2.5 等腰三角形的轴对称性同步训练题（含解析）

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苏科版初二上册
第二章
2.5
等腰三角形
一、单选题
1.下列说法正确是（??
）
A.?等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合????????B.?等角对等边
C.?等腰三角形一定是锐角三角形?????????????????????????????D.?等腰三角形两个底角相等
2.若等腰三角形的一个内角为92°，则它的顶角的度数为（
???）
A.?92°????????????????????????????????????B.?88°????????????????????????????????????C.?44°????????????????????????????????????D.?88°或44°
3.已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则这个等腰三角形的周长为（????
）
A.?12???????????????????????????????????????B.?12或15???????????????????????????????????????C.?15???????????????????????????????????????D.?9
4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为（??
）
A.?70°????????????????????????????????B.?20°????????????????????????????????C.?70°或20°????????????????????????????????D.?40°或140°
5.如图，在6×6的正方形网格中，点A
，
B均在正方形格点上，若在网格中的格点上找一点C
，
使△ABC为等腰三角形，这样的点C一共有（??
）
A.?7个?????????????????????????????????????B.?8个?????????????????????????????????????C.?10个?????????????????????????????????????D.?12个
6.如图，AD＝BC＝BA，那么∠1与∠2之间的关系是（
??）
A.?∠1＝2∠2????????????????B.?2∠1+∠2＝180°??????????????????C.?∠1+3∠2＝180°????????????????D.?3∠1﹣∠2＝180°
7.如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，AD＝AC，过点D作DE⊥BC交AB于E，若△ADE是等腰三角形，则下列判断中正确的是（???
）
A.?∠B＝∠CAD?????????????????B.?∠BED＝∠CAD?????????????????C.?∠ADB＝∠AED?????????????????D.?∠BED＝∠ADC
8.如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长为AB＋AC；④BD＝CE.(??
)
A.?③④??????????????????????????????????B.?①②??????????????????????????????????C.?①②③??????????????????????????????????D.?②③④
9.如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（???
）
A.?BC????????????????????????????????????????B.?CE????????????????????????????????????????C.?AD????????????????????????????????????????D.?AC
10.如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是(??
)
A.?2.5s????????????????????????????????????????B.?3s????????????????????????????????????????C.?3.5s????????????????????????????????????????D.?4s
二、填空题
11.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是________．
12.如图△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝158°，则∠EDF＝________.
13.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________度．
14.如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=________s时，△POQ是等腰三角形.
15.如图，等边△
中，
于
，
，点
、
分别为
、
上的两个定点且
，在
上有一动点
使
最短，则
的最小值为________
.
16.如图，A、B、C、D、E、F、G都在∠O的边上，OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG，若∠EFG=30°，则∠O=________．
三、解答题
17.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G为EF的中点,求证：AG⊥EF
18.如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）
19.如图，在△ABC中，AB=AC，点P
是BC边上的一点，PD⊥AB
于D
，PE⊥AC于E，CM⊥AB
于M，试探究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明理由。
20.己知：如图，BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，G是ED的中点，求证：FG⊥DE．
21.如图
（1）如图1，已知：在△ABC中，AB=AC=10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有________个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是________，△AEF的周长是________；
（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB=AC=10”该为“若△ABC为不等边三角形，AB=8，AC=10”其余条件不变，则图中共有多少个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长；
（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB>AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明.
22.如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC=40cm2
，
如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A
运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
【考点】等腰三角形的性质
解：A、等腰三角形的底边上的角平分线、中线和高三线重合，不符合题意．
B、等角对等边必须在三角形中．不符合题意．
C、等腰三角形可以是等腰直角三角形或钝角三角形，不符合题意．
D、等腰三角形的两个底角相等．符合题意．
故答案为：D
【分析】等腰三角形的性质：等腰三角形的底边上的角平分线、中线和高三线重合，在同一个三角形中等角对等边，等腰三角形的顶角可以是锐角，直角，钝角，故等腰三角形可以是等腰直角三角形或钝角三角形，等腰三角形的两底角相等，根据性质即可一一判断。
2.【答案】
A
【考点】等腰三角形的性质
解：（1）若等腰三角形一个底角为92°，因为92°+92°=184°＞180°，所以这种情况不可能出现，舍去；（2）等腰三角形的顶角为92°．
因此这个等腰三角形的顶角的度数为92°．
故答案为：A.
【分析】已知给出了等腰三角形的一个内角的度数，但没有明确这个内角是顶角还是底角，因此要分类讨论．
3.【答案】
C
【考点】等腰三角形的性质
解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，
周长为15；
②当3为腰时，其它两边为3和6，
∵3+3=6，
∴不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有15.
故答案为：C.
【分析】由于等腰三角形的两腰相等，故需分类讨论:①当3为底时，其它两边都为6,②当3为腰时，其它两边为3和6，然后根据三角形三边关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的按三角形周长的计算方法算出答案。
4.【答案】
C
【考点】等腰三角形的性质
解：①如图1，
当该等腰三角形为钝角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角=
（90°﹣50°）=20°，
②如图2，
当该等腰三角形为锐角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角=
[180°﹣（90°﹣50°）]=70°．
故答案为：C．
【分析】分2种情况：（1）当该等腰三角形为钝角三角形时，底角=（90°﹣50°）；
（2）当该等腰三角形为锐角三角形时，底角=[180°﹣（90°﹣50°）]。
5.【答案】
C
【考点】等腰三角形的判定
解：如图，
这样的点C有10个.
故答案为：C.
【分析】利用等腰三角形的判定定理，要使△ABC为等腰三角形，分情况：以AB为底边；为AC为底边；以BC为底边，分别在图形中标出点C的位置即可。
6.【答案】
B
【考点】等腰三角形的性质
解：如图
∵AD=AB
∴∠2=∠B
∵AB=BC，
∴∠1=∠ACB，
∵∠B+∠1+∠ACB=180°，
∴∠2+∠1+∠1=180°即∠2+2∠1=180°.
故答案为：B.
【分析】利用等边对等角，可证得∠2=∠B，∠1=∠ACB，再利用三角形内角和定理就可证得∠1与∠2的关系。
7.【答案】
B
【考点】等腰三角形的性质
解：作AF⊥BC于F，
∵AD=AC，
∴∠CAD=2∠DAF，
∵AF⊥BC，DE⊥BC，
∴∠EDA=∠DAF，
∵EA=ED，
∠EAD=∠EDA，
∴∠BED=2∠EAD，
∴?∠BED＝∠CAD
；
故答案为：B.
【分析】
作AF⊥BC于F．首先证明∠EAD=∠EDA=∠DAF=∠CAF，由∠BED=2∠EAD，∠DAC=2∠DAF，可得∠BED＝∠CAD
．
8.【答案】
C
【考点】等腰三角形的判定与性质
解：∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF，EF=EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故①正确；
∴DE=DF+EF=BD+CE，
故②正确；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；
故③正确；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，
∴BD与CE不一定相等，故④错误.
故答案为：C.
【分析】根据二直线平行内错角相等得出∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，根据角平分线的定义得出∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，故∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根据等角对等边得出DB=DF，EF=EC，即△BDF和△CEF都是等腰三角形；根据线段的和差及等量代换得出DE=DF+EF=BD+CE；再根据三角形周长的计算方法及等量代换、线段的和差即可得出
△ADE的周长为AB＋AC
；根据题目的条件可知BD与CE不一定相等，综上所述即可得出答案。
9.【答案】B
【考点】等腰三角形的性质
解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故答案为：B.
【分析】先添加辅助线连接PC，然后根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，从而确定PB=PC，再根据三角形的三边关系可得最小值.
10.【答案】
D
【考点】等腰三角形的性质
解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，
AP=20-3x，AQ=2x
即20-3x=2x，
解得x=4．
故答案为：D．
【分析】设运动的时间为x，则AP=20-3x，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP=AQ，则20-3x=2x，解得x即可．
二、填空题
11.【答案】
30°或150°
【考点】等腰三角形的性质
解：当三角形为锐角三角形时，
高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为30°；
当三角形为钝角三角形时，
此时垂足落到三角形外面，
∵三角形内角和为180°，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°，
∴三角形的顶角为150°
故答案为：30°或150°.
【分析】分别考虑当三角形为锐角三角形和钝角三角形时的情况，即可得出答案.
12.【答案】
68°
【考点】等腰三角形的性质
解：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E
∴∠BED=∠FDC=90°，
又∵∠B=∠C，
∴∠EDB=∠CFD
∵∠AFD=158°
∴∠EDB=∠CFD=180°-158°=22°
∴∠EDF=90°-∠EDB=90°-22°=68°
【分析】利用垂直以及三角形内角和即可求出答案。
13.【答案】
15
【考点】等边三角形的性质
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，
∵CG＝CD，
∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°，
∵DF＝DE，
∴∠E＝15°．
故答案为：15．
【分析】根据题意可知，∠ACB为三角形GCD的一个外角，根据三角形GCD为等腰三角形，即可求得∠FDC为30°，同理可得即可得到∠E=15°。
14.【答案】
或10
【考点】等腰三角形的判定
解：当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示
当点P在AO上时，
∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t
当PO=QO时，
?
解得
当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图2所示
当点P在BO上时
∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t
当PO=QO时，
?
解得
故答案为：
或10
【分析】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.
15.【答案】
5
【考点】等边三角形的性质，轴对称的应用-最短距离问题
解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC，
∵BD⊥AC，
∴AD=DC=3.5cm，
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′，
∵AQ=2cm，AD=DC=3.5cm，
∴QD=DQ′=1.5cm，
∴CQ′=BP=2cm，
∴AP=AQ′=5cm，
∵∠A=60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′=PA=5cm，
∴PE+QE的最小值为：5cm．
故答案为：5．
【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小，最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′；
16.【答案】12.5o
【考点】等腰三角形的性质
解：∵∠O=x，OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG，
∴∠BAC=2x，
∴∠CBD=3x；
∴∠DCE=4x，
∴∠FDE=5x，
∴∠FEG=6x，
∵EF=FG，
∴∠FEG=∠FGE，
∵∠EFG=30°，
∴∠FEG=6x=75°，
∴x=12.5o
，
∴∠O=12.5°．
故答案为：12.5°．
【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角和内角的关系以及等腰三角形的性质，即可得到结论．
三、解答题
17.【答案】
证明：∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠CBE；∠AEF=90°-∠AEB
又∵∠AFE=∠DFB=90°-∠CBE
∴∠AFE=∠AEF，
∴△AFE为等腰三角形
又∵G为EF的中点
∴AG⊥EF．
【考点】等腰三角形的判定与性质
解：只要证明AF=AE，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题；
18.【答案】
证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．
∵DG∥AC，
∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．
在△GDF和△CEF中，
，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GD＝CE．
∵BD＝CE，
∴BD＝GD，
∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定
解：过点D作DG∥AC交BC于点G，根据题意利用
ASA证明△GDF≌△△CEF，根据三角形全等的性质求得对应边相等，证明三角形ABC为等腰三角形。
19.【答案】解：PD+PE=CM，证明连接AP
因为AB=AC
PD+PE=CM
【考点】等腰三角形的性质
解：PD+PE=CM，连接AP根据三角形的面积计算方法，由S△ABC=S△ABP+S△AC得出S△ABC=AB×(PD+PE)
20.【答案】证明：∵BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，
∴在Rt△CEB中，EF=
，在Rt△BDC中，FD=
，
∴FE=FD，即△EFD为等腰三角形，
又∵G是ED的中点，∴FG是等腰三角形EFD的中线，
∴FG⊥DE（等腰三角形边上的三线合一）
【考点】等腰三角形的判定与性质
解：先利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求得△EFD为等腰三角形，在利用等腰三角形边上的三线合一，即可求证FG⊥DE．
21.【答案】
（1）5；BE+CF=EF；20
（2）解：BE+CF=EF.∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD.∵EF∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，∴BE=DE，CF=DF，∴等腰三角形有△BDE，△CFD，∴BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF.△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+EB+CF+AF=AB+AC=8+10=18.
此时有两个等腰三角形，EF＝BE＋CF，C△AEF＝18
（3）解：BE﹣CF=EF.由（1）知BE=ED.∵EF∥BC，∴∠EDC=∠DCG=∠ACD，∴CF=DF.又∵ED﹣DF=EF，∴BE﹣CF=EF.
【考点】等腰三角形的判定与性质
解：（1）解：BE+CF=EF.理由如下：
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，∴∠DBC=∠DCB，∴DB=DC.
∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，∴BE=DE，CF=DF，AE=AF，∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个，∴BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF，△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC=20.
故答案为：5；BE+CF=EF；20
【分析】（1）由等边对等角可得∠ABC=∠ACB，根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，进而可得∠DBC=∠DCB，由平行线的性质可得∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，根据等量代换可得∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，由等角对等边可得BE=DE，CF=DF，AE=AF，DB=DC.再根据等腰三角形的定义即可求出答案；（2）根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，由两直线平行内错角相等可得∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，
等量代换可得∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，由等角对等边可得BE=DE，CF=DF，进而可判断等腰三角形的个数；再利用等量代换即可求出EF与BE、CF之间的数量关系及△AEF的周长
.（3）由（2）知，BE=DE，CF=DF，利用等量代换即可求出答案.
22.【答案】
（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，
则AB=5x，
在Rt△ACD中，AC=
=5x，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形
（2）解：S△ABC=
×5x×4x=40cm2
，
而x＞0，
∴x=2cm，
则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AC=10cm．
①当MN∥BC时，AM=AN，
即10﹣t=t，
∴t=5；
当DN∥BC时，AD=AN，
得：t=6；
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．
②当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；
当t=4时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
如果DE=DM，则t﹣4=5，
∴t=9；
如果ED=EM，则点M运动到点A，
∴t=10；
如果MD=ME=t﹣4，
过点E做EF垂直AB于F，
因为ED=EA，
所以DF=AF=
AD=3，
在Rt△AEF中，EF=4；
因为BM=t，BF=7，
所以FM=t﹣7
则在Rt△EFM中，（t﹣4）2﹣（t﹣7）2=42
，
∴t=
．
综上所述，符合要求的t值为9或10或
【考点】等腰三角形的判定与性质
解：（1）由已知条件可设BD=2x，AD=3x，CD=4x，有线段的构成可得AB=AD+BD=5x，在Rt△ACD中，用勾股定理可得AC=5x，所以AB=AC，根据等腰三角形的定义可得△ABC是等腰三角形；
（2）由题意S△ABC=ABCD=40，由（1）中的结论可求得x=2，则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AC=10cm．
①当MN∥BC时，由等腰三角形的性质可得AM=AN，可得关于t的方程，解方程即可求得t的值；当DN∥BC时，AD=AN，可得关于t的方程，解方程即可求得t的值；
②根据点M的运动路线分析：
当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；当t=4时，点M运动到点D，不构成三角形；
当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，可分3种情况讨论：
第一种：DE=DM；第二种：ED=EM；第三种：MD=ME。根据这三种情况列出关于t的方程即可求解。
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精品试卷·第
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