(共37张PPT)
第二章 函 数
§1 生活中的变量关系
必备知识·自主学习
导思
1.两个变量之间一定是函数关系吗?
2.什么是分段函数?
1.函数关系
(1)定义:如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的_______值,变
量y都有_________的值和它对应,那么y就是x的函数;
(2)本质:刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具.
每一个
唯一确定
2.分段函数
形如
的函数,一般叫作分段函数.
【思考】
分段函数是一个函数还是多个函数?
提示:一个函数.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)人的身高和年龄之间是依赖关系.
( )
(2)常量与变量之间不能构成依赖关系,也不能构成函数关系.
( )
(3)家庭收入与支出之间的关系是依赖关系.
( )
提示:(1)√.人的身高和年龄之间是依赖关系.
(2)×.常量与变量之间不能构成依赖关系,但能构成函数关系,如常数函数.
(3)√.家庭收入与支出之间具有依赖关系.
2.俗语“名师出高徒”说明
( )
A.名师与高徒之间具有依赖关系
B.名师与高徒之间具有函数关系
C.名师是高徒的函数
D.高徒是名师的函数
【解析】选A.说明名师与高徒之间存在依赖关系.
3.(教材二次开发:习题改编)下列各量间不存在依赖关系的是
( )
A.人的年龄与他(她)拥有的财富
B.某人的体重与其饮食情况
C.水稻的亩产量与施肥量
D.某人的衣着价格与视力
【解析】选D.衣着价格与视力不存在依赖关系.ABC中变量之间有一定的影响,有依赖关系.
关键能力·合作学习
类型一 两个变量关系的判定(数学抽象、直观想象)
【典例】下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系?
①圆的面积和它的半径;
②速度不变的情况下,汽车行驶的路程与行驶时间;
③家庭的食品支出与电视价格之间的关系;
④正三角形的面积和它的边长.
【思路导引】结合依赖关系与非依赖关系的特征分析判断.
【解析】①中,圆的面积S与半径r之间存在S=πr2的关系;
②中,在速度不变的情况下,行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系;
③中,两个变量不存在依赖关系.
④中,正三角形的面积S与其边长a之间存在S=
a2的关系.综上①②④中两个
变量间都存在依赖关系.
【解题策略】
依赖关系的判断方法与步骤
对于两个变量,如果一个变量的改变影响另一个变量,则这两个变量具有依赖关系,否则不具有依赖关系.
【跟踪训练】
下列各组中的两个变量之间是否存在依赖关系?
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却,并将一温度计放入茶杯中,每隔一段时间,观察温度计示数的变化,冷却时间与温度计示数的关系;
(2)商品的价格与销售量;
(3)某同学的学习时间与其学习成绩.
【解析】(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系;
(2)一般情况下,商品的价格越低销售量越大,是依赖关系;
(3)某同学的学习成绩与学习时间有一定的关系,但学习成绩并不完全由学习时间而定,还受其他因素的影响,如这位同学的学习效率、智力等,因此某同学的学习时间与其学习成绩之间存在依赖关系.
综上所述,(1)(2)(3)均存在依赖关系.
类型二 函数关系的判定(数学抽象、逻辑推理)
【典例】1.(多选题)2019年10月1日上午,喜悦的豪情在北京天安门广场倾情绽放,新中国以一场盛大阅兵庆祝70岁生日,同时文都桐城也以自己的方式庆祝祖国七十华诞,此时发生在桐城的下列两个变量之间的关系是函数关系的是
( )
A.出租车车费与出租车行驶的里程
B.商品房销售总价与商品房建筑面积
C.铁块的体积与铁块的质量
D.人的身高与体重
2.(2020·温州高一检测)以下形式中,不能表示“y是x的函数”的是( )
A.
B.
C.y=x2
D.(x+y)(x-y)=0
x
1
2
3
4
y
4
3
2
1
【思路导引】按照函数的定义进行判断.
【解析】1.选ABC.对于A选项,出租车车费实行分段收费,与出租车行驶里程成分段函数关系;对于B选项,商品房的销售总价等于商品房单位面积售价乘以商品房建筑面积,商品房销售总价与商品房建筑面积之间是一次函数关系;对于C选项,铁块的质量等于铁块的密度乘以铁块的体积,铁块的体积与铁块的质量是一次函数关系;对于D选项,有些人又高又瘦,有些人又矮又胖,人的身高与体重之间没有必然联系,因人而异,D选项中两个变量之间的关系不是函数关系.
2.选D.根据函数的定义,每个x都有唯一的y和它对应,从而判断选项A,B,C都表示“y是x的函数”;
因为(x+y)(x-y)=x2-y2=0,所以y2=x2,所以任一非零实数x都有两个y与之对应,(x+y)(x-y)=0不能表示“y是x的函数”.
【解题策略】
关于函数关系的判定
函数关系是一种两个变量之间确定的依赖关系,判定函数关系的关键是准确把握函数的定义,理解“变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应”.同时也是判定函数关系的依据.
【跟踪训练】
下列变量间的关系是函数关系的是
( )
A.匀速航行的轮船在2小时内航行的路程
B.某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C.正方形的面积S与其边长a之间的关系
D.光照时间和苹果的亩产量
【解析】选C.A是常量,B是依赖关系,C是函数关系,D是依赖关系.
类型三 函数(依赖)关系的应用(逻辑推理、直观想象)
角度1 变量关系的图象表示?
【典例】大家都听说过“龟兔赛跑”的故事:领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉.当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点,用S1,S2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下列图象中与故事情节相吻合的是( )
【思路导引】利用乌龟、兔子奔跑的路程随时间的变化特征判断.
【解析】选D.A.此函数图象中,S2先达到最大值,即兔子先到终点,不符合题意;B.此函数图象中,S2第2段随时间增加其路程一直保持不变,与“当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶”不符,不符合题意;C.此函数图象中,S1,S2同时到达终点,不符合题意;D.S1一直增加;S2有三个阶段,1、增加;2、睡了一觉,不变;3、当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,增加;但乌龟还是先到达终点,即S1在S2的上方.符合题意.
【变式探究】
若将本例的条件变为“乌龟和兔子变成了好朋友,兔子跑到中途后停止,并和乌龟同时到达终点”,那么哪个图象吻合这个故事情节?
【解析】选C.乌龟和兔子到达终点所用的时间相同,奔跑的路程相同,在中途兔子的奔跑路程有一段时间不增加,结合上述特征,应选择C.
角度2 变量关系解释实际问题?
【典例】如图是一同学骑自行车出行的图象,从图中得到的正确信息是( )
A.整个出行过程中的平均速度为
km/h
B.前20分钟的速度比后半小时的速度慢
C.前20分钟的速度比后半小时的速度快
D.从起点到达终点,该同学共用了50分钟
【思路导引】分析图中所给出的图象,利用图象中的数据通过观察、计算判断.
【解析】选C.对于A,因为平均速度为
=7
km/h,故A不正确.对于B,前20分钟的
速度为
km/min,后半小时的速度为
km/min,因为
,故B不
正确,C正确,而D显然不正确.
【解题策略】
关于变量关系的应用
利用图象表示两个变量的依赖关系更加直观,更能反映两个变量相互影响的变化趋势.解题时注意关注图象的上升、下降,增加减小的快慢等特征.还要注意利用图象中数据.
【题组训练】
1.下列说法不正确的是
( )
A.依赖关系不一定是函数关系
B.函数关系是依赖关系
C.如果变量m是变量n的函数,那么变量n也是变量m的函数
D.如果变量m是变量n的函数,那么变量n不一定是变量m的函数
【解析】选C.由依赖关系及函数关系的定义知A,B正确;对于C,D,如m=n2,则
n=±
,不是函数关系,故C错误,D正确.
2.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、
乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况,下列叙述中正确的是
( )
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,
甲车消耗汽油最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,
消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车
更省油
【解析】选D.对于A,由图象可知当速度大于40
km/h时,乙车的燃油效率大于
5
km/L,所以当速度大于40
km/h时,消耗1升汽油,乙车的行驶距离大于5
km,故A错误;对于B,由图象可知当速度相同时,甲车的燃油效率最高,即当速度相同时,消耗1升汽油,甲车的行驶路程最远,所以以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最少,故B错误;对于C,由图象可知当速度为80
km/h时,甲车的燃油效率为10
km/L,即甲车行驶10
km时,耗油1升,故行驶1小时,路程为80
km,燃油为8升,故C错误;对于D,由图象可知当速度小于80
km/h时,丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,所以用丙车比用乙车更省油,故D正确.
课堂检测·素养达标
1.下列变量之间的关系是函数关系的是
( )
A.生活质量与人的身体状况间的关系
B.某人的身高与饮食状况
C.一只60瓦的白炽灯的耗电量W与时间t
D.蔬菜的价格与季节
【解析】选C.A,B,D是依赖关系,对C,W是关于t的函数.
2.张大爷种植了10亩小麦,每亩施肥x千克,小麦总产量为y千克,则
( )
A.x,y之间有依赖关系
B.x,y之间无依赖关系
C.y是x的函数
D.x是y的函数
【解析】选A.小麦总产量与种子、施肥量、水、日照时间等都有关系.
3.(教材二次开发:例题改编)假定甲、乙两人在一次百米赛跑中,路程与时间的关系如图所示,那么可以知道:
(1)甲、乙两人中先到达终点的是________;?
(2)乙在这次赛跑中的速度为________m/s.?
【解析】(1)由图象可知甲、乙到达终点所用的时间分别为12
s,12.5
s,故甲
先到达终点;
(2)v乙=
=8(m/s).
答案:(1)甲 (2)8
4.给出下列关系:
①人的年龄与体重之间的关系;
②抛物线上的点与该点坐标之间的关系;
③橘子的产量与气候之间的关系;
④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系.
其中不是函数关系的有________.?
【解析】由已知关系判断得,①③④中关系不确定,故不是函数关系,只有②是函数关系.
答案:①③④
5.如图所示为某市一天24小时内的气温变化图,根据图象回答下列问题.
(1)全天的最高气温、最低气温分别是多少?
(2)大约在什么时刻,气温为0℃?
(3)大约在什么时刻内,气温在0℃以上?
(4)变量Q是关于变量t的函数吗?
【解析】观察图象可知:
(1)全天最高气温大约是9℃,在14时达到.全天最低气温大约是-2℃,在4时达到;
(2)大约在0时、8时和22时,气温为0℃;
(3)在8时到22时之间,气温在0℃以上;
(4)由图象可知随着时间的增加气温先降再升后降.对于时间t的每个取值,都有唯一的气温Q与之对应,所以气温Q是时间t的函数.(共42张PPT)
第1课时 函
数
概
念
必备知识·自主学习
1.函数
(1)概念:
①定义:给定实数集R中的两个非空数集A和B.如果存在一个对应关系f,使对于
集合A中的每个数x,
在集合B中都有__________________和它对应,那么就把对应关系f称为定义在
集合A上的一个函数.?
导思
初中学习过用函数来刻画两个变量之间的对应关系,那么函数还有没有其他的定义方法?
唯一确定的数y
②记法:y=f(x),x∈A.
③定义域:x的取值范围A;值域:与x的值对应的y值叫作函数值,即集合____________.
(2)本质:函数的集合定义.
(3)应用:给出了函数的一般性定义.
{f(x)|x∈A}
【思考】
(1)对于函数f:A→B,值域一定是集合B吗?为什么?
提示:不一定.值域是集合B的子集,即{f(x)|x∈A}?B.
(2)对应关系f必须是一个解析式的形式吗?为什么?
提示:不一定.可以是数表,也可以是图象.
(3)f(x)的含义是什么?
提示:集合A中的数x在对应关系f的作用下对应的数.
2.同一个函数
前提条件
_______相同
_________完全一致
结论
这两个函数是同一个函数
定义域
对应关系
【思考】
函数有定义域、对应关系和值域三要素,为什么判断两个函数是否是同一个函数,只看定义域和对应关系?
提示:由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域,所以判断两个函数是否是同一个函数,只看定义域和对应关系即可.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)“y=f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”.
( )
(2)根据函数的定义,定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.
( )
(3)在研究函数时,除用符号f(x)外,还可用g(x),F(x),G(x)等来表示函数.
( )
提示:(1)×.符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,应理解为x是自变量,它是关系所施加的对象.
(2)×.根据函数的定义,对于定义域中的任何一个x,在值域中都有唯一的y与之对应.
(3)√.同一个题中,为了区别不同的函数,常采用g(x),F(x),G(x)等来表示函数.
2.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是
( )
A.出租车车费与出租车行驶的里程
B.商品房销售总价与商品房建筑面积
C.铁块的体积与铁块的质量
D.人的身高与体重
【解析】选D.A.出租车车费与行程是函数关系;B.商品房销售总价与建筑面积是函数关系;C.铁块的体积与质量是函数关系;D.人的身高与体重不是函数关系.
3.(教材二次开发:练习改编)如图能表示函数关系的是______.?
【解析】由于③中的2与1和3同时对应,故③不是函数关系.
答案:①②④
关键能力·合作学习
类型一 函数的概念(数学抽象)
【题组训练】
1.(2020·临沂高一检测)图中所给图象是函数图象的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.设集合P={x|0≤x≤2},Q={y|0≤y≤2},则图中能表示P到Q的函数的是
( )
A.(1)(2)(3)(4)
B.(1)(3)(4)
C.(4)
D.(3)
3.以下从M到N的对应关系表示函数的是
( )
A.M=R,N={y|y>0},f:x→y=|x|
B.M={x|x≥2,x∈N
},N={y|y≥0,y∈N
},f:x→y=x2-2x+2
C.M={x|x>0},N=R,f:x→y=±
D.M=R,N=R,f:x→y=
【解析】1.选B.①的图象中,当x>0时,每一个x值都有两个y值与之相对应,故①中的图象不是函数图象;②的图象中,当x=x0或x<0时,有两个y值与之相对应,故②中的图象不是函数图象;
③④的图象中,对于每一个x值都有唯一的y值与之对应,符合函数的定义,故③④中的图象是函数的图象,所以是函数图象的有2个.
2.选C.对于(1),根据函数的定义,在定义域内的任何一个x值,都唯一对应一个y值,而当x=1时,有2个y值与之对应,故(1)不正确;对于(2),定义域{x|0
3.选B.A中,M=R,N={y|y>0},f:x→y=|x|,
M中元素0,在N中无对应的元素,不满足函数的定义;B中,M={x|x≥2,x∈N
},N=
{y|y≥0,y∈N
},f:x→y=x2-2x+2,M中任一元素,在N中都有唯一的元素与之对应,
满足函数的定义;C中,M={x|x>0},N=R,f:x→y=±
,M中任一元素,在N中都有
两个对应的元素,不满足函数的定义;D中M=R,N=R,f:x→y=
,M中元素0,在N中
无对应的元素,不满足函数的定义.
【解题策略】
1.判断一个对应是否是函数的方法
2.根据图象判断对应是否为函数的步骤
(1)任取一条垂直于x轴的直线l.
(2)在定义域内平行移动直线l.
(3)若l与图象有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.如图所示:
【补偿训练】
(2020·朝阳高一检测)图中,能表示函数y=f(x)的图象的是
( )
【解析】选D.根据题意,对于A,B两图,可以找到一个x与两个y对应的情形;对于C图,当x=0时,有两个y值对应;对于D图,每个x都有唯一的y值对应.因此,D图可以表示函数y=f(x).
类型二 函数的三要素(数学运算)
角度1 定义域和值域?
【典例】(2020·丰台高一检测)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的定义域为______,值域为______.?
【思路导引】观察横坐标的取值确定定义域,观察纵坐标的取值确定值域.
【解析】根据y=f(x)的函数图象可看出,f(x)的定义域为{x|-2≤x≤4或5≤x≤8},值域为{y|-4≤y≤3}.
答案:{x|-2≤x≤4或5≤x≤8} {y|-4≤y≤3}
【变式探究】
若已知函数f(x)=x2,x∈{-1,0,1},试求函数的值域.
【解析】由x∈{-1,0,1},代入f(x)=x2,
解得f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1,
根据集合的互异性,函数的值域为{0,1}.
角度2 对应关系?
【典例】(2020·哈尔滨高一检测)德国数学家狄利克雷在1837年时提出:“如
果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,则y是x的函数”,这个
定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则,使得x在取值范围中的每一
个值,都有一个确定的y和它对应就行了,不管这个对应的法则是公式、图象、
表格还是其他形式,已知函数f(x)由表给出,则
的值为
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
x
x≤1
1x≥2
f(x)
1
2
3
【思路导引】由里向外根据对应关系求值.
【解析】选D.因为
∈{x|x≤1},
所以f（
）=1,
则10f(
)=10,所以
=f(10).
又因为10∈{x|x≥2},所以f(10)=3.
【解题策略】
关于函数的三要素
(1)函数的定义域即集合A,在坐标系中是横坐标x的取值范围.
(2)函数的值域并不是集合B,是函数值的集合{f(x)|x∈A},在坐标系中是纵坐标的取值范围.
(3)函数的对应关系f反映了自变量x的运算、对应方法,通过这种运算对应得到唯一的函数值y.
【题组训练】
1.(2020·杭州高一检测)函数y=f(x)=
的值域是
( )
A.R
B.{y|-1≤y≤1}
C.{-1,1}
D.{-1,0,1}
【解析】选D.根据函数的解析式y=
在x∈{x|x>0}时,
函数值为1,在x=0时,
函数值为0,在x∈{x|x<0}时,函数值为-1.故函数的值域为{-1,0,1}.
2.已知函数f(x),g(x)分别由表给出
则方程g(f(x))=3的解集为________.?
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
【解析】根据题意,若方程g(f(x))=3,必有f(x)=1,则有x=1或3,即方程g(f(x))=3的解集为{1,3}.
答案:{1,3}
【补偿训练】已知函数f(x)与g(x)分别由表给出,那么f(g(3))=________.?
x
1
2
3
4
f(x)
2
3
4
1
x
1
2
3
4
g(x)
3
4
1
2
【解析】由题意得g(3)=1,f(g(3))=f(1)=2.
答案:2
类型三 判断同一个函数(逻辑推理)
【典例】(2020·丰台高一检测)下列各组函数,是同一个函数的是
( )
A.f(x)=x+1,g(x)=
+1
B.f(x)=x,u=
C.f(x)=1,g(x)=(x-1)0
D.f(x)=
m=|n|
【思路导引】判断定义域、对应关系是否相同.
【解析】选D.对于A,函数f(x)=x+1(x∈R),与g(x)=
+1=x+1(x≠0)的定义域
不同,不是同一个函数;对于B,函数f(x)=x(x∈R),与u=
=|v|(v∈R)的对应
关系不同,不是同一个函数;
对于C,函数f(x)=1(x∈R),与g(x)=(x-1)0=1(x≠1)的定义域不同,不是同一个函
数;
对于D,函数f(x)=
=|x|(x∈R),与m=|n|(n∈R)的定义域相同,对应关
系也相同,是同一个函数.
【解题策略】
判断函数是否是同一个函数的三个步骤和两个注意点
(1)三个步骤.
(2)两个注意点.
①在化简解析式时,必须是等价变形;
②与用哪个字母表示变量无关.
【跟踪训练】
(2020·宁德高一检测)下列两个函数是同一个函数的是
( )
A.f(x)=x2,g(x)=
B.f(x)=
,g(x)=x0
C.f(x)=
,g(x)=x+1
D.f(x)=
,g(x)=|x|
【解析】选B.A.f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为
{x|x≠0},两个函数的定义域不相同,不是同一个函数;
B.f(x)=
=1,函数的定义域为{x|x≠0},g(x)=x0=1,定义域为{x|x≠0},两个
函数的定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数;
C.f(x)=x+1(x≠1),两个函数的定义域不相同,不是同一个函数.
D.f(x)的定义域为[0,+∞),g(x)的定义域是R,两个函数的定义域和对应关系不
相同,不是同一个函数.
课堂检测·素养达标
1.对于函数f:A→B,若a∈A,b∈A,则下列说法错误的是
( )
A.f(a)∈B
B.f(a)有且只有一个
C.若f(a)=f(b),则a=b
D.若a=b,则f(a)=f(b)
【解析】选C.对于函数f:A→B,a∈A,b∈A,则根据函数的定义,f(a)∈B,且f(a)唯一,故若a=b,则a,b代表集合A中同一个元素,这时,有f(a)=f(b),故B,D都对.但若f(a)=f(b),则不一定有a=b,如f(x)=x2,显然f(-1)=f(1)=1,但-1≠1,故C错误.
2.函数y=f(x)的图象与直线x=2
020的公共点有( )
A.0个
B.1个
C.0个或1个
D.以上答案都不对
【解析】选C.由函数的概念:“对集合A中的任意一个自变量的值,在集合B中有唯一确定的值与之对应”可知,直线x=2
020与函数y=f(x)的图象有且只有一个公共点或没有公共点.
3.若函数y=x2-3x的定义域为{-1,0,2,3},则其值域为________.?
【解析】依题意,当x=-1时,y=4;当x=0时,y=0;当x=2时,y=-2;当x=3时,y=0,所以函数y=x2-3x的值域为{-2,0,4}.
答案:{-2,0,4}
4.下列对应关系是集合P上的函数的是________.?
①P=Z,Q=N
,对应关系f:对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应;
②P={-1,1,-2,2},Q={1,4},对应关系f:x→y=x2,x∈P,y∈Q;
③P={三角形},Q={x|x>0},对应关系f:对P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应.
【解析】②显然正确,由于①中的集合P中的元素0在集合Q中没有对应元素,并且③中的集合P不是数集,从而①③不正确.
答案:②(共24张PPT)
第2课时 函数概念的综合应用
必备知识·自主学习
常见的函数的定义域和值域
导思
1.初中我们学习过哪些函数
2.它们的定义域、值域分别是什么?
函数
一次函数
反比例
函数
二次函数
____
____
对应
关系
y=ax+b
(a≠0)
y=
(k≠0)
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=ax2+bx+c(a≠0)
定义
域
R
{x|x≠0}
R
R
值域
R
{y|y≠0}
{y|y≥
}
{y|y≤
}
a>0
a<0
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若两个函数的定义域与值域都相同,则这两个函数是同一个函数.( )
(2)函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t是同一个函数.
( )
提示:(1)×.例如f(x)=
与g(x)=
的定义域与值域相同,但这两个不是同一
个函数.
(2)√.函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t的定义域都是R,对应关系完全一致,所以这两
个函数是同一个函数.
2.(教材二次开发:例题改编)函数f(x)=
的定义域为
( )
A.(-∞,-1)∪(-1,3]
B.(-∞,3]
C.(-1,3]
D.(-∞,-1)
【解析】选A.函数f(x)=
令
解得x≤3且x≠-1.
所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,3].
3.已知f(x)=x2+1,则f(f(-1))=
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.因为f(-1)=(-1)2+1=2,
所以f(f(-1))=f(2)=22+1=5.
关键能力·合作学习
类型一 函数的定义域与求值(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·合肥高一检测)函数f(x)=
的定义域是
( )
A.(-∞,3]
B.
C.
D.(3,4)∪(4,+∞)
2.函数f(x)=
的定义域为________.?
3.已知函数f(x)=x+
,则f(2)=________;当a≠-1时,f(a+1)=________.?
【解析】1.选C.要使函数有意义,
则
得x≤3且x≠
,
即函数的定义域为
2.要使f(x)有意义,则
解得x≥1,
所以f(x)的定义域为[1,+∞).
答案:[1,+∞)
3.f(2)=2+
=
.当a≠-1时,a+1≠0,
所以f(a+1)=a+1+
.
答案:
a+1+
【解题策略】
关于函数定义域的求法
(1)依据:分式分母不为0,二次根式的被开方数不小于0,0次幂的底数不为0等.
(2)如果解析式中含有多个式子,则用大括号将x满足的条件列成不等式组,解出各个不等式后求交集.
【补偿训练】
函数f(x)=
的定义域是
( )
A.R
B.[-1,+∞)
C.(-∞,0)∪(0,+∞)
D.[-1,0)∪(0,+∞)
【解析】选D.函数f(x)=
中,
令
解得
所以函数f(x)的定义域是[-1,0)∪(0,+∞).
类型二 抽象函数的定义域(数学运算)
角度1 已知f(x)的定义域求f(g(x))的定义域?
【典例】函数y=f(x)的定义域是[-1,3],则f(2x+1)的定义域为________.?
【思路导引】将2x+1代入f(x)的定义域解出x的范围.
【解析】令-1≤2x+1≤3,解得-1≤x≤1,
所以f(2x+1)的定义域为[-1,1].
答案:[-1,1]
【变式探究】
本例条件不变,试求函数g(x)=
的定义域.
【解析】函数y=f(x)的定义域是[-1,3],
在函数g(x)=
中,
令
解得0≤x<2,
所以g(x)的定义域是[0,2).
角度2 已知f(g(x))的定义域求f(x)的定义域?
【典例】若函数y=f(3x+1)的定义域为[-2,4],则y=f(x)的定义域是
( )
A.[-1,1]
B.[-5,13]
C.[-5,1]
D.[-1,13]
【思路导引】由x的范围求出3x+1的范围.
【解析】选B.函数y=f(3x+1)的定义域为[-2,4],
令-2≤x≤4,则-6≤3x≤12,所以-5≤3x+1≤13,
所以函数y=f(x)的定义域是[-5,13].
【解题策略】
抽象函数的定义域
(1)已知f(x)的定义域为[a,b],求f(g(x))的定义域时,不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域.
(2)已知f(g(x))的定义域为[c,d],求f(x)的定义域时,求出g(x)在[c,d]上的范围(值域)即定义域.
【题组训练】
1.已知函数y=f(-2x+1)的定义域是[-1,2],则y=f(x)的定义域是
( )
A.[
,
1]
B.[-3,3]
C.[-1,5]
D.以上都不对
【解析】选B.函数y=f(-2x+1)的定义域是[-1,2],
即-1≤x≤2,所以-4≤-2x≤2,
所以-3≤-2x+1≤3,
所以y=f(x)的定义域是[-3,3].
2.(2020·宿州高一检测)若函数y=f(x+1)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=
的定义域是
( )
A.
B.
C.[0,1)∪(1,4]
D.(0,1]
【解析】选D.由函数y=f(x+1)的定义域是[-1,1],
得-1≤x≤1,所以0≤x+1≤2,
所以函数f(x)的定义域为[0,2];
函数g(x)=
中令
解得0所以函数g(x)的定义域是(0,1].
【补偿训练】
已知函数f(x+1)的定义域是[0,2],则函数f(2x+1)的定义域是
( )
A.[1,3]
B.[-1,1]
C.[0,3]
D.[0,1]
【解析】选D.函数f(x+1)的定义域是[0,2],
令0≤x≤2,得1≤x+1≤3,
所以f(x)的定义域是[1,3];
令1≤2x+1≤3,解得0≤x≤1,
所以函数f(2x+1)的定义域是[0,1].
课堂检测·素养达标
1.(2020·西城高一检测)函数f(x)=
的定义域是
( )
A.R
B.{x|x>2}
C.{x|x≥1}
D.{x|x≥1且x≠2}
【解析】选D.函数f(x)=
中,
令
解得x≥1且x≠2,
所以函数f(x)的定义域是{x|x≥1且x≠2}.
2.若函数f(x)=ax2-1,a为一个正数,且f(f(-1))=-1,那么a的值是
( )
A.1
B.0
C.-1
D.2
【解析】选A.因为f(x)=ax2-1,所以f(-1)=a-1,
f(f(-1))=f(a-1)=a·(a-1)2-1=-1.
所以a(a-1)2=0.
又因为a为正数,所以a=1.
3.若函数f(x)=
,则f(f(-1))=________.?
【解析】因为函数f(x)=
,
所以f(-1)=1+3=4,f(f(-1))=f(4)=
+1=3.
答案:3
4.(教材二次开发:练习改编)已知函数f(x)=
,则f(2)+
=________,
f(3)+
=________.?
【解析】因为函数f(x)=
,
所以f(2)+
=
f(3)+
=
答案:1 1
5.函数f(x)=
的定义域是________.?
【解析】由
解得:x≤3,且x≠±2.
所以函数f(x)=
的定义域是{x|x≤3且x≠±2}.
答案:{x|x≤3且x≠±2}(共2张PPT)
§2 函 数
2.1 函
数
概
念 (共49张PPT)
第1课时 函数的表示法
必备知识·自主学习
1.表示函数的三种方法
导思
在初中我们学习了哪些表示函数的方法?
解析法
用___________表示两个变量之间的对应关系
列表法
列出_____来表示两个变量之间的对应关系
图象法
用_____表示两个变量之间的关系
数学表达式
表格
图象
2.本质:两个变量对应关系的三种不同方式的表示.
3.应用:表示函数的两个变量之间的对应关系.
【思考】
函数的三种表示方法各有哪些优缺点?
提示:
表示
方法
优点
缺点
列表法
不需要计算就可以直接看出与自变量对应的函数值
只能表示自变量可以一一列出的函数关系
图象法
能形象直观地表示出函数的变换情况
只能近似地求出函数值,而且有时误差较大
解析法
(1)简明、全面地概括了变量间的关系,从“数”的方面揭示了函数关系;
(2)可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值
不够形象、直观,而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用图象法表示出来.
( )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示出来.
( )
(3)函数的图象一定是连续不断的曲线.
( )
提示:(1)×.如函数f(x)=
就不能画出函数的图象.
(2)×.如时间与空气质量指数的函数关系就无法用解析法表示.
(3)×.如y=
的图象就是不连续的曲线.
2.已知函数f(x)的图象如图所示,其中点A,B的坐标分别为(0,3),(3,0),则f(f(0))=
( )
A.2
B.4
C.0
D.3
【解析】选C.结合题图可得f(0)=3,则f(f(0))=f(3)=0.
3.(教材二次开发:例题改编)某商场新进了10台彩电,每台售价3
000元,试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系,用解析法表示y=________.?
【解析】用解析法表示y=3
000x,x∈{1,2,3,…,10}.
答案:3
000x,x∈{1,2,3,…,10}
关键能力·合作学习
类型一 函数的表示方法(数学建模)
【题组训练】
1.已知x∈Q时,f(x)=1;x为无理数时,f(x)=0,我们知道函数表示法有三种:①列表法,②图象法,③解析法,那么该函数y=f(x)应用________表示(填序号).?
2.某问答游戏的规则是:共5道选择题,基础分为50分,每答错一道题扣10分,答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系.
【解析】1.因为Q和无理数的元素无法具体表示,
所以①列表法,②图象法,都无法建立x和y之间的对应关系,所以不能表示函数y=f(x).
③利用解析法表示为f(x)=
答案:③
2.(1)列表法,列出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系为:
x
0
1
2
3
4
5
y
50
40
30
20
10
0
(2)图象法,画出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系如图:
(3)解析法,参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系为:
y=50-10x,x∈{0,1,2,3,4,5}.
【解题策略】
关于函数的三种表示方法
三种表示方法用不同方式表示出了函数自变量与函数值的对应关系,各有优缺点,在解题的过程中,可以选取最适合的方法表示函数.
【补偿训练】
某公共汽车,行进的站数与票价关系如表:
此函数的关系除了列表之外,能否用其他方法表示?
行进的
站数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
票价
1
1
1
2
2
2
3
3
3
【解析】设票价为y元,行进的站数为x,
解析法:
y=
图象法:
类型二 函数的图象及其应用(直观想象)
【典例】1.(2020·徐州高一检测)函数y=
的图象的大致形状是( )
2.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).
(1)画出f(x)图象的简图.
(2)根据图象写出f(x)的值域.
【思路导引】1.分x>0,x<0两种情况作出判断.
2.先作出图象,再根据图象写值域.
【解析】1.选C.函数的定义域为{x|x≠0},
当x>0时,y=
=-x;
当x<0时,y=
=x,则对应的图象为C.
2.(1)f(x)图象的简图如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],即f(x)的值域是[-1,3].
【解题策略】画函数图象的两种常见方法
(1)描点法:
一般步骤:
①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x,并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x),用表格的形式表示出来;
②描点——从表中得到一系列的点(x,f(x)),在坐标平面上描出这些点;
③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.
(2)变换作图法:常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等.
【跟踪训练】
作出下列函数的图象并写出其值域.
(1)y=-x,x∈{0,1,-2,3}.
(2)y=
,x∈[2,+∞).
【解析】(1)列表
x
-2
0
1
3
y
2
0
-1
-3
函数图象只是四个点(-2,2),(0,0),(1,-1),(3,-3),其值域为{0,-1,2,-3}.
(2)列表
当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=
的一部分,观察图象可知其值域为
(0,1].
x
2
3
4
…
y
1
…
【拓展延伸】关于图象变换的常见结论有哪些?
提示:(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.
(2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称.
(3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于点(0,0)对称.
(4)y=f(|x|)是保留y=f(x)的y轴右边的图象,去掉y轴左边的图象,且将右边图象沿y轴对折而成.
(5)y=|f(x)|是保留y=f(x)的x轴上方的图象,将x轴下方的图象沿x轴对折且去掉x轴下方的图象而成.
【拓展训练】
已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(|x|)的图象为
( )
【解析】选B.函数y=f(|x|)=
x≥0时,函数y=f(|x|)的图象与函
数y=f(x)的图象相同,当x<0时,f(x)的图象与x>0时的图象关于y轴对称.
所以函数y=f(|x|)的图象为:
.
类型三 求函数的解析式(逻辑推理、数学运算)
角度1 待定系数法?
【典例】一辆中型客车的营运总利润y(单位:万元)与营运年数x(x∈N)的变化关系如表所示,要使总利润达到最大值,则该客车的营运年数是________,营运10年的总利润是________万元.?
x/年
4
6
8
…
y是x的二次函数
7
11
7
…
【思路导引】由一元二次函数的对称性可得最大值时的年数;求出函数的解析式,计算营运10年的总利润.
【解析】由表格数据可知,f(4)=f(8)=7.f(6)>f(8),则二次函数开口向下,且对称轴为x=6,根据二次函数的性质可知,当x=6时,营运总利润y最大为11;设y=a(x-6)2+11,则a(4-6)2+11=7,解得a=-1,所以当x=10时,y=-5.
答案:6 -5
角度2 代入法?
【典例】若
则f(x)=________.?
【思路导引】令t=1+
,换元求解析式.
【解析】设t=1+
,则t≠1,
=t-1,
因为
所以f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,
所以f(x)=x2-2x,(x≠1).
答案:x2-2x,(x≠1)
【变式探究】
本例中若已知
,试求函数的解析式及定义域.
【解析】因为
令t=x+
,所以f(t)=t2-2,
因为x>0,所以t=x+
≥2
=2,
当且仅当x=1时等号成立,所以f(x)=x2-2(x≥2).
角度3 解方程组法?
【典例】已知2f(x)+f
=3x,求f(x).
【思路导引】用
替换x,代入后消去f
.
【解析】因为2f(x)+f
=3x,
用
替换x得2f
+f(x)=
,
消去f
得3f(x)=6x-
,所以f(x)=2x-
.
【解题策略】
1.待定系数法求解析式
根据已知的函数类型,设出函数的解析式,再根据条件求系数,常见的函数设法:
正比例函数
y=kx,k≠0
反比例函数
y=
,k≠0
一元一次函数
y=kx+b,k≠0
一元二次函数
一般式:y=ax2+bx+c,a≠0
顶点式:y=a(x-h)2+k,a≠0
两点式:y=a(x-x1)(x-x2),a≠0
2.换元法求函数的解析式
已知复合函数f(g(x))的解析式,令t=g(x),
当x比较容易解出时,可以解出x换元代入;
当x不容易解出时,可以考虑先构造,
如f(1+
)=x2+
=(x+
)2-2，令t=x+
，换元代入.
换元法还要注意换元t的范围.
3.解方程组法求函数的解析式
方程组法(消去法),适用于自变量具有对称规律的函数表达式,如互为相反数的f(-x),f(x)的函数方程,通过对称规律再构造一个关于f(-x),f(x)的方程,联立解出f(x).
【题组训练】
1.已知函数φ(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函
数,且φ
=16,φ(1)=8,则φ(x)的解析式为________.?
【解析】设f(x)=mx(m≠0),
g(x)=
(n≠0),所以φ(x)=mx+
,
由φ
=16,φ(1)=8得
解得
故φ(x)=3x+
,x≠0.
答案:φ(x)=3x+
,x≠0
2.已知f
=
,那么f(x)=________,定义域为________.?
【解析】由f
=
可知,函数的定义域为{x|x≠0,x≠-1},
用
替换x,代入上式得:f(x)=
答案:
{x|x≠0,x≠-1}
3.已知f(x)+2f(-x)=
,求f(x).
【解析】因为f(x)+2f(-x)=
,①
用-x替换x得f(-x)+2f(x)=-
,②
②×2-①得3f(x)=-
-
=-
,
所以f(x)=-
.
【补偿训练】
已知f(x)满足f(x)=2f
+x,则f(x)的解析式为________.?
【解析】因为f(x)=2f
+x,用
替换x得f
=2f(x)+
,
代入上式得f(x)=
解得f(x)=
.
答案:f(x)=
课堂检测·素养达标
1.如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知,下列说法中错误的是
( )
A.这天15时的温度最高
B.这天3时的温度最低
C.这天的最高温度与最低温度相差13℃
D.这天21时的温度是30℃
【解析】选C.这天的最高温度与最低温度相差为36-22=14(℃).
2.已知函数f(x)满足:f(
)=8x2-2x-1,则f(x)=
( )
A.2x4+3x2
B.2x4-3x2
C.4x4+x2
D.4x4-x2
【解析】选A.令t=
,t≥0,得x=
,故有f(t)=8×
-2×
-1,
整理得f(t)=2t4+3t2,即f(x)=2x4+3x2,x≥0.
3.(教材二次开发:复习巩固改编)已知函数f(x)=x-
,且此函数的图象过点(5,4),则实数m的值为________.?
【解析】因为函数f(x)=x-
的图象过点(5,4),
所以4=5-
,解得m=5.
答案:5
4.已知函数y=f(x)的对应关系如表所示,函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))的值为____________.?
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
【解析】由函数g(x)的图象知,g(2)=1,
则f(g(2))=f(1)=2.
答案:2
5.作出下列函数的图象,并求其值域:
(1)y=1-x(x∈Z,且|x|≤2).
(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).
【解析】(1)因为x∈Z,且|x|≤2,所以x∈{-2,-1,0,1,2},
所以该函数图象为直线y=1-x上的孤立点(如图①).
由图象知,y∈{-1,0,1,2,3}.
(2)因为y=2(x-1)2-5,所以当x=0时,y=-3;
当x=3时,y=3;当x=1时,y=-5.
因为x∈[0,3),故图象是一段抛物线(如图②).
由图象可知,y∈[-5,3).(共40张PPT)
第2课时 函数的单调性的应用
关键能力·合作学习
类型一 函数单调性的证明(逻辑推理)
【典例】判断函数f(x)=-
在区间(-∞,0)上的单调性,并给出证明.
【解题策略】
关于定义法证明函数的单调性
(1)步骤:
(2)实质:通过代数运算的结果证明函数的单调性.
【跟踪训练】
判断函数f(x)=x-
在区间(0,+∞)上的单调性,并给出证明.
【解析】画出函数的图象如图,
由图象可以看出,函数f(x)=x-
在区间(0,+∞)上可能单调递增.
下面利用函数单调性的定义证明这一结论.
任取0因为f(x1)-f(x2)=x1-
=
<0,
即f(x1)由函数单调性的定义可知,函数f(x)=x-
在区间(0,+∞)上单调递增.
类型二 利用函数单调性求最值(逻辑推理、数学运算)
【典例】已知函数f(x)=
.
(1)证明:函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增;
(2)求函数f(x)在区间[2,9]上的最大值与最小值.
【思路导引】利用定义证明函数的单调性,利用单调性求最值.
【解析】(1)任意取x1,x2∈[0,+∞),且x1则x1-x2<0.
f(x1)-f(x2)=
<0,
即f(x1)所以函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.
(2)由(1)知函数f(x)在区间[2,9]上单调递增,故函数f(x)在区间[2,9]上的最大
值为f(9)=
,最小值为f(2)=
.
【解题策略】
1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性.
(2)利用单调性求出最大(小)值.
2.函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)
中较小(大)的一个.
【跟踪训练】
设函数f(x)=2-
.
(1)证明:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)求函数f(x)在区间[2,5]上的最大值与最小值.
【解析】(1)设x1,x2是(0,+∞)上的任意两个实数,且x1f(x1)-f(x2)=
,即f(x1)所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)由(1)可知函数f(x)在[2,5]上单调递增,
所以f(x)max=f(5)=
,f(x)min=f(2)=
.
【拓展延伸】
1.性质法判断函数的单调性
(1)当f(x)>0时,函数y=
与y=f(x)的单调性相反,对于f(x)<0也成立.
(2)在公共定义域内,两增函数的和仍为增函数,增函数减去一个减函数所得的函数为增函数.
(3)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.
(4)当c>0时,函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性;当c<0时,函数f(x)与cf(x)具有相反的单调性.
2.函数y=x+
(a≠0)的单调性
(1)若a>0,函数y=x+
的图象如图1所示,
则函数y=x+
的单调递增区间是(-∞,-
]和[
,+∞),单调递减区间
是(-
,0)和(0,
).
(2)若a<0,其图象如图2所示,
函数y=x+
在(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递增,即y=x+
的单调递增区间为
(-∞,0)和(0,+∞).
【拓展训练】
函数y=2x+
的单调递增区间为 .?
【解析】y=2
,单调递增区间为(-∞,-
)和(
,+∞).
答案:(-∞,-
)和(
,+∞)
类型三 函数单调性的简单应用(逻辑推理、数学抽象)
角度1 利用单调性解不等式?
【典例】函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(2)=-1,则满足f(2x-4)>-1的实数x
的取值范围是
( )
A.(3,+∞)
B.(-∞,3)
C.[2,3)
D.[0,3)
【思路导引】从定义域,单调性两个方面列不等式求范围.
【解析】选C.因为f(2)=-1,
所以由f(2x-4)>-1得,f(2x-4)>f(2),
且f(x)在[0,+∞)上单调递减,
所以0≤2x-4<2,解得2≤x<3,
所以满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是[2,3).
【变式探究】
本例的条件若改为“单调递增”,试求m的取值范围.
【解析】因为f(x)的定义域为[0,+∞),
由f(2x-4)>-1,得f(2x-4)>f(2),
因为f(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以2x-4>2,解得x>3.
角度2 分段函数的单调性?
【典例】已知函数f(x)=
是增函数,则实数a的取值范围
是 .?
【思路导引】由x≥1,x<1两个方面的因素求范围.
【解析】因为函数f(x)=
是增函数,
①当x≥1时,f(x)=(a+1)x-1单调递增,所以a>-1;
②当x<1时,函数f(x)=
ax2-ax-1的对称轴为直线x=1;
所以
解得-
≤a<0.
答案:
【解题策略】
1.解抽象函数不等式的方法
利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性质,将符号“f”脱掉,列出关于未知量的不等式(组),然后求解,要注意函数的定义域.
2.分段函数的单调性
首先分析每段上的单调性,其次是分界点处函数值的大小,如果是增函数,则界点左侧值小于等于右侧值,如果是减函数,则界点左侧值大于等于右侧值.
【题组训练】
1.f(x)=x|x|,若f(2m+1)>f(m-1),则m的取值范围为
( )
A.(-∞,-1)
B.(-∞,-2)
C.(-1,+∞)
D.(-2,+∞)
【解析】选D.因为f(x)=x|x|=
,
所以由函数f(x)的图象可知,f(x)是增函数,
因为f(2m+1)>f(m-1),
所以2m+1>m-1,解得m>-2,
所以m的取值范围为(-2,+∞).
2.定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1-x2)[(f(x1)-f(x2)]>0,则有
( )
A.f(-2)B.f(1)C.f(3)D.f(3)【解析】选A.因为对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1-x2)[(f(x1)-f(x2)]>0,
当x1即f(x1)x2时,x1-x2>0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).可得函数f(x)是增函数,所以f(-2)3.已知函数f(x)=
是减函数,则实数a的取值范围
是 .?
【解析】根据题意,函数f(x)=
是减函数,必有
≥1,
且a-4<0,且1-(a+1)+7≥(a-4)+5,
解得1≤a≤3,即a的取值范围为[1,3].
答案:[1,3]
【补偿训练】
已知f(x)=x2-(m+2)x+2在[1,3]上是单调函数,则实数m的取值范围为 .?
【解析】根据题意,f(x)=x2-(m+2)x+2为二次函数,其对称轴为x=
,若f(x)
在[1,3]上是单调函数,则有
≤1或
≥3,解可得m≤0或m≥4,即m的取值
范围为m≤0或m≥4.
答案:m≤0或m≥4
备选类型 抽象函数的单调性(数学抽象、逻辑推理)
【典例】函数f(x)对任意的m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且x>0时,恒有f(x)>1.
(1)求证:f(x)是增函数;
(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2.
【思路导引】(1)按照单调性的定义,构造f(x1)-f(x2),再判断符号;
(2)将2化为f(x0)的形式,再利用单调性解不等式.
【解析】(1)设x1,x2∈R,且x10,
所以f(x2-x1)>1,f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)>0,
即f(x2)>f(x1),所以f(x)是增函数.
(2)因为m,n∈R,不妨设m=n=1,
所以f(1+1)=f(1)+f(1)-1,
即f(2)=2f(1)-1,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=2f(1)-1+f(1)-1=3f(1)-2=4,
所以f(1)=2.即f(a2+a-5)因为f(x)是增函数,所以a2+a-5<1,得到-3【解题策略】
关于抽象函数的单调性证明
(1)证明抽象函数的单调性的根本还是单调性的定义,要围绕构造定义式展开思维;
(2)构造定义式的依据是已知的抽象函数的性质关系式,
需要灵活进行自变量的赋值、拆分、组合,利用已知定义关系式展开化简.
【跟踪训练】
若f(x)的定义域为(0,+∞),当00,满足f
=f(x)
-f(y).
(1)证明:函数f(x)是增函数;
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(
)<2.
【解析】(1)因为当0<1,
f(x1)-f(x2)=f(
)<
0,所以f(x1)所以函数f(x)是增函数.
(2)因为f(6)=1,所以2=1+1=f(6)+f(6),
所以不等式f(x+3)-f（
）<2
等价为不等式f(x+3)-f（
）所以f(3x+9)-f(6)）因为f(x)是(0,+∞)上单调递增,所以
,
解得-3课堂检测·素养达标
1.函数y=
在[2,3]上的最小值为
( )
A.2
B.
【解析】选B.y=
在[2,3]上单调递减,
所以x=3时取最小值为
.
2.若f(x)为R上的增函数,kf(x)为R上的减函数,则实数k的取值范围是
( )
A.k为任意实数
B.k>0
C.k<0
D.k≤0
【解析】选C.由函数单调性的定义,设x1,x2是任意实数,x10,则k<0.
3.(教材二次开发:习题改编)函数y=
在(0,+∞)上是增函数,则k的取值范围
是
( )
A.k≥1
B.k≤1
C.k>1
D.k<1
【解析】选D.k-1>0时,由y=
的图象可知,在区间(-∞,0),(0,+∞)上是减函
数;当k-1<0时,由y=
的图象可知,在区间(-∞,0),(0,+∞)上是增函数.
4.(2020·昆明高一检测)已知f(x)是定义在R上的减函数,则关于x的不等式f(x2-x)-f(x)>0的解集为 .?
【解析】根据题意,f(x)是定义在R上的减函数,则f(x2-x)-f(x)>0?
f(x2-x)>f(x)?x2-x答案:(0,2)
【变式备选】
若f(x)是减函数,且f(3x-2)【解析】函数的定义域为R.由条件可知,3x-2>3,解得x>
.
答案:
5.已知函数f(x)=
是定义在R上的减函数,那么实数a的取值
范围是 .?
【解析】要使f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,必须同时满足3个条件:
g(x)=(3a-1)x+4a在(-∞,1)上为减函数;
h(x)=-x+1在[1,+∞)上为减函数;g(1)≥h(1).
所以
答案:(共40张PPT)
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1 函数的奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
必备知识·自主学习
导思
1.函数除了具有单调性外,还有其他性质吗?
2.奇函数、偶函数分别有怎样的对称性?
函数的奇偶性
(1)奇偶性:
奇偶性
偶函数
奇函数
条件
一般地,设函数f(x)的定义域是A,如果对任意的x∈A,有-x∈A
结论
f(-x)=_____
f(-x)=
______
图象
特点
关于____对称
关于_____对称
f(x)
-f(x)
y轴
原点
(2)本质:奇偶性是描述函数图象对称性的性质.
(3)应用:研究具有奇偶性的函数性质时,先研究它在非负区间上的性质,再利用对称性可知它在非正区间上的性质.
【思考】
具有奇偶性的函数,其定义域有何特点?
提示:定义域关于原点对称.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)
对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.
( )
(2)
若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数.
( )
(3)奇函数的图象一定过(0,0).
( )
提示:(1)×.奇函数、偶函数的定义都要求对于定义域内的任意x.
(2)×.函数的奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数.
(3)×.奇函数的图象不一定过原点,例如函数y=
.
2.下列图象表示的函数具有奇偶性的是
( )
【解析】选B.B选项的图象关于y轴对称,是偶函数,其余选项都不具有奇偶性.
3.(教材二次开发:例题改编)下列函数为奇函数的是
( )
A.y=|x|
B.y=3-x
C.y=
D.y=-x2+14
【解析】选C.A、D两项,函数均为偶函数,B项中函数为非奇非偶函数,而C项中函数为奇函数.
关键能力·合作学习
类型一 函数奇偶性的判断(逻辑推理、数学运算)
【题组训练】
1.函数f(x)=
的奇偶性是
( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
2.函数f(x)=
的奇偶性是
( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
3.函数f(x)=
的奇偶性是
( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
【解析】1.选D.由
得x2=1,即x=±1.因此函数的定义域为{-1,1},关于
原点对称.
又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,
所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
2.选A.方法一:函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,有f(-x)=
即f(-x)=
于是有f(-x)=-f(x).所以f(x)为奇函数.
方法二:作出函数f(x)的图象,如图所示:
因为f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数.
3.选C.由
知x>1,定义域不关于原点对称,故f(x)为非奇非偶函数.
【解题策略】
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法:根据函数奇偶性的定义进行判断.步骤如下:
①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称.若不对称,则函数f(x)为非奇非偶函数,若对称,则进行下一步.
②验证.f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x).
③下结论.若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;
若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数;
若f(-x)≠-f(x),且f(-x)≠f(x),则f(x)为非奇非偶函数.
(2)图象法:f(x)是奇(偶)函数的等价条件是f(x)的图象关于原点(y轴)对称.
【补偿训练】
下列函数中是偶函数的有 .(填序号)?
①f(x)=x3;②f(x)=|x|+1;③f(x)=
;
④f(x)=x+
;⑤f(x)=x2,x∈[-1,2].
【解析】对于①,f(-x)=-x3=-f(x),则为奇函数;对于②,f(-x)=|-x|+1=|x|+1=
f(x),则为偶函数;对于③,定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f(-x)=
=f(x),则为偶函数;
对于④,定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
f(-x)=-x-
=-f(x),则为奇函数;
对于⑤,定义域为[-1,2],不关于原点对称,不具有奇偶性,则为非奇非偶函数.
答案:②③
类型二 奇偶函数的图象问题(直观想象)
【典例】已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.
(1)请补出完整函数y=f(x)的图象.
(2)根据图象写出函数y=f(x)的递增区间.
(3)根据图象写出使y=f(x)<0的x的取值范围.
【思路导引】根据偶函数的图象关于y轴对称,补全函数图象,增函数的图象是上升的,求出单调递增区间,f(x)<0是指的函数图象位于x轴下方的部分.
【解析】(1)由题意作出函数图象如图:
(2)据图可知,单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).
(3)据图可知,使f(x)<0的x的取值范围为(-2,0)∪(0,2).
【解题策略】
巧用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性.
(2)作出函数在(0,+∞)(或(-∞,0))上对应的图象.
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-∞,0)(或(0,+∞))上对应的函数图象.
【跟踪训练】
已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出在区间[-5,0]上的图象.
(2)写出使f(x)<0的x的取值范围.
【解析】(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.
由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示.
(2)由图象知,使f(x)<0的x的取值范围为(-2,0)∪(2,5).
类型三 利用函数奇偶性求值(数学运算、逻辑推理)
角度1 利用函数的奇偶性求参数?
【典例】若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a= ,b= .?
【思路导引】根据f(x)是偶函数,得到定义域关于原点对称,求出a的值,再根据函数图象关于y轴对称,求出b的值.
【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a=
.又函数
f(x)=
x2+bx+b+1为二次函数,结合偶函数图象的特点,易得b=0.
答案:
0
角度2 利用函数的奇偶性求函数值?
【典例】已知f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2,若f(-3)=-3,则f(3)= .?
【思路导引】根据f(x)的解析式发现f(x)为非奇非偶函数,设一个新函数g(x),根据新函数的奇偶性求出f(3)的值.
【解析】令g(x)=x7-ax5+bx3+cx,则g(x)是奇函数,
所以f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2,
又f(-3)=-3,所以g(3)=5.
又f(3)=g(3)+2,所以f(3)=5+2=7.
答案:7
【解题策略】
已知函数的某一个自变量值,求对应的函数值时,常利用函数的奇偶性或部分函数的奇偶性求值.
【题组训练】
1.已知函数f(x)=x2+(2-m)x+m2+12为偶函数,则m的值是
( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】选C.因为函数f(x)=x2+(2-m)x+m2+12为偶函数,所以f(x)=f(-x),即x2+(2-m)x+m2+12=(-x)2-(2-m)x+m2+12,即4-2m=0,所以m=2.
2.若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .?
【解析】方法一:f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a,f(-x)=(-x+a)(-x-4)=x2-(a-4)x-4a,两式恒相等,则a-4=0,即a=4.
方法二:f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a,要使函数为偶函数,只需多项式的奇次项系数为0,即a-4=0,则a=4.
答案:4
3.已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为 .?
【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-6,所以(-3)2+a×(-3)=-6,解得a=5.
答案:5
课堂检测·素养达标
1.已知f(x)为定义在R上的奇函数,且f(1)=2,下列一定在函数f(x)图象上的点是
( )
A.(1,-2)
B.(-1,-2)
C.(-1,2)
D.(2,1)
【解析】选B.因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=2,
所以f(-1)=-2,所以(-1,-2)一定在函数f(x)的图象上.
2.设f(x)是定义在R上的一个函数,则函数F(x)=f(x)-f(-x)在R上一定
( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
【解析】选A.F(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-F(x),
符合奇函数的定义.
3.(教材二次开发:练习改编)如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+
f(-1)的值为
( )
A.1
B.0
C.-2
D.2
【解析】选C.由题图知f(1)=
,f(2)=
,
又f(x)为奇函数,所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=-
-
=-2.
4.奇函数f(x)在区间[3,6]上单调递增,在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-2,则f(6)+f(-3)的值为
( )
A.10
B.-10
C.9
D.15
【解析】选A.根据题意,函数f(x)在区间[3,6]上单调递增,在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-2,则f(6)=8,f(3)=-2,又由函数f(x)为奇函数,得f(-3)=
-f(3)=2,则f(6)+f(-3)=10.
5.已知函数f(x)=
是定义在(-1,1)上的奇函数,则常数m,n的值分
别为 .?
【解析】由题意知f(0)=0,故得m=0.由f(x)是奇函数知f(-x)=-f(x),即
所以x2-nx+1=x2+nx+1,所以n=0.
答案:0,0(共34张PPT)
第2课时 函数奇偶性的应用
关键能力·合作学习
类型一 利用奇偶性求函数的解析式(逻辑推理)
【典例】1.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x-1,求函数f(x)的解析式.
2.设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+2x,求函数f(x),g(x)的解析式.
【思路导引】1.已知x>0时的解析式,用奇偶性求x<0时的解析式,应通过(-x)进行过渡,但别忽视x=0的情况.
2.根据函数的奇偶性,用-x代替原式中的x,再利用方程思想分别求出f(x),g(x)的解析式.
【解析】1.当x<0时,-x>0,
f(-x)=(-x)2-2(-x)-1=x2+2x-1,
因为函数f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),
所以x<0时,f(x)=-x2-2x+1,
又f(0)=0,故f(x)=
2.因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
由f(x)+g(x)=2x+x2.①
用-x代替x得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2,
所以f(x)-g(x)=-2x+x2,②
(①+②)÷2,得f(x)=x2.(①-②)÷2,得g(x)=2x.
【解题策略】
利用奇偶性求函数解析式的思路
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间内.
(2)利用已知区间内的解析式代入,求未知区间内的解析式.
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).
【跟踪训练】
函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,求f(x)的解析式.
【解析】设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=-(-x)+1=x+1,
又因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,
所以f(-x)=-f(x)=x+1
所以当x<0时f(x)=-x-1.
又x=0时,f(0)=0,所以f(x)=
类型二 奇偶性、单调性关系的应用(逻辑推理)
角度1 比较大小问题?
【典例】设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,
则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是
( )
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)【思路导引】根据偶函数的性质,把f(-2),f(π),f(-3)转化到同一个单调区间[0,+∞)上,再根据函数的单调性比较大小.
【解析】选A.因为函数f(x)为R上的偶函数,
所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).
又当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,且π>3>2,
所以f(π)>f(3)>f(2),故f(π)>f(-3)>f(-2).
【变式探究】
将典例改为:函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是
( )
【解析】选B.因为函数f(x+2)是偶函数,
所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,
所以
又f(x)在[0,2]上单调递增,
所以
角度2 解不等式问题?
【典例】已知定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)【思路导引】根据函数的单调性,判断1-m与m的大小关系,注意函数的定义域,保证1-m与m都在定义域内.
【解析】因为f(x)在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上单调递减,所以
f(x)在[-2,2]上单调递减.
又f(1-m)即
解得-1≤m<
.
故实数m的取值范围是-1≤m<
.
【解题策略】
比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上
(1)在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;
(2)不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.
【拓展延伸】
利用函数的奇偶性比较大小时,根据奇偶性的对称性质,常需要比较自变量的绝对值的大小,即自变量距离原点的距离.
【拓展训练】
定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(a)( )
A.aB.a>b
C.|a|<|b|
D.0≤a【解析】选C.因为f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以由f(a)【题组训练】
1.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有
<0,则
( )
A.f(3)B.f(1)C.f(-2)D.f(3)【解析】选A.根据题意,函数f(x)为偶函数,
则f(-2)=f(2),函数f(x)满足:对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有
<0,
则函数f(x)在[0,+∞)上是单调递减的,
则f(3)又由f(-2)=f(2),则f(3)2.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足条件f(2x+1)( )
A.(-3,2)
B.(-2,3)
C.(-2,2)
D.[-3,2]
【解析】选A.因为函数f(x)为偶函数且在区间[0,+∞)上单调递增,则在(-∞,0)上是单调递减的,
f(2x+1)即-5<2x+1<5,解得:-3即x的取值范围为(-3,2).
类型三 奇偶性、单调性的综合应用(逻辑推理)
【典例】已知函数f(x)=
是定义在(-1,1)上的奇函数,且
(1)确定函数f(x)的解析式.
(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数.
(3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.
【思路导引】(1)利用函数奇偶性的性质和
求出函数解析式.
(2)利用函数单调性的定义证明.
(3)利用奇偶性转化不等式,再利用单调性证明不等式,证明时注意函数的定义域.
【解析】(1)由题意得
所以
故f(x)=
(2)任取-1则f(x1)-f(x2)=
因为-1所以x1-x2<0,1+
>0,1+
>0.
又-10.
所以f(x1)-f(x2)<0,
所以f(x)在(-1,1)上是增函数.
(3)f(t-1)<-f(t)=f(-t).
因为f(x)在(-1,1)上是增函数,
所以-1.
所以不等式的解集为
【解题策略】
奇偶性、单调性的综合应用
利用函数的奇偶性将函数式转化,利用单调性解决常见不等式问题,在综合性题目中,要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形,适当应用解题技巧,化简求值.解题时,一定要特别注意函数的定义域.
【跟踪训练】
(2020·新高考全国Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是
( )
A.[-1,1]∪[3,+∞)
B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.[-1,0]∪[1,3]
【解析】选D.因为f(x)为奇函数,且在(-∞,0)上单调递减,f(2)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(-2)=0,当x>0时,f(x-1)≥0=f(2),即0所以不等式xf(x-1)≥0的解集为[-1,0]∪[1,3].
课堂检测·素养达标
1.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx是
( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
【解析】选A.因为f(x)=ax2+bx+c是偶函数,
所以由f(-x)=f(x),得b=0.所以g(x)=ax3+cx.
所以g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-g(x),
所以g(x)为奇函数.
2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是
( )
A.y=x3
B.y=|x|+1
C.y=-x2+1
D.y=
【解析】选B.对于函数y=|x|+1,f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),所以y=|x|+1是偶函
数,当x>0时,y=x+1,所以在(0,+∞)上单调递增;另外函数y=x3不是偶函数;y=-x2+
1在(0,+∞)上单调递减;y=
不是偶函数.
3.(教材二次开发:练习改编)一个偶函数定义在区间[-7,7]上,它在[0,7]上的图象如图,下列说法正确的是
( )
A.这个函数仅有一个单调增区间
B.这个函数有两个单调减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值是7
D.这个函数在其定义域内有最小值是-7
【解析】选C.根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性,作出函数在[-7,0]上的图象,如图所示,
可知这个函数有三个单调增区间;有三个单调减区间;在其定义域内有最大值是7;在其定义域内最小值不是-7.
4.如果奇函数f(x)在区间[1,5]上单调递减,且最小值为3,那么f(x)在区间[-5,-1]上
( )
A.单调递增且最小值为3
B.单调递增且最大值为3
C.单调递减且最小值为-3
D.单调递减且最大值为-3
【解析】选D.当-5≤x≤-1时,1≤-x≤5,所以f(-x)≥3,即-f(x)≥3.从而f(x)≤-3,又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同,故f(x)在[-5,-1]上单调递减.
5.偶函数f(x)在(0,+∞)内的最小值为2
020,则f(x)在(-∞,0)上的最小值为 .?
【解析】由于偶函数的图象关于y轴对称,
所以f(x)在对称区间内的最值相等.
又当x∈(0,+∞)时,f(x)min=2
020,
故当x∈(-∞,0)时,f(x)min=2
020.
答案:2
020(共42张PPT)
4.2 简单幂函数的图象和性质
必备知识·自主学习
导思
1.除了一次函数、二次函数、反比例函数外还有哪些常见函数?
2.幂函数有哪些特征?
1.幂函数的概念
一般地,形如
_______________的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称
为幂函数.
y=xα(α为常数)
2.常见幂函数的图象与性质
解析式
y=x
y=x2
y=x3
y=
图象
定义域
R
R
R
_________
________
值域
R
________
R
_________
________
奇偶性
___函数
___函数
___函数
___函数
_________
函数
增区间
__
________
__
无
________
减区间
无
________
无
_________
________
无
定点
______
{x|x≠0}
[0,+∞)
[0,+∞)
{y|y≠0}
[0,+∞)
奇
偶
奇
奇
非奇非偶
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
(-∞,0)
(-∞,0),
(0,+∞)
(1,1)
(1)本质:幂函数的图象是函数的图形表示,幂函数的性质是根据函数图象总结得到的.
(2)应用:①求定义域;②求值域;③比较大小;④求单调区间.
【思考】
在区间(0,+∞)上,幂函数有怎样的单调性?
提示:幂函数在区间(0,+∞)上,当α>0时,y=xα是增函数;当α<0时,y=xα是减函数.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1).
( )
(2)幂函数的图象都不过第二、四象限.
( )
(3)y=
与y=
定义域相同.
( )
提示:(1)×,幂函数y=
不过点(0,0).
(2)×,幂函数y=x2过第二象限.
(3)×,y=
的定义域为[0,+∞),而y=
的定义域为R.
2.下列函数中不是幂函数的是
( )
A.y=
B.y=x3
C.y=3x
D.y=x-1
【解析】选C.只有y=3x不符合幂函数y=xα的形式.
3.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),则这个函数的解析式是
( )
A.y=x2
B.y=
C.y=
D.y=2x
【解析】选C.设幂函数f(x)=xα,图象过点(4,2),则4α=2,解得α=
,所以f(x)
=
.
关键能力·合作学习
类型一 幂函数的概念(数学抽象)
【题组训练】
1.在函数y=
,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
2.(2020·吉林高一检测)函数f(x)=(2m-3)
是幂函数,则m的值为( )
A.2
B.-1
C.0
D.1
3.已知幂函数f(x)=xα的图象过点
,则f(4)= .?
【解析】1.选B.函数y=
=x-4为幂函数;
函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;
函数y=x2+2x不是y=xα(α是常数)的形式,
所以它不是幂函数;函数y=1与y=x0=1(x≠0)不相等,所以y=1不是幂函数.
2.选A.由于函数f(x)=(2m-3)
是幂函数,
故2m-3=1,所以m=2.
3.由f(2)=
可知2α=
,即α=
,
所以f(4)=
答案:
【解题策略】
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.
【补偿训练】
下列函数中是幂函数的是
( )
①y=
;②y=axm(a,m为非零常数,且a≠1);
③y=
+x4;④y=xn;⑤y=(x-6)3;⑥y=8x2;⑦y=x2+x.
A.①②③
B.①④
C.③④⑤⑥
D.②④⑦
【解析】选B.由幂函数的定义:形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数,则y=
=x-3,
y=xn是幂函数.
类型二 幂函数图象的应用(数学抽象、直观想象)
【题组训练】
1.函数y=
的图象是
( )
【解析】选B.因为函数y=
是幂函数,幂函数在第一象限内恒过点(1,1),排除A,
D.当x>1,0<α<1时,y=xα在直线y=x下方,排除C.
2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是
( )
A.d>c>b>a
B.d>c>a>b
C.a>b>c>d
D.a>b>d>c
【解析】选C.在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数增大,所以a>b>c>d.
3.已知幂函数f(x)=(m2-2m+1)
的图象不过原点,则m的值为
( )
A.0
B.-1
C.2
D.0或2
【解析】选A.由幂函数定义可知m2-2m+1=1,
所以m=0或m=2;
当m=0时,f(x)=x-2,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞);
当m=2时,f(x)=x4定义域为R;
又因为f(x)=(m2-2m+1)
的图象不过原点;
所以m2+m-2<0,所以m=0.
【解题策略】
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图
象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴
(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象
(类似于y=x-1或y=
或y=x3)来判断.
【补偿训练】
在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax-
的图象可能是
( )
【解析】选C.选项A中,幂函数的指数a<0,则直线y=ax-
应为减函数,A错误;
选项B中,幂函数的指数a>1,则直线y=ax-
应为增函数,B错误;
选项D中,幂函数的指数a<0,则-
>0,直线y=ax-
在y轴上的截距为正,D错误.
类型三 幂函数性质的综合应用(数学抽象、逻辑推理)
角度1 比较大小?
【典例】比较下列各组中幂值的大小:
(1)0.213,0.233;(2)
【思路导引】构造幂函数,借助其单调性求解.
【解析】(1)因为函数y=x3是增函数,且0.21<0.23,
所以0.213<0.233.
(2)
因为1.2>
>1.1,且y=
在[0,+∞)上单调递增,
所以
【变式探究】
把本例的各组数据更换如下,再比较其大小关系:
(1)
【解析】(1)因为幂函数y=x0.5在[0,+∞)上是单调递增的,又
,所以
.
(2)因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的,又
,所以
角度2 幂函数性质的综合应用?
【典例】已知幂函数y=x3m-9(m∈N
)的图象关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递减,
求满足
的a的取值范围.
【思路导引】根据函数的图象关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递减及m∈N
求出
m的值,代入不等式解不等式即可,解不等式时注意幂函数的定义域.
【解析】因为函数在(0,+∞)上单调递减,所以3m-9<0,
解得m<3.又因为m∈N
,所以m=1,2.
因为函数的图象关于y轴对称,
所以3m-9为偶数,故m=1.
则原不等式可化为
因为y=
在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,
所以a+1>3-2a>0或3-2a或a<-1.
故a的取值范围是
【解题策略】
幂函数常用性质
(1)幂函数y=xα
奇偶性的判断方法:
①若p,q同为奇数,则y=xα为奇函数.
②若p为奇数,q为偶数,则y=xα为偶函数.
③若p为偶数,则y=xα为非奇非偶函数.
(2)幂函数单调性判断:
幂函数y=xα在区间(0,+∞)上,当α>0时,y=xα是增函数;当α<0时,y=xα是减函数.
【题组训练】
1.比较大小:
【解析】因为y=
为(0,+∞)上的减函数,且
所以
答案:>
2.函数f(x)=x2(x<0)的奇偶性为
( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
【解析】选D.因为函数f(x)=x2(x<0)的定义域为(-∞,0),不关于原点对称,
所以函数f(x)=x2(x<0)为非奇非偶函数.
3.已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1为偶函数,则m=
( )
A.1
B.2
C.1或2
D.3
【解析】选A.因为幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1为偶函数,所以m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,解得m=1或m=2.当m=1时,幂函数f(x)=x2为偶函数,满足条件.当m=2时,幂函数f(x)=x3为奇函数,不满足条件.
【补偿训练】
已知幂函数f(x)=
(m∈Z)的图象与x轴,y轴都无交点,且关于原点对称,
则函数f(x)的解析式是 .?
【解析】因为函数的图象与x轴,y轴都无交点,
所以m2-1<0,解得-1因为图象关于原点对称,且m∈Z,所以m=0,
所以f(x)=x-1.
答案:f(x)=x-1
课堂检测·素养达标
1.下列函数是幂函数的是
( )
A.y=
B.y=x5
C.y=5x
D.y=(x+1)3
【解析】选B.函数y=
和y=5x是正比例函数,不是幂函数;函数y=(x+1)3的底数
不是自变量x,不是幂函数;函数y=x5是幂函数.
2.如图所示,给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是
( )
A.①y=
,②y=x2,③y=
,④y=x-1
B.①y=x3,②y=x2,③y=
,④y=x-1
C.①y=x2,②y=x3,③y=
,④y=x-1
D.①y=x3,②y=
,③y=x2,④y=x-1
【解析】选B.因为y=x3的定义域为R且为奇函数,故应为图①;y=x2为开口向上的抛物线且顶点为原点,应为图②.同理可得出选项B正确.
3.(教材二次开发:练习改编)幂函数f(x)的图象过点(3,
),则f(8)=( )
A.8
B.6
C.4
D.2
【解析】选C.设幂函数f(x)=xα(α为常数),由函数的图象过点(3,
),可得
=3α,所以α=
,则幂函数f(x)=
,所以f(8)=
=4.
4.判断大小:
.(填“>”或“<”)?
【解析】因为y=
为[0,+∞)上的增函数,
且2.3<2.4,所以
<
.
答案:<
5.已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时,f(x):(1)是幂函数?(2)是正比例函数?(3)是反比例函数?(4)是二次函数?
【解析】(1)因为f(x)是幂函数,故m2-m-1=1,
即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.
(2)若f(x)是正比例函数,则-5m-3=1,
解得m=
.此时m2-m-1≠0,故m=
.
(3)若f(x)是反比例函数,则-5m-3=-1,
则m=
,此时m2-m-1≠0,
故m=
.
(4)若f(x)是二次函数,则-5m-3=2,
即m=-1,此时m2-m-1≠0,故m=-1.