(共35张PPT)
物 理
选修3-4·人教版
新课标导学
第十一章
机械振动
阶段核心素养提升
1
核心素养脉络构建
2
核心突破素养升华
3
实战演练触及高考
核心素养脉络构建
机
械
振
动
机
械
振
动
核心突破素养升华
一、简谐运动的两个模型——弹簧振子和单摆
1．弹簧振子
弹簧振子是一种忽略摩擦、忽略弹簧质量的理想化模型。对于弹簧振子来讲，弹簧的劲度系数确定了，振子的质量确定了，其振动的周期和频率也就确定了。无论是水平放置还是竖直悬挂，T和f均不变，即其周期T和频率f由振动系统本身的条件决定。
振动的回复力可能是弹力或重力与弹力的合力，视具体情况而定。
(多选)下列说法正确的是
( )
A．在同一地点，单摆做简谐振动的周期的平方与其摆长成正比
B．弹簧振子做简谐振动时，振动系统的势能与动能之和保持不变
C．在同一地点，当摆长不变时，摆球质量越大，单摆做简谐振动的周期越小
D．系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率
E．已知弹簧振子初始时刻的位置及其振动周期，就可知振子在任意时刻运动速度的方向
ABD
典例
1
二、简谐运动的往复性、对称性和周期性
1．变化特点：抓住两条线
第一，从中间到两边(平衡位置到最大位移)：x↑，F↑，a↑，v↓，动能Ek↓，势能Ep↑，机械能E不变。
第二，从两边到中间(最大位移到平衡位置)：x↓，F↓，a↓，v↑，动能Ek↑，势能Ep↓，机械能E不变。
2．运动规律
(1)周期性——简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回到原来的状态。
(2)对称性——简谐运动的物体具有相对平衡位置的对称性。
①速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率。
②加速度(或回复力)的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力。
③时间的对称性：系统在通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等。振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过的时间相等。
(2020·重庆市高三上学期一诊)弹簧振子以
O
为平衡位置，在
B、C
两点间做简谐运动，在
t＝0
时，振子从
O、B
间的
P
点以速度
v向
B
运动，在
t＝0.4
s时振子的速度第一次为－v，在
t＝0.2
s时振子速度第二次为－v，已知
B、C
之间的距离为
20
cm，则弹簧振子的振幅为
_______cm，周期为________
s，振子在
0～2.6
s
内通过的路程为
__________cm。
10
典例
2
1.2
88.66
三、振动图象的应用
1．确定振动的振幅
如图所示的振幅是10
cm。
2．确定振动物体在任意时刻的位移
如图中，对应t1、t2时刻的位移分别为x1＝＋7
cm，x2＝－5
cm。
(2020·山东省日照市高二下学期三校联考)如图所示是甲、乙两弹簧振子的振动图象，则可知
( )
A．两弹簧振子振幅相同
B．振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2
C．振子乙速度最大时，振子甲速度为零
D．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1
B
典例
3
解析：由图可知甲的振幅为10
cm，乙的振幅为5
cm，故A错误；由图知甲的频率与乙的频率之比为1∶2，故B正确；当振子乙到达平衡位置时甲可能到达最大位移处也可能处于平衡位置，故选项C错误。因F甲＝k甲A甲，F乙＝k乙A乙，由于k甲和k乙关系未知，因此无法判断F甲∶F乙＝2∶1，所以选项D错误。
(2020·湖北名校联盟高二下学期期中)某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：
典例
4
(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图甲所示，则该摆球的直径为_________cm。摆动时偏角满足的条件是偏角小于5°，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最______(填“高”或“低”)点的位置，且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期。图乙中停表示数为一单摆全振动50次所需的时间，则单摆振动周期为___________。
(2)用最小刻度为1
mm的刻度尺测摆长，测量情况如图丙所示，O为悬挂点，从图丙中可知单摆的摆长为_____________m。
(3)若用L表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝______。
0.97
低
2.05
s
0.998
0
(4)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大。”学生乙说：“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中______。
A．学生甲的说法正确
B．学生乙的说法正确
C．两学生的说法都是错误的
A
(5)某同学用单摆测量当地的重力加速度。他测出了摆线长度L和摆动周期T，如图丁(a)所示。通过改变悬线长度L，测出对应的摆动周期T，获得多组T与L，再以T2为纵轴、L为横轴画出函数关系图象如图丁(b)所示。由图象可知，摆球的半径r＝____________m，当地重力加速度g＝________m/s2；由此种方法得到的重力加速度值与实际的重力加速度值相比会________(选填“偏大”“偏小”或“一样”)。
1.0×10－2
π2
一样
实战演练触及高考
本章在高考中，常考知识点有单摆周期公式及其应用，弹簧振子的振动图象及对日常生活现象的解释，振动过程中物理量的变化等，有时结合万有引力定律，电场等知识联合考查，题型多以选择、填空为主。
【一 高考真题探析】
(2020·全国新课标Ⅱ卷，34)用一个摆长为80.0
cm的单摆做实验，要求摆动的最大角度小于5°，则开始时将摆球拉离平衡位置的距离应不超过________
cm(保留1位小数)。(提示：单摆被拉开小角度的情况下，所求的距离约等于摆球沿圆弧移动的路程。)
某同学想设计一个新单摆，要求新单摆摆动10个周期的时间与原单摆摆动11个周期的时间相等。新单摆的摆长应该取为_________
cm。
6.9
例题
96.8
【二 临场真题练兵】
1．(多选)(2019·江苏卷，13B)一个单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的
(
)
A．位移增大
B．速度增大
C．回复力增大
D．机械能增大
解析：摆球做简谐运动，在平衡位置处位移为零，在摆角增大的过程中，摆球的位移增大，速度减小，选项A正确，B错误；在摆角增大的过程中，摆球受到的回复力增大，选项C正确；单摆做简谐运动，机械能守恒，所以在摆角增大的过程中，摆球机械能保持不变，选项D错误。
AC
A 第十一章 学业质量标准检测
本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分100分，时间90分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，第1～6小题只有一个选项符合题目要求，第7～10小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分)
1．质点运动的位移x与时间t的关系如下列选项图所示，其中不属于机械振动的是( D )
解析：机械振动是指在平衡位置附近的往复运动，A、B、C项属于机械振动；D图中质点运动一段时间就趋于静止了，D项不属于机械振动。
2．做简谐运动的物体，其位移随时间的变化规律为x＝2sin(50πt＋)cm，则下列说法正确的是( D )
A．它的振幅为4
cm
B．它的周期为0.02
s
C．它的初相位是
D．它在周期内通过的路程可能是2
cm
解析：对照简谐运动的一般表达式x＝Asin(t＋φ)知A＝2
cm，T＝0.04
s，φ＝，故ABC错；由表达式可以看出振动物体从相位为到相位为这周期内通过的路程为A，故D正确。
3．如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx，释放后振子在AB间振动。设AB＝20
cm，振子由A到B时间为0.1
s，则下列说法正确的是( C )
A．振子的振幅为20
cm，周期为0.2
s
B．振子在A、B两处受到的回复力分别为kΔx＋mg与kΔx－mg
C．振子在A、B两处受到的回复力大小都是kΔx
D．振子一次全振动通过的路程是20
cm
解析：AB之间距离为20
cm，所以振幅为10
cm，选项A错误；由F＝－kx可知，在A、B两处回复力大小都为kΔx，选项B错误，选项C正确；完成一次全振动振子通过的路程为40
cm，选项D错误。
4．(2020·吉林省八校高二下学期期中联考)一个在y方向上做简谐运动的物体，其振动图象如图所示。下列关于图(1)～(4)的判断正确的是(选项中v、F、a分别表示物体的速度、受到的回复力和加速度)( C )
A．图(1)可作为该物体的v－t图象
B．图(2)可作为该物体的F－t图象
C．图(3)可作为该物体的F－t图象
D．图(4)可作为该物体的a－t图象
解析：因为F＝－kx，a＝－，故图(3)可作为F－t、a－t图象；而v随x增大而减小，故v－t图象应为图(2)。
5．(2020·浙江省诺丁汉大学附中高二下学期期末)如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上、下振动。开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2
Hz。现匀速转动摇把，转速为240
r/min。则( D )
A．当振子稳定振动时，它的振动周期是0.5
s
B．当振子稳定振动时，它的振动频率是2
Hz
C．当转速增大时，弹簧振子的振幅增大
D．当转速减小时，弹簧振子的振幅增大
解析：摇把的转速为n＝240
r/min＝4
r/s，它的周期T＝＝
s＝0.25
s；转动摇把时，振子做受迫振动，振动周期等于驱动力的周期，当振子稳定振动时，它的振动周期是0.25
s，频率为f＝＝4
Hz，A、B错误；摇把转动的周期与弹簧振子固有周期相差越小，振子的振幅越大，并不是转速越大，弹簧振子的振幅就越大，故C错误；当转速减小时，弹簧振子的受迫振动周期渐渐接近振子的固有周期，所以弹簧振子的振幅增大，故D正确。
6．一个单摆，在第一个行星上的周期为T1，在第二个行星上的周期为T2，若这两个行星的质量之比为M1∶M2＝4∶1，半径之比R1∶R2＝2∶1，则周期比( A )
A．T1∶T2＝1∶1
B．T1∶T2＝4∶1
C．T1∶T2＝2∶1
D．T1∶T2＝1∶2
解析：由g＝知＝＝1，而T＝2π，故T1∶T2＝1∶1，所以选项A正确。
7．(2020·河北省邯郸市馆陶一中高二下学期3月)如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图象，则下列说法中正确的是( AB )
A．甲、乙两摆的振幅之比为2∶1
B．t＝2
s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零
C．甲、乙两摆的摆长之比为4∶1
D．甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小一定相等
解析：由图知甲、乙两摆的振幅分别为2
cm、1
cm，故选项A正确；t＝2
s时，甲摆在平衡位置处重力势能最小；乙摆在振动的最大位移处，动能为零，故选项B正确；甲、乙两摆的周期之比为1∶2，由单摆的周期公式T＝2π，得到甲、乙两摆的摆长之比为1∶4，故选项C错误；由题目的条件不能比较甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小，故选项D错误。
8．(2020·北京师大附中高二下学期期中)一洗衣机，当脱水桶转的很快时，机身振动并不强烈，而切断电源，转动逐渐减慢直到停下来的过程中，在某一时刻t时，机身反而会发生强烈振动，此后脱水桶转速继续减慢，机身的振动也随之减弱，对于这一现象，下列说法正确的是( BD )
A．正常工作时，洗衣机驱动力的频率比洗衣机固有频率小
B．正常工作时，洗衣机驱动力的频率比洗衣机固有频率大
C．正常工作时，洗衣机驱动力的频率等于洗衣机固有频率
D．当洗衣机振动最剧烈时，驱动力的频率等于洗衣机固有频率
解析：正常工作时，洗衣机驱动力的频率比洗衣机的固有频率大，洗衣机脱水桶转动的越来越慢时，做受迫振动的频率在减小，当减小到跟洗衣机的固有频率相等时，发生共振，振动最强烈，然后受迫振动的频率继续减小，远离固有频率，振动又减弱，故AC错误，BD正确。
9．如图所示是用频闪照相的方法拍摄到的一个弹簧振子的振动情况，图甲是振子静止在平衡位置时的照片，图乙是振子被拉到左侧距平衡位置20
cm处放手后向右运动周期内的频闪照片，已知频闪的频率为10
Hz，则下列说法正确的是( BC )
A．该振子振动的周期为1.6
s
B．该振子振动的周期为1.2
s
C．振子在该周期内做加速度逐渐减小的变加速运动
D．从图乙可以看出再经过0.2
s振子将运动到平衡位置右侧10
cm处
解析：相邻两次频闪的时间间隔Δt＝＝
s＝0.1
s，由题图乙可知3Δt＝，则振子振动的周期为T＝1.2
s，选项B对，A错；振子在该周期内受到弹簧的弹力逐渐减小，加速度减小，选项C对；由振动方程x＝20sint
cm，当t＝0.2
s，x＝10
cm，选项D错。
10．如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是( ABC )
A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比l1∶l2＝25∶4
C．图线Ⅱ若是在地球上完成的，则该摆摆长约为1
m
D．若摆长均为1
m，则图线Ⅰ是在地球上完成的
解析：图线中振幅最大处对应频率应与做受迫振动的单摆的固有频率相等，从图线上可以看出，两单摆的固有频率，f1＝0.2
Hz，f2＝0.5
Hz，根据周期公式可得f＝＝，当两单摆分别在月球上和地球上做受迫振动且摆长相等时，g越大，f越大，由于月球上的重力加速度比地球上的小，所以图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，选项A正确；若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则g相同，两次摆长之比l1∶l2＝∶＝25∶4，所以选项B正确；图线Ⅱ若是在地球上完成的，将g＝9.8
m/s2和f2＝0.5
Hz代入频率的计算公式可解得l2≈1
m，所以选项C正确，D错误。
第Ⅱ卷(非选择题 共60分)
二、填空题(共2小题，共14分。把答案直接填在横线上)
11．(6分)(2020·山东省滕州一中高二下学期检测)如图甲所示，在光滑的斜面上，有一滑块，一劲度系数为k的轻弹簧上端与滑块相连，下端与斜面上的固定挡板连接，在弹簧与挡板间有一力传感器(压力显示为正值，拉力显示为负值)，能将各时刻弹簧中的弹力数据实时传送到计算机，经计算机处理后在屏幕上显示出F－t图象。现用力将滑块沿斜面压下一段距离，放手后滑块将在光滑斜面上做简谐运动，此时计算机屏幕上显示出如图乙所示图象。
(1)滑块做简谐运动的回复力是由__弹簧的弹力和重力沿斜面方向分力的合力(或弹簧弹力、重力和斜面支持力的合力)__提供的。
(2)由图乙所示的F－t图象可知，滑块做简谐运动的周期为__0.4__s。
(3)结合F－t图象的数据和题目中已知条件可知，滑块做简谐运动的振幅为____。
解析：(1)对滑块进行受力分析，弹簧的弹力和重力沿斜面方向分力的合力提供回复力。
(2)由题图可以看出周期为0.4
s。
(3)根据胡克定律：F1＝kx，F2＝kx′ 振幅A＝＝
12．(8分)(2020·山东省滕州一中物理高二下学期检测)某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素。
(1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图所示。这样做的目的是__AC__(填字母代号)。
A．保证摆动过程中摆长不变
B．可使周期测量得更加准确
C．需要改变摆长时便于调节
D．保证摆球在同一竖直平面内摆动
(2)正确组装单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺量出从悬点到摆球最低端的长度L＝0.999
0
m，再用游标卡尺测出摆球直径，结果如图所示，则该摆球的直径为__12.0____mm，单摆摆长l为__0.993_0____m。
(3)实验中，测出不同摆长l对应的周期值
，作出T2－l图象，如图所示，已知图线上A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，可求出g＝__(x2－x1)__。
(4)若该同学测摆长时把悬点到摆球最高端的长度当成了摆长，而其他测量、计算均无误，也不考虑实验误差，则用上述方法算得的g值和真实值相比是__不变__的(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
解析：(1)在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，是为了防止摆动过程中摆长发生变化；如果需要改变摆长来探究摆长与周期关系时，方便调节摆长；故A正确，C正确；
(2)该摆球的直径为12
mm＋0.01
mm×0＝12.0
mm，单摆摆长l为0.999
0
m－6.0
mm＝0.993
0
m；
(3)根据单摆的周期公式T＝2π，即T2＝l，有：y1＝x1；y2＝x2，联立解得：
g＝(x2－x1)；
(4)单摆摆长等于摆线长度与摆球半径之和，把摆线长度作为单摆摆长小于实际摆长，则T2－L图象不过原点，在纵轴上截距不为零，但斜率仍然不变，故g也不变。
三、论述·计算题(共4小题，共46分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)
13．(10分)正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点时用30
s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1
m，当地重力加速度g取π2(m/s2)；根据以上数据求房顶到窗上沿的高度。
答案：3.0
m
解析：T＝＝3.0
s，T＝＋＝(2π＋2π)，解得h＝3.0
m
14．(11分)(2020·山东东营市高三模拟)一水平弹簧振子做简谐运动，其位移和时间关系如图所示。
(1)求t＝0.25×10－2
s时的位移。
(2)在t＝1.5×10－2
s到t′＝2×10－2
s的时间内，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？
(3)从t＝0到t＝8.5×10－2
s的时间内，质点的路程为多大？
答案：(1)－1.414
cm (2)见解析 (3)34
cm
解析：(1)由题图可知T＝2×10－2
s，
则ω＝＝100π
rad/s
则简谐运动的表达式为
x＝－Acosωt＝－2cos100πt
cm
x＝－2cos(100π×0.25×10－2)cm≈－1.414
cm。
(2)在t＝1.5×10－2
s到t′＝2×10－2
s的时间内，质点的位移、回复力、势能都增大，速度、动能均减小。
(3)因振动是变速运动，因此只能利用其周期性求解，即一个周期内通过的路程为4个振幅。
因为Δt＝8.5×10－2
s＝T
路程s＝4A×＝17A＝17×2
cm＝34
cm。
15．(12分)(2020·北京师大附中高二下学期期中)如图所示，弹簧振子在光滑水平面上以振幅A做简谐运动，质量为M的滑块上面放一个质量为m的砝码，砝码随滑块一起做简谐运动，已知弹簧的劲度系数为k，试求：
(1)使砝码随滑块一起振动的回复力是什么力？它跟位移成正比的比例常数k′等于多少？
(2)当滑块运动到振幅一半位置时，砝码所受回复力有多大？方向如何？
(3)当砝码与滑块的动摩擦因数为μ时，要使砝码与滑块不发生相对滑动的最大振幅为多大？
答案：
(1)滑块对砝码的静摩擦力
(2) 方向指向平衡位置
(3)
解析：(1)使砝码随滑块一起做简谐振动的回复力是滑块对砝码的静摩擦力。
对M、m整体：F＝kx＝(M＋m)a，
对m：f＝ma，
由以上两式可得f＝x，
所以k′＝。
(2)f＝k′·＝，
方向指向平衡位置。
(3)fm＝μmg＝k′Am，
Am＝＝。
16．(13分)(2020·河南潘阳市第一中学)将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，图甲中O点为单摆的悬点，现将小球(可视为质点)拉到A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的ABC之间来回摆动，其中B点为运动中最低位置。∠AOB＝∠COB＝α，α小于10°且是未知量，图乙表示由计算机得到细线对摆球的拉力大小F随时间变化的曲线，且图中t＝0时刻为摆球从A点开始运动的时刻，据力学规律和题中信息(g取10
m/s2)，求：
(1)单摆的周期和摆长；
(2)摆球质量及摆动过程中的最大速度。
答案：(1)0.4π
s 0.4
m (2)0.05
kg 0.283
m/s
解析：(1)由图乙可知：单摆周期T＝0.4π
s
由公式T＝2π可求得摆长l＝0.4
m。
(2)mgcosα＝Fmin＝0.495
N
mg(l－lcosα)＝mv
Fmax－mg＝m
解得m＝0.05
kg，vm≈0.283
m/s。
