第十一章 第四节
沙场点兵·名校真题·实效检测
1．(2020·山西省忻州市第一中学高二下学期期中)在上海走时准确的摆钟，随考察队带到北极黄河站，则这个摆钟( D )
A．变慢了，重新校准应减小摆长
B．变慢了，重新校准应增大摆长
C．变快了，重新校准应减小摆长
D．变快了，重新校准应增大摆长
解析：摆钟从上海到北极，纬度升高，重力加速度g变大，由单摆的周期公式T＝2π可知，摆钟的周期变小，即摆动变快，要将周期T调大从而重新校准应增大摆长L，故D正确，ABC错误。
2．(多选)(2020·江苏苏州市高二下学期期中)如图甲所示是演示简谐运动图象的装置，它由一根较长的细线和较小的沙漏组成。当沙漏摆动时，漏斗中的细沙均匀流出，同时匀速拉出沙漏正下方的木板，漏出的细沙在板上会形成一条曲线，这条曲线可以理解为沙漏摆动的振动图象。图乙是同一个沙漏分别在两块木板上形成的曲线(图中的虚线)，已知P、Q分别是木板1上的两点，木板1、2的移动速度分别为v1、v2，则( BD )
A．P处堆积的细沙与Q处一样多
B．P处堆积的细沙比Q处多
C．v1∶v2＝4∶3
D．
v1∶v2＝3∶4
解析：设单摆的周期为T，木板1运动的时间t1＝2T，木板2运动的时间t2＝T，由v＝得，＝＝，由于单摆在最大位移处速度小，经历的时间会长一些，故P处堆积的细沙比Q处多。综上分析，BD正确。
3．(2020·华中师大一附中高二下学期期中)如图所示，竖直面上有一半径较大的圆弧轨道，最低点为M点，有三个小球A、B、C(可视为质点)，A球位于圆心处，B球位于弦轨道MN的顶端N点，C球位于圆弧轨道上极其靠近M的地方。现将三个小球同时由静止释放，不计一切摩擦阻力和空气阻力，则( B )
A．C球最先到达M点
B．B球最后到达M点
C．ABC三球同时到达M点
D．条件不足，无法判断哪个小球最先、最后到达M点
解析：设圆弧的半径为R，对于A球，做自由落体运动，则有R＝gt，解得tA＝对于B球，沿弦轨道MN做初速度为零的匀加速度直线运动，设弦轨道MN与水平切线的夹角为θ，根据几何关系有xMN＝2Rsin
θ，根据牛顿第二定律可得加速度为a＝gsin
θ。
根据位移时间公式有2Rsin
θ＝at，解得tB＝2对于C球做单摆运动，根据单摆的运动规律，则有tC＝
T＝，综上分析可得tB>tC>tA，故B球最后达到M点，A球最先到达M点，故B正确，ACD错误。(共54张PPT)
物 理
选修3-4
·
人教版
新课标导学
第十一章
机械振动
第四节 单 摆
【素养目标定位】
※
了解单摆的组成及单摆回复力的推导
※※
理解单摆周期公式并能用于计算
※※
会用单摆测定重力加速度
1
课前预习反馈
2
课内互动探究
3
核心素养提升
4
课内随堂达标
5
课时强化作业
课前预习反馈
单摆
1．单摆
在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的质量相对于______的质量以及球的直径相对于________可以忽略，这样就形成单摆。
2．单摆是一个理想化的模型
(1)在这个模型里，悬线无弹性、不可________、没有________，小球可视为________。
(2)实际做成的单摆，悬线的伸缩________，质量________，小球的质量________，直径与线长相比可忽略，则越接近理想化的单摆。
球
知识点
1
线长
伸缩
质量
质点
越小
越轻
越大
单摆的回复力
1．回复力的来源
摆球的重力沿____________方向的分力。
2．回复力的特点
3．运动规律
单摆在偏角很小时做________运动，其振动图象遵循________函数规律。
圆弧切线
知识点
2
在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成________，方向总指向____________，即F＝__________。
正比
平衡位置
简谐
正弦
单摆的周期
1．探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
(1)探究方法：____________法。
(2)实验结论：
①单摆振动的周期与摆球质量________。
②振幅较小时周期与振幅________。
③摆长越长，周期________；摆长越短，周期________。
控制变量
知识点
3
无关
无关
越大
越小
刻度尺
游标卡尺
摆长
摆长
惠更斯
正比
反比
摆长l
周期T
『判一判』
(1)制作单摆的细线不能太长也不能太短，1
m左右为宜。
( )
(2)制作单摆的摆球越大越好。
( )
(3)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。
( )
(4)单摆的回复力是重力沿圆弧切向的分力。
( )
(5)单摆的周期与摆球的质量无关。
( )
(6)利用单摆可以测定重力加速度。
( )
(7)单摆的振幅越小，周期越小。
( )
×
×
×
×
×
×
×
辨析思考
『选一选』
单摆的振动周期在发生下述哪些情况时会增大
( )
A．摆球质量增大
B．摆长减小
C．单摆由赤道移到北极
D．单摆由海平面移到高山顶上
D
『想一想』
2013年6月20日，中国首位“太空教师”王亚平在“天宫一号”内进行了授课。假设王亚平将一个摆钟(如图)带到空间站内，则该摆动的钟摆周期如何变化？
提示：在空间站内摆球完全失重，回复力为零，等效值g′＝0，摆球不摆动了，周期无穷大。
课内互动探究
对单摆的回复力及运动特点的理解
如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个夹角，然后释放。
(1)小球受到哪些力的作用？
(2)什么力提供向心力？
(3)什么力提供回复力？
探究
一
思考讨论
1
提示：(1)小球受细线的拉力和重力作用。
(2)细线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。
(3)重力沿圆弧切线方向的分力提供小球振动的回复力。
1．回复力来源
单摆的回复力是重力沿圆弧切向的分力F＝mgsinθ提供的。
归纳总结
(1)单摆振动的回复力为摆球重力沿圆弧切线方向的分力，回复力不是摆球所受的合外力。
(2)单摆的摆动不一定都是简谐运动，只有单摆做小角度(摆角小于5°)摆动时才认为是简谐运动。
特别提醒
将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的、倾角为α的斜面上，其摆角为θ，如图所示，下列说法正确的是
( )
A．摆球做简谐运动的回复力为F＝mgsinθsinα
B．摆球做简谐运动的回复力为F＝mgsinθ
C．摆球经过平衡位置时合力为零
D．摆球在运动过程中，经过平衡位置时，线的拉力为F′＝mgsinα
解题指导：将重力准确分解到沿斜面方向是解题的关键。
A
典例
1
典题例析
1．关于单摆振动过程中的受力，下列正确的说法是
( )
A．重力和摆线对摆球拉力的合力总是指向悬点
B．回复力是重力和摆线对摆球拉力的合力
C．回复力是重力沿切线方向的分力；重力的另一分力小于或等于摆线拉力
D．回复力是重力沿切线方向的分力；重力的另一分力与摆线拉力平衡
解析：重力竖直向下，摆线对摆球的拉力总是指向悬点，故合力不总是指向悬点，故A错误；重力的切向分量提供回复力，径向分力和细线拉力的合力提供向心力，故重力的另一分力小于或等于摆线拉力，故B错误，C正确，D错误。
C
对点训练
对单摆周期公式的理解及应用
惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤势能提供，运动的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示。一只冬天很准的摆钟到了夏天却不准了，是走快了还是慢了？怎么调节才能重新准确计时？
探究
二
思考讨论
2
提示：由冬天到夏天，摆杆变长，周期变大，摆钟走慢了，应将调节螺母上移。
归纳总结
一个单摆的摆长为l，在其悬点O的正下方
0.19l
处有一钉子P(如图所示)，现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ<5°，放手后使其摆动，摆动到B的过程中摆角也小于5°，求出单摆的振动周期。
典例
2
典题例析
解题指导：单摆做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和。
2．(多选)(2020·北京师大附中高二下学期期中)下图为同一实验中甲、乙两个单摆的振动图象，从图象可知
(
)
A．两摆球的质量相等
B．两单摆的振幅相等
C．两单摆相位相差π/2
D．两单摆的摆长相等
CD
对点训练
实验：用单摆测定重力加速度
某同学利用如图所示的装置测量当地的重力加速度。
(1)测量周期从什么位置开始计时？
(2)采用什么样的方法处理数据较好？
提示：(1)小球通过最低位置时
(2)图象法
探究
三
思考讨论
3
归纳总结
3．数据处理：
(1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式中求出g值，最后求出g的平均值。
设计如下所示实验表格
典例
3
典题例析
0.875
0
75.2
1.88
s
(1)单摆做简谐运动应满足的条件是_______________。
(2)试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝____________________m/s2。(结果取两位有效数字)
摆角小于5°
9.8(9.9也正确)
对点训练
9.87
不变
偏小
(3)某同学在家里做用单摆测定重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块外形不规则的长条状的大理石块代替了摆球(如图2)，以下实验步骤中存在错误或不当的步骤是__________(只填写相应的步骤代号即可)。
A．将石块用细尼龙线系好，结点为N，将尼龙线的上端固定于O点；
B．用刻度尺测量ON间尼龙线的长度L作为摆长；
C．将石块拉开一个大约α＝5°的角度，然后由静止释放；
BDF
核心素养提升
在不同的运动系统中，单摆周期公式中的g应理解为等效重力加速度，其大小等于单摆相对系统静止时的摆线拉力与摆球质量的比值。
不同系统中的等效重力加速度
如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，其中判断正确的是
( )
A．T1>T2>T3>T4
B．T1C．T1>T2＝T3>T4
D．T1案
例
C
课内随堂达标
课时强化作业第十一章 第四节
请同学们认真完成练案[4]
(时间：30分钟 总分：50分)
基础夯实
一、选择题(1～3题为单选题，4、5题为多选题)
1．在如图所示的装置中，可视为单摆的是( A )
解析：单摆的悬线要求无弹性，直径小且质量可忽略，故A对，B、C错；悬点必须固定，故D错。
2．做简谐振动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1/2，则单摆振动( C )
A．频率、振幅都不变
B．频率、振幅都改变
C．频率不变、振幅改变
D．频率改变、振幅不变
解析：由单摆的周期公式T＝2π可知，单摆摆长不变，则周期不变，频率不变；振幅A是反映单摆运动过程中的能量大小的物理量，摆球经过平衡位置时的动能减小，因此振幅减小，故ABD错误，C正确。故选C。
3．如图所示，图甲是利用沙摆演示简谐运动图象的装置。当盛沙漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时，做简谐运动的漏斗漏出的沙在板上形成的曲线显示出沙摆的振动位移随时间的变化关系。已知木板被水平拉动的速度为0.20
m/s，图乙所示的一段木板的长度为
0.60
m，则这次实验沙摆的摆长为(g取10
m/s2，π2＝10)( A )
A．0.56
m
B．0.65
m
C．1.0
m
D．2.3
m
解析：T＝
s＝1.5
s，L＝＝0.56
m，故选A。
4．如图所示，是一个单摆(θ＜5°)，其周期为T，则下列正确的说法是( CD )
A．把摆球的质量增加一倍，其周期变小
B．把摆角变小时，则周期也变小
C．此摆由O→B运动的时间为
D．摆球由B→O时，势能向动能转化
解析：由T＝2π可知，单摆的周期T与摆球质量m无关，与摆角无关，当摆球质量与摆角发生变化时，单摆做简谐运动的周期不变，故AB错误；由平衡位置O运动到左端最大位移处需要的时间是四分之一周期，故C正确；摆球由最大位置B向平衡位置O运动的过程中，重力做正功，摆球的重力势能转化为动能，故D正确。
5．小明在实验室做单摆实验时得到如图甲所示的单摆振动情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的左右最远位置，小明通过实验测得当地重力加速度为g＝9.8
m/s2，并且根据实验情况绘制了单摆的振动图象如图乙所示，设图中单摆向右摆动为正方向，g≈π2，则下列选项正确的是( BD )
A．根据图乙可知开始计时摆球在C点
B．此单摆的振动频率是0.5
Hz
C．乙图中P时刻摆球向正方向振动
D．根据已知数据可以求得此单摆的摆长为1.0
m
解析：由乙图可知，t＝0时位移负向最大，开始向正方向运动，而单摆向右摆动为正方向，所以开始计时摆球在B点，故A错误；由乙图可知，单摆的振动周期为2
s，所以频率为0.5
Hz，故B正确；
由振动图象可知，P时刻摆球向负方向振动，故C错误；由单摆的周期公式T＝2π可知，摆长为L＝＝＝1.0
m，故D正确。故选BD。
二、非选择题
6．根据单摆周期公式T＝2π，可以通过实验测量当地的重力加速度。如图1所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。
(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图2所示，读数为
__18.6__mm。
(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有__abe__。
a．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些
b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的
c．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度
d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T
e．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝
解析：(1)(18＋6×0.1)mm＝18.6
mm
(2)利用单摆测重力加速度时，选用的细绳伸缩性要小，尽可能长一些，这样减小测长度的误差，a对；摆球的质量大，体积小，可以减小阻力，b对；摆角不能大于5°，且从平衡位置开始计时，测量30～50次全振动的时间，c、d错，e对。
7．(2020·山东省青岛市高三模拟)有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度(如图)。已知该单摆在海平面处的周期是T0。当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T，则该气球此时离海平面的高度h是多少？(把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体)
答案：h＝(－1)R
解析：根据单摆周期公式，有
T0＝2π，T＝2π，
根据万有引力公式，得g0＝
g＝G，解得h＝(－1)R。
能力提升
一、选择题(1、2题为单选题，3、4题为多选题)
1．如图所示，光滑轨道的半径为2
m，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6
cm与2
cm，a、b两小球分别从A、B两点由静止同时释放，则两小球相碰的位置是( A )
A．C点
B．C点右侧
C．C点左侧
D．不能确定
解析：由于半径远大于运动的弧长，小球都做简谐运动，类似于单摆。因为在同一地点，周期只与半径有关，与运动的弧长无关，故两球同时到达C点，故选项A正确。
2．(2020·辽宁省阜新市实验中学)有一摆长为L的单摆悬点正下方某处有一小钉，摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部被小钉挡住，使摆长发生变化。现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M至左边最高点N运动过程中的闪光照片如图所示(悬点与小钉未被摄入)。P为摆动中的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与P点的距离为( C )
A．L/4
B．L/2
C．3L/4
D．无法确定
解析：设每相邻两次闪光的时间间隔为t，则摆球在右侧摆动的周期为T1＝8t，在左侧摆动的周期为T2＝4t，T1∶T2＝2∶1。则T1＝2π；T2＝2π；两式两边相除得L2＝L1，所以，小钉与悬点的距离s＝L1－L2＝L。故选C。
3．如图所示，三根细线于O点处打结，A、B两端固定在同一水平面上相距为L的两点上，使AOB成直角三角形，∠BAO＝30°。已知OC线长是L，下端C点系着一个小球(忽略小球半径)，下面说法正确的是( AD )
A．让小球在纸面内摆动，周期T＝2π
B．让小球在垂直纸面方向摆动，周期T＝2π
C．让小球在纸面内摆动，周期T＝2π
D．让小球在垂直纸面内摆动，周期T＝π
解析：当小球在纸面内做小角度振动时，圆心是O点，摆长为L，故周期为T＝2π，故A正确，C错误；当小球在垂直纸面方向做小角度振动时，圆心在墙壁上且在O点正上方，摆长为l′＝(1＋)L，故周期为T＝2π＝π，故B错误，D正确。
4．(2020·黑龙江牡丹江一中高二下学期期末)如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是( ABD )
A．甲、乙两单摆的摆长相等
B．甲摆的振幅比乙摆大
C．甲摆的机械能比乙摆大
D．在t＝0.5
s时有正向最大加速度的是乙摆
解析：由图看出，两单摆的周期相同，同一地点g相同，由单摆的周期公式T＝2π得知，甲、乙两单摆的摆长L相等，故A正确；甲摆的振幅为10
cm，乙摆的振幅为7
cm，则甲摆的振幅比乙摆大，故B正确；尽管甲摆的振幅比乙摆大，两摆的摆长相等，但由于两摆球的质量未知，无法比较机械能的大小，故C错误；在t＝0.5
s时，甲摆经过平衡位置，振动的加速度为零，而乙摆的位移为负向最大值，则乙摆具有正向最大加速度，故D正确。
二、非选择题
5．(2020·浙江省嘉兴一中、湖州中学高二下学期期中)在“用单摆测定重力加速度”的实验中：
(1)小博同学制作了如图所示的甲、乙、丙三个单摆，你认为他应选用__乙__图来做实验；
(2)实验过程小博同学分别用了图(a)、(b)的两种不同方式悬挂小钢球，你认为__b__(选填“a”或“b”)悬挂方式较好；
(3)某同学用秒表测得单摆完成40次全振动的时间如图所示，则单摆的周期为__1.89__s；
(4)若单摆在任意摆角θ时的周期公式可近似为T＝T0[1＋asin2()]，式中T0为摆角趋近于0°时的周期，a为常数；为了用图象法验证该关系式，需要测量的物理量有__T(或t、n)、θ__；某同学在实验中得到了如图所示的图线，则图线的斜率表示____。
解析：(1)单摆在摆动过程中，阻力要尽量小甚至忽略不计，所以摆球选铁球；悬线要无弹性，直径小，摆长不能过小，一般取1
m左右的细线。故选乙；
(2)如果选a装置，摆动过程中，摆长在不断变化，无法准确测量，故选b装置；
(3)由图可知，单摆完成40次全振动的时间是75.6
s，所以单摆的周期为：T＝
s＝1.89
s；
(4)根据T＝T0[1＋asin2()]可知，需要测量的物理量有T(或t、n)、θ，由T＝T0[1＋asin2()]，sin2()＝T－，所以图线的斜率为。
6．如图所示，小球m自A点以指向AD方向的初速度v逐渐接近固定在D点的小球n，已知＝0.8米，AB圆弧半径R＝10米，AD＝10米，A、B、C、D在同一水平面上，则v为多大时，才能使m恰好碰到小球n？(g＝10
m/s2)
答案：v＝(m/s)(k＝1,2,3…)
解析：根据题目条件分析小球的受力状态及运动状态，结合匀速直线运动的公式和简谐运动的公式来求解本题。
小球m的运动是由两个分运动合成的。这两个分运动分别是：以速度v在AD方向的匀速运动，和在圆弧面上的往复滑动。因为?R，所以小球在圆弧面上的往复滑动具有等时性，其周期为T＝2π
设小球m恰好能碰到小球n，则有＝vt，且满足t＝kT(k＝1，2,3…)，又T＝2π。联立解得v＝(m/s)(k＝1,2,3…)。
