1.1 集合
1.1.1 集合及其表示方法
第1课时 集合
学
习
目
标
核
心
素
养
1．通过实例了解集合的含义．(难点)2．掌握集合中元素的三个特性．(重点)3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)
1．通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养．2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养．
中国共产党第十九次全国代会(简称党的十九大)于2017年10月18日至10月24日在北京召开．
问题 党的十九大会议胜利闭幕，这幅图里的所有参会的代表能否构成一个集合？
1．元素与集合的相关概念
(1)集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，常用英文大写字母A，B，C，…表示．
(2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，常用英文小写字母a，b，c，…表示．
(3)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
(4)集合相等：给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A＝B.
思考：(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
(2)某班身高高于175
cm的男生能否构成一个集合？
[提示] (1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．
(2)某班身高高于175
cm的男生能构成一个集合，因为标准确定．
[拓展] 集合中的元素必须同时具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三个特性中任一个，则这组对象就不能构成集合，故集合中元素的这三个特性是判断一组对象是否能构成集合的重要依据．
2．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A．
(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA．
3．空集
我们把不含任何元素的集合称为空集，记作．
4．集合的分类
集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集．
5．常见的数集及表示符号
数集
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
或N＋
Z
Q
R
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“清华大学2020年入学的全体学生”能构成一个集合．
( )
(2)任意三角形的三边长能构成一个集合．
( )
(3)好听的歌曲能构成一个集合．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．(教材P9练习B②改编)用“book”中的字母构成的集合中元素个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．]
3．用“∈”或“”填空：
________N；－3________Z；________Q；0______N
；________R.
[答案] ∈ ∈
4．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝____．
3 [由题意可知a＋1＝4，即a＝3.]
集合的基本概念
【例1】 考察下列每组对象，能构成集合的是( )
①中国各地最美的乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．
A．③④
B．②③④
C．②③
D．①④
B [①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.]
判断一组对象能否组成集合的标准
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
1．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合；
(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合；
(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．
[解] (1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．
(2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合．
(3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素．
元素与集合的关系
【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；②Q；③0∈N
；④|－5|N
.
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )
A．2
B．2或4
C．4
D．0
(1)B (2)B [(1)①π是实数，所以π∈R正确；
②是无理数，所以Q正确；③0不是正整数，所以0∈N
错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|N
错误．故选B.
(2)集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A，6－a＝4∈A，
所以a＝2，
或者a＝4∈A，6－a＝2∈A，
所以a＝4，
综上所述，a＝2或4.故选B.]
判断元素与集合关系的两种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
2．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
0，1，2 [∵∈N，
∴3－x＝1或2或3或6，
即x＝2或1或0或－3.
又x∈N，故x＝0或1或2.
即集合A中的元素为0，1，2.]
集合中元素的特性及应用
[探究问题]
1．若集合A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？
[提示] a≠b.
2．若1∈A，则元素1与集合A中的元素a，b存在怎样的关系？
[提示] a＝1或b＝1.
【例3】 已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
[思路点拨]
[解] 由题意可知，a＝1或a2＝a，
(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.
(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．
综上可知，实数a的值为0.
(变条件)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．
[解] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.
,
1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．
2.本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．
提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．
知识：
1．判断一组对象的全体能否构成集合的重要依据是元素的确定性，若考查的对象是确定的，就能构成集合，否则不能构成集合．
2．集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．
方法：
分类讨论法：解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．
1．下列命题中正确命题的个数为( )
①N中最小的元素是1；
②若a∈N，则－aN；
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2；
④|－|∈Q.
A．0
B．1
C．2
D．3
A [自然数集N中最小的元素是0，故①不正确；当a＝0时，a∈N，且－a∈N，故②不正确；当a＝b＝0时，a＋b的最小值是0，故③不正确；|－|＝是无理数，故④不正确．故选A]
2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )
A．3∈A
B．1∈A
C．0∈A
D．－1A
C [∵0<1，∴0是集合A中的元素，故0∈A.]
3．下列各组对象不能构成一个集合的是( )
A．不超过20的非负实数
B．方程x2－9＝0在实数范围内的解
C．的近似值的全体
D．某校身高超过170厘米的同学的全体
C [A项，不超过20的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．B项，方程x2－9＝0在实数范围内的解，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．C项，的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合．D项，某校身高超过170厘米的同学，同学身高具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．故选C.]
4．(多选题)下列给出的对象构成的集合是有限集的是( )
A．方程x2－6x－16＝0的根
B．大于0且小于5的实数
C．小于22的质数
D．倒数等于它本身的实数
ACD [方程x2－6x－16＝0的根为－2，8；大于0且小于5的实数有无穷多个；小于22的质数为2，3，5，7，11，13，17，19；倒数等于它本身的实数为±1，故它们构成的集合均为有限集．故选ACD.]
5．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
[解] ∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，
若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，a＝0或a＝－1.
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1
-第2课时 集合的表示方法
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握集合的两种表示方法．(重点)2．掌握区间的概念及表示方法．(重点)
1.借助空集、区间的概念，培养数学抽象的素养．2．通过学习集合的两种表示方法，培养数学运算的素养．
空集及一些常用的数的集合我们用约定俗成的符号来表示它们，给出下列集合：
①所有奇数构成的集合；②在平面直角坐标系中，第一象限的点组成的集合；③不超过10的正偶数构成的集合；④比2大的所有实数构成的集合．
问题 你会用恰当的方法表示上述集合吗？
1．集合的表示方法
(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法叫做列举法．
思考1：观察下列集合：
(1)中国古代四大发明组成的集合；
(2)20的所有正因数组成的集合．
问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？
[提示] 能．(1)中的元素为：造纸术、印刷术、指南针、火药；(2)中的元素为：1，2，4，5，10，20.
问题2：如何表示上述两个集合？
[提示] 用列举法表示．
[拓展] 用列举法表示集合的三个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用花括号括起来．
(2)描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．
思考2：观察下列集合：
(1)不等式x－2≥3的解集；
(2)函数y＝x2－1的图像上的所有点．
问题1：这两个集合能用列举法表示吗？
[提示] 不能．
问题2：如何表示这两个集合？
[提示] 利用描述法．
[拓展] 描述法表示集合的两个步骤
2．区间的概念
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半开半闭区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
(a，b]
3.含“∞”的区间的几何表示
定义
符号
数轴表示
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x＞a}
(a，＋∞)
{x|x≤b}
(－∞，b]
{x|x＜b}
(－∞，b)
在数轴上，用实心点表示包括区间的端点，用空心点表示不包括区间的端点．
[拓展] (1)区间的左端点必须小于右端点；
(2)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；
(3)用数轴表示区间时，要特别注意属于这个区间端点的实数用实心点表示，不属于这个区间端点的实数用空心点表示；
(4)无穷大(∞)是一个符号，不是一个数，因此它不具备数的一些性质和运算法则；
(5)包含端点用闭区间，不包含端点用开区间，以“＋∞”或“－∞”为区间的一端点时，这一端必须是小括号．
(6)实数集R可以用区间(－∞，＋∞)表示．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式x＞1的解集可以用列举法表示．
( )
(2){x∈Z|x＝2k，k∈，k∈N}是相等的集合．
( )
(3)集合{(1，2)}和{1，2}是相等的集合．
( )
(4)集合{x|1＜x≤3}可表示为[1，3).
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为( )
A.{x＝1，x＝2}
B．{x|x＝1，x＝2}
C.{
x2－3x＋2＝0}
D．{1，2}
D [解方程x2－3x＋2＝0可得x＝1或x＝2，
故集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1，2}．]
3．(教材P9练习A⑤改编)用区间表示下列数集：
(1){x|x≥2}＝________；(2){x|3＜x≤4}＝________．
[答案] [2，＋∞) (2)(3，4]
4．用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
[解] (1)偶数可用式子x＝2n(n∈Z)表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N
，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N
}．
(2)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}.
用列举法表示集合
【例1】 (1)若集合A＝{(1，2)，(3，4)}，则集合A中元素的个数是( )
A.1 B．2 C．3 D．4
(2)用列举法表示下列集合．
①不大于10的非负偶数组成的集合；
②方程x2＝x的所有实数解组成的集合；
③直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
④方程组的解集．
(1)B [集合A＝{(1，2)，(3，4)}中有两个元素(1，2)和(3，4).选B.]
(2)[解] ①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．
②方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0，1}．
③将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故两直线的交点组成的集合是{(0，1)}．
④解方程组得
∴用列举法表示方程组的解集为{(0，1)}．
1.一般地，列举法适用于有限集：①元素个数有限且比较少时，可以全部列举出来，如{1，2，3}；②元素个数有限且比较多时，可以列举一部分，中间用省略号表示，如从1到1
000的所有正整数构成的集合，可以表示为{1，2，3，…，1
000}．
2.对于含有较多元素的无限集，如果元素的排列呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如自然数集N可以表示为{0，1，2，3，…，n，…}．
1．已知集合A＝{－2，－1，0，1，2，3}，对任意a∈A，有|a|∈B，且B中只有4个元素，求集合B.
[解] 对任意a∈A，有|a|∈B，因为集合A＝{－2，－1，0，1，2，3}，由－1，－2，0，1，2，3∈A，知0，1，2，3∈B.
又因为B中只有4个元素，所以B＝{0，1，2，3}．
用描述法表示集合
【例2】 (教材P7例1改编)试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
[解] (1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．方程x2－2＝0有两个实数根，－，因此，用列举法表示为A＝{，－}．
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10
用描述法表示集合时应注意：
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x＜1}可以写成{x|x＜1}，而不能写成{x＜1}．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
2．用描述法表示下列集合：
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)二次函数y＝x2－10图像上的所有点组成的集合．
[解] (1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3，
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
(2)“二次函数y＝x2－10图像上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．
集合的表示法的应用
角度一
方程、不等式问题
【例3】 若集合A＝{x|ax2＋ax－1＝0}只有一个元素，则a＝( )
A.
－4
B.
0
C.
4
D.
0或－4
A [依题意，得关于x的方程ax2＋ax－1＝0只有一个实根，所以即解得a＝－4，选A.]
在集合的表示方法中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过对元素个数与特性的验证分析，探索参数的取值范围．
3．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0，x∈R}不含有任何元素，则实数a的取值范围是________．
[0，4) [当a＝0时，原方程可化为1＝0，显然方程无解；当a≠0时，一元二次方程ax2＋ax＋1＝0无实数解，则需Δ＝a2－4a＜0，即a(a－4)＜0，依题意，得或解得0角度二 对参数分类讨论问题
【例4】
已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若A中有且只有一个元素，求a的取值集合；
(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
[解] (1)由题意知，A中有且只有一个元素，
即对应方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一根或有两个相等的实根．
当a＝0时，对应方程为一次方程，
此时A＝，符合题意；
当a≠0时，
对应方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等实根，
即Δ＝4－4a＝0，a＝1，符合题意．
综上所述，a的取值集合为{0，1}．
(2)由题意知，A中至多有一个元素，
即对应方程ax2＋2x＋1＝0无根或只有一根，由(1)知，当a＝0或1时，A中有且只有一个元素，符合题意；
当Δ＝4－4a＜0，即a＞1时，
对应方程ax2＋2x＋1＝0无实根，
即A中无元素，符合题意．
综上所述，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．
识别集合含义的两个步骤
(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集．
(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性).
提醒：一般地，集合{x|f(x)＝0}表示方程f(x)＝0的解集；
{x|f(x)＞0}表示不等式f(x)＞0的解集；
{x|y＝f(x)}表示y＝f(x)中x的取值的集合；
{y|y＝f(x)}表示y＝f(x)中y的取值的集合．
4．若A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}＝，求a的取值范围．
[解] 因为A＝，则集合A无元素，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0无实数解，所以a≠0，且Δ＜0，即解得a＞1，所以a的取值范围为{a|a＞1}．
知识：
1．与{0}的区别
(1)是不含任何元素的集合；
(2){0}是含有一个元素的集合．
2．在用列举法表示集合时应注意：
(1)元素间用分隔号“，”；
(2)元素不重复；
(3)元素无顺序；
(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
3．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；
(2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，不能被表面的字母形式所迷惑．
4．关于无穷大的两点说明
(1)∞是一个符号，而不是一个数；
(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端点时，这一端必须用小括号．
方法：
(1)列举法：一般用于表示元素个数较少的集合．
(2)描述法：一般用于表示元素有明显共同特征的集合．
(3)分类讨论思想：方程或不等式中求参数范围的问题往往需要分类讨论．
1．用列举法表示集合{x|x－2＜3，x∈N
}为( )
A.{0，1，2，3，4}
B．{1，2，3，4}
C.{0，1，2，3，4，5}
D．{1，2，3，4，5}
B [∵x－2＜3，∴x＜5.又x∈N
，∴x＝1，2，3，4，故选B.]
2．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A.1
B．3
C.5
D．9
C [x－y∈{－2，－1，0，1，2}．]
3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )
A.方程y＝2x－1
B.点(x，y)
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合
D [集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.]
4．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2，4]
5．若(a，3a－1]为一确定区间，则实数a的取值范围是______．
[∵(a，3a－1]为一确定区间，∴a＜3a－1，解得a＞，∴实数a的取值范围是.]
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7
-1.1.2 集合的基本关系
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)2．能识别给定集合的子集、真子集．3．了解维恩图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系．
1.通过对集合之间包含关系与相等的含义以及子集，真子集概念的理解，培养数学抽象素养．2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算及逻辑推理的数学素养．3．利用Venn图，培养直观想象数学素养．
草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑．如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.
问题 (1)那么集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？
(2)集合A与集合B又存在什么关系？
1．维恩图
一般地，如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图．
维恩图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．
2．子集、真子集、集合相等的相关概念
思考：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？
(2)符号“∈”与“?”有何不同？
[提示] (1)不一定，如集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，这两个集合就没有包含关系．
(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；
而“?”表示集合与集合之间的关系．
[拓展] (1)若A?B，则A有以下三种情况：
①A是空集；
②A是由B的部分元素组成的集合；
③A是由B的全部元素组成的集合．
故不能简单地认为“若A?B，则A是由B的部分元素组成的集合”．
(2)是任意一个集合的子集．
(3)是任意非空集合的真子集，这里强调的是“非空”两字，解题时不能丢掉空集这一情况．
(4)任何集合都一定有子集，但是不一定有真子集．空集没有真子集，一个集合的真子集的个数比子集的个数少1.
3．集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A?A.
(2)对于集合A，B，C.
①若A?B，且B?C，则A?C；
②若AB，BC，则AC；
③若A?B，A≠B，则AB.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何集合至少有两个子集．
( )
(2){0，1，2}?{2，0，1}．
( )
(3)若A?B，且A≠B，则AB.
( )
(4)集合{0，1}的子集是{0}，{1}，{0，1}．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．下列命题：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若A，则A≠.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [在①中，空集的子集是空集，故①错误；
在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误；
在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误；
在④中，若A，则A≠，故④正确．故选B.]
3．已知集合P＝{x|0≤x≤2}，且M?P，则M可以是( )
A．{0，1}
B．{1，3}
C．{－1，1}
D．{0，5}
A [A.0∈P，1∈P，则M?P成立；
B．3P，则M?P不成立；
C．－1P，则M?P不成立；
D．5P，则M?P不成立；
故选A.]
4．(教材P14练习B③改编)已知集合A{2
018，2
019}，则这样的集合A共有________个．
3 [满足A{2
018，2
019}的集合A为：，{2
018}，{2
019}，共3个．]
集合间关系的判断
【例1】 (1)下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2}?{2，1，0}；③?{0，1，2}；④＝{0}；⑤{0，1}＝{(0，1)}；⑥0＝{0}．
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
③M＝{x|x＝2n－1，n∈N
}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N
}．
(1)B [对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0，1，2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以{0}；对于⑤，{0，1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0，1)}是以有序数组(0，1)为元素的单元素集合，所以{0，1}与{(0，1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.]
(2)[解] ①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.
③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N
，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.
法二：由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，所以N
M.
,
集合间基本关系判定的两种方法和一个关键
1．判断下列两个集合之间的关系：
(1)A＝{1，2，4}，B＝{x|x是8的约数}；
(2)A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}；
(3)A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}．
[解] (1)∵A＝{1，2，4}，B＝{1，2，4，8}，如图，
∴AB(A?B亦可，但AB更准确).
(2)∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，用数轴表示如下：
∴AB.
(3)法一：任取x0∈A，则x0＝2k0＋1，k0∈Z.
又∵x0＝2(k0＋1)－1，k0∈Z，∴k0＋1∈Z，
∴x0∈B，则A?B.同理可得，B?A.
由A?B，B?A，得A＝B.
法二：集合A＝{…，－5，－3，－1，1，3，5，7，…}，集合B＝{…，－7，－5，－3，－1，1，3，5，…}，根据规律可知集合A与B所含元素相同，所以A＝B.
集合的子集、真子集的个数问题
【例2】 (教材P11例1改编)(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．
[解] (1)，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如，有一个子集，0个真子集．
为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．
2．适合条件{1}?A{1，2，3，4，5}的集合A的个数是( )
A．15
B．16
C．31
D．32
A [这样的集合A有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，3，4，5}共15个．]
利用集合关系求参数的值或取值范围
[探究问题]
1．集合A＝[m，2m－1]，集合A一定是非空集合吗？
[提示] 当m≤2m－1，即m≥1时集合A非空；当m＜1时，A＝.
2．已知区间A＝(－∞，2]和B＝(－∞，a)，且B?A，则实数a的取值范围是什么？
[提示] 借助数轴可知a≤2.
【例3】 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若BA，求实数m的取值范围；
(2)若A?B，求实数m的取值范围．
[思路点拨] 两个集合都是连续型的无限集，可考虑用数轴来表示．
[解] (1)①当B≠，如图所示．
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
②当B＝时，由m＋1＞2m－1，得m＜2.
综上可得，m的取值范围m≤3.
(2)当A?B时，如图所示，此时B≠.
∴即∴m不存在．
即不存在实数m使A?B.
类似本题的设问，我们还可以得到下列的问题：
(1)(变条件)若AB，求实数m的取值范围；
(2)(变条件)若B?A，求实数m的取值范围．
[解] (1)若AB，则集合B肯定不是空集，则有或无解，
∴m不存在．
即不存在实数m使AB.
(2)由B?A得，①若B＝，则m＋1＞2m－1，即m＜2，此时满足B?A；
②若B≠，则解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为{m|m≤3}．
,
利用集合间的关系求参数的方法,已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集．一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，经常利用核心素养中的直观想象，借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到．
知识：
1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法．
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，AB首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但xA.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．
集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．
方法：
数形结合法：借助维恩图或数轴解决集合的基本关系问题．
1．下列集合中，结果是空集的是( )
A．{x∈R|x2－1＝0}
B．{x|x＞6或x＜1}
C．{(x，y)|x2＋y2＝0}
D．{x|x＞6且x＜1}
D [A.{x∈R|x2－1＝0}＝{1，－1}，
B．{x|x＞6或x＜1}不是空集，
C.{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0，0)}，
D．{x|x＞6且x＜1}＝，故选D.]
2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1}，则P与T的关系为( )
A．P?T
B．P∈T
C．P＝T
D．PT
A [集合P＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，T＝{－1，0，1}，∴P?T，故选A.]
3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，那么( )
A．若a＝3，则A?B
B．若A?B，则a＝3
C．若a＝3，则AB
D．若A?B，则a＝2
A [当a＝3时，A＝{1，3}，B＝{1，2，3}，A?B成立．当A?B时，a＝2或3.]
4．下列正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的维恩图是( )
B [由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1，0}．∵M＝{－1，0，1}，∴NM，故选B.]
5．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A?B，则实数a的取值范围________．
[4，＋∞) [∵集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，A?B，∴a≥4.∴实数a的取值范围是[4，＋∞).]
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-
1
-1.1.3 集合的基本运算
第1课时 交集和并集
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解两个集合交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(重点、难点)2．能使用维恩图、数轴表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)
1.通过理解集合交集、并集的概念，提升数学抽象的素养．2．借助维恩图培养直观想象的素养．
某班有学生20人，他们的学号分别是1，2，3，…，20，有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a，学号是3的倍数的读过新书b.
问题 (1)同时读了a，b两本书的有哪些同学？
(2)问至少读过一本书的有哪些同学？
1．交集
自然语言
一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”
符号语言
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
图形语言
[拓展] (1)对于“A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}”，包含以下两层意思：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；②A与B的公共元素都属于A∩B.这就是文字定义中“所有”二字的含义，如A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3}，而不是{2}或{3}．
(2)任意两个集合并不是总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝.
(3)当A＝B时，A∩B＝A和A∩B＝B同时成立．
2．并集
自然语言
一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”
符号语言
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
图形语言
用维恩图表示有以下几种情况(阴影部分即为A与B的并集)：
思考：(1)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？
(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？
[提示] (1)“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但xB；x∈B，但xA；x∈A，且x∈B.用维恩图表示如图所示．
(2)不一定．A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．
[拓展] 对概念中的“所有”的理解，不能认为A∪B是由A的所有元素和B的所有元素组成的集合，即简单拼凑，还要注意满足集合中元素的互异性，相同的元素(即A与B的公共元素)只能算作并集中的一个元素．例如，A＝{1，2，4}，B＝{1，4，5，7}，A∪B＝{1，2，4，5，7}，而不能写成A∪B＝{1，2，4，1，2，4，5，7}．
3．并集与交集的运算性质
并集的运算性质
交集的运算性质
A∪B＝B∪A
A∩B＝B∩A
A∪A＝A
A∩A＝A
A∪＝A
A∩＝
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)A∪B＝A∪C，则B＝C.
( )
(2)若A∩B＝，则A，B均为空集．
( )
(3)A，B中分别有3个元素，则A∪B中必有6个元素．
( )
(4)若x∈A∩B，则x∈A∪B.
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材P20习题1－1A⑥改编)已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M},
则M∪N＝( )
A．{0}
B．{0，3}
C．{1，3，9}
D．{0，1，3，9}
D [易知N＝{0，3，9}，故M∪N＝{0，1，3，9}．]
3．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( )
A．{0}
B．{1}
C．{1，2}
D．{0，1，2}
C [由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1，2}．]
4．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．
4 [∵A＝{0，2，a}，B＝{1，a2},
A∪B＝{0，1，2，4，16}，
∴a＝4，a2＝16或a＝16，a2＝4(舍去)，故a＝4.]
交集的概念及其应用
【例1】 (教材P15例1改编)(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A．{x|0≤x≤2}
B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4}
D．{x|1≤x≤4}
(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5
B．4
C．3
D．2
(1)A (2)D [(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图，
故A∩B＝{x|0≤x≤2}．故选A.
(2)∵8＝3×2＋2，14＝3×4＋2，
∴8∈A，14∈A，
∴A∩B＝{8，14}，故选D.]
1．求集合交集的运算的方法
(1)定义法，(2)数形结合法．
2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．
1．已知集合A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩B＝( )
A．{0，2}
B．{1，2}
C．{0}
D．{－2，－1，0，1，2}
A [由题意知A∩B＝{0，2}．]
2．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．－1B．a>2
C．a≥－1
D．a>－1
D [因为A∩B≠，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a>－1.]
并集的概念及其应用
【例2】 (1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝( )
A．{0}
B．{0，2}
C．{－2，0}
D．{－2，0，2}
(2)(教材P17例3改编)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝( )
A．{x|x<－5或x>－3}
B．{x|－5C．{x|－3D．{x|x<－3或x>5}
(1)D (2)A [M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}，故选D.
(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示，
则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．
]
求集合并集的方法
(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助维恩图写并集．
(2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集．
(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集．
3．已知集合A＝{0，2，4}，B＝{0，1，2，3，5}，则A∪B＝________．
{0，1，2，3，4，5} [A∪B＝{0，2，4}∪{0，1，2，3，5}＝{0，1，2，3，4，5}．]
集合交、并运算的性质及综合应用
[探究问题]
1．设A，B是两个集合，若A∩B＝A，A∪B＝B，则集合A与B具有什么关系？
[提示] A∩B＝A?A∪B＝B?A?B.
2．若A∩B＝A∪B，则集合A，B间存在怎样的关系？
[提示] 若A∩B＝A∪B，则集合A＝B.
【例3】 已知集合A＝{x|－3[思路点拨]
[解] (1)当B＝，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.
(2)当B≠时，要使A∪B＝A，
只需解得2≤k≤.
综合(1)(2)可知k≤.
1．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．
[解] 由A∩B＝A可知A?B.
所以即所以k∈.
所以k的取值范围为.
2．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3[解] 由题意可知解得k＝3.
所以k的值为3.
,
1．集合运算常用的性质
(1)A∪B＝B?A?B.
(2)A∩B＝A?A?B.,(3)A∩B＝A∪B?A＝B.
2.利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点
(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B＝B，A∩B＝A等问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解．
(2)关注点：当集合A?B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝的情况，否则易漏解．
知识：
1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分．
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．
3．通过对交集、并集的运算，培养抽象素养，提升数学运算素养．
方法：
数形结合法：借助维恩图或数轴求交集和并集．
1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝( )
A．{－1，0，1}
B．{0，1}
C．{－1，1}
D．{0，1，2}
A [集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1，0，1}．]
2．已知集合M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{0，1}
B．{0}
C．{－1，2，3}
D．{－1，0，1，2，3}
D [由维恩图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P，因为M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，故M∪P＝{－1，0，1，2，3}．故选D.]
3．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，则A∩B＝( )
A．{1} B．{2}
C．{－1，2} D．{1，2，3}
B [∵B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}＝{－1，2}，A＝{1，2，3}，∴A∩B＝{2}．]
4．已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( )
A．0或
B．0或3
C．1或
D．1或3
B [法一(利用并集的性质及子集的含义求解)∵A∪B＝A，∴B?A.又A＝{1，3，}，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝.由m＝得m＝0或m＝1.但m＝1不满足集合中元素的互异性，故舍去，故m＝0或m＝3.
法二(利用排除法求解)∵B＝{1，m}，∴m≠1，故可排除选项C、D.又当m＝3时，A＝{1，3，}，B＝{1，3}，∴A∪B＝{1，3，}＝A，故m＝3符合题意，故可排除选项A.]
5．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C.
[解] (1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b＝－5，
∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2，6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．
(2)∵A∪B＝{－5，2，6}，C＝{2，－3}，
∴(A∪B)∩C＝{2}．
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5
-第2课时 补集
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解全集的含义及其符号表示．(易混点)2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)
1.通过补集的运算培养数学运算素养．2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养．
某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}．
问题 那么没有获得应用文写作比赛与技能大赛金奖的学生构成的集合是什么？
1．全集
(1)定义：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么就称这个给定的集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U．
思考1：全集一定是实数集R吗？
[提示] 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
[拓展] 全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是依据具体问题来选择的．例如，我们在研究数集时，通常把实数集R作为全集；当我们只讨论大于0且小于8的实数时，可选{x|0＜x＜8}为全集，通常也把给定的集合作为全集．
2．补集
文字语言
如果集合A是全集U的子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作?UA
符号语言
?UA＝{x|x∈U，且xA}
图形语言
3.补集的运算性质
条件
给定全集U及其任意一个子集A
结论
A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝；?U(?UA)＝A
思考2：?UA，A，U三者之间有什么关系？
[提示] (1)?UA表示集合U为全集时，集合A在全集U中的补集，则?UA?U.如果全集换成其他集合(如R)，那么记号中“U”也必须换成相应的集合(如?RA).
(2)求?UA的前提条件为集合A是全集U的子集．
(3)若x∈U，则x∈A，x∈?UA必居其一．
[拓展] 补集是相对于全集而存在的，当全集变化时，补集也随之改变，所以在讨论一个集合的补集时，必须说明是在哪个集合中的补集．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)?UU＝，?U＝U.
( )
(2)若A?B?U，则?UA??UB.
( )
(3)若x∈U，则x∈A或x∈?UA，二者必居其一．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．设全集为U，M＝{0，2，4}，?UM＝{6}，则U等于( )
A．{0，2，4，6}
B．{0，2，4}
C．{6}
D．
A [∵M＝{0，2，4}，?UM＝{6}，
∴U＝M∪?UM＝{0，2，4，6}，故选A.]
3．(教材P19练习A⑤改编)若集合A＝{x|x>1}，则?RA＝________．
{x|x≤1} [∵A＝{x|x>1}，
∴?RA＝{x|x≤1}．]
4．设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{x∈Z|1＜x＜4}，则?U(A∪B)＝( )
A．{0，1，2，3}
B．{5}
C．{1，2，4}
D．{0，4，5}
D [∵B＝{x∈Z|1＜x＜4}，∴B＝{2，3}．
∵A＝{1，2}，∴A∪B＝{1，2，3}．
∵全集U＝{0，1，2，3，4，5}，∴?U(A∪B)＝{0，4，5}．故选D.]
补集的运算
【例1】 (1)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，?UA＝{2，4，6}，?UB＝{1，4，6}，则集合B＝________；
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则?UA＝________．
(1){2，3，5，7} (2){x|x<－3或x＝5} [(1)法一(定义法)：因为A＝{1，3，5，7}，?UA＝{2，4，6}，所以U＝{1，2，3，4，5，6，7}．又?UB＝{1，4，6}，所以B＝{2，3，5，7}．
法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示．
由图可知B＝{2，3，5，7}．
(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．
由补集的定义可知?UA＝{x|x<－3或x＝5}．]
求集合的补集的方法
(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．
(2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集．
(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．
1．(1)设集合A＝{x∈N
|x≤6}，B＝{2，4}，则?AB等于( )
A．{2，4}
B．{0，1，3，5}
C．{1，3，5，6}
D．{x∈N
|x≤6}
(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则?UA＝______．
(1)C (2){x|0|x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，4}，所以?AB＝{1，3，5，6}．故选C.
(2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，?UA＝{x|0集合交、并、补集的综合运算
【例2】 (教材P18例4改编)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2[解] 把集合A，B在数轴上表示如下：
由图知?RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2因为?RA＝{x|x<3，或x≥7}，
所以(?RA)∩B＝{x|2求集合交、并、补运算的方法
2．全集U＝{x|x<10，x∈N
}，A?U，B?U，(?UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，(?UA)∩(?UB)＝{4，6，7}，求集合A，B.
[解] 法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示．
由图可知A＝{1，3，9}，B＝{2，3，5，8}．
法二(定义法)：(?UB)∩A＝{1，9}，(?UA)∩(?UB)＝{4，6，7}，∴?UB＝{1，4，6，7，9}．
又U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
∴B＝{2，3，5，8}．
∵(?UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，
∴A＝{1，3，9}．
与补集有关的参数值的求解
[探究问题]
1．若A，B是全集U的子集，且(?UA)∩B＝，则集合A，B存在怎样的关系？
[提示] B?A.
2．若A，B是全集U的子集，且(?UA)∪B＝U，则集合A，B存在怎样的关系？
[提示] A?B.
【例3】 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2[思路点拨] 法一：
法二：
[解] 法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得?UA＝{x|x<－m}．
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
法二(集合间的关系)：由(?UA)∩B＝可知B?A，
又B＝{x|－2结合数轴：
得－m≤－2，即m≥2.
1．(变条件)将本例中条件“(?UA)∩B＝”改为“(?UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
[解] 由已知得A＝{x|x≥－m}，所以?UA＝{x|x<－m}，又(?UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.
2．(变条件)将本例中条件“(?UA)∩B＝”改为“(?UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
[解] 由已知得A＝{x|x≥－m}，?UB＝{x|x≤－2或x≥4}．
又(?UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.
,
由集合的补集求解参数的方法
(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解．
(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解．
知识：
求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一集合在不同全集下的补集是不同的．
方法：
补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，在正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1＜9}，则?UA等于( )
A．{x|x＜0或x＞4}
B．{x|x≤0或x＞4}
C．{x|x≤0或x≥4}
D．{x|x＜0或x≥4}
D [因为U＝R，A＝{x|0≤x＜4}，所以?UA＝{x|x＜0或x≥4}．]
2．U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则(?UA)∪B为( )
A．{1，2，4}
B．{2，3，4}
C．{0，2，3，4}
D．{0，2，4}
D [∵?UA＝{0，4}，B＝{2，4}，∴(?UA)∪B＝{0，2，4}．]
3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(?RS)∪T等于( )
A．{x|－2B．{x|x≤－4}
C．{x|x≤1}
D．{x|x≥1}
C [因为S＝{x|x>－2}，所以?RS＝{x|x≤－2}．
而T＝{x|－4≤x≤1}，
所以(?RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．]
4．已知全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|，2}，?UA＝{5}，则实数a＝________．
2 [由题意知，a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2.当a＝－4时，|2a－1|＝9，而9U，所以a＝－4不满足题意，舍去；当a＝2时，|2a－1|＝3，3∈U，满足题意，故实数a的值为2.]
5．已知全集U＝{2，0，3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，?UP＝{－1}，求实数a的值．
[解] 由已知，得－1∈U，且－1P，
因此
解得a＝2.
当a＝2时，U＝{2，0，－1}，
P＝{2，0}，?UP＝{－1}，满足题意．
因此实数a的值为2.
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7
-1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题与量词
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解命题的含义，并会判断其真假.2．理解全称量词与全称量词命题的定义．3．理解存在量词与存在量词命题的定义
.4．能准确地使用全称量词和存在量词符号(即“?，?”)来表述相关的数学内容．(重点)5．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(重点、难点)
1.通过对命题、全称量词、存在量词的理解，培养数学抽象的素养．2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算能力．
观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m≤5；
Q：对所有的m∈R，m≤5.
问题 (1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个).
1．命题
可供真假判断的陈述语句是命题，而且，
判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．
[拓展] (1)并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题，如：“三角函数是周期函数吗？”“但愿每一个三次方程都有三个实根！”“指数函数的图像真漂亮！”等，都不是命题；(2)在数学或其他科学技术中，还有一类陈述句也经常出现，如“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和(哥德巴赫猜想)”“在2020年前，将有人登上火星”等，虽然目前还不能确定这些语句的真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假，人们把这一类猜想仍算为命题．
2．全称量词和全称量词命题
(1)一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，并用符号“?”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题就是形如“对集合M中所有的元素x，r(x)”的命题，可用符号简记为?x∈M，r(x)．
3．存在量词和存在量词命题
(1)“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，并用符号“?”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x，s(x)”的命题，可用符号简记为“?x∈M，s(x)”．
思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．
[提示] 是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．
( )
(2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．
( )
(3)全称量词命题一定含有全称量词．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
[提示] 有些命题虽然没有写出全称量词，但其意义具备“任意性”，这类命题也是全称量词命题，如“正数大于0”即“所有正数都大于0”，故说法是错误的．
2．下列命题中，全称量词命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A.0 B．1 C．2 D．3
C [①②是全称量词命题，③是存在量词命题．]
3．下列存在量词命题中真命题的个数是( )
①?x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③?x∈{x|x是整数}，x2是整数．
A.0
B．1
C．2
D．3
D [①②③都是真命题．]
4．用存在量词表示下列语句：“有一个实数乘以任意一个实数都等于0”表示为________．
[答案] 存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0
命题概念的核心要素
【例1】 (1)下列语句中为命题的是( )
A.作△ABC∽△A′B′C′
B．{0}∈N
C.函数与图像
D．2x＞3
(2)下列语句中不是命题的有________．(填序号)
①无理数的平方是有理数吗？
②王明同学的素描多么精彩啊！
③若x，y都是奇数，则x＋y是偶数；
④请说普通话；
⑤x2－xy＋y2≥0.
(1)B (2)①②④ [(1)只有B选项可判断真假．
(2)①不是命题，因为是疑问句不是陈述句；
②④分别是感叹句和祈使句，所以都不是命题；
③⑤是命题，因为它们能判断真假．]
一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假．其流程图如图：
1．下列语句中，是命题的为________．(填序号)
①红豆生南国；
②作射线AB；
③中国领土不可侵犯！
④当x≤1时，x2－3x＋2≤0.
①④ [②和③都不是陈述句，根据命题定义可知①④是命题．]
命题真假的判断
【例2】 下列命题是真命题的为( )
A.{x∈N|x3＋1＝0}不是空集
B.若＝，则x＝y
C.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
D.若整数m是偶数，则m是合数
B [A中，x∈N，x3≥0，{x∈N|x3＋1＝0}是空集，故为假命题；B中，由＝可推出x＝y；C中，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；D中，2是偶数，但2是质数，故是假命题．]
判断命题真假性的两个技巧
(1)真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学的推理论证得出要证的结论．
(2)假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可．
2．下列四个命题为真命题的有( )
①若x＞1，则x2＞1；②梯形不是平行四边形；
③全等三角形的面积相等．
A.1个
B．2个
C.3个
D．0个
C [①②③是真命题．]
全称量词和全称量词命题
【例3】 下列命题是全称量词命题的个数是( )
①任何实数都有立方根；
②所有的质数都是奇数；
③有的平行四边形是矩形；
④三角形的内角和是180°.
A.0 B．1 C．2 D．3
D [命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有3个全称量词命题：①②④.]
全称量词命题的常用表示形式：
(1)所有的
x∈M，r(x)；
(2)对一切x∈M，r(x)；
(3)对每一个x∈M，r(x)；
(4)任选一个x∈M，r(x)；
(5)任意x∈M，r(x).
3．(多选题)下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是( )
A.至少有一个x∈Z，使得x2＜3成立
B.对任意a，b∈R，都有a2＋b2≥2(a＋b－1)
C.平行四边形的对角线互相平分
D.菱形的两条对角线长度相等
BC [选项A：因为02＜3，0∈Z，所以至少有一个x∈Z，使得x2＜3成立，是真命题，但不是所有的x∈Z，都有x2＜3成立，不是全称量词命题；
选项B：∵a2＋b2－2(a＋b－1)＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，∴本命题是真命题，又因为a，b∈R都使命题成立，故本命题符合题意；
选项C：是真命题，是全称量词命题；
选项D：并不是所有的菱形对角线长度都相等，故本命题是假命题，也不是全称量词命题，故选BC.]
存在量词和存在量词命题
【例4】 下列命题中存在量词命题的个数是( )
①至少有一个偶数是质数；
②?x∈R，x2－1＞0;
③有的平行四边形是菱形．
A.0
B．1
C．2
D．3
D [①中含有存在量词“至少有一个”，
所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号
“?”，所以是存在量词命题；③中含有存在量词
“有的”，所以是存在量词命题．]
存在量词命题的常用表示形式：(1)存在
x∈M，s(x)；(2)至少有一个x∈M，s(x)；(3)对有些x∈M，s(x)；(4)对某个x∈M，s(x)；(5)有一个x∈M，s(x).
4．下列语句是存在量词命题的是
( )
A.整数n是2和5的倍数
B.存在整数n，使n能被7整除
C.x＞7
D.?x∈M，p(x)成立
B [B选项中有存在量词“存在”，故是存在量词命题，A和C不是命题，D是全称量词命题.
]
全称量词命题和存在量词命题的改写
【例5】 用全称量词或存在量词表示下列语句：
(1)不等式x2＋x＋1＞0恒成立；
(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；
(3)方程3x－2y＝10有整数解．
[解] (1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1＞0成立；
(2)对任意有理数x,
x2＋x＋1是有理数；
(3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．
1．判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题，关键看命题中是否含有全称量词或存在量词．
2．有些命题的量词可能隐含在命题之中，这时要根据命题的含义进行判断，如很多公理、定理的简述都是一般性结论，它们大多数省略了全称量词，但仍应看作全称量词命题．
5．用全称量词或存在量词表示下列语句：
(1)有理数都能写成分数形式；
(2)方程x2＋2x＋8＝0有实数解．
[解] (1)任意一个有理数都能写成分数形式．
(2)存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0成立．
全称量词命题和存在量词命题的真假判断
【例6】 (教材P25例题改编)试判断下面命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋2＞0;
(2)?x∈N，x4≥1；
(3)?x∈Z，x3＜1；
(4)?x∈Q，x2＝3.
[解] (1)由于?x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0，所以命题“?x∈R，x2＋2＞0”是真命题．
(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“?x∈N，x4≥1”是假命题．
(3)由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x3＜1，所以命题“?x∈Z，x3＜1”是真命题．
(4)由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数．因此，任何一个有理数的平方都不等于3，所以命题“?x∈Q，x2＝3”是假命题．
6．判断下列命题的真假：
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对
(x，y)都对应一点P;
(2)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(3)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．
[解] (1)真命题.
(2)假命题，如边长为1的正方形的对角线长，它的长度就不能用有理数表示．(3)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．
知识：
1．根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，真命题要给出证明，假命题只需举一反例即可．
2．判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称量词命题虽然不含全称量词，但可以根据命题涉及的意义去判断．
3．要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题．
4．要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题．
方法：
判断含量词的命题的真假时，一定要注意特殊情况，如特殊值、特殊点，特别是问题中涉及的临界点．若找不到特例，则需根据相关数学知识进行简单推理．
1．下列语句不是命题的有( )
①若a>b，b>c，则a>c；②x>2；③3<7.
A.0个 B．1个 C．2个 D．3个
B [①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②不能判断真假，不是命题．故选B.]
2．下列命题是存在量词命题的是( )
A.对顶角相等
B.正方形都是四边形
C.不相交的两条直线是平行直线
D.存在实数大于等于1
D [选项D中含有存在量词“存在”，所以根据存在量词命题的定义知选D.]
3．下列命题：
①所有合数都是偶数；
②x∈R，(x－1)2＋1≥1；③有些无理数的平方还是无理数．其中既是全称量词命题，又是真命题的个数是( )
A.0
B．1
C．2
D．3
B [命题①是假命题；命题②既是全称量词命题，又是真命题；命题③既是存在量词命题，
又是真命题，故选B.]
4．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若x，y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题为________．
①③ [①是真命题；②平行四边形不是梯形，假命题；③是真命题．]
5．已知命题p：“?x∈R，关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根”是真命题，则实数m的取值范围是________．
(－∞，3] [因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，
所以Δ＝(－2)2－4m≥0，解得m≤3，所以实数m的取值范围是(－∞，3].]
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-1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
学
习
目
标
核
心
素
养
1.能正确写出一个命题的否定，并判断其真假．2．理解含有一个量词的命题的否定的意义．3．会对含有一个量词的命题进行否定．(重点)4．掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．(重点、难点)
1.通过对命题的否定的认识，提升数学抽象的素养．2．通过对含有一个量词的命题的否定的理解，提升逻辑推理的素养．
一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸．”
问题 请问探险家该如何保命？
1．命题的否定
(1)一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“?p
”，读作“非p”或“p的否定”．
(2)如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然．
(3)常见的否定词语
一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，下面把常用的正面叙述的词语及它的否定列举如下：
正面词语
＝
＞(＜)
是
都是
任意(所有)
存在
至多有1个
至少有1个
或
且
否定词语
≠
≤(≥)
不是
不都是
某个
不存在
至少有2个
1个也没有
且
或
2.含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题p：?x∈M，q(x)，它的否定?p：?x∈M，?q(x)；
存在量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定?p：?x∈M，?p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
[拓展] 命题的否定与集合运算的关系
(1)已知全集为U，设命题p对应的集合为P，则命题的否定?p对应的集合为?UP＝{x|x∈U，且xP}，这样可以从集合的角度进一步认识命题的否定．
(2)已知全集为U，若“p是真命题”对应“a∈P”，则“p是假命题”对应“a∈?UP”；若“?p是真命题”对应“a∈?UP”，则“?p是假命题”对应“a∈P”．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题?p的否定是p.
( )
(2)?x∈M，p(x)与?x∈M，?p(x)的真假性相反．
( )
(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．(教材P29练习A③改编)命题“?x∈R，?n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是( )
A.?x∈R，?n∈N
，使得n＜x2
B.?x∈R，?n∈N
，使得n＜x2
C.?x∈R，?n∈N
，使得n＜x2
D.?x∈R，?n∈N
，使得n＜x2
D [根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D.]
3．命题“?x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定是
( )
A.?x∈R，x2＋2x＋2＞0
B．?x∈R，x2＋2x＋2≤0
C.?x∈R，x2＋2x＋2＞0
D．?x∈R，x2＋2x＋2≥0
A [由存在量词命题和全称量词命题的关系可知“?x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定为?x∈R，x2＋2x＋2＞0.]
4．命题“任意x∈R，若y＞0，则x2＋y＞0”的否定是________．
存在x∈R，若y＞0，则x2＋y≤0 [已知命题是一个全称量词命题，其否定为存在量词命题，先将“任意”换成“存在”，
再否定结论，即命题的否定是：存在x∈R，若y＞0,
则x2＋y≤0.]
命题的否定
【例1】 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：y＝sin
x是周期函数；
(2)p：实数的绝对值都大于0；
(3)p：菱形的对角线垂直平分；
(4)p：若xy＝0，则x＝0或y＝0.
[解] (1)?p
：y＝sin
x不是周期函数．假命题．
(2)?p：实数的绝对值不都大于零．真命题．
(3)?p：菱形的对角线不垂直或不平分．假命题．
(4)?p：若xy＝0，则x≠0且y≠0.
假命题．
?p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反．对一些词语的正确否定是写?p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”等．
1．写出下列命题的否定形式，并判断其真假．
(1)p：面积相等的三角形都是全等三角形；
(2)p：若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；
(3)p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0.
[解] (1)?p：面积相等的三角形不都是全等三角形．真命题．
(2)?p：若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．假命题．
(3)?p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中都不为0.假命题．
全称量词命题的否定
【例2】 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：任意n∈Z，则n∈Q；
(2)p：等圆的面积相等，周长相等；
(3)p：偶数的平方是正数．
[解] (1)?p：存在n∈Z，使nQ，这是假命题．
(2)?p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题．
(3)?p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题．
1．写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．
2．有些全称量词命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．
2．写出下列全称量词命题的否定．
(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；
(3)p：数列{1，2，3，4，5}中的每一项都是偶数；
(4)p：可以被5整除的整数，末位是0.
[解] (1)?p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(2)?p：?x∈Z，x2的个位数字等于3.
(3)?p：数列{1，2，3，4，5}中至少有一项不是偶数．
(4)?p：存在被5整除的整数，末位不是0.
存在量词命题的否定
【例3】 写出下列存在量词命题的否定．
(1)p：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(2)p：有的三角形是等边三角形；
(3)p：有一个素数含三个正因数．
[解] (1)?p：?x∈R，x2＋2x＋2>0.
(2)?p：所有的三角形都不是等边三角形．
(3)?p：每一个素数都不含三个正因数．
与全称量词命题的否定的写法类似，要写出存在量词命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到存在量词命题的否定．
3．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直；
(2)存在一个三角形，它的内角和大于180°；
(3)存在偶函数为单调函数．
[解] (1)命题的否定：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直，是假命题．
(2)命题的否定：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180°，是真命题．
(3)命题的否定：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题．
全称量词命题与存在量词命题中的求参问题
[探究问题]
1．关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)恒成立的条件是什么？
[提示] 判别式Δ＝b2－4ac＜0.
2．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根的条件是什么？
[提示] 判别式Δ＝b2－4ac≥0.
【例4】 已知命题p：“?x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．
[思路点拨] 命题p的否定?p一定为真命题，可以通过分离参数法，转化为不等式恒成立问题，通过求最值得出m的取值范围；也可以利用二次函数的图像和性质转化为Δ与0的关系，解不等式求解．
[解] 法一：?p：?x∈R，x2－2x＋m＞0，是真命题，即m＞－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈R恒成立，
设函数y＝－(x－1)2＋1，由二次函数的性质知，
当x＝1时，y最大值＝1，∴m＞y最大值＝1，
即实数m的取值范围是(1，＋∞).
法二：?p：?x∈R，x2－2x＋m＞0，是真命题，
设函数y＝x2－2x＋m，由二次函数的图像和性质知，
只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ＜0，即4－4m＜0，得m＞1，
即实数m的取值范围是(1，＋∞).
若命题“?x∈R，使得x2－2x＋m＝0”为真命题，则m的取值范围是________．
m≤1 [?x∈R，使得x2－2x＋m＝0，即关于x的方程x2－2x＋m＝0有实根，∴Δ＝4－4m≥0，解得m≤1.]
含有量词的命题求参数问题的思路
（1）此类题目常以二次方程或二次不等式等为载体，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题，可用判别式法求参数范围，也可以利用分离参数法求得参数的范围．
（2）求参数的范围时，从真命题的角度比较好列关系式，所以如果已知条件是一个存在量词命题，且是假命题，可以写出该命题的否定，利用命题的否定是真命题求得参数的范围．
知识：
1．?p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反．通过学习含量词的命题的否定的概念及应用培养数学抽象和逻辑推理素养．
2．对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型：命题是全称量词命题还是存在量词命题．
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定．
方法：
(1)转化法：已知命题p为假命题求参数的值或取值范围时，通常等价转化为?p是真命题后，再求参数的值或取值范围．
(2)分离参数法：存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后分离参数，并利用条件求参数范围(值).
1．已知a＜b，则下列结论中正确的是( )
A.?c＜0，a＞b＋c
B．?c＜0，a＜b＋c
C.?c＞0，a＞b＋c
D．?c＞0，a＜b＋c
D [A项，若a＝1，b＝2，c＝－1，满足a＜b，但a＞b＋c不成立；
B项，若a＝9.5，b＝10，c＝－1，a＜b＋c不成立；
C项，因为a＜b，c＞0，所以a＜b＋c恒成立，故C错误；
D项，?c＞0，a＜b＋c成立，故选D.]
2．设命题p：?x∈R，x2＋1＞0，则?p为( )
A.?x∈R，x2＋1＞0
B．?x∈R，x2＋1≤0
C.?x∈R，x2＋1＜0
D．?x∈R，x2＋1≤0
B [命题p：?x∈R，x2＋1＞0，是一个全称量词命题，
∴?p：?x∈R，x2＋1≤0.故选B.]
3．下列命题的否定为假命题的是( )
A.?x∈R，x2＋2x＋2≤0
B.?x∈R，x3＜1
C.所有能被3整除的整数都是奇数
D.任意一个梯形的对角线都不互相平分
D [对于选项A，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以?x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；
对于选项B，因为当x≥1时，x3≥1，所以?x∈R，x3＜1是假命题，故其否定为真命题；
对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；
对于选项D，任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题，因此其否定是假命题．故选D.]
4．已知命题p：?x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．
(0，1) [法一：若命题p：?x∈R，x2＋2ax＋a≤0是真命题，得Δ＝(2a)2－4a≥0，
即a(a－1)≥0,
若命题p是假命题，则a(a－1)<0，解得0法二：依题意，命题?p：?x∈R，x2＋2ax＋a>0是真命题，得Δ＝(2a)2－4a<0，即a(a－1)<0，解得05．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)?x∈R，x不是5x－12＝0的根；
(2)有些三角形的三个内角都等于60°；
(3)?x∈R，|x|＞0.
[解] (1)命题的否定：?x∈R，x是5x－12＝0的根．真命题．
(2)命题的否定：任意一个三角形的三个内角不能都等于60°.假命题．
(3)命题的否定：?x∈R，|x|≤0.假命题．
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-第2课时 充要条件
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解充要条件的概念．(难点)2．能够判定条件的充分、必要、充要性．(重点、易混点)3．会进行简单的充要条件的证明．(重点、难点)
1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．通过充分、必要、充要性的应用，培养数学运算素养．
主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．
问题 请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．
1．充要条件的概念
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
2．充要条件的判断
概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件．
(1)若p?q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
(2)若q?p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
(3)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
思考：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示] (1)正确．若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q.
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
[拓展] 充要条件的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p?q，q?s，则有p?s，即p是s的充要条件．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若p是r的充要条件，r是s的充要条件，则s是p的充要条件．
( )
(2)设x∈R，则x＞1是x3＞1的充要条件．
( )
(3)不等式(2x＋1)(x－3)≥0成立的充要条件是x≥3.
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2.
设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是( )
A．x>1
B．x<1
C．x>3
D．x<3
A [∵x>2?x>1，但x>1x>2，∴选A.]
3．“a＝0且b＝0”是“a2＋b2＝0，a，b是实数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C [a＝0且b＝0可以推出a2＋b2＝0，a2＋b2＝0可以推出a＝0且b＝0.]
4．已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝的充要条件是________．
0≤a≤2 [A∩B＝??0≤a≤2.]
充要条件的判断
【例1】 (教材P34例3改编)下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：x>0，y>0，q：xy>0；
(2)p：a>b，q：a＋c>b＋c；
(3)p：x>5，q：x>10；
(4)p：a>b，q：a2>b2.
[解] 命题(1)中，p?q，但qp，故p不是q的充要条件；
命题(2)中，p?q，且q?p，即p?q，故p是q的充要条件；
命题(3)中，pq，但q?p，故p不是q的充要条件；
命题(4)中，pq，且qp，故p不是q的充要条件．
充要条件判断的两种方法
(1)要判断一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断p与q的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向．
1．在下列四个结论中，正确的有( )
①设x∈R，“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件；
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；
③“a2>b2”是“a>b的充分不必要条件”；
④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
C [对于结论①，∵x＞2?x＞1，但x>1x＞2，故①正确；对于结论④，由a2＋b2≠0?a，b不全为0，反之，由a，b不全为0?a2＋b2≠0，故④正确．]
充分条件、必要条件、充要条件的应用
[探究问题]
1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？
[提示] 若p是q的充分不必要条件，则AB；若p是q的必要不充分条件，则BA.
2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，则p是q的什么条件？若N?M，M＝N呢？
[提示] 若M?N，则p是q的充分条件；若N?M，则p是q的必要条件；若M＝N，则p是q的充要条件．
【例2】 已知命题p：－2≤x≤10，命题q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
[思路点拨] →→
[9，＋∞) [因为p是q的充分不必要条件，所以p?q且qp，即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
所以或解得m≥9.
所以实数m的取值范围为[9，＋∞).]
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
(1)化简p，q两命题；
(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系；
(3)利用集合间的关系建立不等式；
(4)求解参数范围．
2．已知P＝{x|a－4[解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q?P.
所以解得－1≤a≤5，
即a的取值范围是[－1，5].
有关充要条件的证明或求解
【例3】 已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
[证明] 先证充分性：若a＋b＝1，
则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立，
必要性：若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0，
∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1成立，
综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
充要条件的证明要分充分性、必要性两个方面分别证明，注意证明方向不要反了(易错点).
3．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
①证明p?q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
②证明q?p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
知识：
充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明，在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性．
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．
方法：
充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．
1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A [当x＝1时，x2－2x＋1＝0.由x2－2x＋1＝0,
解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0成立的充要条件”.
]
2．设实数a，b满足|a|＞|b|，则“a－b＞0”是
“a＋b＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C [由a－b＞0，得a＞b.又|a|＞|b|，得
a＋b＞0；由a＋b＞0，得a＞－b.又|a|＞|b|，得a－b＞0.故“a－b＞0”是“a＋b＞0”的充要条件．]
3．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [根据题意得，AB，B?A，B?C，
D?C，CD，所以D?C?B?A，即D?A，
可从集合的角度考虑得出AD，所以A是D的必要不充分条件．]
4．在平面直角坐标系中，点(x，1－x)在第一象限的充要条件是________．
0＜x＜1 [由题意，可得x＞0，且1－x＞0，∴0＜x＜1.]
5．若“x＞a”是“x＞6”的必要条件，则实数a的取值范围是________．
(－∞，6] [由“x＞a”是“x＞6”的必要条件，知a≤6，故实数a的取值范围为(－∞，6].]
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