AC=x,四边形ABCD面积为y,
则BD=(10-x).
即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大.
2.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(如图所示),墙长为18m,这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?
解：设矩形的长为x
m,面积为y
m2,则矩形的宽为
m.
∴0综合应用
3.如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面
积为y，则DG=1-x.
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
拓展延伸
4.已知矩形的周长为36
cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，圆柱的侧面积最大？
解：设矩形的长为xcm，圆柱的侧面积为ycm2，
则矩形的宽为(18-x)cm，绕矩形的长或宽旋转，圆柱的侧面积相等.
有y=2πx(18-x)＝-2π(x-9)2+162π(0＜x＜18).
当x=9时，y有最大值为162π.
即当矩形的长、宽各为9cm时，圆柱的侧面积最大。
课堂小结
2.图形面积最值问题：
由图形面积公式直接计算列出关系式，再利用二次函数的性质分析、解决问题.
1.运动问题：
（1）运动中的距离、时间、速度问题，这类问题多根据运动规律中的公式求解；
（2）物体的运动路线（轨迹）问题，解决这类问题的思想方法是建立合适的平面直角坐标系，根据已知数据求出运动轨迹（抛物线）的解析式，再利用二次函数的性质分析、解决问题.
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
谢谢欣赏
