第十一章 第三节
沙场点兵·名校真题·实效检测
1．(2020·江苏省苏州市高二下学期期中)公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为T。取竖直向上为正方向，以t＝0时刻作为计时起点，其振动图象如图所示，则( C )
A．t＝T时，货物对车厢底板的压力最大
B．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
C．t＝T时，货物对车厢底板的压力最大
D．t＝T时，货物对车厢底板的压力最小
解析：t＝时，货物加速度方向向下，失重，货物对车厢底板的压力最小，A错误；t＝时，货物加速度为零，货物对车厢底板的压力等于重力大小，B错误；t＝T时，货物加速度方向向上且最大，超重，此时货物对车厢底板的压力最大，C正确、D错误。
2．(多选)(2020·山东省昌乐二中高二下学期月考)如图所示，当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是( CD )
A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等，弹性势能相等
B．振子从最低点向最高点运动的过程中，弹簧弹力始终做正功
C．振子在运动过程中的回复力由弹簧弹力和振子重力的合力提供
D．振子在运动过程中，系统的机械能守恒
解析：振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，A错误；振子由最低点向最高点运动过程中，弹力一定是先做正功，但过了平衡位置后，弹簧可能是压缩状态下的弹力做负功，也可能一直是拉伸状态下的弹力做正功，所以B错误；振子运动过程中的回复力由振子所受合力提供且运动过程中机械能守恒，故C、D正确。
3．(2020·北京四中顺义分校高二下学期期中)如图所示，木块Q的质量为M，叠放于Q上的木块P的质量为m，劲度系数为k的水平弹簧质量不计，其左端固定在墙上，右端与Q连接。若Q在光滑的水平桌面上做振幅为A的简谐运动过程中，P与Q始终保持相对静止。则P与Q两木块间的静摩擦力的最大值为____。
解析：振子在最大位移处加速度最大，整体受力分析kA＝(M＋m)a再单独分析P：f＝ma，联立解得f＝。第十一章 第三节
请同学们认真完成练案[3]
(时间：30分钟 总分：50分)
基础夯实
一、选择题(1～3题为单选题，4、5题为多选题)
1．物体做简谐运动的过程中，下述物理量中保持不变的是( B )
A．速度
B．振幅
C．势能
D．动能
解析：做简谐运动的物体，振幅保持不变，速度、动能、势能随时间变化，故选B。
2．在简谐运动中，振子每次经过同一位置时，下列各组中描述振动的物理量总是相同的是( B )
A．速度、加速度和动能
B．加速度、动能、回复力和位移
C．加速度、速度、动能和位移
D．位移、动能、速度和回复力
解析：振子每次经过同一位置时，其加速度、动能、回复力和位移总相同，故选B。
3．一个质点做简谐运动的图象如图所示，在t1和t2这两个时刻，质点的( B )
A．加速度相同
B．速度相同
C．回复力相同
D．位移相同
解析：在t1和t2时刻，质点的加速度、回复力和位移大小相等方向相反，而速度的大小和方向相同，故选B。
4．如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，O为平衡位置，下列说法正确的是( AD )
A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用
C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
解析：回复力是根据作用效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在题图情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程中回复力逐渐减小，C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确。
5．如图所示的弹簧振子(以O点为平衡位置在B、C间振动)，取水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移的正方向，得到如图所示的振动曲线。由曲线所给的信息可知，下列说法正确的是( AD )
A．t＝0时，振子处在B位置
B．t＝4
s时振子对平衡位置的位移为10
cm
C．t＝2.5
s时振子对平衡位置的位移为5
cm
D．如果振子的质量为0.5
kg，弹簧的劲度系数为
20N/cm，则振子的最大加速度大小为400
m/s2
解析：由振动图象可知t＝0时，振子的位移为负向最大，说明振子处于B位置，故A正确；由图看出，t＝4
s时振子对平衡位置的位移为－10
cm，故B错误；由于振子做的是变加速直线运动，不是匀速直线运动，所以t＝2.5
s时振子对平衡位置的位移不是5
cm，故C错误；k＝20
N/cm＝2
000
N/m，振幅A＝10
cm＝0.1
m，振子的最大加速度在最大位移处，由弹簧受力和牛顿第二定律可得最大加速度
大小为：am＝＝＝400
m/s2，故D正确。
二、非选择题
6．如图所示，水平弹簧振子在光滑水平杆上以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，A、B相距20
cm。某时刻振子处于B点，经过0.5
s，振子首次到达A点，则
(1)振子的振幅为__10_cm__；
(2)振动的周期为__1_s__；
(3)振子在B点跟在距O点4
cm处的P点的加速度大小之比为多少。
答案：(3)5∶2
解析：(1)由题意可知，振子的振幅为A＝10
cm。
(2)振动的周期为T＝2×0.5
s＝1
s
(3)振子在B点的位移大小xB＝10
cm，距O点4
cm处的P点的位移大小为xP＝4
cm，由a＝－，得振子在B、P两点的加速度大小之比aB∶aP＝5∶2。
7．如图所示，物体m系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，试证明物体m做的运动是简谐运动。
证明：物体m离开平衡位置时所受的指向平衡位置的回复力F＝－(k1x＋k2x)＝－3kx，符合简谐运动的回复力特点，因此物体m以O为平衡位置做简谐运动。
能力提升
一、选择题(1～3题为单选题，4、5题为多选题)
1．(2020·浙江省慈溪市高二上学期期末)如图所示为两个弹簧振子的振动图象，下面的说法中正确的是( B )
A．甲的振动能量是乙的2倍
B．甲的振动频率是乙的2倍
C．乙的振动周期是甲的倍
D．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1
解析：由于无法确定两弹簧振子的k和m，所以选项A、D错误；由图线可知，f甲＝2f乙，T乙＝2T甲，故选项B正确，C错误。
2．(2020·贵州省遵义航天高中高二下学期月考)某同学在探究简谐振动的规律时做了如下实验：如图，将弹簧的上端与力传感器相连，下端与一小球连接，小球质量为m，静止在O点，现让小球做简谐运动，振幅为A，以O点为坐标原点，竖直向上为正方向，并取小球经过O点向上运动时为计时零点，描绘出了小球所受弹力F与时间t的变化图象，其中正确的是( B )
解析：小球以O点为平衡位置做简谐振动，在O点时弹力F＝mg，从O点向上运动时弹力先减小后反向增大，综上所述选项B正确。
3．如图甲所示，一弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置，如图乙是振子做简谐运动时的位移—时间图象，则关于振子的加速度随时间的变化规律，下列四个图象中正确的是( C )
解析：加速度与位移关系a＝－，而x＝Asin(ωt＋φ)，所以a＝－Asin(ωt＋φ)，则可知加速度—时间图象为C项所示。
4．做简谐运动的弹簧振子，振子质量为m，最大速度为v，则下列说法中正确的是( AD )
A．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功一定为零
B．从某时刻算起，在半个周期的时间内，回复力做的功可能是0到mv2之间的某一个值
C．从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量一定为零
D．从某时刻算起，在半个周期的时间内，速度变化量的大小可能是0到2v之间的某一个值
解析：相距半个周期的两个时刻，速度的大小相等，方向相反。因此由W＝mv－mv＝0可知，选项A正确，B错误。由于在开始计时时速度的大小未知，由Δv＝v1－(－v1)＝2v1,0≤v1≤v可知，选项C错误，D正确。
5．如图所示，物体A置于物体B上，一轻质弹簧一端固定，另一端与B相连。在弹性限度范围内，A和B在光滑水平面上做往复运动(不计空气阻力)，并保持相对静止，则下列说法正确的是( AB )
A．A和B均做简谐运动
B．作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C．B对A的静摩擦力始终对A做负功，而A对B的静摩擦力对B不做功
D．B对A的静摩擦力始终对A做正功，而A对B的静摩擦力对B不做功
解析：物体A，B保持相对静止，在轻质弹簧作用下做简谐运动，故A正确；对A，B整体由牛顿第二定律－kx＝(mA＋mB)a，对A用牛顿第二定律Ff＝mAa，解得Ff＝－x，故B正确；在衡位置的过程中，B对A的静摩擦力做正功，在远离平衡位置过程中，B对A的静摩擦力做负功，A对B的静摩擦力也做功，故C，D错。
二、非选择题
6．如图所示，一质量为M的无底木箱，放在水平地面上，一轻质弹簧一端悬于木箱的上边，另一端挂着用细线连接在一起的两物体A和B，mA＝mB＝m。剪断A、B间的细线后，A做简谐运动，则当A振动到最高点时，木箱对地面的压力为多少？
答案：Mg
解析：本题考查简谐运动的特点及物体受力情况的分析。剪断细线前A的受力情况：
重力mg，向下；细线拉力F拉＝mg，向下；弹簧对A的弹力F＝2mg，向上。此时弹簧的伸长量为Δx＝＝。剪
断细线后，A做简谐运动，其平衡位置在弹簧的伸长量为Δx′＝处，最低点即刚剪断细线时的位置，离平衡位置的距离为。由简谐运动的特点知最高点离平衡位置的距离也为，所以最高点的位置恰好在弹簧的原长处。此时弹簧对木箱作用力为零，所以此时木箱对地面的压力为Mg。(共35张PPT)
物 理
选修3-4
·
人教版
新课标导学
第十一章
机械振动
第三节 简谐运动的回复力和能量
【素养目标定位】
※
掌握简谐运动中回复力的特点
※
会用动力学的方法，分析简谐运动中位移、速度、回复力和加速度的变化规律
※
会用能量守恒的观点，分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律
1
课前预习反馈
2
课内互动探究
3
核心素养提升
4
课内随堂达标
5
课时强化作业
课前预习反馈
简谐运动的回复力
1．简谐运动的动力学定义
如果________所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成________，并且总是指向____________，质点的运动就是简谐运动。
2．回复力
质点
知识点
1
项目
内容
定义
振动质点受到的总能使其回到______________的力
方向
总是指向_____________
表达式
F＝_______
效果
总是要把物体拉回到______________
正比
平衡位置
平衡位置
平衡位置
－kx
平衡位置
简谐运动的能量
1．振动系统的状态与能量的关系
(1)振子的速度与动能：速度不断________，动能也在不断________。
(2)弹簧形变量与势能：弹簧形变量在________，因而势能也在________。
变化
知识点
2
变化
变化
变化
2．简谐振动的能量
振动系统的能量一般指振动系统的机械能。振动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，________最大，________为零；
(2)在平衡位置处，________最大，________最小；
(3)在简谐运动中，振动系统的机械能________(选填“守恒”或“减小”)，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
势能
动能
动能
势能
守恒
3．决定能量大小的因素
振动系统的机械能跟________有关，________越大，机械能就越大，振动越强。对于一个确定的简谐运动是________(本空选填“等幅”或“减幅”)振动。
振幅
振幅
等幅
『判一判』
(1)简谐运动的回复力可以是恒力。
( )
(2)简谐运动平衡位置就是质点所受合力为零的位置。
( )
(3)做简谐运动的质点，振幅越大其振动的能量就越大。
( )
(4)回复力的方向总是跟位移的方向相反。
( )
(5)弹簧振子在运动过程中机械能守恒。
( )
(6)通过速度的增减变化情况，能判断回复力大小的变化情况。
( )
×
×
×
×
×
×
辨析思考
『选一选』
把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是
( )
A．小球在O位置时，动能最小，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功
D．小球从B到O的过程中，振动的能量不断减小
C
解析：振子经过平衡位置时，速度最大，位移为零，所以经过平衡位置动能最大，回复力为零，加速度为零，故A错误；在A、B位置时，速度为零，位移最大，回复力最大，加速度最大，故B错误；由于回复力指向平衡位置，所以振子从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功，故C正确；振子的动能和弹簧的势能相互转化，且总量保持不变，即振动的能量保持不变，故D错误。
『想一想』
弹簧下面挂一小钢球如图所示，它所受的力与位移的关系也满足F＝－kx吗？x为弹簧的形变量吗？它振动的回复力由哪个力提供？是简谐运动吗？
答案：满足；不是；由弹簧弹力和重力的合力提供；是
解析：设振子的平衡位置为O，向下为正方向，此时弹簧已
伸长了x0
设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kx0＝mg
①
当振子偏离平衡位置距离为x时
F回＝mg－k(x＋x0)
②
由①②得F回＝－kx，
所以该振动是简谐运动。
课内互动探究
对回复力和加速度的理解
右图为水平弹簧振子的模型，则：
(1)振子在运动过程中所受的合力有什么特点？
(2)振子所受的合力产生了什么效果？
提示：(1)振子所受的合力总是指向平衡位置。
(2)合力的效果总是把振子拉回到平衡位置。
探究
一
思考讨论
1
1．回复力的来源
(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的，分析物体的受力时，不分析回复力。
(2)回复力可以由某一个力提供(如弹力、摩擦力等)，也可能是几个力的合力，还可能是某一力的分力，归纳起来回复力一定等于物体在振动方向上所受的合力。
归纳总结
2．简谐运动的回复力
(1)表达式：F＝－kx。
①由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。
②公式F＝－kx中k指的是回复力与位移间的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。
物体做简谐运动时，下列叙述中正确的是
( )
A．平衡位置就是回复力为零的位置
B．处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态
C．物体到达平衡位置，合力一定为零
D．物体到达平衡位置，回复力不一定为零
解题指导：简谐运动中回复力不一定是物体受到的合外力。例如弹簧振子受到的回复力是合外力，单摆(后面学习)则不是。
解析：由回复力及平衡位置的定义可知，振子处于平衡位置时回复力为零，选项A正确D错误；物体停在平衡位置时处于平衡状态，物体振动至平衡位置时不一定处于平衡状态，合力不一定为零，选项B、C错误。
A
典例
1
典题例析
1．对于弹簧振子的回复力与位移的关系图象，下列图象中正确的是
( )
解析：根据公式F＝－kx，可判断回复力与位移的关系图线是一条直线，斜率为负值，故选项C正确。
C
对点训练
对简谐运动能量的认识
如图所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M。
简谐运动的能量取决于________，本题中物体振动时______能和__________能相互转化，总__________守恒。
探究
二
思考讨论
2
振幅
动
弹性势
机械能
1．决定因素
对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大。
2．能量获得
开始振动系统的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的。
归纳总结
3．能量转化
当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒。
4．理想化模型
a．从力的角度分析，简谐运动没考虑摩擦阻力。b.从能量转化角度分析，简谐运动没考虑因阻力做功能量损耗。
因为动能和势能是标量，所以：
(1)在振动的一个周期内，动能和势能间完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小；
(2)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。
特别提醒
如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物体束缚在光滑水平面上，已知甲的质量大于乙的质量、当细线突然断开后，两物体都开始做简谐运动，在运动过程中
( )
A．甲的振幅大于乙的振幅
B．甲的振幅小于乙的振幅
C．甲的最大速度小于乙的最大速度
D．甲的最大速度大于乙的最大速度
C
典例
2
典题例析
解题指导：对甲乙两个物体进行受力分析，由物体的平衡条件可以分析弹力，进而分析弹簧的形变量，细线剪断之后甲乙两个物体都做简谐运动，弹簧和物体所构成的系统机械能守恒，再根据弹性势能和动能之间的相互转化可以确定所求关系。
解析：由题意知，在细线未断之前两个弹簧所受到的弹力是相等的，所以当细线断开后，甲、乙两个物体做简谐运动时的振幅是相等的，A、B错误；两物体在平衡位置时的速度最大，此时的动能等于弹簧刚释放时的弹性势能，所以甲、乙两个物体的最大动能是相等的，则质量大的物体速度小，所以C正确，D错误。
2．右图为某个弹簧振子做简谐运动的图象，由图象可知
( )
A．由于在0.1
s末位移为零，所以振子的振动能量为零
B．在0.2
s末振子具有最大势能
C．在0.4
s末振子具有的势能尚未达到最大值
D．在0.4
s末振子的动能最大
解析：简谐振动的能量是守恒的，故A、C错；0.2秒末、0.4秒末位移最大，动能为零，势能最大，故B对，D错。
B
对点训练
核心素养提升
判断振动是否为简谐运动的方法
一个质量为m，侧面积为S的正方形木块放在水面上静止(平衡)，如图所示。现用力向下将其压入水中一小距离后撤掉外力，木块在水面上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动。
案
例
解析：以木块为研究对象，设静止时木块浸入水中Δx深，
当木块再被压入水中x后所受力如图所示，
则F回＝mg－F浮，又F浮＝ρgS(Δx＋x)。
由以上两式，得F回＝mg－ρgS(Δx＋x)＝mg－ρgSΔx－ρgSx。
∵mg＝ρgSΔx，∴F回＝－ρgSx。即F回＝－kx，(k＝ρgS)。
即木块做简谐运动。
答案：是简谐运动
课内随堂达标
课时强化作业
