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物 理
选修3-4
·
人教版
新课标导学
第十一章
机械振动
〔情
景
切
入〕
钟摆的运动给人们提供了一种计时的方法，共振筛的运用提高了人们的劳动效率，车厢与车轴间的减振板使车辆的运动更加平稳，声带的振动可使我们通过语言交流思想感情，地震则可能给人类带来巨大的灾难。振动是一把双刃剑，由此可见学习机械振动的重要性。振动是一种运动的形式，并不仅仅局限于力学，在电学中同样有它的身影，这在3－2教材中已经有过体现，通过本章的学习你将融会贯通。
3．本章知识比较琐碎、概念较多，且振动的规律与直线运动规律存在很大差异，应在理解概念和本章规律上多下功夫。要通过实例理解振动的周期性和对称性，充分利用这些特点解决振动问题。
4．在阅读教材时，对教材中出现的“做一做”“思考与讨论”“实验”“科学漫步”等材料，要认真研读，加强与同学的交流与合作。
第一节 简谐运动
【素养目标定位】
※
知道简谐运动的概念
※※
掌握简谐运动的位移时间图象，并能解决相关问题
1
课前预习反馈
2
课内互动探究
3
核心素养提升
4
课内随堂达标
5
课时强化作业
课前预习反馈
机械振动与弹簧振子
1．机械振动
(1)定义：物体(或物体的一部分)在某一________位置附近的往复运动，叫机械振动，简称振动。
(2)特征：第一，有一个“中心位置”，即________位置，也是振动物体静止时的位置；第二，运动具有__________。
中心
知识点
1
平衡
往复性
2．弹簧振子
(1)弹簧振子：弹簧振子是指________和________所组成的系统，是一种__________模型。
(2)振子模型：常见的有水平弹簧振子和竖直弹簧振子。如图所示，图甲中球与杆之间的摩擦可以________，且弹簧的质量与小球的质量相比可以________。
小球
弹簧
理想化
忽略
忽略
弹簧振子的位移—时间图象
1．建立坐标系
以小球的____________为坐标原点，沿着____________方向建立坐标轴。规定小球在平衡位置________时它对平衡位置的位移为正，在________时为负(以水平弹簧振子为例)。
2．位移—时间图象
横坐标表示振子振动的________，纵坐标表示振子相对____________的位移。
3．物理意义
反映了振子的________随________的变化规律。
平衡位置
知识点
2
它的振动
右边
左边
时间
平衡位置
位移
时间
简谐运动及其图象
1．简谐运动
(1)定义：如果质点的位移与时间的关系遵从________函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条________曲线，这样的振动叫做简谐运动。
(2)特点：①简谐运动是最________、最________的振动。
②简谐运动的位移随时间按正弦规律变化，所以它不是__________运动，是变力作用下的__________运动。
正弦
知识点
3
正弦
基本
简单
匀变速
变加速
2．简谐运动的图象
(1)形状：正(余)弦曲线，如图所示。
(2)物理意义：表示振动的质点在不同时刻偏离____________的位移，是位移随时间的变化规律。
(3)获取信息：从图象上可直接看出不同时刻振动质点的________大小和方向。
平衡位置
位移
『判一判』
(1)简谐运动是匀变速运动。
( )
(2)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。
( )
(3)简谐运动是最简单、最基本的振动。
( )
(4)弹簧振子的运动不一定是简谐运动。
( )
(5)简谐运动的图象描述的是振动质点的轨迹。
( )
(6)只要质点的位移随时间按正弦规律变化，这个质点的运动就是简谐运动。
( )
×
×
×
×
×
×
辨析思考
『选一选』
如图所示，一弹性小球被水平抛出，在两个互相竖直平行的平面间运动，小球落在地面之前的运动
( )
A．是机械振动，但不是简谐运动
B．是简谐运动，但不是机械振动
C．是简谐运动，同时也是机械振动
D．不是简谐运动，也不是机械振动
D
解析：机械振动具有往复的特性，可以重复地进行，小球在运动过程中，没有重复运动的路径，因此不是机械振动，当然也肯定不是简谐运动。
『想一想』
振子的位移—时间图象如图所示，此图象就是振子的运动轨迹吗？
答案：振子的位移—时间图象不是振子的运动轨迹。例如，水平方向的弹簧振子的运动轨迹是一条水平线段。
课内互动探究
对弹簧振子和简谐运动的理解
如图，弹簧连接的塑料小球穿在细木杆上，该装置是否为弹簧振子？若不计小球与杆间的摩擦，小球运动过程中通过B点时，小球的位移如何表示？
提示：小球为塑料小球，质量较小，因此该装置不能看作弹簧振子；小球的位移大小为OB的长度，方向由O指向B。
探究
一
思考讨论
1
1．实际物体看作理想振子的条件
(1)弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子(小球)；
(2)构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点；
(3)忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力；
(4)小球从平衡位置被拉开的位移在弹性限度内。
归纳总结
2．对简谐运动的位移、速度和加速度的理解
(1)简谐运动的位移
位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示。
(2)简谐运动的速度
①物理含义：速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴(也称“一维坐标系”)上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。
②特点：如图所示为一简谐运动的模型，振子在A、B之间振动，则振子在O点速度最大，在A、B两点速度为零。
(3)简谐运动的加速度
①产生：水平弹簧振子的加速度是由弹簧弹力产生的。
②方向特点：总是指向平衡位置。
③大小变化规律：远离平衡位置运动，振子的加速度增大；向平衡位置运动，振子的加速度减小；平衡位置振子的加速度为零；最大位移处振子的加速度最大。
(2020·上海市长宁区高三第一学期期末)如图所示，弹簧振子在B、C两点间做无摩擦的往复运动，O是振子的平衡位置。则振子
( )
A．从B向O运动过程中位移一直变小
B．从O向C运动过程中加速度一直变小
C．从B经过O向C运动过程中速度一直变小
D．从C经过O向B运动过程中速度一直变小
解题指导：根据弹簧振子的振动过程分析处理。
A
典例
1
典题例析
解析：振子从B向O运动时，是向着平衡位置移动，位移变小，故A正确；振子从O向B运动时，是从平衡位置向最大位移运动的过程，所以位移变大，加速度变大，故B错误；从B经过O向C运动过程中速度先增大后变小，故C错误；从C经过O向B运动过程中速度先增大后变小，故D错误。
1．(多选)弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是
( )
A．在小球原来静止的位置
B．在弹簧处于原长的位置
C．在小球速度最大的位置
D．在小球加速度为零的位置
解析：小球原来静止时的位置为平衡位置，小球在平衡位置附近做往复运动，在平衡位置处速度最大，加速度为零，故选项B错误，ACD正确。
ACD
对点训练
对简谐运动图象的理解
研究一个物体的振动是否为简谐运动，可以通过作出的振动图象来判断。如图所示，在弹簧振子的小球上安置一记录用的毛笔P，在下面放一白纸带，请思考：
探究
二
思考讨论
2
(1)振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？
(2)振子振动时，匀速拖动白纸，画出的轨迹又是怎样的？
提示：(1)一条直线
(2)一条正弦(或余弦)曲线
1．图象形状：正(余)弦曲线。
2．物理意义：表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律。
归纳总结
图1
3．从图象可获取的信息
(1)任意时刻质点的位移的大小和方向。如图1所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。
(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图2中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a此刻向x轴正向振动。
图2
(3)任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况及大小比较：看下一时刻质点的位置，判断是远离还是衡位置，若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大，若衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小，如图中b，从正位移向着平衡位置运动，则速度为负且增大，位移、加速度正在减小，c从负位移远离平衡位置运动，则速度为负且减小，位移、加速度正在增大。
(多选)(2020·江苏省启东市高二下学期调研)如图甲所示的弹簧振子在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，图乙为此弹簧振子的振动图象，则
(
)
BC
典例
2
典题例析
A．t＝0.6
s时，弹簧振子的速度最大
B．从t＝0到t＝0.2
s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动
C．在t＝0.5
s和t＝0.7
s两个时刻，弹簧振子在同一位置
D．t＝0.2
s时，弹簧振子的位移为负向最大
解题指导：根据振动图象处理问题时，要把振动图象和振子的运动情况结合起来，建立物理情景，进行综合分析。
解析：由图可知，t＝0.6
s时，弹簧振子的位移为负向最大值，速度为零，故A错误；从t＝0到t＝0.2
s时间内，弹簧振子的位移增大，加速度增大，速度减小，所以弹簧振子做加速度增大的减速运动，故B正确；在t＝0.5
s和t＝0.7
s两个时刻，弹簧振子的位移相同，说明弹簧振子在同一位置，故C正确；t＝0.2
s时，弹簧振子的位移为正向最大，故D错误。
对点训练
ACD
解析：该图象的坐标原点是建立在弹簧振子的平衡位置，小球的振动过程是沿x轴方向移动的，故A对，B错。由获得图象的方法知C对。频闪照相是在相同时间留下的小球的像，因此小球的疏密显示了它的位置变化快慢，D对。
核心素养提升
简谐运动的对称性
位移和加速度的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移和加速度均相同
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移与加速度均大小相等，方向相反
动能、势能、机械能的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)时的动能、势能、机械能均相等
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时的动能、势能、机械能均相等
如图所示，一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10
cm的A、B两点，历时0.5
s，过B点后再经过t＝0.5
s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点从离开O点到再次回到O点的最短时间为(O点为AB的中点)
( )
A．0.5
s
B．1.0
s
C．2.0
s
D．4.0
s
案
例
B
课内随堂达标
课时强化作业第十一章 第一节
沙场点兵·名校真题·实效检测
1．
(2020·北京四中顺义分校高二下学期期中)如图所示，一弹簧振子做等幅振动，取向右为正，A、B两处为最大位移处，O为平衡位置，C为AO间某一位置，则振子( B )
A．从B→O时，位移是正值，加速度为正值
B．从O→B时，位移是正值，速度为正值
C．运动至C处时，位移为负值，加速度为负值
D．运动至C处时，位移为正值，加速度为负值
解析：B→O时，位移是正值，加速度为负值，故A错误；从O→B时，位移是正值，速度为正值，故B正确；运动至C处时，位移为负值，加速度为正值，故CD错误。
2．(2020·北京101中学高二下学期期中)如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动。以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴正方向，若振子位于N点时开始计时，则其振动图象为( A )
解析：由题意，向右为x轴的正方向，振子位于N点时开始计时，因此t＝0时，振子的位移为正的最大值，振动图象为余弦函数，A项正确。
3．(2020·北京师大附中高二下学期期中)如图1所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图2所示，下列说法正确的是( D )
A．t＝0.8
s时，振子的速度方向向右
B．t＝0.2
s时，振子在O点右侧6
cm处
C．t＝0.4
s和t＝1.2
s时，振子的加速度完全相同
D．t＝0.4
s到t＝0.8
s的时间内，振子的速度逐渐增大
解析：由图可知t＝0.8
s时，振子在平衡位置向左运动，A错误；由图2可看出，当t＝0.2
s时，x>6
cm，故B错误；当t＝0.4
s和t＝1.2
s时，振子分别在B、A两点，加速度大小相等，方向相反，C错误；在0.4
s～0.8
s时间内，振子由最大位移处向平衡位置运动，速度越来越大，D正确。第十一章 第一节
请同学们认真完成练案[1]
(时间：30分钟 总分：50分)
基础夯实
一、选择题(1～4题为单选题，5、6题为多选题)
1．下列情形中不属于机械振动的是( D )
A．水中浮标上下运动
B．秋千的摆动
C．拨动后的琴弦
D．表针沿表盘转动
解析：物体做机械振动时存在某一平衡位置，且物体在这一位置两侧往复运动，A、B、C选项中描述的运动均符合这一要求，D选项表针做圆周运动，它并不是在某一位置两侧往复运动，故D选项不属于机械振动。
2．下列说法中正确的是( A )
A．弹簧振子的运动是简谐运动
B．简谐运动就是指弹簧振子的运动
C．简谐运动是匀变速运动
D．简谐运动是机械运动中最简单、最基本的一种
解析：弹簧振子的运动是简谐运动，但简谐运动并不都是弹簧振子的运动，A正确，B错误；简谐运动是机械振动中最简单、最基本的一种，其振动的加速度时刻变化，故C、D均错误。
3．关于简谐运动，下列说法正确的是( D )
A．简谐运动一定是水平方向的运动
B．所有的振动都可以看作是简谐运动
C．物体做简谐运动时一定可以得到正弦曲线形的轨迹线
D．只要振动图象是正弦曲线，物体一定做简谐运动
解析：物体的简谐运动并不一定只在水平方向发生，各个方向都有可能发生，A错；简谐运动是最简单的振动，B错；做简谐运动的轨迹线并不是正弦曲线，C错；物体振动的图象是正弦曲线，一定是做简谐运动，D对。
4．装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图所示。将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图象中可能正确的是( D )
解析：试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时，向上提起的距离就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移，因此应选D。
5．如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时为计时时刻，其振动的x－t图象如图乙所示，则下列说法中正确的是( AC )
A．t2时刻振子在A点
B．t2时刻振子在B点
C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大
D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小
解析：振子在A点和B点时的位移最大，由于取向右为正方向，所以振子运动到A点有正向最大位移，在B点有负向最大位移，则t2时刻，振子在A点，t4时刻，振子在B点，故选项A正确，选项B错误；振子的位移是以平衡位置为起点，所以在t1～t2和t3～t4时间内振子的位移都在增大，故选项C正确，选项D错误。
6．如图所示为某物体做简谐运动的图象，下列说法中正确的是( AB )
A．物体在0.2
s时刻与0.4
s时刻的速度相同
B．物体在0.6
s时刻与0.4
s时刻的动能相同
C．0.7～0.9
s时间内物体的加速度在减小
D．0.9～1.1
s时间内物体的势能在增加
解析：由图可知，物体在0.2
s与0.4
s时刻都向正x方向运动，速度大小相等，A正确；物体在0.6
s与0.4
s时刻速度大小相等，动能相同，B正确；物体在0.7～0.9
s内加速度在增大，C错误；物体在0.9～1.1
s内势能在减小，D错误。
二、非选择题
7．如图，简谐运动的图象上有a、b、c、d、e、f六个点，其中：
(1)与a点位移相同的点有哪些？
(2)与a点速度相同的点有哪些？
(3)图象上从a点到c点，质点经过的路程为多少？
答案：(1)b、e、f (2)d、e (3)4
cm
解析：(1)分析图象可得a、b、e、f的位移均为1
cm。c、d点的位移都是－1
cm。故与a点位移相同的点b、e、f三点。
(2)由(1)可知，图象上的a、b、e、f点对应质点运动到同一位置。图象上的c、d点对应质点运动到关于O点对称的另一位置。故以上6个点的速度大小相等。再结合图象可以判断a、b、c、d、e、f
点的运动方向分别为向上、向下、向下、向上、向上和向下。故与a点有相同速度的点为d和e。
(3)图象上从a到b点，对应质点从正方向1
cm处先是来到2
cm处又返回到1
cm处，通过的路程为2
cm。从b点到c点，对应质点从正方向1
cm处经平衡位置运动到负方向1
cm处，通过的路程也为2
cm，故从a到c点总共通过的路程为4
cm。
能力提升
一、选择题(1～4题为单选题，5题为多选题)
1．(2020·江苏省扬州中学高二下学期期中)一竖直弹簧振子做简谐运动，其振动图象如图所示，那么在(－Δt)和(＋Δt)(Δt是微小的时间)两时刻，弹簧振子的( B )
A．相对平衡位置的位移相同
B．速度相同
C．加速度相同
D．弹性势能相同
解析：在两时刻振子的位移大小相等方向相反，加速度大小相等方向相反，速度相同，弹性势能不同，故选B。
2．质点做简谐运动的x－t关系如图甲所示，以x轴正向为速度v的正方向，该质点的v－t关系是( B )
解析：在t＝0时刻，质点的位移最大，速度为0，则下一时刻质点应沿x轴向负方向运动，故选项A、C错误；在t＝时刻，质点的位移为0，速率最大，故选项B正确，选项D错误。
3．如图所示，下列说法正确的是( B )
A．振动图象上的A、B两点振动物体的速度相同
B．在t＝0.1
s和t＝0.
3
s时，质点的加速度大小相等，方向相反
C．振动图象上A、B两点的位移大小相等，方向相反
D．质点在t＝0.2
s和t＝0.3
s时的动能相等
解析：由图看出A、B两点振动物体的速度大小相等，方向相反，A、B两点的位移大小相等方向相同，故A、C选项错误；在t＝0.1
s和t＝0.3
s时，加速度等大、反向，故B正确；质点在t＝0.2
s在平衡位置，动能最大，t＝0.3
s时在最大位移处，动能最小；故D错误。
4．(2020·山东省烟台市高二下学期检测)一个质点做简谐运动，它的振动图象如图所示，则( C )
A．图中的曲线部分是质点的运动轨迹
B．有向线段OA是质点在t1时间内的位移
C．有向线段OA在x轴的投影是质点在t1时刻的位移
D．有向线段OA的斜率是质点在t1时刻的速率
解析：图中的曲线部分是质点的位移与时间的对应关系，不是质点的运动轨迹，故A错；质点在t1时间内的位移，应是曲线在t1时刻的纵坐标，故B错，C对；质点在t1时刻的速率应是曲线在t1时刻所对应的曲线的斜率，故D错。
5．(2020·河北省邯郸市馆陶一中高二下学期3月)如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( BD )
A．t＝0.4
s时，振子的速度为正值
B．t＝0.8
s时，振子在O点和A点之间
C．t＝0.6
s和t＝1.2
s时刻，振子的速度完全相同
D．t＝1.5
s到t＝1.8
s的时间内，振子的加速度逐渐减小
解析：t＝0.4
s时，振子的速度向左为负值，A错误；t＝0.8
s时，振子在OA之间，B正确；t＝0.6
s和t＝1.2
s时刻振子的速度方向相反，C错；t＝1.5
s到t＝1.8
s时间内振子从B运动到O，加速度逐渐减小，D正确。
二、非选择题
6．如图所示的三个图线分别是用不同的传感器测出的不同物体的振动图线。从三个图线可知，这三个物体振动的
共同特点是具有__周期性__，三个物体中，最简单的振动是
__弹簧振子的振动__。图中心脏跳动的图线是某人的心电图，方格纸每个小方格的宽度是0.5
cm，心电图记录仪拖动方格纸的速度是1.8
cm/s，则此人的心率是__67.5__次/分。
解析：由图可看出，三个物体振动的共同特点是都具有周期性，弹簧振子的图线是简谐运动的图线，是最简单的振动；心脏跳动的频率为1.8×60/(0.5×3.2)次/分＝67.5次/分。
7．如图所示为某质点做简谐运动的图象，质点在前6
s内通过的路程是多少？在6～8
s的平均速度大小为多少？方向如何？
答案：6
cm 1×10－2
m/s 方向沿x轴正方向
解析：质点在前6
s内通过的路程s＝×4×2
cm＝6
cm，6～8
s内平均速度大小＝＝＝1×10－2
m/s，方向沿x轴正方向。
