人教版数学八年级上册 11.3 多边形及其内角和 同步练习（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册 11.3 多边形及其内角和 同步练习（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 275.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-18 22:51:18 | ||
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文档简介
《11.3
多边形及其内角和》
同步训练题
基础题训练（一）：限时30分钟
1．如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD．
（1）求证：AD⊥AC；
（2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．
2．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处
【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是
；
【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A的大小为
．
3．【知识回顾】：
如图①，在△ABC中，根据三角形内角和定理，我们知道∠A+∠B+∠C＝180°．
如图②，在△ABC中，点D为BC延长线上一点，则∠ACD为△ABC的一个外角．请写出∠ACD与∠A、∠B的关系，直接填空：∠ACD＝
．
【初步运用】：如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点．
（1）若∠A＝70°，∠DBC＝150°，则∠ACB＝
°．（直接写出答案）
（2）若∠A＝70°，则∠DBC+∠ECB＝
°．（直接写出答案）
【拓展延伸】：如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点．
（1）若∠A＝70°，∠P＝150°，则∠DBP+∠ECP＝
°．（请说明理由）
（2）分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O＝40°，求出∠A和∠P之间的数量关系，并说明理由．
（3）分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A＝∠P，求证：BM∥CN．
4．如图，已知四边形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB．试判断∠AEF与∠CFE是否相等？并证明你的结论．
5．如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D＝210°
（1）∠DAB+∠CBA＝
度；
（2）若∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点E，求∠E的度数．
基础题训练（二）：限时30分钟
6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE∥DF，∠1＝∠2．求证：∠3＝∠4．
7．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）
8．（1）如图1，在△ADC中，∠ADC的平分线和∠ACD的外角平分线交于点P，若∠ADC＝70°，∠ACD＝50°，求∠P的度数．
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，∠A＝90°，∠B＝150°，求∠P的度数．
（3）如图3，若将（2）中“∠A＝90°，∠B＝150°”改为“∠A＝α，∠B＝β”，其余条件不变，直接写出∠P与α+β之间的数量关系．
9．三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．
如图1，点D为BC延长线上一点，则∠ACD为△ABC的一个外角．
求证：∠ACD＝∠A+∠B
证明：过点C作CE∥AB（过直线外一点
）
∴∠B＝
∠A＝
∵∠ACD＝∠1+∠2
∴∠ACD＝∠
+∠B（等量代换）
应用：如图2是一个五角星，请利用上述结论求
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值为
10．如图1，在∠A内部有一点P，连接BP、CP，请回答下列问题：
①求证：∠P＝∠1+∠A+∠2；
②如图2，利用上面的结论，在五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝
；
③如图3，如果在∠BAC间有两个向上突起的角，请你根据前面的结论猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之间有什么等量关系，直接写出结论即可．
基础题训练（三）：限时30分钟
11．观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题：
（1）将下面的表格补充完整：
正多边形边数
3
4
5
6
…
∠a的度数
…
10°
（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝21°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
12．阅读材料：
如图1，点A是直线MN上一点，MN上方的四边形ABCD中，∠ABC＝140°，延长BC，2∠DCE＝∠MAD+∠ADC，探究∠DCE与∠MAB的数量关系，并证明．
小白的想法是：“作∠ECF＝∠ECD（如图2），通过推理可以得到CF∥MN，从而得出结论”
请按照小白的想法完成解答：
拓展延伸
保留原题条件不变，CG平分∠ECD，反向延长CG，交∠MAB的平分线于点H（如图3），设∠MAB＝α，请直接写出∠H的度数（用含α的式子表示）．
13．（1）思考探究：如图①，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，请探究∠P与∠A的关系是
．
（2）类比探究：如图②，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，α+β＞180°，四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线相交于点P．求∠P的度数．（用α，β的代数式表示）
（3）拓展迁移：如图③，将（2）中α+β＞180°改为α+β＜180°，其它条件不变，请在图③中画出∠P，并直接写出∠P＝
．（用α，β的代数式表示）
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，延长BA至点E，连接CE，且CE交AD于点F，∠EAD和∠ECD的角平分线相交于点P．
（1）求证：①AB∥CD；②∠EAD+∠ECD＝2∠APC；
（2）若∠B＝70°，∠E＝60°，求∠APC的度数；
（3）若∠APC＝m°，∠EFD＝n°，请你探究m和n之间的数量关系．
15．如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，点E在AB边上，DE平分∠ADC，且∠ADE＝∠DEA．
（1）求证：AD∥BC；
（2）如图2，已知DF⊥BC交BC边于点G，交AB边的延长线于点F，且DB平分∠EDF．若∠BDC＜45°，试比较∠F与∠EDF的大小，并说明理由．
参考答案
1．解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
在△ABD中，
∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，
∵∠ABD+∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠BAD＝180°，
即∠ACB+∠BAC+∠CAD＝180°，
∴∠CAD＝90°，
∴AD⊥AC．
（2）∠BAC＝2∠ACD；
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣（∠BCD﹣∠ACD），
∵∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣∠ACD，
∵∠ADC＝∠BCD，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD，
∴∠BAC＝90°﹣（90°﹣∠ACD﹣∠ACD）＝2∠ACD．
2．解：（1）如图①，∠1＝2∠A．
理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；
∵∠1＝∠A+∠EA′D，
∴∠1＝2∠A．
（2）如图②，2∠A＝∠1+∠2．
理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，
∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，
∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，
由折叠知识可得：∠A＝∠A′，
∴2∠A＝∠1+∠2．
（3）如图③，
∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A′+∠2，
∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，
∴2∠A＝∠1﹣∠2＝56°，
解得∠A＝28°．
故答案为：∠1＝2∠A；28°．
3．解：【知识回顾】
∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACD＝∠A+∠B；
故答案为：∠A+∠B；
【初步运用】
（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠A＝70°，∠DBC＝150°，
∴∠ACB＝∠DBC﹣∠A＝150°﹣70°＝80°；
故答案为：80；
（2）∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝110°，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣110°＝250°，
故答案为：250；
【拓展延伸】
（1）如图④，连接AP，∵∠DBP＝∠BAP+∠APB，∠ECP＝∠CAP+∠APC，
∴∠DBP+∠ECP＝∠BAP+∠APB+∠CAP+∠APC＝∠BAC+∠BPC，
∵∠BAC＝70°，∠BPC＝150°，
∴∠DBP+∠ECP＝∠BAC+∠BPC＝70°+150°＝220°，
故答案为：220；
（2）∠A和∠P之间的数量关系是：∠P＝∠A+80°，
理由是：如图⑤，设∠DBO＝x，∠OCE＝y，则∠OBP＝∠DBO＝x，∠PCO＝∠OCE＝y，
由（1）同理得：x+y＝∠A+∠O，2x+2y＝∠A+∠P，
2∠A+2∠O＝∠A+∠P，
∵∠O＝40°，
∴∠P＝∠A+80°；
（3）证明：如图，延长BP交CN于点Q，
∵BM平分∠DBP，CN平分∠ECP，
∴∠DBP＝2∠MBP，∠ECP＝2∠NCP，
∵∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，
∠A＝∠BPC，
∴2∠MBP+2∠NCP＝∠A+∠BPC＝2∠BPC，
∴∠BPC＝∠MBP+∠NCP，
∵∠BPC＝∠PQC+∠NCP，
∴∠MBP＝∠PQC，
∴BM∥CN．
4．解：∠AEF＝∠CFE．
证明：∵∠D＝∠B＝90°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，
又∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，
∴∠DAE＝∠DAB，∠DCF＝∠DCB，
∴∠DAE+∠DCF＝（∠DAB+∠DCB）＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠DEA＝∠DCF，
∴AE∥CF，
∴∠AEF＝∠CFE．
5．解：（1）∵∠DAB+∠CBA+∠C+∠D＝360°，
∴∠DAB+∠CBA＝360°﹣（∠C+∠D）＝360°﹣210°＝150°．
故答案为：150；
（2）∵∠DAB与∠ABC的平分线交于四边形内一点E，
∴∠EAB＝∠DAB，∠EBA＝∠ABC，
∴∠E＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）
＝180°﹣（∠DAB+∠CBA）
＝180°﹣（360°﹣∠C﹣∠D）
＝（∠C+∠D），
∵∠C+∠D＝210°，
∴∠E＝（∠C+∠D）＝105°．
6．证明：∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE∥DF，
∴∠2＝∠5，∠AEB＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠5，
∴∠AEB＝∠4，
∴∠3＝∠4．
7．解：（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；
（2）∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；
（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．
8．解：（1）如图1，在射线DC上取一点E，
∵∠ADC的平分线和∠ACD的平分线交于点P，
∴，
，
∴∠P＝∠PCE﹣∠PDC＝30°；
（2）如图2，在射线DC上取一点E，
∵∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，
∴，
，
∴∠P＝∠PCE﹣∠PDC
＝
＝
＝
＝
＝
＝30°；
（3）．
9．证明：过点C作CE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）
∴∠B＝∠2（两直线平行，同位角相等），
∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵∠ACD＝∠1+∠2，
∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）
应用：对于△BDN，∠MNA＝∠B+∠D，
对于△CEM，∠NMA＝∠C+∠E，
对于△ANM，∠A+∠MNA+∠NMA＝180°，
∴∠A+∠B+∠D+∠C+∠E＝180．
故答案为：有且只有一条直线与已知直线平行；∠2（两直线平行，同位角相等）；∠1（两直线平行，内错角相等）；A；180°
10．解：①连接AP并延长，则∠3＝∠2+∠BAP，∠4＝∠1+∠PAC，
故∠BPC＝∠1+∠A+∠2；
②利用①中的结论，可得∠1＝∠A+∠C+∠D，
∵∠2＝∠B+∠E，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
③连接AP、AD、AG并延长，
同①由三角形内角与外角的性质可求出∠4+∠5＝∠1+∠2+∠3+∠BAC．
故答案为：180°．
11．解：（1）填表如下：
正多边形的边数
3
4
5
6
…
18
∠α的度数
60°
45°
36°
30°
…
10°
故答案为：60°，45°，36°，30°，18；
（2）不存在，理由如下：
假设存在正
n
边形使得∠α＝21°，得∠α＝（）°＝21°，
解得：n＝8，又
n
是正整数，
所以不存在正
n
边形使得∠α＝21°．
12．解：阅读材料：延长CB交MN于点T，
∵∠ECF＝∠ECD，2∠DCE＝∠MAD+∠ADC，
∴2∠ECD＝∠MAD+∠ADC＝360°﹣∠CTA﹣∠DCT＝360°﹣（180°﹣∠MTC）﹣（180°﹣∠ECD）＝∠MTC+∠ECD，
∴∠ECD＝∠MTC，
∴∠ECF＝∠MTC，
∴CF∥MN，
∵∠ABC＝140°，
∴∠ABT＝40°，
∴∠MTC＝∠MAB+40°，
即∠DCE＝∠MAB+40°；
拓展延伸：∠H＝360°﹣∠CDA﹣∠MAB﹣∠DAB﹣∠HCD＝180°﹣[360°﹣（180°﹣∠ECD）﹣∠MAB﹣（180°﹣∠ECD）]＝180°﹣（∠ECD﹣∠MAB），
∵∠DCE＝∠MAB+40°，
∴∠H＝180°﹣（∠MAB+60°），
∵∠MAB＝α，
∴∠H＝120°﹣α．
13．解：（1）如图1中，结论：2∠P＝∠A．
理由：∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，
∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，
∴2∠PCD＝∠ACD，2∠PBC＝∠ABC，
∴2（∠P+∠PBC）＝∠A+∠ABC，
2∠P+2∠PBC＝∠A+∠ABC，
2∠P+∠ABC＝∠A+∠ABC，
∴2∠P＝∠A；
（2）如图2中，
解法一：由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，
∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，
由三角形的外角性质得∠PCE＝∠P+∠PBC，
∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCE的平分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠DCE，
∴∠P+∠PBC＝（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°，
∴∠P＝（∠A+∠D）﹣90°，
∵∠A＝α，∠D＝β，
∴∠P＝（α+β）﹣90°；
解法二：延长BA交CD的延长线于F．
∵∠F＝180°﹣∠FAD﹣∠FDA＝180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）＝α+β﹣180°，
由（1）可知：∠P＝∠F，
∴∠P＝（α+β）﹣90°；
②如图3，延长AB交DC的延长线于F．
∵∠F＝180°﹣α﹣β，∠P＝∠F，
∴∠P＝（180°﹣α﹣β）＝90°﹣α﹣β．
故答案为：2∠P＝∠A；90°﹣α﹣β．
14．解：（1）证明：①∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，
∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D，
∴AB∥CD；
②过点P作PQ∥AB，则∠EAP＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠DCP＝∠CPQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠DCP＝∠CPQ，
∵∠EAP＝∠EAD，∠DCP＝，
∴；
（2）由（1）知AD∥BC，AB∥CD，
∴∠EAD＝∠B＝70°，∠ECD＝∠E＝60°，
由（1）知∠EAD+∠ECD＝2∠APC，
∴∠APC＝；
（3）过点F作FH∥AB，则∠EAD＝∠AFH，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠ECD＝∠CFH，
∴∠EAD+∠ECD＝∠AFH+∠CFH＝∠AFC＝∠EFD，
由（1）知∠EAD+∠ECD＝2∠APC，
∴∠EFD＝2∠APC，
∵∠APC＝m°，∠EFD＝n°，
∴．
15．解：（1）证明：∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
又∵∠ADE＝∠DEA，
∴∠CDE＝∠DEA，
∴CD∥AB，
∴∠B+∠C＝180°，
又∵∠A＝∠C，
∴∠B+∠A＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵DF⊥BC，
∴∠BGF＝90°，
又∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠BGF＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠CDF＝∠F．
设∠EDB＝∠BDF＝x°，∠CDF＝∠F＝y°，
则∠EDF＝2x°，∠ADE＝∠EDC＝（2x+y）°，
由∠ADF＝∠ADE+∠EDF，得
2x+y+2x＝90，
∴y＝90﹣4x，
∴∠F﹣∠EDF＝y°﹣2x°＝90°﹣4x°﹣2x°＝90°﹣6x，
∵∠BDC＜45°，
∴x+y＜45°，
x+90﹣4x＜45，
解得x＞15，
∴6x＞90．
∴∠F﹣∠EDF＝90°﹣6x°＜0，
∴∠F＜∠EDF．
多边形及其内角和》
同步训练题
基础题训练（一）：限时30分钟
1．如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD．
（1）求证：AD⊥AC；
（2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．
2．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处
【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是
；
【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A的大小为
．
3．【知识回顾】：
如图①，在△ABC中，根据三角形内角和定理，我们知道∠A+∠B+∠C＝180°．
如图②，在△ABC中，点D为BC延长线上一点，则∠ACD为△ABC的一个外角．请写出∠ACD与∠A、∠B的关系，直接填空：∠ACD＝
．
【初步运用】：如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点．
（1）若∠A＝70°，∠DBC＝150°，则∠ACB＝
°．（直接写出答案）
（2）若∠A＝70°，则∠DBC+∠ECB＝
°．（直接写出答案）
【拓展延伸】：如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点．
（1）若∠A＝70°，∠P＝150°，则∠DBP+∠ECP＝
°．（请说明理由）
（2）分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O＝40°，求出∠A和∠P之间的数量关系，并说明理由．
（3）分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A＝∠P，求证：BM∥CN．
4．如图，已知四边形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB．试判断∠AEF与∠CFE是否相等？并证明你的结论．
5．如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D＝210°
（1）∠DAB+∠CBA＝
度；
（2）若∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点E，求∠E的度数．
基础题训练（二）：限时30分钟
6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE∥DF，∠1＝∠2．求证：∠3＝∠4．
7．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）
8．（1）如图1，在△ADC中，∠ADC的平分线和∠ACD的外角平分线交于点P，若∠ADC＝70°，∠ACD＝50°，求∠P的度数．
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，∠A＝90°，∠B＝150°，求∠P的度数．
（3）如图3，若将（2）中“∠A＝90°，∠B＝150°”改为“∠A＝α，∠B＝β”，其余条件不变，直接写出∠P与α+β之间的数量关系．
9．三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．
如图1，点D为BC延长线上一点，则∠ACD为△ABC的一个外角．
求证：∠ACD＝∠A+∠B
证明：过点C作CE∥AB（过直线外一点
）
∴∠B＝
∠A＝
∵∠ACD＝∠1+∠2
∴∠ACD＝∠
+∠B（等量代换）
应用：如图2是一个五角星，请利用上述结论求
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值为
10．如图1，在∠A内部有一点P，连接BP、CP，请回答下列问题：
①求证：∠P＝∠1+∠A+∠2；
②如图2，利用上面的结论，在五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝
；
③如图3，如果在∠BAC间有两个向上突起的角，请你根据前面的结论猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之间有什么等量关系，直接写出结论即可．
基础题训练（三）：限时30分钟
11．观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题：
（1）将下面的表格补充完整：
正多边形边数
3
4
5
6
…
∠a的度数
…
10°
（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝21°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
12．阅读材料：
如图1，点A是直线MN上一点，MN上方的四边形ABCD中，∠ABC＝140°，延长BC，2∠DCE＝∠MAD+∠ADC，探究∠DCE与∠MAB的数量关系，并证明．
小白的想法是：“作∠ECF＝∠ECD（如图2），通过推理可以得到CF∥MN，从而得出结论”
请按照小白的想法完成解答：
拓展延伸
保留原题条件不变，CG平分∠ECD，反向延长CG，交∠MAB的平分线于点H（如图3），设∠MAB＝α，请直接写出∠H的度数（用含α的式子表示）．
13．（1）思考探究：如图①，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，请探究∠P与∠A的关系是
．
（2）类比探究：如图②，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，α+β＞180°，四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线相交于点P．求∠P的度数．（用α，β的代数式表示）
（3）拓展迁移：如图③，将（2）中α+β＞180°改为α+β＜180°，其它条件不变，请在图③中画出∠P，并直接写出∠P＝
．（用α，β的代数式表示）
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，延长BA至点E，连接CE，且CE交AD于点F，∠EAD和∠ECD的角平分线相交于点P．
（1）求证：①AB∥CD；②∠EAD+∠ECD＝2∠APC；
（2）若∠B＝70°，∠E＝60°，求∠APC的度数；
（3）若∠APC＝m°，∠EFD＝n°，请你探究m和n之间的数量关系．
15．如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，点E在AB边上，DE平分∠ADC，且∠ADE＝∠DEA．
（1）求证：AD∥BC；
（2）如图2，已知DF⊥BC交BC边于点G，交AB边的延长线于点F，且DB平分∠EDF．若∠BDC＜45°，试比较∠F与∠EDF的大小，并说明理由．
参考答案
1．解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
在△ABD中，
∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，
∵∠ABD+∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠BAD＝180°，
即∠ACB+∠BAC+∠CAD＝180°，
∴∠CAD＝90°，
∴AD⊥AC．
（2）∠BAC＝2∠ACD；
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣（∠BCD﹣∠ACD），
∵∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣∠ACD，
∵∠ADC＝∠BCD，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD，
∴∠BAC＝90°﹣（90°﹣∠ACD﹣∠ACD）＝2∠ACD．
2．解：（1）如图①，∠1＝2∠A．
理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；
∵∠1＝∠A+∠EA′D，
∴∠1＝2∠A．
（2）如图②，2∠A＝∠1+∠2．
理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，
∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，
∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，
由折叠知识可得：∠A＝∠A′，
∴2∠A＝∠1+∠2．
（3）如图③，
∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A′+∠2，
∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，
∴2∠A＝∠1﹣∠2＝56°，
解得∠A＝28°．
故答案为：∠1＝2∠A；28°．
3．解：【知识回顾】
∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACD＝∠A+∠B；
故答案为：∠A+∠B；
【初步运用】
（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠A＝70°，∠DBC＝150°，
∴∠ACB＝∠DBC﹣∠A＝150°﹣70°＝80°；
故答案为：80；
（2）∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝110°，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣110°＝250°，
故答案为：250；
【拓展延伸】
（1）如图④，连接AP，∵∠DBP＝∠BAP+∠APB，∠ECP＝∠CAP+∠APC，
∴∠DBP+∠ECP＝∠BAP+∠APB+∠CAP+∠APC＝∠BAC+∠BPC，
∵∠BAC＝70°，∠BPC＝150°，
∴∠DBP+∠ECP＝∠BAC+∠BPC＝70°+150°＝220°，
故答案为：220；
（2）∠A和∠P之间的数量关系是：∠P＝∠A+80°，
理由是：如图⑤，设∠DBO＝x，∠OCE＝y，则∠OBP＝∠DBO＝x，∠PCO＝∠OCE＝y，
由（1）同理得：x+y＝∠A+∠O，2x+2y＝∠A+∠P，
2∠A+2∠O＝∠A+∠P，
∵∠O＝40°，
∴∠P＝∠A+80°；
（3）证明：如图，延长BP交CN于点Q，
∵BM平分∠DBP，CN平分∠ECP，
∴∠DBP＝2∠MBP，∠ECP＝2∠NCP，
∵∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，
∠A＝∠BPC，
∴2∠MBP+2∠NCP＝∠A+∠BPC＝2∠BPC，
∴∠BPC＝∠MBP+∠NCP，
∵∠BPC＝∠PQC+∠NCP，
∴∠MBP＝∠PQC，
∴BM∥CN．
4．解：∠AEF＝∠CFE．
证明：∵∠D＝∠B＝90°，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，
又∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，
∴∠DAE＝∠DAB，∠DCF＝∠DCB，
∴∠DAE+∠DCF＝（∠DAB+∠DCB）＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠DEA＝∠DCF，
∴AE∥CF，
∴∠AEF＝∠CFE．
5．解：（1）∵∠DAB+∠CBA+∠C+∠D＝360°，
∴∠DAB+∠CBA＝360°﹣（∠C+∠D）＝360°﹣210°＝150°．
故答案为：150；
（2）∵∠DAB与∠ABC的平分线交于四边形内一点E，
∴∠EAB＝∠DAB，∠EBA＝∠ABC，
∴∠E＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）
＝180°﹣（∠DAB+∠CBA）
＝180°﹣（360°﹣∠C﹣∠D）
＝（∠C+∠D），
∵∠C+∠D＝210°，
∴∠E＝（∠C+∠D）＝105°．
6．证明：∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE∥DF，
∴∠2＝∠5，∠AEB＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠5，
∴∠AEB＝∠4，
∴∠3＝∠4．
7．解：（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；
（2）∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；
（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．
8．解：（1）如图1，在射线DC上取一点E，
∵∠ADC的平分线和∠ACD的平分线交于点P，
∴，
，
∴∠P＝∠PCE﹣∠PDC＝30°；
（2）如图2，在射线DC上取一点E，
∵∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，
∴，
，
∴∠P＝∠PCE﹣∠PDC
＝
＝
＝
＝
＝
＝30°；
（3）．
9．证明：过点C作CE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）
∴∠B＝∠2（两直线平行，同位角相等），
∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵∠ACD＝∠1+∠2，
∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）
应用：对于△BDN，∠MNA＝∠B+∠D，
对于△CEM，∠NMA＝∠C+∠E，
对于△ANM，∠A+∠MNA+∠NMA＝180°，
∴∠A+∠B+∠D+∠C+∠E＝180．
故答案为：有且只有一条直线与已知直线平行；∠2（两直线平行，同位角相等）；∠1（两直线平行，内错角相等）；A；180°
10．解：①连接AP并延长，则∠3＝∠2+∠BAP，∠4＝∠1+∠PAC，
故∠BPC＝∠1+∠A+∠2；
②利用①中的结论，可得∠1＝∠A+∠C+∠D，
∵∠2＝∠B+∠E，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
③连接AP、AD、AG并延长，
同①由三角形内角与外角的性质可求出∠4+∠5＝∠1+∠2+∠3+∠BAC．
故答案为：180°．
11．解：（1）填表如下：
正多边形的边数
3
4
5
6
…
18
∠α的度数
60°
45°
36°
30°
…
10°
故答案为：60°，45°，36°，30°，18；
（2）不存在，理由如下：
假设存在正
n
边形使得∠α＝21°，得∠α＝（）°＝21°，
解得：n＝8，又
n
是正整数，
所以不存在正
n
边形使得∠α＝21°．
12．解：阅读材料：延长CB交MN于点T，
∵∠ECF＝∠ECD，2∠DCE＝∠MAD+∠ADC，
∴2∠ECD＝∠MAD+∠ADC＝360°﹣∠CTA﹣∠DCT＝360°﹣（180°﹣∠MTC）﹣（180°﹣∠ECD）＝∠MTC+∠ECD，
∴∠ECD＝∠MTC，
∴∠ECF＝∠MTC，
∴CF∥MN，
∵∠ABC＝140°，
∴∠ABT＝40°，
∴∠MTC＝∠MAB+40°，
即∠DCE＝∠MAB+40°；
拓展延伸：∠H＝360°﹣∠CDA﹣∠MAB﹣∠DAB﹣∠HCD＝180°﹣[360°﹣（180°﹣∠ECD）﹣∠MAB﹣（180°﹣∠ECD）]＝180°﹣（∠ECD﹣∠MAB），
∵∠DCE＝∠MAB+40°，
∴∠H＝180°﹣（∠MAB+60°），
∵∠MAB＝α，
∴∠H＝120°﹣α．
13．解：（1）如图1中，结论：2∠P＝∠A．
理由：∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，
∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，
∴2∠PCD＝∠ACD，2∠PBC＝∠ABC，
∴2（∠P+∠PBC）＝∠A+∠ABC，
2∠P+2∠PBC＝∠A+∠ABC，
2∠P+∠ABC＝∠A+∠ABC，
∴2∠P＝∠A；
（2）如图2中，
解法一：由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，
∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，
由三角形的外角性质得∠PCE＝∠P+∠PBC，
∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCE的平分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠DCE，
∴∠P+∠PBC＝（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°，
∴∠P＝（∠A+∠D）﹣90°，
∵∠A＝α，∠D＝β，
∴∠P＝（α+β）﹣90°；
解法二：延长BA交CD的延长线于F．
∵∠F＝180°﹣∠FAD﹣∠FDA＝180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）＝α+β﹣180°，
由（1）可知：∠P＝∠F，
∴∠P＝（α+β）﹣90°；
②如图3，延长AB交DC的延长线于F．
∵∠F＝180°﹣α﹣β，∠P＝∠F，
∴∠P＝（180°﹣α﹣β）＝90°﹣α﹣β．
故答案为：2∠P＝∠A；90°﹣α﹣β．
14．解：（1）证明：①∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，
∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D，
∴AB∥CD；
②过点P作PQ∥AB，则∠EAP＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠DCP＝∠CPQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠DCP＝∠CPQ，
∵∠EAP＝∠EAD，∠DCP＝，
∴；
（2）由（1）知AD∥BC，AB∥CD，
∴∠EAD＝∠B＝70°，∠ECD＝∠E＝60°，
由（1）知∠EAD+∠ECD＝2∠APC，
∴∠APC＝；
（3）过点F作FH∥AB，则∠EAD＝∠AFH，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠ECD＝∠CFH，
∴∠EAD+∠ECD＝∠AFH+∠CFH＝∠AFC＝∠EFD，
由（1）知∠EAD+∠ECD＝2∠APC，
∴∠EFD＝2∠APC，
∵∠APC＝m°，∠EFD＝n°，
∴．
15．解：（1）证明：∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
又∵∠ADE＝∠DEA，
∴∠CDE＝∠DEA，
∴CD∥AB，
∴∠B+∠C＝180°，
又∵∠A＝∠C，
∴∠B+∠A＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵DF⊥BC，
∴∠BGF＝90°，
又∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠BGF＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠CDF＝∠F．
设∠EDB＝∠BDF＝x°，∠CDF＝∠F＝y°，
则∠EDF＝2x°，∠ADE＝∠EDC＝（2x+y）°，
由∠ADF＝∠ADE+∠EDF，得
2x+y+2x＝90，
∴y＝90﹣4x，
∴∠F﹣∠EDF＝y°﹣2x°＝90°﹣4x°﹣2x°＝90°﹣6x，
∵∠BDC＜45°，
∴x+y＜45°，
x+90﹣4x＜45，
解得x＞15，
∴6x＞90．
∴∠F﹣∠EDF＝90°﹣6x°＜0，
∴∠F＜∠EDF．